2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线
2020版高考理科数学考前猜押题致胜高考必须掌握的20个热点12圆锥曲线(5页)
2020版高考理科数学考前猜押题致胜高考必须掌握的20个热点12圆锥曲线考向1 直线与圆、抛物线1.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )A.-B.-C.D.22.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,若|PM|=4,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为( )A. B. C. D.24.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.105.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x6.若直线3x+4y+12=0与两坐标轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的内切圆的标准方程为______________.7.已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.8.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若AB=2,则圆C的面积为________.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线及其准线l 依次相交于G、M、N三点(其中M在G、N之间且G在第一象限),若|GF|=4,|MN|= 2|MF|,则p=________.考向2 椭圆1.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为 ( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=12.已知椭圆+=1的离心率为,则( )A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b3.我国自主研制的月球探测器——“嫦娥四号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥四号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥四号”卫星轨道的离心率为 ( )A. B. C. D.4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.5.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A. B. C. D.6.设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.考向3 双曲线1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.2.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )A. B.2 C. D.3.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.4.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ( )A. B.3 C.2 D.45.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为________.7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________.8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为________.。
高中数学圆锥曲线解题的十个大招(适用于2020高考)
1高中数学圆锥曲线解题的十个大招招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 32。
221212()()AB x x y y =-+-222141k k k -=+212k d k+=222314112k k k k -++=39k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】2这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
(完整版)圆锥曲线秒杀法
圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C：x²/8+y²/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C：x²/8+y²/2=1求关于X导数可得x/4+y y'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和(2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C':x'²+y'²=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和(1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1)2、椭圆C：x²/4+y²/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，l'=x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x²/4+y²/3)（4+12）≥(x-2y)²;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为√5所以0≤d≤√5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。
l'= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x²+y²=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0,C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤√53、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x²/4+y²=1有公共点，则直线l 斜率K取值范围为:______法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x²/4+y²)（2²+ m²）≥(x-my)²可得，m²≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6法二、缩放坐标l:my=x-4， x=2x' C': x' ²+ y' ² =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m²)≤1；可解的m²≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(八)圆锥曲线
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结七、直线和圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
高考数学圆锥曲线解题技巧
高考数学圆锥曲线解题技巧高考数学两类压轴大题是导数和圆锥曲线，难度大、综合性强，取得满分不容易，但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的。
下面店铺为高考考生整理数学圆锥曲线解题技巧，希望对大家有所帮助!高考数学圆锥曲线解题技巧1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法;(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.高考数学圆锥曲线基础知识点圆锥曲线定义圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。
椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
离心率这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。
一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。
特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
准线在圆锥曲线的统一定义中：到定点与定直线的距离的比为常数e(e>0)的点的轨迹，叫圆锥曲线。
而这条定直线就叫做准线。
2025高中数学八大核心知识圆锥曲线平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题(解析版)
圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)1.真题回顾2020新高考I 卷2.题型梳理题型1：已知定点求定值题型2：已知定值求定点【例题】已知椭圆x 24+y 2=1，设直线l 不经过P 2(0,1)点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．Q (2,-1)2025高中数学八大核心知识圆锥曲线平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题（解析版）【手电筒模型·1定+2动】直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，P (x 0,y 0)为椭圆上异于AB 的任意一点，若k AP ⋅k BP =定值或k AP +k BP =定值(不为0)，则直线AB 会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)．补充：若y =kx +m 过定点，则k AP ⋅k BP =定值，k AP +k BP k=定值.2020·新高考1卷·22C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．题型一已知定点求定值C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．椭圆E:x22+y2=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A(0,-1)，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．A1,3 2，O为坐标原点，E，F是椭圆C:x24=y23=1上的两个动点，满足直线AE与直线AF关于直线x=1对称．证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值；点F(1,0)为椭圆x24+y23=1的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于C､D两点(C在D的上方)，设点A､B是椭圆E上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.:x22+y2=1，A0,-1，经过点1,1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2．C ：x 24+y 23=1，过F 作斜率为k (k ≠0)的动直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，若A 为椭圆C 的左顶点，直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k k 1+k k 2为定值，并求出定值.题型二已知定值求定点全国卷理)已知椭圆x 24+y 2=1，设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．C:x24+y2=1，设直线l不经过点P2(0,1)且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点．C：y2=2px(p>0)上的点P(1，y0)(y0>0)到其焦点的距离为2．(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；(2)若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN=-12，证明：直线MN过定点.C :x 24+y 23=1，P 1,32 ，若直线l 交椭圆C 于A ，B (A ，B 异于点P )两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为-94，求点P 到直线l 距离的最大值．E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，椭圆E 的短轴长等于4．(1)求椭圆E 的标准方程；x 26+y 24=1(2)设A 0,-1 ，B 0,2 ，过A 且斜率为k 1的动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交⊙C ：x 2+y -1 2=1于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为k 2，直线BM ，BN 的斜率分别为k 3，k 4．①求证：k 3⋅k 4为定值； ②求证：直线PQ 过定点.圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)1.真题回顾2020新高考I 卷2.题型梳理题型1：已知定点求定值题型2：已知定值求定点【例题】已知椭圆x 24+y 2=1，设直线l 不经过P 2(0,1)点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．Q (2,-1)【平移+齐次化处理】Step 1：平移点P 到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理将椭圆向下平移一个单位，(为了将P 2(0,1)平移到原点)椭圆方程化为C :x 24+(y +1)2=1，(左加右减，上减下加为曲线平移)设直线l 对应的直线l ′为mx +ny =1，椭圆方程化简为14x 2+y 2+2y =0，把一次项化成二次结构，将2y 乘上mx +ny 即可此时椭圆方程变成：14x 2+y 2+2y mx +ny =0⇒2n +1 y 2+2mxy +14x 2=0Step 2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m ，n 之间的关系由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为-1，而P 2点此时为原点，设平移后的A (x A ,y A ),B (x B ,y B )，即y A -0x A -0+y B -0x B -0=-1,将椭圆方程两边同除以x 2，令k =y x ，得2n +1 k 2+2mk +14=0，结合两直线斜率之和为-1，即k 1+k 2=-2m 2n +1=-1，得2m =2n +1，∴m -2n =1，Step 3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!∴直线l ′恒过点Q ′(2,-2)，向上平移一个单位进行还原在原坐标系中，直线l 过点Q (2,-1)．【手电筒模型·1定+2动】直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，P (x 0,y 0)为椭圆上异于AB 的任意一点，若k AP ⋅k BP =定值或k AP +k BP =定值(不为0)，则直线AB 会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)．补充：若y =kx +m 过定点，则k AP ⋅k BP =定值，kAP +k BP k=定值.【坐标平移+齐次化处理】(左加右减，上减下加为曲线平移)Step 1：平移点P 到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理Step 2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m ，n 之间的关系，Step 3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!【补充】椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),P (x 0,y 0)是椭圆上一点，A ，B 为随圆E 上两个动点，PA 与PB 的斜率分别为k 1，k 2.(1)k 1+k 2=0，证明AB 斜率为定值:x 0y 0⋅b 2a2(y ≠0)；(2)k 1+k 2=t (t ≠0)，证明AB 过定点：x 0-2y 0t,-y 0-2x 0t ⋅b 2a2 ；(3)k 1⋅k 2==b 2a 2，证明AB 的斜率为定值-y 0x 0(x 0≠0)；(4)k 1⋅k 2=λλ≠b 2a 2 ，证明AB 过定点：x 0λa 2+b 2λa 2-b 2,-y 0λa 2+b 2λa 2-b 2 .以上称为手电筒模型，注意点P 不在椭圆上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“12”2020·新高考1卷·22C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【详解】(1)由题意可得：c a =224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1.(2)[方法一]：通性通法设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +m ，代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，可得x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2，因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0，根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0，所以k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km 1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k +m -1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13k ≠1 ，所以直线过定点直线过定点P 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ，由AM ·AN=0得：x 1-2 x 1-2 +y 1-1 -y 1-1 =0，得x 1-2 2+1-y 21=0，结合x 216+y 213=1可得：3x 12-8x 1+4=0，解得：x 1=23或x 2=2(舍).此时直线MN 过点P 23,-13 .令Q 为AP 的中点，即Q 43,13，[方法二]【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x +2)26+(y +1)23=1，设直线MN 的方程为mx +ny =4．将直线MN 方程与椭圆方程联立得x 2+4x +2y 2+4y =0，即x 2+(mx +ny )x +2y 2+(mx +ny )y =0，化简得(n +2)y 2+(m +n )xy +(1+m )x 2=0，即(n +2)y x 2+(m +n )yx +(1+m )=0．设M x 1 ,y 1 ,N x 2,y 2 ，因为AM ⊥AN 则k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=m +1n +2=-1，即m =-n -3．代入直线MN 方程中得n (y -x )-3x -4=0．则在新坐标系下直线MN 过定点-43,-43，则在原坐标系下直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13 ，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法三]：建立曲线系A 点处的切线方程为2×x6+1×y 3=1，即x +y -3=0．设直线MA 的方程为k 1x -y -2k 1+1=0，直线MB 的方程为k 2x -y -2k 2+1=0，直线MN 的方程为kx -y +m =0．由题意得k 1⋅k 2=-1．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA ,MB 可表示为x 26+y 23-1+λk 1x -y - 2k 1+1 k 2x -y -2k 2+1 =0(其中λ为系数)．用直线MN 及点A 处的切线可表示为μ(kx -y +m )⋅(x +y -3)=0(其中μ为系数)．即x 26+y 23-1+λk 1x -y -2k 1+1 k 2x - y -2k 2+1 =μ(kx -y +m )(x +y -3)．对比xy 项、x 项及y 项系数得λk 1+k 2 =μ(1-k ),①λ4+k 1+k 2 =μ(m -3k ),②2λk 1+k 2-1 =μ(m +3).③将①代入②③，消去λ,μ并化简得3m +2k +1=0，即m =-23k -13．故直线MN 的方程为y =k x -23 -13，直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13 ，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法四]：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．若直线MN 的斜率不存在，则M x 1,y 1 ,N x 1,-y 1 ．因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=0，即x 1-2 2+1-y 21=0．由x 216+y 213=1，解得x 1=23或x 1=2(舍)．所以直线MN 的方程为x =23．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ，则x 2+2(kx +m )2-6=1+2k 2x -x 1 x -x 2 =0．令x =2，则x 1-2 x 2-2 =2(2k +m -1)(2k +m +1)1+2k 2．又y -m k 2+2y 2-6=2+1k 2y -y 1 y -y 2 ，令y =1，则y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(-2k +m -1)1+2k 2．因为AM ⊥AN ，所以AM ⋅AN =x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(2k +3m +1)1+2k 2=0，即m =-2k +1或m =-23k -13．当m =-2k +1时，直线MN 的方程为y =kx -2k +1=k (x -2)+1．所以直线MN 恒过A (2,1)，不合题意；当m =-23k -13时，直线MN 的方程为y =kx -23k -13=k x -23-13，所以直线MN 恒过P 23,-13．综上，直线MN 恒过P 23,-13，所以|AP |=423．又因为AD ⊥MN ，即AD ⊥AP ，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为Q 43,13 ，则|DQ |=12|AP |=223．所以存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【整体点评】(2)方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为mx +ny =4，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出m ,n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线MN :y =kx +m ，再利用过点A ,M ,N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出m ,k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解x 1-2 x 2-2 以及y 1-1 y 2-1 的计算．题型一已知定点求定值C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x 2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.A 1,32 ，O 为坐标原点，E ，F 是椭圆C :x 24=y 23=1上的两个动点，满足直线AE 与直线AF 关于直线x =1对称．证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值；【答案】(提示：k 1+k 2=0答案：12)点F (1,0)为椭圆x 24+y 23=1的右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆E 相交于C ､D 两点(C 在D 的上方)，设点A ､B 是椭圆E 上位于直线CD 两侧的动点，且满足∠ACD =∠BCD ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.解法1常规解法依题意知直线AB 的斜率存在，设AB 方程：y =kx +m A x 1,y 1 ，B x 2,y 2代入椭圆方程x 24+y 23=1得：4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2-12=0(*)∴x 1+x 2=-8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2-124k 2+3由∠ACD =∠BCD 得k AC +k BC =0∵C 1,32 ，∴y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=kx 1+m -32x 1-1+kx 2+m -32x 2-1=0∴2kx 1x 2+m -32-k x 1+x 2 -2m +3=0∴2k ⋅4m 2-124k 2+3+m -32-k -8km 4k 2+3-2m +3=0整理得：(6k -3)(2k +2m -3)=0∴2k +2m -3=0或6k -3=0当2k +2m -3=0时，直线AB 过定点C 1,32，不合题意∴6k -3=0，k =12，∴直线AB 的斜率是定值12解法2齐次化：设直线AB 的方程为m (x -1)+n y -32 =1椭圆E 的方程即：3[(x -1)+1]2+4y -32 +322=12即：4y -32 2+12y -32+6(x -1)+3(x -1)2=0联立得：(4+12n )y -32 2+(12m +6n )y -32 (x -1)+(6m +3)(x -1)2=0即(4+12n )y -32x -1 2+(12m +6n )y -32x -1+(6m +3)=0∴由∠ACD =∠BCD 得k AC +k BC =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=-(12m +6n )(4+12n )=0即：n =-2m∴直线AB 的斜率为-m n =12，是定值.:x 22+y 2=1，A 0,-1 ，经过点1,1 ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．解法1常规解法：证明：由题意设直线PQ 的方程为y =k x -1 +1k ≠0 ，代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得1+2k 2 x 2-4k k -1 x +2k k -2 =0，由已知得1,1 在椭圆外，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，x 1x 2≠0，则x 1+x 2=4k k -1 1+2k 2，x 1x 2=2k k -21+2k 2，且Δ=16k 2k -1 2-8k k -2 1+2k 2 >0，解得k >0或k <-2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2=2k +2-k 1x 1+1x 2=2k +2-k ⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +2-k ⋅4k k -12k k -2=2k -2k -1 =2．即有直线AP 与AQ 斜率之和2．解法2齐次化：上移一个单位，椭圆E和直线L:x 22+y -1 2=1mx +ny =1，mx +ny =1过点1,2 ，m +2n =1，m =1-2n ，x 2+2y -1 2=2，x 2+2y 2-4y =0，2y 2+x 2-4y mx +ny =0，-4n +2 y2-4mxy +x 2=0，∵x ≠0，同除x 2，得-4n +2 y x2-4m yx+1=0，k 1+k 2=-4m -4n +2=2m 1-2n =2mm=2．C ：x 24+y 23=1，过F 作斜率为k (k ≠0)的动直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，若A 为椭圆C 的左顶点，直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k k 1+kk 2为定值，并求出定值.将椭圆沿着AO 方向平移，平移后的椭圆方程为(x −2)24+y 23=1⇒x 24+y 23+x =0设直线MN 方程为mx +ny =1，代入椭圆方程得x 24+y 23+x (mx +ny )=0，两侧同时除以x 2得13y x 2−n y x +1−4m 4=0，k 1+k 2=3n ,k 1k 2=34−3m ,k =k MN=−mn，因为mx +ny =1过定点F (3,0)⇒m =13，所以k k 1+kk 2=4题型二已知定值求定点全国卷理)已知椭圆x 24+y 2=1，设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．(1)根据椭圆的对称性，P 3-1,32 ，P 41,32两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 11,1 ，∴P 20,1 ，P 3-1,32 ，P 41,32 三点在椭圆C 上，把P 20,1 ，P 3-1,32 代入椭圆C ，得：1b 2=11a 2+34b2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)：解法1常规解法:①当斜率不存在时，设l :x =m ，A m ,y A ，B m ,-y A ，∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，∴k P 2A +k P 2B =y A -1m +-y A -1m =-2m=-1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l :y =kx +t ，t ≠1 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +tx 2+4y 2-4=0，整理，得1+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-4=0，x 1+x 2=-8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2-41+4k 2，则k P 2A+k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1+t -x 2+x 1kx 2+t -x 1x 1x 2=8kt 2-8k -8kt 2+8kt1+4k 24t 2-41+4k 2=8k t -14t +1 t -1=-1，又t ≠1，∴t =-2k -1，此时Δ=-64k ，存在k ，使得Δ>0成立，∴直线l 的方程为y =kx -2k -1，当x =2时，y =-1，∴l 过定点2,-1 ．解法2齐次化：下移1个单位得E :x 24+y +1 2=1⇒x 24+y 2+2y =0，设平移后的直线：A B :mx +ny =1，齐次化：x 2+4y 2+8y mx +ny =0，8n +4 y 2+8mxy +x 2=0，∵x ≠0同除以x 2，8n +4 y x 2+8m y x +1=0，8n +4 k 2+8mk +1=0，k 1+k 2=-8m 8n +4=-1，8m =8n +4，2m -2n =1，∴mx +ny =1过2,-2 ，上移1个单位2,-1 ．C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．不平移齐次化【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m1+2n =-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．C ：y 2=2px (p >0)上的点P (1，y 0)(y 0>0)到其焦点的距离为2．(1)求点P 的坐标及抛物线C 的方程；(2)若点M 、N 在抛物线C 上，且k PM •k PN =-12，证明：直线MN 过定点.答案：(2)(9，-2)C :x 24+y 23=1，P 1,32 ，若直线l 交椭圆C 于A ，B (A ，B 异于点P )两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为-94，求点P 到直线l 距离的最大值．解法1齐次化：公共点P 1,32 ，左移1个单位，下移32个单位，C :x +124+y +3223=1A B:mx +ny =1，3x 2+6x +4y 2+3y =0，4y 2+3x 2+6x +2y mx +ny =0，12n +4 y 2+62m +n xy +6m +3 x 2=0，等式两边同时除以x 2，12n +4 y x2+62m +n yx+6m +3 =0，k PA ⋅k PB =-94，6m +312n +4=-94，-12m -94n =1，mx +ny =1过-12,-94 ，右移1个单位，上移32个单位，过Q 12,-34，∴P 到直线l 的距离的最大值为PQ 的值为1-12 2+32--34 2=854，由于854>12，∴点P 到直线l 距离的最大值854已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，椭圆E 的短轴长等于4．由k 3⋅k 4=k BP ⋅k BQ ，即t -t 2=-2,∴t =22+83,此时Δ2=4 k 29>0，∴PQ 的方程为y =k x +22(1)求椭圆E 的标准方程；x 6+y 24=1(2)设A 0,-1，B 0,2，过A 且斜率为k 1的动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交⊙C ：x 2+ y -12=1于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为k 2，直线BM ，BN 的斜率分别为k 3，k 4．①求证：k 3⋅k 4为定值；②求证：直线PQ 过定点.3答案：(2)-2；(3) 0,2【小问1详解】4c=33 由题意 a b 2+c 2=a 22b = 解得2==ba c =2所以椭圆的标准方程为：x 6+62y 24=1；【小问2详解】2①设MN 的方程为y =k 1x -1，与x 6+y 24=1联立得： 3k 2 1+2x 2-6k 1x -9=0，x 1+x 2=6k 13k 21+293k 21+2 1+1>0设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1x 2=- Δ1=72 2k 2，∴k 3⋅k 4=y 1-2x 1⋅y 2-2x 2= k 1x 1-3 2x 2-3 k x 1x 2=k 21x 1x 2-3k 1(x 1+x 2)+9x 1x 2=-2【法二】平移坐标系+齐次化处理将坐标系中的图像整体向下平移2个单位，2平移后的椭圆方程为：x 6+ 22y +4=1，整理得：2x 2+3y 2+12y =0，设平移后的直线MN 的方程为：mx +ny =1，代入点 0,-3得mx -y3=1，y则有2x 2+3y 2+12y mx - 3=0，整理得：-y 2+12mxy +2x 2=0y令k =x，将-y 2+12mxy +2x 2=0两边同除x 2，得-k 2+12mk +2=0，故k 3⋅k 4=-2y m '说明：因为平移后k 3=x m 'y n '，k 4=x n '，而式子-y 2+12mxy +2x 2=0中x ，y 的值对应平移后的m '和n '所以同除x 2后得到的就是一个以k 3和k 4为根一个关于k 的一元二次方程．②设PQ 的方程为y =k 2x +t ，与x 2+ y -12=1联立 k 22+1x 2+2k 2 t -1x +t t -2=0，2k 2t -1k 22+1t -2tk 22+1 2-t 2+2t >0设P (x 3,y 3)，Q (x 4,y 4)则 x 3x 4= Δ2=4 k 2 x 3+x 4=-∴k BP ⋅k BQ =y 3-2x 3⋅y 4-2x 4= k 2x 3+t -2 2x 4+t -2 k x 3x 4=k 22x 3x 4+k 2 t -2 x3+x 4+ t -22x 1x 2=k 2 2t t -2-2k 2 2 t -2 t -1+ k 2 2+1 t -22t t -2=k 22t -2k 22 t -1 2+1 t -2 + k 2t =t -2t ，故直线PQ 恒过定点0，2.破解离心率问题之建立齐次式和几何化一．选择题(共9小题)1如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为()A.63B.233C.12D.222如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，且PF 1=3F 1Q ，若PF 2垂直于x 轴，则椭圆C 的离心率为()A.13B.12C.33D.323设F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．圆x 2+y 2=a 2+b 2与双曲线C 的右支交于点A ，且2|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为()A.125B.135C.132D.134如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且F 2Q =2F 1P，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.3755设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2．若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=5:4:2，则曲线Γ的离心率等于()A.43或12B.43或34C.2或47D.43或476设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，AF 2⊥x 轴，若|AF 1|，|AF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则椭圆的离心率为()A.13B.19C.223D.247如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且F 1P =13F 2Q，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.3758如图，已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该双曲线离心率e 的取值范围为()A.[2,3+1]B.[3,2+3]C.[2,2+3]D.[3,3+1]9已知在菱形ABCD 中，∠BCD =60°，曲线C 1是以A ，C 为焦点，且经过B ，D 两点的椭圆，其离心率为e 1；曲线C 2是以A ，C 为焦点，渐近线分别和AB ，AD 平行的双曲线，其离心率为e 2，则e 1e 2=()A.12B.33C.1D.233二．多选题(共1小题)10已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N :x 2m 2-y 2n2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()A.椭圆的离心率e =3-1B.双曲线的离心率e =2C.椭圆上不存在点A 使得AF 1 ⋅AF 2<0 D.双曲线上存在点B 使得BF 1 ⋅BF 2<0三．填空题(共9小题)11已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N :x 2m 2-y 2n2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为．12如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点为M ，且OT =3OM则该椭圆的离心率为．13如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是．14如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，B，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，且直线CD的斜率为12，则该椭圆的离心率为．15如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆E的离心率等于．ABCO xy16已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，若(F2A+F2B)∙AB=0，则该双曲线C的离心率为．17已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A 是圆O:x2+y2=c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，且有|F2A|=a，AB=23AF2，则双曲线C的离心率是．18设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=6:5:4，则曲线C的离心率等于．19已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足AF∙BF=0，且∠ABF=π6，则双曲线的离心率e的值是．破解离心率问题之建立齐次式和几何化一．选择题(共9小题)1如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为()A.63B.233C.12D.22【解答】解：设右焦点F (c ,0)，将y =b 2代入椭圆方程可得x =±a 1-b 24b2=±32a ，可得B -32a ，b 2 ，C 32a ，b2，由∠BFC =90°，可得k BF ∙k CF =-1，即有b2-32a -c ∙b232a -c =-1，化简为b 2=3a 2-4c 2，由b 2=a 2-c 2，即有3c 2=2a 2，由e =c a ，可得e 2=c 2a2=23，可得e =63，故选：A ．2如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，且PF 1=3F 1Q ，若PF 2垂直于x 轴，则椭圆C 的离心率为()A.13B.12C.33D.32【解答】解：设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，设P (m ,n )，n >0，由PF 2垂直于x 轴可得m =c ，由n 2=b 21-c 2a 2=b 4a2，可得n =b 2a ，设Q (s ,t )，由PF 1 =3F 1Q ，可得-c -c =3(s +c )，-b 2a=3t ，解得s =-53c ，t =-b23a，将Q -53c ，-b 23a 代入椭圆方程可得259⋅c 2a 2+b 29a2=1，即25c 2+a 2-c 2=9a 2，即有a 2=3c 2，则e =c a =33，故选：C ．3设F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．圆x 2+y 2=a 2+b 2与双曲线C 的右支交于点A ，且2|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为()A.125B.135C.132D.13【解答】解：可设A 为第一象限的点，且|AF 1|=m ，|AF 2|=n ，由题意可得2m =3n ，①由双曲线的定义可得m -n =2a ，②由勾股定理可得m 2+n 2=4(a 2+b 2)，③联立①②③消去m ，n ，可得：36a 2+16a 2=4a 2+4b 2，即b 2=12a 2，则e =c a =1+b 2a2=1+12=13，故选：D ．4如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且F 2Q =2F 1P，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.375【解答】解：设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由x 2+y 2=a 2+b 2=c 2x 2a2-y 2b2=1整理可得：(b 2+a 2)x 2=a 2c 2+a 2b 2，即c 2x 2=a 2(a 2+b 2)+a 2b 2=a 2(a 2+2b 2)，因为点P 是双曲线与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第二象限的一个交点，所以x p =-a a 2+2b 2c，y 2=c 2-x 2=c 2-a 2c 2+a 2b 2c 2=c 4-a 2c 2-a 2b 2c 2=c 2(c 2-a 2)-a 2b 2c 2=(c 2-a 2)b 2c 2=b 4c 2，所以点P 坐标为-a a 2+2b 2c ,b 2c，设点Q (m ,n )，则F 1P =c -a a 2+2b 2c ,b 2c，F 2Q=(m -c ,n )，由F 2Q =2F 1P可得2c -2a a 2+2b 2c =m -c n =2b 2c ，所以m =3c -2a a 2+2b 2c n =2b 2c，因为点Q (m ,n )在双曲线x2a 2-y 2b 2=1上，所以3c -2a a 2+2b 2c2a 2-2b 2c2b 2=1，整理可得：9c 2a 2-12b 2+c 2a +4(b 2+c 2)c 2-4b 2c2=1，所以9c 2a 2=12b 2+c 2a -3，即3c 2a2+1=4b 2+c 2a ，两边同时平方可得：9c 4a4+6c 2a 2+1=16b 2+16c 2a 2=16c 2-16a 2+16c 2a 2=32c 2a 2-16，所以9c 4a4-26c 2a 2+17=0，即9e 4-26e 2+17=0，(9e 2-17)(e 2-1)=0，可得：e 2=179或e 2=1(舍)，所以e =173，故选：B ．5设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2．若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=5:4:2，则曲线Γ的离心率等于()A.43或12B.43或34C.2或47D.43或47【解答】解：由题意可设：|PF 1|=5t ，|F 1F 2|=4t ，|PF 2|=2t (t >0)．当圆锥曲线Γ为椭圆时，2c =|F 1F 2|=4t ，2a =|PF 1|+|PF 2|=7t ．∴离心率e =c a =47；当圆锥曲线Γ为双曲线时，2c =|F 1F 2|=4t ，2a =|PF 1|-|PF 2|=3t ，∴离心率e =c a =43．综上可知，圆锥曲线Γ的离心率为43或47．故选：D ．6设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，AF 2⊥x 轴，若|AF 1|，|AF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则椭圆的离心率为()A.13B.19C.223D.24【解答】解：∵|AF 1|，|AF 2|，|F 1F 2|成等差数列，∴2|AF 2|=|AF 1|+|F 1F 2|，由椭圆定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a ，∴|AF 2|=b 2a ，|AF 1|=2a -b 2a ，4c 2+b 2a 2 =2a -b 2a 4，2b 2a =2a -b 2a +2c ，可得3e 2+2e -1=0，所以椭圆的离心率e =13；故选：A ．7如图，F 1，F2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且F 1P =13F 2Q，则双曲线的离心率为()A.102B.173C.394D.375【解答】解：F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，联立x 2+y 2=a 2+b 2=c 2x 2a2-y 2b2=1，解得x 2=(a 2+2b 2)a 2c 2y 2=b 4c 2，∵P 在第二象限，∴P -a c a 2+2b 2,b 2c，设Q (m ,n )，则F 1P =c -a c a 2+2b 2,b 2c，F 2Q =(m -c ,n )，由F 1P =13F 2Q ，得13(m -c )=c -a a 2+2b 2c ，13n =b 2c ，∴m =4c -3a a 2+2b 2c ，n =3b 2c，又m 2a 2-n 2b 2=1，∴16c 2a 2-24c 2+b 2a +9(c 2+b 2)c 2-9b 2c2=1，化简得：4c 4a 4-14c2a 2+10=0，即2e 4-7e 2+5=0，解得：e 2=52或e 2=1(舍)．可得e =102(e >1)．故选：A ．8如图，已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该双曲线离心率e 的取值范围为()A.[2,3+1]B.[3,2+3]C.[2,2+3]D.[3,3+1]【解答】解：在Rt ΔABF 中，|OF |=c ，∴|AB |=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =α，可得|AF |=2c sin α，|BF |=2c cos α，取左焦点F ，连接AF ，BF ，可得四边形AFBF 为矩形，∴||BF |-|AF ||=|AF |-|AF |=2c |cos α-sin α|=2a ，∴e =c a =1|cos α-sin α|=12cos α+π4，∵π12≤α≤π6,∴π3≤α+π4≤5π12，∴cos α+π4 ∈6-24,12 ,2cos α+π4 ∈3-12,22，∴e ∈[2,3+1]，故选：A ．9已知在菱形ABCD 中，∠BCD =60°，曲线C 1是以A ，C 为焦点，且经过B ，D 两点的椭圆，其离心率为e 1；曲线C 2是以A ，C 为焦点，渐近线分别和AB ，AD 平行的双曲线，其离心率为e 2，则e 1e 2=()A.12B.33C.1D.233【解答】解：∵∠BCD =60°，∴∠BCA =30°，设OB =1，则BC =2，OC =3，∵椭圆C 1是以A ，C 为焦点，且经过B ，D 两点的椭圆，∴c =OC =3，2a =BA +BC =2+2=4，得a =2，则椭圆的离心率为e 1=c a =32，则双曲线C 2是以A ，C 为焦点渐近线分别和AB ，AD 平行的双曲线，则双曲线中c =OC =3，AB 的斜率k =tan30°=33，即b a =33，则b 2a 2=13，即c 2-a 2a 2=c 2a 2-1=13，得e 22=13+1=43，则e 2=43=23，则e 1e 2=32×23=1，故选：C ．二．多选题(共1小题)10已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N :x 2m 2-y 2n2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()A.椭圆的离心率e =3-1B.双曲线的离心率e =2C.椭圆上不存在点A 使得AF 1 ⋅AF 2<0D.双曲线上存在点B 使得BF 1 ⋅BF 2<0【解答】解：椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N :x 2m 2-y 2n2=1，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆的右焦点坐标(c ,0)，则正六边形的一个顶点c 2,3c2，对于A ．将c 2,3c 2 代入椭圆方程，得：c 24a 2+3c 24b 2=1，结合e 1=c a,a 2=b 2+c 2，可得e 41-8e 21+4=0，因为e 1∈(0,1)，解得e 1=3-1，故A 正确；对于B ．把c 2,3c 2 代入双曲线的渐近线方程y =n m x (不妨设m >0，n >0)，得32c =n m ×12c ，所以n m=3，则双曲线的离心率e 2=1+n m2=2，故B 正确；对于C ．当A 点是短轴的端点时，∠F 1AF 2最大，由c a =3-1，得c 2a 2=4-23，又c 2=a 2-b 2，从而可得b 2a 2=23-3，c 2b2=4-2323-3=233>1，所以c >b ，则12∠F 1AF 2>π4，即∠F 1AF 2>π2，所以AF 1 ．AF 2 <0，故C 错误；对于D ．当B 点在实轴的端点时，向量BF 1 与向量BF 2 夹角为π，此时，BF 1 ．BF 2<0，故D 正确；故选：ABD ．三．填空题(共9小题)11已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N :x 2m 2-y 2n2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为 2(3-1) ．【解答】解：不妨设m ，n >0，可设椭圆的焦点坐标F (-c ,0)，C (c ,0)，正六边形的一个顶点B 12c ，32c，由|FB |+|CB |=2a ，即c +3c =2a ，解得椭圆的e 1=c a =23+1=3-1；双曲线的渐近线的斜率为tan60°=3，即nm=3，可得双曲线的离心率为e 2=1+n 2m2=1+3=2．即有椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为2(3-1)．故答案为：2(3-1)．12如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点为M ，且OT =3OM则该椭圆的离心率为 5-172 ．【解答】解：直线A 1B 2的方程为y =b a x +b ，直线B 1F 的方程为y =bcx -b ，联立方程组y =ba x +by =b c x -b，解得T 2ac a -c ，ab +bca -c ．∵OT =3OM，∴M2ac 3(a -c )，ab +bc 3(a -c )，把M 代入椭圆方程得：4a 2b 2c 29(a -c )2+a 2b 2(a +c )29(a -c )2=a 2b 2，即4c 2+(a +c )2=9(a -c )2，化简得：2a 2+c 2-5ac =0，∴e 2-5e +2=0，解得e =5-172或e =5+172(舍去)．故答案为：5-172．13如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是 5-12 ．【解答】解：F (c ,0)，A (a ,0)，B 1(0,-b )，B 2(0,b )，∴FB 2 =(-c ,b )，B 1A =(a ,b )，∵B 2F ⊥AB 1，∴FB 2 ∙B 1A=-ac +b 2=0，∴a 2-c 2-ac =0，化为：e 2+e -1=0，0<e <1．解得e =5-12，故答案为：5-12．14如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 与椭圆的另一个交点为D ，且直线CD 的斜率为12，则该椭圆的离心率为 22 ．【解答】解：由题意可得B (0,b )，C (0,-b )，F (c ,0)，由直线BF 的方程bx +cy =bc 代入椭圆方程b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，消去y ，可得x =2a 2ca 2+c 2，y =b (c 2-a 2)c 2+a 2，即为D 2a 2c a 2+c 2，b (c 2-a 2)c 2+a2，直线CD 的斜率为12，可得b (c 2-a 2)+b (c 2+a 2)2a 2c=12，即有a 2=2bc ，由a 2=b 2+c 2，可得b =c =22a ，即e =c a =22．故答案为：22．15如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 位椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点，点B 、C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB =45°，则椭圆E 的离心率等于 63 ．A B CO xy【解答】解：∵AO 是与x 轴重合的，且四边形OABC 为平行四边形，∴BC ⎳OA ，则B 、C 两点的纵坐标相等，B 、C 的横坐标互为相反数，∴B 、C 两点是关于y 轴对称的．由题知：OA =a四边形OABC 为平行四边形，则BC =OA =a ，可设B -a 2，y C a 2，y ，代入椭圆方程解得：|y |=32b ，设D 为椭圆的右顶点，由于∠OAB =45°，四边形OABC 为平行四边形，则∠COx =45°，对C 点：tan45°=32b a 2=1，解得a =3b ，根据a 2=c 2+b 2得a 2=c 2+13a 2，即有c 2=23a 2，e 2=23，即e =63．故答案为：63．16已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，若(F 2A +F 2B )∙AB =0，则该双曲线C 的离心率为 3 ．【解答】解：法1(代数法)：因为l 与⊙O :x 2+y 2=a 2相切，所以直线斜率k =±a b，由对称性不妨考虑k =a b 情形．又双曲线C 的渐近线方程为y =±b ax ，则l 垂直其中一条渐近线，故l 与一渐近线的交点A ，即为该渐近线与⊙O 在第二象限的交点，可得A -a 2c ,ab c ，如图，设AB 中点为M ，由(F 2A +F 2B )∙AB =0，即2F 2M ∙AB =0，则有F 2M ⊥l ，又OA ⊥l ，故OA ⎳F 2M ，且O 为F 1F 2的中点，所以A 为F 1M 的中点，则A ，M 三等分F 1B ，由F 1B =3F 1A ，得B 3b 2c -c ,3ab c，由B 在另一渐近线y =b ax 上，即有3ab c =b a 3b 2c-c ，则c 2=3a 2，故离心率e =3．法2(几何法)：设∠BOF 2=θ，则∠AOB =π-2θ，由题意易知|AF 1|=b ，|AB |=2b ，在Rt ΔOAB 中，tan ∠AOB =tan (π-2θ)=2b a ，又tan θ=b a ，则有-2b a1-b a 2=2b a，即b 2=c 2-a 2=2a 2，故离心率e =3．法3(参数方程法)：直线l 的参数方程为x =-c +b c t y =a c t (t 为参数)，代入y =b a x ，可得B 对应的参数t B =bc 2b 2-a 2又A 对应的参数t A =b ，由(F 2A +F 2B )∙AB =0及l 与⊙O :x 2+y 2=a 2相切，可知F 1B =3F 1A ，即t B =3t A ，则bc 2b 2-a2=3b ，则有c 2=3a 2，故离心率e =3．故答案为：3．17已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，c 是双曲线C 的半焦距，点A 是圆O :x 2+y 2=c 2上一点，线段F 2A 交双曲线C 的右支于点B ，且有|F 2A |=a ，AB =23AF 2 ，则双曲线C 的离心率是 62 ．【解答】解：由|F 2A |=a ，AB =23AF 2 ，可得|AB |=23a ，|BF 2|=13a ，由双曲线的定义可得|BF 1|=2a +13a =73a ，在直角三角形ABF 1中，|AF 1|2=|BF 1|2-||AB 2=499a 2-49a 2=5a 2， 在直角三角形AF1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即为4c 2=5a 2+a 2=6a 2，则e =c a =62．故答案为：62．18设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=6:5:4，则曲线C 的离心率等于 12或52 ．【解答】解：∵|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=6:5:4，∴|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，①若圆锥曲线C 是椭圆，则2a =4c ，∴e =c a =12；②若圆锥曲线C 是双曲线，则e =2c 2a =|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=56-4=52．故答案为：12或52．19已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AF ∙BF =0，且∠ABF =π6，则双曲线的离心率e 的值是 1+3 ．【解答】解：AF ∙BF =0，可得AF ⊥BF ，在Rt ΔABF 中，|OF |=c ，∴|AB |=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =π6，可得|AF |=2c sin π6=c ，|BF |=2c cos π6=3c ，取左焦点F ，连接AF ，BF ，可得四边形AFBF 为矩形，∴||BF |-|AF ||=|AF |-|AF |=3c -c =2a ，∴e =c a =23-1=3+1．故答案为：3+1．。
2020高考数学技巧圆锥曲线解题十招
2020高考数学技巧圆锥曲线解题十招
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius，前262~前190）。
他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。
全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020高考数学必胜秘诀（八）圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视〝括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的〝绝对值〞与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ﹥|F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
如〔1〕定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 〔答：C 〕；〔2〕方程8=表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且〝点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P 〔x ,y 〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 〔0a b >>〕⇔{cos sin x a y b ϕϕ==〔参数方程，其中ϕ为参数〕，焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1〔0a b >>〕。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 〕。
如〔1〕方程12322=-++ky k x 表示椭圆，那么k 的取值范畴为____〔答：11(3,)(,2)22---〕；〔2〕假设R y x ∈,，且62322=+y x ，那么y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2〕〔2〕双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1〔0,0a b >>〕。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC ≠0，且A ，B 异号〕。
如〔1〕双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：2214x y -=〕；〔2〕设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，那么C 的方程为_______〔答：226x y -=〕〔3〕抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判定〔第一化成标准方程，然后再判定〕：〔1〕椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么m 的取值范畴是__〔答：)23,1()1,( --∞〕〔2〕双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；〔3〕抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
专门提醒：〔1〕在求解椭圆、双曲线咨询题时，第一要判定焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线咨询题时，第一要判定开口方向；〔2〕在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质： 〔1〕椭圆〔以12222=+by a x 〔0a b >>〕为例〕：①范畴：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心〔0,0〕，四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
如〔1〕假设椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，那么m 的值是__〔答：3或325〕；〔2〕以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，那么椭圆长轴的最小值为__〔答：22〕〔2〕双曲线〔以22221x y a b -=〔0,0a b >>〕为例〕：①范畴：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心〔0,0〕，两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，专门地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a=±。
如〔1〕双曲线的渐近线方程是023=±y x ，那么该双曲线的离心率等于______〔答：2或3〕；〔2〕双曲线221ax by -=的:a b = 〔答：4或14〕；〔3〕设双曲线12222=-by a x 〔a>0,b>0〕中，离心率e ∈[2,2],那么两条渐近线夹角θ的取值范畴是________〔答：[,]32ππ〕； 〔3〕抛物线〔以22(0)y px p =>为例〕：①范畴：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点〔0,0〕；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a=，抛物线⇔1e =。
如设R a a ∈≠,0，那么抛物线24ax y =的焦点坐标为________〔答：)161,0(a 〕； 5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x 〔0a b >>〕的关系：〔1〕点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；〔2〕点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；〔3〕点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：〔1〕相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
如〔1〕假设直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，那么k 的取值范畴是_______〔答：(-315,-1)〕；〔2〕直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，那么m 的取值范畴是_______〔答：[1，5〕∪〔5，+∞〕〕；〔3〕过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，假设│AB ︱＝4，那么如此的直线有_____条〔答：3〕；〔2〕相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；〔3〕相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。
专门提醒：〔1〕直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
假如直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；假如直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；〔2〕过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分不与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在如此的直线；〔3〕过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如〔1〕过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，如此的直线有______〔答：2〕；〔2〕过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范畴为______〔答：4,3⎧⎪±⎨⎪⎪⎩⎭〕；〔3〕过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，假设=AB 4，那么满足条件的直线l 有____条〔答：3〕；〔4〕关于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，假设点),(00y x M 在抛物线的内部，那么直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______〔答：相离〕；〔5〕过抛物线xy 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，假设线段PF 与FQ 的长分不是p 、q ，那么=+qp 11_______〔答：1〕；〔6〕设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分不于R Q P ,,，那么PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) 〔答：等于〕；〔7〕求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x ；〔8〕直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。