24）；（6）已知平面,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα?=??=?求证：b 、c 是异面直线．
F D C B A E D 1C 1B 1A 15、异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,]2π
θ∈；
（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：3
3）；（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）；
（3）已知异面直线a 、b 所成的角为50°，P 为空间一点，则过P 且与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线,a b 所成的角为
3π，且直线c a ⊥，则异面直线,b c 所成角的范围是____（答：[,]62
ππ）； 6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD 是矩形，沿对角线AC 把ΔADC 折起，使AD ⊥BC ，求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF
平行的直线有____条（答：1）； 7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互
相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。
9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线a 平行于平面α内的一条直线b , 则 a // α Ｂ、若直线a 垂直于平面α的斜线b 在平面α内的射影，则a ⊥b Ｃ、若直线a 垂直于平面α,直线b 是平面α的斜线，则a 与b 是异面直线 Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D ）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是___________（答：线段B 1C ）。
10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）α、β表示平面，a 、b 表示直线，则a ∥α的一个充分不必要条件是 A 、α⊥β，a ⊥β B 、α∩β＝b ，且a ∥b C 、a ∥b 且b ∥α D 、α∥β且a ?β（答：D ）；（2）正方体ABCD-A １B １C １D １中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM=DN ，求证：MN ∥面AA 1B 1B 。
11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“若y y x ,⊥∥z ，则z x ⊥”不成立，那么字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x 、y 是直线，z 是平面）；（2）已知a ，b ，c 是直线，α、β
是平面，下列条件中能得出直线a ⊥平面α的是 A 、a ⊥b ，ａ⊥ｃ其中ｂ?α，ｃ?α B 、a ⊥b ，ｂ∥α C 、α⊥β，ａ∥β D 、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D ）；（3）AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD ⊥面ABC ，AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ，求证：BD ⊥平面AEF 。
12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。
13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：[0,90]；（3）求法：作出直线在平面上的射影；
（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为______
（答：arcsin
4
6）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：13
）；（3）PC PB PA ,,是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都是?60，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为______（答：33）；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sin θ的值为______（答：3
3）。 14、平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线。
15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面βα//的条件是A 、n m ,是α内一个三角形的两条边，且ββ//,//n m B 、α内有不共线的三点到β的距离都相等 C 、βα,都垂直于同一条直线a D 、n m ,是两条异面直线，βα??n m ,，且αβ//,//n m （答：B ）；（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；（3）正方体ABCD-A １B １C １D １中AB=a 。①求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；②求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1 ；③求平面AD 1B 1与
平面C 1DB ）； 16、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：[0,]π；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ?射原＝，其中θ为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如
（1）正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为________（答：60）；（2）将∠A 为60°的棱形ABCD 沿对角线BD 折叠，使A 、C 的距离等于BD ，则二面角A-BD-C 的余弦值是______（答：13
）；（3）正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成
的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为______
（答：arcsin 3
）；（4）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是______（答：13
）；（5）二面角α-l -β的平面角为120°，A 、B ∈l ，AC ?α，BD ?β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB=AC=BD=1，则CD 的长______（答：2）；（6）ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝AD ，则面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的大小为______
（答：。 17、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，P 到三个面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为_____（答：52）；（2）在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足___________时，平面MBD ⊥平面PCD （答：
BM PC ⊥）
；（3）过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC ＝90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC 。
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←?
??←→?←→?
如（1）已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥?βα// ②m l //?⊥βα；③βα⊥?m l //；④βα//?⊥m l 。其中正确的命题是_____（答：①③）；（2）设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，给出下列四个命题：①若
,,,αα?⊥⊥b a b a 则α//b ；
②若βαα⊥,//a ，则β⊥a ；③若βαβ⊥⊥,a ，则α//a 或α?a ；④若βα⊥⊥⊥b a b a ,,则βα⊥。其中正确的命题是_____（答：①③④）
18、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）
（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。如已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则异面直线BD 与B 1C 的距离为_____
（答：3
a ）。 （2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。如（1）等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ?沿AD 折起，使之与ACD ?所在平面成?120的
二面角，这时A 点到BC 的距离是_____（答：
2
26）；（2）点P 是120°的二面角α-l -β内的一点，点P 到α、β的距离分别是3、4，则P 到l 的距离为 _______
；（3）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为_______（答：抛物线弧）。
（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。如（1）长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，则点1A 到平面11D AB 的距离等于
______（答：3
）；（2）在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为______（答：66
a ）。 （4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A 、B 间的距离的步骤：①计算线段AB 的长；②计算球心角∠AOB 的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB 的长。如（1）设地球半径为R ，在北纬?45圈上有B A ,两地，它们的纬度圈上的弧长等于R π42，求B A ,两地间的球面距离（答：3
R π）；（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1，经过这3点的小圆的周长为π4，那么这个球的半径为______（答：32）；（3）三棱锥P ABC -的三个侧面两两垂直，12,16,20PA PB PC ===，若,,,P A B C 四个点都在同一球面上，则此球面上两点A 、B 之间的球面距离是_________（答：
）。
19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。
（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
20、棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；
（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。如（1）斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，各棱长为a ，A 1B=A 1C=a ，则侧面BCC 1B 1是____形，棱柱的高为_____（答：正方；3
a ）；（2）下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_____（答：②④）。
21、平行六面体：
（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
（2）几类特殊的平行六面体：{平行六面体}?≠{直平行六面体}?≠{长方体}?≠{正四棱柱}?≠{正方体}；
（3）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为a+b+c ＝6，全面积为11，则其对角线为_____（答：5）
22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的14，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____（答：1∶
8）
G F E D 1C 1B 1A 1D C B A 23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体ABCD 中，有如下命题：①若CD AB BD AC ⊥⊥,，则BC AD ⊥；②若G E 、、F 分别是CD AB BC 、、的中点，则FEG ∠的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影是ABD ?外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体。其中正确的是___（答：①③）
（2）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的
等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。
②正棱锥的高h 、斜高h '、斜高在底面的射影（底面的内切
圆的半径r ）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半
径R ）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥
的计算集中在四个直角三角形中：,Rt SOB Rt SOE ??，
,Rt EOB Rt SBE ??，其中,,,a l αθ分别表示底面边长、侧
棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。如（1）
在三棱锥的四个面中，最多有___个面为直角三角形（答：4）；（2）把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为________（答：26(2)R +）。 24、侧面积（各个侧面面积之和）：
（1）棱柱：侧面积S ＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积S ＝底面周长×侧棱长。如（1）长方体的高为h ，底面积为Q ，垂直于底的对角面的面积为M ，则此长方体的侧面积为______（答：2222M h Q +）；（2）斜三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，二面角C-A 1A-B 为120°，侧棱AA 1于另外两条棱的距离分别为7cm 、8cm ，AA 1=12cm ，则斜三棱柱的侧面积为______（答：2
336cm ）；（3）若斜三棱柱的高为43，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为______（答：120）。 （2）正棱锥：正棱锥的侧面积S ＝
12
×底面周长×斜高。如（1）已知正四棱锥P －ABCD 的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是_______（答：327）；（2）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面
积为T ，则T S 等于______（答：19）。
提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。
25、体积：
（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积12
V Sd =（其中S 为三棱柱一个侧面的面积，d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。如（1）设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所
有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则c
b a 111++等于__（答：114）；（2）斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA 1和AB 、AC 都成45°的角，则棱柱的侧面积为___，体积为___（答：(21)ab +；
214a b ）。 （2）棱锥：体积＝31×底面积×高。如（1）已知棱长为1的正方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、
G F E D C B A G 处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_____（答：1211）
；
（
2
）在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC=a ，则正三棱锥A-BCD 的体积为__（答：
324
2a ）；（3）已知正三棱锥ABC P -底面边长为32，体积为34，则底面三角形ABC 的中心O 到侧面PAB 的距离为___（答：41717
）；（4）在平面几何中有：Rt △ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为h ，则222111h
b a =+。类比这一结论，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两点互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=
c ，此三棱锥P —ABC 的高为h ，则结论为______________（答：22221111a b c h ++=）． 特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥?三棱柱?平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是（答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.如（1）用平面去截三棱锥S ABC -，与三条侧棱交于111,,A B C 三点，若112SA SA =，111,3
SB SB SC = 1113,14
S A B C SC V -==，则多面体111A B C ABC -的体积为_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（答：13V ）；（3）如图的多面体ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC ∥DEFG ，平面BEF ∥ADGC ，
AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为________（答：4）。 26、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝22d R -。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。如（1）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果?=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为______（答：6cm ）；（2）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC 的距离为______（答：12）
28、球的体积和表面积公式：V ＝234,34R S R ππ=。如
（1）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为
49πcm 2、400πcm 2，则球的表面积为______（答：
22500cm π）
；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积。（答：表面积3π，
体积3π）；（3）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为3，?=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几
何体的体积为为______（答：29
π）； 29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；
（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。如（1）甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____（答：1∶2∶3）；（2）若正四面体的棱长为2，则此正四面体的外接球的表面积为_____（答：3π）；（3）已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_____（答：354）；
（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。如已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是1AA 的中点，E 是1BB 上的一点，则EC PE +的最小值是_____（答：2
17）； 30、你熟悉下列结论吗？
⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；
⑵从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
⑶AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，AC 和AB 的射影AB '成2θ，设∠BAC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；
⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面； ⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则cos 2α+ cos 2β+cos 2γ=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2。如（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为____________（答：30°）；（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则sin ,sin ,sin αβγ的关系为
____________。（答：222
sin sin sin 2αβγ++=）
⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为θ，则cos S S θ?侧底＝。如若正三棱锥的一个侧面的
面积与底面面积之比为２３
，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于__（答：60） ⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内?顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。
⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。
高中数学立体几何测试题及答案一)
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
高考数学必胜秘诀
高考数学必胜秘诀 立体几何 几何法处理线面平行垂直方法 1、直线与平面平行的判定和性质： （1）判定： ①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 （2）性质： 如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。 2、直线和平面垂直的判定和性质： （1）判定： ①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 ②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。 （2）性质： ①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 3、直线和平面所成的角： （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （2）范围：[0,90]o o ； （3）求法：作出直线在平面上的射影； （4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 4、两个平面平行的判定和性质： （1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。 （2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 5、二面角： （1）平面角的三要素： ①顶点在棱上； ②角的两边分别在两个半平面内； ③角的两边与棱都垂直。 （2）作平面角的主要方法： ①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； ②垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； （3）二面角的范围：[0,]π； （4）二面角的求法： ①转化为求平面角； ②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ?射原＝，其中θ为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。 6、两个平面垂直的判定和性质： （1）判定： ①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 ②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角； （2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←? ??←→?←→?
高考百日冲刺高三励志宣言
高考百日冲刺高三励志宣言 高考百日励志口号|高考励志语录 （一） 十年磨剑，今朝试锋；争分夺秒，分分必争； 全力以赴，高考必胜；坚持到底，我定成功！ 珍惜100天，让飞翔的梦想在六月张开翅膀！ 奋斗100天，让青春的智慧在六月发出光芒！ 拼搏100天，让父母恩师在六月畅想期望！ 我们是最棒的高三学子， 我们将以优异的成绩续写母校荣光。 百炼成钢，百日流芳， 让我们苦战百天，逐鹿考场， 我们正信心百倍，斗志昂扬，意气风发，誓创辉煌！（二） 昨日风雨，昨日喧嚣；今朝雄师，昂首咆哮。 在这百日的战场上，我们高三（16）班全体同学郑重宣誓：我们不做随波逐流的扁舟， 我们不做逃避困难的懦夫。
我们目标明确方向坚定！ 我们斗志昂扬意志坚强！ 踏过书山坎坷； 渡过学海茫茫； 拼搏一百天，我们的理想扬帆起航！奋斗一百天，我们的未来绚丽辉煌！冲刺一百天，绘出人生华丽篇章！ （三） 背负着师长的希望，承载着自己的梦想迎着高考的曙光，我们郑重宣誓： 十年寒窗，信余百天， 为求圆梦，立此誓言。 心无旁鹜，唯学是先， 悬梁刺股，孜孜不倦。 不畏成败，只求无憾。 卧薪尝胆，我心更坚， 心中夙愿，即将实现。 摩拳擦掌，冲锋在前。 蟾宫折桂，漫步霄汉！
（四） 笑战人生是我们无悔的选择，决战高考是我们不懈的追求，“苦战百日”是我们高三四班许下的庄严承诺。 让我们举起右手，在此宣誓： 不作懦弱的退缩，不作无益的彷徨。 再搏百天，用智慧丰富内涵； 再搏百天，凭激情创造灿烂。 拼搏百天，挑战百天。 决胜高考，笑傲六月。 十年磨砺，立志凌绝顶； 百日竞渡，破浪展雄风； 悬梁刺股，意搏今日； 蟾宫折桂，志赌明天； 珍惜一百天，让飞翔的梦在六月张开翅膀； 奋斗一百天，让雄心与智慧在六月发出光芒； 拼搏一百天，让父母恩师在六月畅想期望； 挑战人生，是我无悔的抉择； 决胜高考，是我不懈的追求； 流金六月，我们注定成功；
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2020高考数学立体几何练习题23题
2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．
3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．
5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
高考数学选择题秒杀技巧
10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1
高考数学爆强秒杀公式与方法
高考数学爆强秒杀公式与方法一 1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为 (x+1)/(x-1)，其他不变。 2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k; 2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k; 3、若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R 上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称 4，函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1
时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6，数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7，函数详解补充：1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外2，复合函数单调性：同增异减3，重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8，常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9，适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭=-{(b2)xo｝/{(a 2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10，强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条 件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠
2020高考必胜励志口号十篇
2020高考必胜励志口号十篇 【篇一】2020高考必胜励志口号 1、时间抓起来就是黄金，抓不起来就是流水。 2、任何人，如果放松了对自己的要求，不管你拥有多么辉煌的过去，都有可能很快掉队。 3、为了父母期待的眼神，为了老师信任的目光，更为了证明我不是一个懦夫，拼吧！ 4、六月捷报喜气飞扬，报考志愿实现梦想。 5、祝你每分必得，每题都干，每问必答，字迹不乱！ 6、眼泪不是答案，拼搏才是选择。只有回不了的过去，没有到不了的明天。 7、信念告诉我的人生，没有比脚更长的道路，没有比人更高的山峰。 8、说实话，高考只是决定你在哪个城市打王者荣耀，不过还是要好好考，大城市网速快。 9、生命之中最快乐的是拼搏，而非成功，生命之中最痛苦的是懒散，而非失败！ 10、坚持到底，就是胜利！旗开得胜，高考高中！ 11、眼泪不是我们的答案，拼搏才是我们的选择。 12、胜人者智，胜之者强。不是成功离我们太远，而是我们坚持的太少。 13、汗水和泪水在化学组成上非常相似，在这如火的六
月，多抛洒些汗水吧！ 14、再冷的石头，坐上三年也会暖。祝愿你高考成功！ 15、世上不失望的处境，只有对处境绝望的人，人的破产是绝望，的资产是盼望。 16、面临大考，心态要好；摆正身心，价值千金；只要努力，总有天地！ 17、不要为成功而努力，要为做一个有价值的人而努力。 18、阳光总在风雨后，没经历挫折的风雨，怎能看到成功的彩虹？ 19、你有你的赤橙黄绿，我有我的青蓝靛紫，天空同属于我们，因为我们年轻。 20、只要路是对的，就不怕路远。祝愿你高考成功！ 21、聪明的人决不等待机会，而是创造机会，运用机会，征服机会。 22、带气定神闲满面笑，拥胸中成竹满怀志。 23、面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对决战，不惧怕！ 24、祝你春风拂面，才思如涌，应答如流，百发百中，出口成章，分分都得分，题题都会做！ 25、过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。 26、付出汗水，收获成功。付出的所有代价，都是为了更好的明天。 27、读书改变命运，刻苦成就事业，态度决定一切。
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A
高考数学必胜秘诀在哪(16讲)
高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 二、函 数 1.映射f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =， ,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个 （答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任 意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是 集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：?或{1}）. 2.函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所 含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422 12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π ≥，最小角3π ≤等。如（1）函数 lg 3y x =-____(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；（2）若函数27 43 kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4?????? )；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。 （3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。如（1）若函数)(x f y =的定义域为??????2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{} 42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 5.求函数值域（最值）的方法：
高考祝福语霸气简短200条
高考祝福语霸气简短200条 高考祝福语霸气简短200条 1、祝福你旗开得胜，取得完美佳绩。平心对待高考，你们是最棒的!仁慈的上帝会祝福你们的，相信自我，必须能行! 2、信念告诉我的人生，没有比脚更长的道路，没有比人更高的山峰。满意的成绩，祝你考试好运气啊！ 3、快到考试的日子了，期望你干自愿事，吃顺口饭，听简便话，睡安心觉。使自我坚持良好平静的心态，不要太紧张，相信你的梦想会实现的! 4、只为这一天，将自我的实力展现；只为这一天，将自我的豪情彰显；十年寒窗苦读，今日一鼓作气；高考日，愿你信心满满，考场勇往直前，祝高考得意！
5、这两天的考试过程中，要调整好自我的情绪，考过一门，就不要再想了，重要的是吃好，喝好，休息好，营造一种良好的应考氛围，祝愿你考试顺利! 6、风儿静静的吹动，凤凰花吐露着嫣红，亲爱的朋友请握一握手，明天就要各奔西东！但不要忘记彼此的约定：高考成功！ 7、依依终须别，此后盼珍重，再叙情更浓，高考顺利! 8、妹妹最终要离开家了，去远方求学了，姐姐很高兴！以后可要自我照顾自我了，注意身体啊！最终祝福妹妹在大学里学习生活愉快！ 9、收到此信息的童鞋说明是考神在眷顾你，为了对你这几年来辛苦付出做出奖励，你将会在接下来的考试中无以伦比，所向披靡，比谁都给力！
10、既然选择了要走的路，就坚持下去，相信只要有信心，就必须能掌握自我的前途和命运。 11、明天高考啦，以后不用点起床啦，以后能够天天游泳啦，明天是新生活的开始，必须不能愁眉苦脸，今晚做个好梦! 12、十年寒窗登金科，六月喜气到福门。捷报传送心欢畅，举家同贺圆梦想。继续深造学识广，宏伟蓝图更辉煌。愿君拥有好前程，锦绣灿烂好人生。 13、这是一个考试顺利符哦，考试的人收到后会考出梦想的成绩，愿你带着我的祝福，怀着一个好心境，简便应对考试! 14、认认真真备好准考证，安安心心睡个踏实觉，自
全国高考理科数学：立体几何
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是
高考数学教案必胜秘诀导数
导 数 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是2 1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0lim x y f x y x ?→?'='=? ()()0lim x f x x f x x ?→+?-=?，导函数也简称为导数。 3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-； （2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +?-?=?；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?。 4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是 ()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在 曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。如（1）P 在曲线3 23+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),43[)2, 0[πππ ）；（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）；（3）已知函数m x x x f +- =23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为4 π，则A 点的横坐标为_____（答：0或6 1）；（4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；（5）已知函数x ax x x f 43 2)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。①求a 的值；②求过点)0,0(的曲线 )(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或358 y x =）。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()( )1n n x nx n Q - '=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ' '-????='=-'== ? ?????（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=。如（1） 已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=n m _____（答：14 ）；（2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ）
高考必胜励志金句摘抄
高考必胜励志金句摘抄 【篇一】高考必胜励志金句摘抄 1、现在考生们即将步入考场，挑战自己，挑战人生了。 2、喜迎阴晴圆缺，笑傲风霜雨雪。 3、当你只有一个目标时，整个世界都会给你让路。 4、知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。 5、精神成人，知识成才，态度成全。 6、有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 7、没有艰辛，便无所获！ 8、我一直相信，你是最棒的！展开你隐形的翅膀高飞吧！ 9、望洋兴叹的人，永远达不到成功的彼岸。 10、十年磨剑酬壮志；百日攻读铸辉煌。 11、智者一切求自己，愚者一切求他人。 12、如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 13、争分秒，重实效，抢效率，方我班特色。 14、想过成功，想过失败，但我从未想过要放弃。 15、如果敌人让你生气，那说明你没有胜他的把握。 16、即使现在，对手也在不停地翻动书页。 17、松驰的琴弦，永远奏不出时代的强音。
18、做决定之前仔细考虑，一旦作了决定就要勇往直前坚持到底。 19、金榜题名，连中三元，蟾宫折桂，出题全会，做题全对！ 20、生活其实很简单，过了今天就是明天。 【篇二】高考必胜励志金句摘抄 1、不要轻言放弃，否则对不起自己! 2、如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。善待你的爱好，别让它们为学习让路，要让它们替学习服务。世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。 3、每一日你所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日你都要更积极。 4、尝试所有你未曾经历的事情，不论好坏。 5、行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。 6、只有不努力的学生，没有读不了书的学生。 7、默认自己无能，无疑是给失败制造机会。 8、可以失败，不可以失志;可以失望，不可以绝望。 9、汗水能浇出成功的鲜花，拼搏能赢来胜利的喜悦。 10、人生好比一场足球赛，你需要做的就是努力射门 11、勤奋，坚持到底!相信自己，一切皆有可能。 12、勤奋的含义是今天的热血，而不是明天的决心，后天的保证。
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P
高考数学必胜秘诀在哪4(精选课件)
高考数学必胜秘诀在哪4 高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 三、数 列 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N ＊（或它的有限子集｛1，2,3,…，n}）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如(1）已知*2()156 n n a n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项 为__（答：125 ）；(2）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列， 求实数λ的取值范围（答:3λ>-）；（３）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1 N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是?(）(答:A)...文档交流 仅供参考... Ａ B C D ...文档交流 仅供参考... 2．等差数列的有关概念： (1）等差数列的判断方法：定义法1 (n n a a d d +-=为常数）或1 1 (2)n n n n a a a a n +--=-≥。 (2)等差数列的通项：(1)首项为－24的等差数列，从第１０项起开始为正数,则公差的取值范围是______（答：833 d <≤)...文档交 流 仅供参考... （３）等差数列的前n 和：1()2 n n n a a S +=,1(1)2 n n n S na d -=+中，（4） 等差中项：若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A += 。 提醒：(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(２）为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d )...文档交流 仅供参考...
