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费马点知识点总结
费马点知识点总结费马点的定义是指平面上任意两点连线与两个给定点的距离之和最小的点。
费马点是一个有趣而复杂的概念，它有着许多有趣的几何性质和数学应用。
在本篇文章中，我们将对费马点的定义、性质和应用进行详细介绍。
费马点的定义费马点的定义可以用以下几种方式来表达：1. 在平面上给定两点A和B，连接的AB的直线与这两点的距离和为最小的点就是费马点。
2. 在任何给定的两点A和B之间连接一条线段AB，则使这两点到这条线段的距离之和最小的点就是费马点。
3. 对于平面上给定的两点A和B，在以这两点为直径的圆上，离这两点的距离之和最小的点就是费马点。
从这些定义可以看出，费马点的定义是比较抽象和复杂的，但它可以用数学和几何工具来求解。
费马点的性质费马点有许多有趣的性质，其中一些是：1. 对角线的中点费马点是连接两个角的对角线的中点。
这意味着费马点是一个非常具有对称性的点，有许多与对角线对称相关的性质。
2. 最小距离点费马点是使得到给定两点的距离之和最小的点，这是费马点的最基本的性质。
3. 可能有多个费马点在一些情况下，给定两点可能有多个费马点。
这些费马点对应于与给定两点连线对称的点。
4. 作用于三角形费马点是三角形内三条中线的交点。
这个性质对于寻找三角形的中心点有很大的帮助。
费马点的应用费马点有着广泛的应用，其中一些包括：1. 寻找最短路径费马点在寻找最短路径中有着重要的作用。
作为两点之间距离之和最小的点，费马点可以被用来寻找最短路径。
2. 定位问题在定位问题中，我们常常需要找到某个点到一些给定点的距离之和最小的点。
费马点可以被用来解决这类问题。
3. 优化算法费马点也可以被用来解决一些优化问题，像最小二乘法、线性规划等。
4. 三角形的性质在三角学中，费马点有着许多有趣的性质和应用。
总结费马点是一个有趣而复杂的数学概念，在几何学、三角学和优化算法中有着广泛的应用。
费马点有着许多有趣的性质，它是对角线的中点，在寻找最优路径、定位问题和优化算法中都有着重要的应用。
费马点
费马点就是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.回答者：幽幽￠晴空- 初入江湖二级7-12 20:59 浅谈三角形的费马点法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．1．三角形的费马点已知：如图1，ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．这个题目证明比较容易，下面提几个问题供同学们思考．思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF，并连接AF如图2，可得到什么结论？是否有(1)BE=CD=AF？(2)BE、CD、AF三线交于一点O？(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？思考2 如将原题的图1改成图3，并连接DE，还能得到什么结论？(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．(2)若∠ADC=120°，则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易证AD ＋DC＞DE．得到下列命题．定理1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．思考3 根据上述定理，在图2中还有(1)OA＋OB＋OC=AF．(2)在ΔABC内另取一点O，总有O′A＋O′B＋O′C＞AF，即OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．2．水管线路最短问题如图4，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？这是一个很有意义的应用题，在公路，自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水，那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时，在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB，可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧，点C为L上一个动点的费尔马问题，下面分两类情况讨论这个问题．(1)AB与L的夹角小于30”．如图5，以AB为一边作正三角形ABM，并作ΔABM的外接圆．当所作外接圆与直线L相离或相切时，从M点作直线L的垂线，交圆于O点，垂足为C．C即为水泵站位置，先把水引到O点，再从O点分别向A、B两地供水，此时点O 更短，即在L上另选一点都不会改进．优的了，因为∠ABC≥120°，费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧，如图7，此时△ABC的费马点O必在在点P上，故L上点P的左侧不会有更好的点可选，同理Q点的右边也找不出更好的点．(2)AB与L的夹角不小于30°．如图8，若A点离直线L较近，作AC⊥L交于C，点C为水泵站位置，因为∠CAB≥120°，点A即为ΔABC的费马点，此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时，ΔABC′的费马点仍在A点，易知弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切)，故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．3．两个应用题文(4)谈到95年全国高考命题组，对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？汤建新，赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论，并给出一个很巧妙的解答，使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解，因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍，如图9，实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC ＋2BC最小，取B点关于L的对称点B′，因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点，取∠BCA=120°即得．关于(2)题如图10，易知不论如何连接，所求的网络必通过正方形中心O点，问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题，也可以转化为问题(1)，详细解答请同学们考虑费马点编辑本段费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
费马点_精品文档
费马点简介费马点（Fermat Point）是一个在三角形内部的特殊点，以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的名字命名。
费马点有很多有趣的性质和应用，被广泛研究和探索。
费马点是指在三角形内，到三个顶点的距离之和最小的点。
具体地说，对于一个给定的三角形ABC，它的费马点F满足以下两个条件：- 从F到三个顶点A、B、C的距离之和最小； - 在角A、B、C所代表的扇形内，F所在的扇形的角度之和最小。
费马点在三角形内的位置可能会有三种不同的情况：内部费马点、外部费马点和退化费马点。
内部费马点内部费马点是指在三角形内部的费马点。
在一个普通的三角形中，内部费马点F的位置是唯一确定的。
内部费马点是一个各边角度之和最小的点，也就是在给定的三角形内，到三个顶点的距离之和最小的点。
寻找内部费马点的方法有多种，其中较为常用的是通过构造费马三角形来找到内部费马点。
费马三角形是一个与给定三角形的三边共线的三角形，该三角形的顶点就是内部费马点。
外部费马点外部费马点是指在三角形外部的费马点。
在一个锐角三角形中，外部费马点的位置是唯一确定的。
外部费马点和内部费马点的性质类似，也是一个各边角度之和最小的点，但是它位于三角形外部。
与内部费马点不同的是，寻找外部费马点的方法需要通过构造两个辅助三角形，即外费马三角形和反费马三角形。
利用这两个辅助三角形，可以找到外部费马点。
退化费马点退化费马点是指在一个直角三角形中的费马点。
在直角三角形中，由于某个角度为90度，从而导致费马点出现在角的对边上，所以退化费马点存在于直角三角形中。
在直角三角形中，退化费马点的求解方法与寻找内部费马点的方法相同。
只需要找到构成费马三角形的边即可确定退化费马点。
应用费马点在数学、物理等领域有着广泛的应用。
在数学中，费马点常常与最优化问题相关联。
寻找费马点是一个最小化总距离问题，而最小化总距离问题又与很多实际问题相关，例如最短路径问题、设施选址问题等。
(完整word版)费马点及其在中考中的应用
费马点及其在中考中的应用一、费马点的由来费马(Pierre de Fermat，1601—1665）是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．二、探索费马点1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC，作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′，∵∠BAC≥120°,∴∠PAP′≤60°．∴在等腰三角形PAP′中,AP≥PP′，∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC．所以A是费马点．图1 图22．如果三个内角都在120°以内,那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点．如图2,以B点为中心,将△APB旋转60°到△A′BP′．因为旋转60°，且PB=P′B,所以△P′PB为正三角形．因此,PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．由此可知当A′，P′，P,C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小．当A′，P′，P共线时,∵∠BP′P=60°,∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°，∴∠BPC=120°．所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．三、费马点的简单应用近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子．例1(2009浙江湖州--25）若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1）若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3,PC=4,则PB的值为________；（2）如图3,在锐角△ABC外侧作等边△ACB，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．解：(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°，∴∠PBA=∠PCB．又∠APB=∠BPC=120°，∴△PBA∽△PCB，则PB2=PA×PC=12，即PB=2．(2）证明:在BB′上取点P，使∠BPC=120°，连结AP，再在PB′上截取PE=PC,连结CE．∵PC=CE，AC=CB′，∠PCA=∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE．∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′．∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，∴P为△ABC的费马点,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．例2 (2009北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个点的坐标分别为A（-6，0）,B(6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB，交BC的延长线于点E．(1）求D点的坐标;(2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式;(3)设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）【析】本题第三问要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明．如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到．而用费马点的知识就能轻松找出这个G点．由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0，6），所以，本题第三问便可以转化为：AO⊥OM于点O，AO=6，MO=6,G点从M出发，向O点运动到达G点后，再沿GA 到达A点．若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置．（如图5，G点按照上述要求到达A点所用的时间为t）解法一：方程解法设GO=x，则MG=6—x，AG=,则t=，移项平方得:3x2+(12-4t）x +36+24t-4t2=0，∵方程有解，Δ=（12-4t)2—12（36+24t-4t2)≥0 解得t≥6，将t=6代回方程，求出x=2时，t最小．解法二：费马点解法如图6，要使MG+AG最小，即使MG+2AG最小．作A关于MO的对称点A',则MG+2AG=MG+AG+A'G，即MG+AG+A'G最小．故G为△AA’M的费尔马点．作∠GAO=30°，交MO于G点，则∠AGM=∠A’GM=∠AG A’=120°,故G点为所求． OG=2．由此利用费马点的解法可以看出:当动点G 在OM 上的运动速度是在AG 上的2倍的时候，动点的位置与MO 的长度无关，与AO 的长度有关，GO 长是AO 长的倍．2009北京中考25题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考）Q NO MG KBA其中K 为DE 与y 轴的交点,由前两个问题容易得知ABK ∆为等边三角形， G 为y 轴上的任意一点，作GN BK ⊥，30BKO ∠=︒,∴12GN KG =,故速度为2v 走完KG 所用的时间等于速度为v 走完GN 所用的时间，即2KG GN v v=，故以2v 速度走完KG 和以v 走完GA 的时间和，其实就是以v 速度走完路程AG GN +，由速度一定，路程最短,时间最少！再由垂线段最短，最短路程就是AM ,此时G 点就是Q 点。
三角形的费马点
三角形的费马点有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小，请同学们想一想，这个供水站应该建在哪里？事实上，这是法国著名数学家费马提出的一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小，人们称这个点为“费马点”.当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；当三角形三个内角都在120°以内，那么费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点.显然在第一种情况下，费马点的位置就是那个大于或等于120°的内角的顶点.在第二种情况下，如图所示：我们只需要以△ABC三边AB、AC、BC为边在三角形外作三个等边△ABC1、△ACB1和△BCA1，连接AA1、BB1和CC1，三线交点P就是费马点.同学们肯定会想为什么？等同学们学习了三角形全等的知识后就可以去探索这其中的道理了.再看一个数学问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法，那走什么样的路线最短呢？这个问题被古希腊亚历山大里亚城的一位久负盛名的学者海伦解决了，后来被人们称作“将军饮马”问题.费马思考了这个问题，他觉得不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.人们总希望寻求最佳的路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短路线问题.费马就把这样的问题联想到某一个图形中，他大胆提出在任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短，并对此进行了充分的证明.现在研究表明不止是三角形，其它多边形也存在这样的点.平面四边形的费马点：在凸边形中，对角线交点即费马点；在凹四边形中，凹顶点即为费马点.那费马点在我们的生活中有没有应用价值呢？文章开头的供水站建在费马点肯定是最节约成本的；再譬如打篮球、踢足球时，你时刻注意的是怎样进攻，但要与自己的队友保持最好的距离和方位，前后左右都要顾及，这其实就是在找多边形中的“费马点”.数学为科学之母，现在已经有很多方面应用到费马点的性质，在医学上、建筑上、军事上……像类似费马点这样的问题还有很多，同学们只要你们积极思考，遇到问题多问几个为什么，多一些打破砂锅问到底的精神，你们也会像费马一样发现更多更有趣的数学问题.。
费马点 Microsoft Word 文档 (2)
费马点目录[隐藏]费马点发现者费马点定义费马点的判定证明费马点性质：[编辑本段]费马点发现者费马(Fermat，Pierre de Fermat)(1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。
”[编辑本段]费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心（内心、垂心、重心）与费马点重合（1）等边三角形ABC中费马点P满足PA=PB=PC，PA、PB、PC分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。
P是内切圆和外切圆的中心。
△BPC≌△CPA≌△PBA。
（2）当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。
（等腰三角形）[编辑本段]费马点的判定对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。
如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
[编辑本段]证明我们要如何证明费马点呢：(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
最值问题费马点知识讲解
精品文档（费马点）最值问题2内的一点，求的最小值．PA+PB+PC1ABCD、已知：P是边长为1的正方形PA+PB+PC的最小值．的等边三角形是边长为1ABC内的一点，求、已知：2P精品文档．精品文档分）阅读下面材料：、（延庆）（本题满分43阅读下面材料：是一个可以变化的角）BACABC（其中∠小伟遇到这样一个问题：如图1，在△AP的最大值。
，求为边在BC的下方作等边△PBC，中，AB=2AC=4，以BCAAA'C BCBPP图21图小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点''CA AA'此当点A落在为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△ABC,连接上时,,B 2）．题可解（如图．请你回答：AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：内部一点，AB=4,P△ABC．边为△ABCRt 如图3，等腰.（结果可以不化简）的最小值是AP+BP+CP 则AP CB3图精品文档．精品文档朝阳二模)阅读下列材料：4、(ABC 在△BC=6，AC=5，小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30o，．+PB+PC的最小值、连接PA、PBPC，求PA内部有一点P，EADD AAPPBCCBBC3图图图12首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分小华是这样思考的：要解决这个问题，离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，，顺时针旋转60o APC 绕点C发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△．则BE的长即为所求，EDC连接PD、BE，得到△；P）请你写出图2中，A+PB+PC的最小值为1（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：（3，请在图ABCD内部有一点PABC①如图3，菱形ABCD中，∠=60o，在菱形；（保留画图痕迹，最小值的线段画出一条即可）A+PB+PC中画出并指明长度等于P的长．值最小时PB+P的边长为4，请直接写出当A+PBPCABCD②若①中菱形精品文档．精品文档xxOy轴的正半D在中. 点B的坐标为(0,2). 点5、（海淀二模）如图. 在平面直角坐标系32x?y?ax?c BOD?ODB?30?EB与、两点的抛物线. OE为△. 轴上过的中线. 6x轴相交于A、F 两点(A在F的左侧).(1) 求抛物线的解析式；NOMNAEAEAMM的长；求的顶点、及在线段上△(2) 等边.ABOm?PA?PB?POP. (3) 点为△. 内的一个动点设mm AP的长. (线段备用图) , , 请直接写出的最小值以及取得最小值时精品文档．。
费马点问题知识点
费马点问题知识点费马点问题是一个深奥而有趣的数学难题，涉及到费马大定理的相关内容。
费马大定理是说：对于任何大于2的整数n，不存在任何整数a、b、c，使得a^n +b^n = c^n成立。
这个问题最初由法国数学家费马在17世纪提出，并直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马点问题是针对这个定理的一个特殊情况展开的。
费马点问题是指在三维空间中，给定一系列点，找出其中距离其他点最近的点。
换句话说，对于给定的点集合，找出其中的一个点，使得该点到其他点的距离最小。
这个问题在计算几何学中被广泛讨论和应用。
解决费马点问题的方法可以通过一步一步的思考来完成。
下面将介绍一种常见的解决方法：第一步：确定问题首先，我们需要明确问题的描述和要求。
费马点问题要求找到一个点，使得该点到其他点的距离最小。
第二步：理解问题在解决问题之前，我们需要理解问题的背景和相关知识。
费马点问题涉及到距离的计算和最小值的确定。
第三步：分析问题接下来，我们需要对问题进行分析。
费马点问题可以通过计算每个点到其他点的距离，并找到最小距离对应的点来解决。
这个过程可以使用数学公式和计算方法来完成。
第四步：解决问题在分析完问题之后，我们可以开始解决费马点问题。
首先，我们需要计算每个点到其他点的距离，可以使用欧几里得距离公式来计算。
然后，找到最小距离对应的点，并将其作为费马点。
第五步：验证解决方案解决问题之后，我们需要验证解决方案的准确性。
可以通过重新计算费马点到其他点的距离，并验证其是否是最小距离。
第六步：总结最后，我们需要总结问题的解决过程和结果。
费马点问题是一个有趣且复杂的数学难题，通过分析和计算，我们可以找到最佳解决方案。
这篇文章介绍了费马点问题的基本知识点和解决方法。
通过一步一步的思考和分析，我们可以解决这个有趣的数学难题。
费马点问题在计算几何学中有广泛的应用，对于理解和掌握相关知识具有重要意义。
希望本文对读者有所帮助，引起大家对数学问题的兴趣和思考。
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费马点
一、研究目的
费马点是17 世纪法国著名的数学家费马发现的。
所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。
而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。
二、研究结果
（一）费马点的发现者费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。
1601年8月17 日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。
早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。
自1631 年起任图卢兹议会议员。
任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。
他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。
虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。
最后于1665 年 1 月12 日在卡斯特尔逝世。
他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。
他的儿子于1679 年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。
由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。
（二）费马点的求法
△ABC 需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB 、BC 、CA 为边，向三角形外侧做正三角形△ ABD、△ ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P,则点P就是所求的费马点。
（三）费马点的验证
「△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ ABC夕卜侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P,点P为费马点。
则可得出结论：
① AP=BP=CP;②/ APB= / BPC=Z APC=120 °;③点P
是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④ 点P是垂心，是△ ABC各边的高线的交点；⑤厶ABP、
△ ACP、A BCP全等。
⑥点P是厶ABC各边的中线的交点；⑦厶ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P 为费马点时和最小。
24ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ ABC夕卜侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P,点P为费马点。
则可得出结论：
①厶ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；②/ APB= / BPC=Z APC=120°;③
△ ABP与厶ACP全等；④厶BCP为等腰三角形。
3.A ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ ABC夕卜侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P,点P为
费马点。
则可得出结论：
①厶ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为
费马点时和最小；②/ APB= / BPC=Z APC=120°
（四）费马点的性质
1•费马点到三角形三个顶点距离之和最小
2. 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°
3. 费马点为三角形中能量最低点。
（调查得知）
4..三力平衡时三力夹角皆为120。
，所以费马点是三力平衡的点。
（调查得知）（五）费马点的应用
在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车
站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形
三个顶点距离之和最小。
则这车站应建在费马点上。
三、结论
由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑……”。
并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！
、找费马点
在平面上一三角形ABC，试找出内部一点P，使得PA PB PC为最小。
首先，让我们先找到P点的性质，再来研究怎么做出P点。
P点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，P点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小
有关系呢？
①如右图，以B点为中心，将APB旋转60至U C'BP'
APB
、
【解法1】
BPC和CPA很接近，这三个角度有何关联?
ci
A
A
B
C
因为旋转60，且PB P'B ，所以 P'PB 为一个正三角形
因此，PA PB PC PC P'P PC
由此可知当C'、P'、P 、C 四点共线时，PA PB PC ②若C' P' P 共线时，则
但是，该用什么方法找出 P 点呢?
以ABC 三边为边，分别向外
作正三角形 连接 AA'、BB'、CC'
AA'、BB'、CC'三线共点，设交点为 P ，即为所求
【证明1】
（在解法1曾提到若PA PB PC PC' PP PC ,即C'P'PC 四点共线时，
PA PB PC C'C 有最小值，所以P 要在CC'上。
）
PB P'P P'C' P'P PC 为最小 BP'P 60 C' P'B 同理，若P' P C
共线时，则 所以P 点为满足 APB
BPC
APB 120 BPP' 60 BPC 120 CPA 120的点 ABC'、A'BC 、AB'C
ABB' AC'C 1 则
DPB ~ DAC'，得60
在PC'上取点P'，使得BP BP' BPP'为正三角形
则ABP C'BP'，得AP C'P'
所以PA PB PC P'C' P'P PC C'C
【证明
2】
120
APB
所以CPA' 60
BPC CPA ，又A'BPC四点共圆（BPC BA'C 180 ) 故APC CPA' 180 ,因此P在AA'上
同理可证P在BB'、CC'上,
故P 为AA'、BB'、CC '三线交点
三、画出费马点
经过上面的讨论，可以知道，在平面上ABC，想找出一点P，使PA PB PC为最小,
方法为：分别以AB、BC为边长做出正三角形ABC'及A' BC，连接AA'、CC '，两
线交于一点P , P点即为费马点。
使用上述方法需要注意到一点，ABC的每一个内角均小于120，如果其中有一内角大于120，那么P点就是ABC最大内角的顶点。