排队问题数学建模
数学建模：排队论2
无顾客
无顾客
n
无顾客 1 个顾客
n
1 个顾客 无顾客
n
1 个顾客 1 个顾客
n
9
上述四种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
概率
A
n
无顾客 无顾客 pn (t )(1 t )(1 t )
B
n+1
无顾客 1 个顾客 pn1(t )(1 t )t
时刻 t 顾客数
0 1 0
区间[ t，t + △t )
时刻 t + △t
到达顾客 离开顾客 顾客数
无顾客
无顾客
0
无顾客 1 个顾客
0
1 个顾客 1 个顾客
0
16
上述三种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
A
0
无顾客
无顾客
B
1
无顾客 1 个顾客
D
0
12
dpn (t ) dt
pn1(t )
pn1(t )
(
)
pn (t )
解上述方程的解是很困难的。这里只研究系统达到平
稳状态的情况，即系统运行了无限长时间之后，状态
概率分布不再随时间变化，显然此时 dpn (t ) 0
dt
13
由此可得，当 n≥1 时：
pn1 pn1 ( ) pn 0，n 1
第四节 单服务台负指数分 布排队系统
讨论单服务台的排队系统，并设定： 顾客到达过程服从泊松分布。 顾客服务时间服从负指数分布。
2
数学建模排队论
数学建模排队论（最新版）目录一、数学建模与排队论简介二、数学建模的方法与应用三、排队论的概念及其应用四、数学建模在排队论中的应用案例五、总结正文一、数学建模与排队论简介数学建模是一种运用数学方法来描述和解决实际问题的科学方法，其目的是通过建立数学模型，揭示问题的本质，从而为解决实际问题提供理论依据。
而排队论是研究随机服务系统中顾客等待现象的一种数学理论，主要用于分析和优化服务系统的性能，以提高服务效率和顾客满意度。
二、数学建模的方法与应用数学建模的方法主要包括概率论、统计学、微分方程等。
这些方法在各个领域都有广泛的应用，如在经济学中分析市场需求、预测价格波动；在生物学中研究生物种群的数量变化等。
数学建模在排队论中也有着重要的应用，可以帮助我们理解顾客等待现象，优化服务系统。
三、排队论的概念及其应用排队论主要研究服务系统中的顾客到达、服务、离开等过程，以及顾客等待时间、服务时间等随机变量。
排队论的应用领域非常广泛，涉及到服务行业、交通工程、通信系统等。
通过排队论的分析，可以有效地优化服务系统的结构和策略，减少顾客等待时间，提高服务质量。
四、数学建模在排队论中的应用案例以一家医院挂号为例，我们可以通过数学建模和排队论来分析和优化挂号流程。
首先，我们可以建立一个概率模型，描述病人到达、挂号、就诊等过程。
然后，通过分析模型中的参数，如到达率、服务率等，可以得到病人等待时间的分布，从而为优化挂号流程提供依据。
例如，可以通过增加挂号窗口、提高挂号效率等措施，来减少病人的等待时间。
五、总结数学建模与排队论在实际应用中相辅相成，通过建立数学模型，可以更好地理解和优化排队现象。
排队问题-数学建模
第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
数学建模-排队论(二)
基本的排队模型
一、随机服务过程基本组成 二、随机服务记号方案 三、排队论的重要公式
一、基本组成
排队系统
输入 来源
顾客
队列
服务机构 服务完离开
排队系统的三个基本组成部分
输入过程 (顾客到达规律) 排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务) 服务机构 (服务机构的设置，服务台的数量，
服务的方式，服务时间分布等)
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务(FCFS)；后来先服务(LCFS)；随 机服务(RSS)；有优先权的服务(PS)；排队模 型中也用到服务中的“一般规则（GD）”它 包括前三种排队规则。
基本排队模型－服务规则
服务机构可以有一个，也可以有多个； 对于多个服务台可以是并列、串列、混合
排列； 服务方式可以是一个或成批； 服务时间分布：
排队论
（Queueing Theory）
排队等候随机服务现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等
一系列等待现象比比皆是
排队论的基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理论 是研究由顾客、服务机构及其排队现象所 构成的一种排队系统的理论。
若 时,即 1 此时顾客在 系统中的逗留时间服从参数为 的
指数分布。
三、排队论的重要公式
平均到达率：单位时间 平均队长： 内到达顾客的平均数 平均服务率：单位时间 内被服务顾客的平均数 平均等待时间： 服务强度：/
AB AB AB
A
B
第t时刻有 n-1个顾客
Pn1(t) Pn1(t)
服务率问题、顾客满意问题）
数学建模之排队问题
排队问题教程一：复习期望公式()i i p a X P ==，∑=ii i p a EX ，()()∑=ii i p a g X Eg二：排队问题单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：假定顾客到达时间间隔()λ/1~e X 分钟，每个顾客接受服务的时间长度为()μ/1~e Y 分钟，假定1）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客到达的概率为()2t o t ∆+∆λ 2）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客到达的概率为()2t o ∆ 3）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客接受完服务离开概率为()2t o t ∆+∆μ 4）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客离开的概率为()2t o ∆用()t p n 表示在t 时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。
记t 时刻在服务系统总人数n 的概率为()t p n ，则在t t ∆+时刻在服务系统总人数n 的概率()t t p n ∆+由以下几个不相容部分构成a)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率 ()t p t o t t o t n ))(1))((1(∆-∆-∆-∆-μλb)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，有1顾客离开，概率 ()t p t t n ⋅∆⋅∆μλc)：t 时刻有n-1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，没有顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(-∆-∆-∆μλd)：t 时刻有n+1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，有1个顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(+∆-∆-∆λμ e)：其他情况，概率()t o ∆由上面分析，()()()()()()()t o t p t t t p t t p t t t t p ∆+∆-⋅∆+⋅⋅∆-+⋅∆⋅∆=∆+1000111λμλμλ()()[]()()()t o t p t o t t t p t o t t t t t o t t o t t p t t p n n n n ∆+∆-∆-∆+∆-∆-∆+∆⋅∆+∆-∆-∆-∆-=∆++-11))(1())(1())(1))((1(λμμλμλμλ，1≥n简写()()()()()()00111p t t t p t t t p t o t λμλ+∆=-∆⋅+∆⋅-∆+∆()()[]()()()t o t p t t p t t t t p t t p n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆-∆-=∆++-11)1)(1(μλμλ即()()()()()t o t p t t p t t p t t p ∆+⋅∆+⋅∆⋅-=-∆+1000μλ()()()()()()()t o t p t t p t t t p t p t t p n n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆+-=-∆++-11μλμλ因此得到()()()()t p t p t p 100⋅+⋅-='μλ()()()()()()t p t p t p t p n n n n 11+-⋅+⋅++-='μλμλ假定()k t k p t p −−→−∞→，()()0−−→−∞'→t k t p 得到 010=⋅+⋅-p p μλ()011=⋅+⋅++-+-n n n p p p μλμλ把0p 当作已知，求解通项n p >将p(1)用)0(/p μλ代入得()()()n n n n p p p p μλμλλμμλμ001=→-+-=再，由1=∑kkp，我们得到()10=∑∞=n np μλ，>因此μλμ-=0p ， nnn p p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μλμλμμλ0 问题1：系统平均有几个人没有离开？解答：系统有n 个人没有离开的概率n p ，因此，系统中滞留人数平均∑∞=0n n np>问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？()∑∞=-11n npn>问题3：系统中平均每个人排队等待时间？解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n 个顾客在系统中，则他排队等待的平均时间就是这n 个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）因此系统中平均每个人排队等待时间为nn pn∑∞=0μ>问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求 >。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模核酸检测排队问题是一个典型的排队论问题。
排队论是数学的一个分支，主要研究排队等待和系统服务的问题。
以下是一个简单的数学模型来描述这个问题：1. 模型假设：假设核酸检测点只有一个，即只有一个服务台。
到达过程服从泊松分布，即每单位时间到达的人数是一个随机变量，且这个随机变量服从泊松分布。
服务时间服从指数分布，即每个人接受核酸检测所需的时间是一个随机变量，且这个随机变量服从指数分布。
2. 排队系统的表示：M/M/1表示：到达过程是泊松分布（M表示"Markovian"，即到达是相互独立的），服务时间也是指数分布（第二个M表示"Markovian"），并且只有一个服务台（1）。
3. 系统状态：系统状态可以用一个非负整数n 来表示，表示当前排队等待的人数。
4. 系统平衡方程：系统的平衡方程组为：P(0) = ρP(1) + (1 - ρ)P(0)其中 P(n) 表示系统中有 n 个人在等待的概率，ρ 是平均到达率与平均服务率之比。
5. 求解平衡方程：求解平衡方程可以得到 P(0), P(1), P(2), ... 等。
6. 性能指标：系统通常关注的性能指标包括：平均排队长度、平均等待时间、平均忙期等。
这些都可以通过求解平衡方程得到。
7. 扩展模型：如果考虑多个核酸检测点（服务台），则模型变为 M/M/c，其中 c 是服务台的数量。
如果考虑到达率和服务率随时间变化的情况，则模型会更复杂。
8. 实际应用：根据这个模型，可以预测在某个时间段内需要多少个核酸检测点来满足需求，或者预测某个时间段内的平均排队长度等。
这个模型提供了一个基本的框架来描述核酸检测排队问题，但实际情况可能更复杂，需要考虑更多的因素。
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
数学建模之排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
4
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
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变化。 3、到达间隔时间与服务时间的分布 泊松分布； 负指数分布； 爱尔兰分布；
Poisson 分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫
恩·德尼·泊松在 1838 年时发表。泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内 随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为λ 。 负指数分布又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔） 服从指数分布。 指数函数的一个重要特征是无记忆性。这表示如果一个随机变量 呈指数分布，当 s,t>0 时有 P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果 T 是某一元件的寿命， 已知元件使用了 t 小时，它总共使用至少 s+t 小时的条件概率，与从开始使用时 算起它使用至少 s 小时的概率相等。如果指数分布的参数为λ ，则指数分布的期 望为 1/λ 。 根据以上资料， 解决本题的科室的工作状态问题，只需要运用排队论中最简单的 单服务台， 即 M/M/1/∞/∞模型即可。下面通过对该问题进行排队论模型嵌套进 行求解。
P{Y≤Δ t }=1 -e-μ △t=μ Δ t + o(Δ t)，没有被诊断完的概率为 1-μ Δ t + o(Δ t)。 3) 在 t+△t 时刻考虑 n 个病人到来的概率 Pn(t+△t)，△t 足够小的情况下，有以 下 4 种情况： ① t 时刻系统中有 n 个病人到来，没有病人到来且没有病人诊断完毕，其概 率为：[1-λ △t+o(△t)][ 1-μ △t+o(△t)]= (1-λ △t-μ △t)+o(△t)； ② t 时刻系统中有 n+1 个病人到来，没有病人到来且有 1 个病人诊断完毕， 其概率为： [1-λ △t+o(△t)][μ △t+o(△t)]=μ △t+o(△t)； ③ t 时刻系统中有 n-1 个病人到来，有 1 个病人到来且没有病人诊断完毕， 其概率为：[λ △t+o(△t)][1-μ △t+o(△t)]= λ △t+o(△t)； ④ 其他状态的概率为 o(△t)。 由于四种情况相互独立且不可能同时发生， 所以得到系统中有 n 个病人到来的概 率 Pn(t+△t)满足： Pn(t+△t)= Pn(t)(1-λ △t-μ △t)+Pn+1(t)μ △t+Pn-1(t)λ △t+ o(△t) 移项整理，两边同除以△t，得：
三、模型假设
1. 首先确定医生的接待能力、病人的客源为无限大，且排除医生，病人的心理 因素及插队等意外情况的发生。 2. 排队只排一排，根据先到先得的原则，且每次医生只看一个病人，且每个病 人肯定能得出诊断。 3. 假设每段时间到来的病人数基本稳定，不会出现剧增和很长一段时间无人看 病的问题。
四、符号说明
五、模型建立与解决：
问题 1 模型建立与解决 问题 1 模型建立： 已知病人的到来服从 Poisson 流，即服从参数为λ 的泊松分布，其中λ 表示 单位时间内到达病人的平均数。 医生诊断时间服从参数为μ 的负指数分布， 其中μ 表示单位时间内能诊断完 的病人的平均数。 1) 设任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率为 Pn(t)， 病人的到来服从泊松分布， 因此单位时间内病人的到达数服从 X~P(λ )，则时间间隔△t 为内病人到来的 数目为 G~P(λ △t)。 则△t 内 1 个病人到达的概率为 P(G=1)=λ △t*e-λ △t=λ △ t+o△t，反之没有病人到达的概率为 P(G=0)=1-λ △t*e-λ △t=1-λ △t+o△t 2) 由于医生的诊断时间 Y~E(μ )，故病人被诊断时，1 个病人被诊断完的概率为
关键字：排队理论 M/M/1/∞/∞模型数学期望 Poisson 流负指数分布
一、问题提出
某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有 4 个病 人，医生每小时可诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson 流，诊断时间服从负指数 分布。 (1) 试分析该科室的工作状况： (2) 如要求 99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？ (3) 如果该单位每天 24 小时上班，病人因看病 1 小时而耽误工作单位要损失 30 元，这样单位平均损失多少元？ (4) 如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断 6 人，单位每天可减少损失多 少？可减少多少座位？
n
n=1,2…
则服务系统的运行指标为：
(1) 队长（平均病人数） ：由于系统的状态为 n 时即系统中有 n 个病人，由期望
的定义得:
∞ ∞
������������ =
������ =0
������������������ =
������ =1
����� 1−ρ
= λ /(μ − λ )
dPn(t) dt
= -λ P0(t)+μ P1(t)
对于稳态情形，与 t 无关，其导数为零。因此，得到: λ P������−1 + μ P������ +1 − λ + μ P������ = 0，������ > 1 −λ P0 + μ P1 = 0
问题 1 模型求解： λ P������−1 + μ P������ +1 − λ + μ P������ = 0，������ > 1 −λ P0 + μ P1 = 0
(2)
排队长： （等待的平均病人数）
∞ ∞
������������ =
������ =1
������ − 1 ������ ������ =
������ =1
������ − 1 ������������ 1 − ������ = ������2 /(1 − ������)
=ρλ /(μ-λ) 可以证明，病人在系统中看病时间服从参数为 μ-的负指数分布。因此，有 (3) 系统中病人的平均看病时间：������ ������ = 1/(μ − λ) (4) 系统中病人的平均等待时间：������ ������ = ������ ������ − 1/μ=ρ/(μ − λ)
Pn(t+△t)+ Pn(t) △t
=λ Pn-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ +μ )Pn(t)+ △t
o △t
令△t→0，得:
dPn(t) dt
=λ Pn-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ +μ )Pn(t) n=1，2…
当 n=0 时，因为: P0(t+△t)= P0(t)(1-λ △t)+ P1(t)(1-λ △t)μ △t+ o(△t) 所以有:
第九届“新秀杯”
校园数学建模竞赛
摘要
医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有 4 个病人，医生每小时可 诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson 流，诊断时间服从负指数分布。根据题目所 给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来 求解这些问题。 本题需要用到排队理论中最简单的 M/M/1/∞/∞模型，通过对病 人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。 针对问题一，通过分析任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率，使用数学期 望的方法， ，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。由题目给出条件病人的 到来服从参数为λ 的泊松分布， 诊断时间服从参数为μ 负指数分布，可以得出病 人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。以及分析该医院的服务强度， 可以粗略的分析该科室的工作状况。 针对问题二，在问题一的条件基础下，要求 99%的病人有座位。可以先假设 出座位个数， 由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批 病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概 率不同。 所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于 0.99， 从而反推 出所需座位数。 针对问题三， 分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病 人到来数可以得出平均每天医院到来数。根据问题一结论，可以得出平均看病所 花时间，从而求出每天的平均损失。 针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时 诊断时间，嵌套进来就能求解。
二、模型的准备
根据题目所给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活 中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现 象。 该模型显著特点是： 服务设施是一个或者多个， 需要被服务的人是无限制的， 因此被服务者需要等待一段时间，因此会出现排队现象，被服务者的到来是完全 随机的。 因此排队论又称为随机服务系统理论，它是通过对服务对象到来及服务 时间的统计研究，得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计 规律， 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服 务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。 排队系统又称服务系统。 服务系统由服务机构和服务对象构成。排队系统包 括三个组成部分： 输入过程：考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数 或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。本 题是病人随机到达且服从泊松分布。 排队规则：分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都 被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可
符号 n Ls Lq Ws Wq λ μ m T Q ρ
意义 任意时刻 t 内到达的病人数（个） 平均病人数（个） 等待的平均病人数（个） 病人的平均看病（包括等待时间）时间(h) 病人平均排队等待时间(h) 单位时间内到达病人的平均数（个/h） 单位时间内能诊断完的病人的平均数（个/h） 座位数（个） 看病耽误的时间(h) 损失的钱(元) 服务强度