解析几何归纳总结

解析几何归纳总结
1、直线与圆的方程
对于直线方程，要理解直线的倾斜率和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是直线方程的几种形式
对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法，如求解圆的方程的待定系数法、圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的几何法、求圆的切线的基本方法等
例1：若直线
1x y a b
+=通过点M （cos α,sin α）,则 A 221a b +≤ B 221a b +≥ C 22111a b +≤ D 22111a b +≥
2、圆锥曲线的定义、标准方程
圆锥曲线的定义一般涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理解三角形等。

例2：（1）已知12,F F 为双曲线C ：22
2x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =,cos 12F PF ∠=___________________
（2）已知12,F F 为双曲线C: 22
1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则P 到x 轴的距离为___________ （3）已知12,F F 为双曲线C: 22
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x y -=的左、右焦点，点A 在C 上，M （2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF =____________________
（4）已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos AFB ∠=___________
3、圆锥曲线的离心率
求离心率的值（或其取值范围）的问题是解析几何中常见的问题，常规求值问题需要找等式，求范围问题需要找不等式：其归纳结底是利用定义寻求关于a,b,c 的相应关系式，并把式中的a,b,c 转化为只含有a,c 的齐次式或不等式，再转化为含e 的关系式，最后求解。

小题中常涉及焦半径等，可利用第二定义来解决，避免了复杂的运算。

例3（1）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交在C 于点D ，且2BF DF =,则C 的离心率为_____________
（2）已知抛物线C ：22y px =（p>0）的准线为l ，过M （1，0直线与l 交
于点A ，与C 的一个交点为B,若AM MB =，则p=_______________
4、直线与圆锥曲线问题的常规解题方法
○1设直线方程：（提醒：○1设直线时分斜率存在与不存在；○2设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） ○2设交点坐标：（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）
○3联立方程组：（提醒：验证二次项系数和∆）
○4消元韦达定理：（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5、根据条件转化有以下类型
○
1以弦AB 为直线的圆过点P （提醒：需要讨论K 是否存在） 121212100K K PA PB PA PB x x y y ⇔•=-⇔⊥⇔•=⇔+=
○
2点在圆内、圆上、圆外问题⇔直角、锐角、钝角问题⇔向量的数量积大于、等于、小于0问题⇔设点坐标得12120x x y y +>
○3等角、角平分、角互补问题⇔斜率关系（120K K +=或12
K K =） ○
4共线问题（如：如：A,Q,B 三点共线）⇔直线QA 与QB 斜率相等⇔AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法：形的角度：距离转化法
○
5点、线对称问题⇔坐标与斜率关系 ○
6弦长、面积问题⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）
6、细节问题不忽略：（1）判别式是否已经考虑（2）抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0
常见问题解题策略：
1、椭圆中的定值、定点问题
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

常见：直线恒过定点问题、点在定直线上、表达式定值问题、斜率定值问题
例1：已知动直线y=k(x+1)与椭圆221553
x y +=相交于A,B 两点，已知点M （73
-，0），求证MA MB ⋅为定值
例2、设椭圆E ：22
22=11x y a a
+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．
例3、如图，点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左右焦点，经过F 1做x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2垂线交直线于点Q ．
（Ⅰ）如果点Q 的坐标是（4，4），求此时椭圆C 的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．
例4、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C: 2213x y +=，如图所示，斜率为k （k>0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x=-3于点D （-3，m ）
（1）求22m k +的最小值（2）若2
OG OD OE =⋅,求证：直线l 过定点
例5、如图，曲线G 的方程为22(y 0)y x =≥，以圆点为圆心，以t （t>0）为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于 A 与点B ，直线AB 与x 轴相交于点C ，
（1）求点A 的横坐标a 与，点C 的横坐标c 的关系式；
（2）设曲线G 上点D 的横坐标为a+2，求证：直线CD 的斜率为定值。

2、椭圆中的取值范围问题
曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决
（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决
（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数，通常利用二次函数判别式的符号，三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方式等求最值。

例1：已知抛物线2
4y x =，过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （11,x y ），B （22,x y ）
两点，则2212y y +的最小值是__________________
例2、已知(x y)PA =+，(x y)PB =，且6PA PB +=，求2312x y --的最大值______________
例3、设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为3
，过点C （-1，0）的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且2CA BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程
例4、已知抛物线E ：2y x =与圆M ：222(x 4)y r -+=（r>0）相交于A,B,C,D 四个点
（1）求r 的取值范围（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角戏AC ，BD 的交点P 坐标
3、椭圆中的存在性问题
方法：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解
例1、已知抛物线23y x =+上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B,则AB 等于
A 3
B 4
C
D 例2、已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且0,2AC BC BC AC ⋅==
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如果椭圆上两点P ，Q 使角PCQ 的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ使，使得PQ AB λ=？请说明理由
例3、已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为e=
12 （1）求椭圆E 的方程
（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程
（3）若椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由
（角平分线定理，双曲线焦点三角形内切圆特殊性）。