1.4-晶体的定向和晶面符号
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
晶体定向晶面符号与晶带解析
c0 表示。由于晶体结构中的结点间距较小，（一般以nm 计），需要藉X射线才能测定，对晶体外形的宏观研究不能
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率
a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。
Z
c0
a0
b0
Y
X
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1
U
Y
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线， 目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的
结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y X
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z U
Y X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都 是四方柱和四方双锥组成。
4章 晶体定向与结晶符号
第四章晶体定向与结晶符号晶体定向(crystal orientation)就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的符号统称结晶符号(crystal indices)。
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本的工作。
一、晶体定向晶体定向就是在晶体中以晶体中心为原点建立一个坐标系，这个坐标系一般由三根晶轴 X、Y、Z轴(也可用a、b、c轴表示)组成。
三根晶轴正端之间的夹角分别表示为α(Y∧Z)、β(Z∧X)、γ(X∧Y)。
对于三、六方晶系的晶体，通常要用四轴定向法，即要选出四根晶轴。
那么，究竟选择晶体中哪些方向上的直线作为晶轴呢?选择的原则有两点：① 与晶体的对称特点相符合（即一般都以对称要素作晶轴）；② 在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角=90°。
各晶系对称特点不同，具体选择晶轴的方法也不同，具体选择原则见表3－1。
表3－1 各晶系选择晶轴的具体方法及晶体常数特点请注意，这里在晶体宏观形态中按对称特点选出的晶轴，实际上与晶体内部结构中空间格子的三个不共面的行列方向一致。
二、晶胞参数及晶面符号、晶棱符号1 晶胞参数X、Y、Z三根晶轴方向上的行列上的结点间距分别表示为a0、b0、c0，称为轴长；三根晶轴正端之间的夹角α、β、γ称为轴角，轴长和轴角统称晶胞参数（cell parameter）。
在第一章我们就已知，a0、b0、c0以及α、β、γ决定空间格子中平行六面体的大小和形状。
但是，在晶体宏观形态上是定不出轴长的，只能根据对称特点定出a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c），这一比例称为轴率。
轴率与轴角统称晶体常数 (crystal constants)，晶体常数特点是可以在晶体宏观形态上体现出来的，例如：等轴晶系晶体对称程度高，晶轴X、Y、Z为彼此对称的行列，它们通过对称要素的作用可以相互重合，因此它们的轴长是相同的，即a=b=c，轴率a∶b∶c=1∶1∶1；中级晶族（四方、三方和六方晶系）晶体中只有一个高次轴，以高次轴为Z轴，通过高次轴的作用可使X轴与Y轴重合（在三方与六方晶系中可使X轴、Y轴、U轴重合），因此轴长a=b，但与c不等，轴率a∶c因晶体的种别而异；低级晶族（斜方、单斜和三斜晶系）晶体对称程度低，X、Y、Z轴不能通过对称要素的作用而重合，所以a≠b≠c，晶体的种类不同，轴率a∶b∶c数据不同。
5第五讲 晶体定向及结晶符号
第五章 晶体定向及结晶符号
2．晶带：
交棱相互平行的一组晶面的组合称为晶带。晶带由多个晶面组 成，一个晶面可属于多个晶带。 晶带轴：假象的直线，平行晶带公共交棱方向并通过晶体中 心的直线。该晶带轴符号同与之平行的晶棱符号相同。 晶带定律：任意两晶棱（晶带）相交比可决定一个可能晶 面，任意两个晶面相交比可决定一个可能晶棱（晶带）。
3．晶面符号书写方法（按结晶轴顺序）： 三轴定向（XYZ）— （hkl） 四轴定向（XYUZ）— （hkil）
注意： 若晶面与晶轴负半轴相交，晶面指数上加负号。
4．晶面指数规律和特点：
（1）截距系数越大指数越小；当晶面与晶轴平行时，指数 为0。 （2）一般式中字母和数字不能同时混用，但可出现0和系数， 如（hk0）。 （3）三、六方晶系晶面指数前三位代数和为0。
第五章 晶体定向及结晶符号
思考题：
1、模型上形态相同的晶面符号有何规律？ 2、在低级晶族的各晶系中（001）与Z轴的关系如何（垂直、 斜交）？ 3、在等轴晶系中（1）与XYZ轴等截距相交的晶面有哪些？晶 面符号特点（2）与二个结晶轴等截距相交与另一晶轴 平行的晶面有哪些？晶面符号？
第五章 晶体定向及结晶符号
第五章 晶体定向及结晶符号
3. 对称型的国际符号 对称型只列出所有对称要素，标明了各要素的数量，但 不能表达所有要素的空间方位。 以一定的原则制定更为简单的符号代替简单的对称型罗 列，表达数量和方位，即国际符号和圣弗利斯符号。 国际符号：由Hermann和Mauguin创立，所以也称HM符号。
3.顺序 x，y，z 或x，y，u，z 4.一般形式 （hkl）或（hkil）
Z
A
c a
O b Y
X
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
晶体定向晶面符号与晶带
例如：47号模型复方偏十二面体：3L24L33PC
四方晶系：
以L4或Li4为 Z 轴，以垂直
Z 轴并相互垂直的L2或P的
法线为X、Y 轴，当无 L2或
P时，平行于晶棱选取。
晶体常数特点：
a＝b≠c
α=β=γ=90°
26号模型四方四面体：Li42L22P
六方及三方晶系：
以L3 、L6、 Li6为 Z 轴，以垂 直 Z 轴并相互以120°相交 （正端）的L2或P的法线为X、 Y 、U轴，当无 L2或P时， X、 Y 、U平行于晶棱选取。X轴 水平朝正前偏左30°。 晶体常数特点： a＝b≠c α=β=90 ° γ=120°
Z
c0
a0
b0 X
Y
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1 中级晶族 （四方、三方、六方晶系）具有一个高次轴，以 高次轴为Z轴，通过高次轴作用可以使X轴与Y轴重合，因此 轴长 a＝b，与 c 不等，其 a：c比例视晶体不同而不同。 低级晶族 （斜方、单斜、三斜晶系）对称程度低，X、Y、 Z 轴不能通过对称要素的操作相互重合，所以a≠b≠c，视 晶体不同a∶b∶c比值不同。
α=γ= 90°
β＞ 90°
三斜晶系：
以不在同一平面内的主要 晶棱方向为 X、Y、 Z 轴。
晶体常数特点：
a≠b≠c α≠γ≠ β≠ 90°
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点选出
的三根晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个不
共面的行列方向是一致的。
为什么? 因为空间格子中三个不共面的行列也是根据晶体的 对称性人为地画出来的，而晶轴也是根据晶体的对
第四章晶体定向和晶面符号
§4.5
对称型的国际符号
对称面：m
一、国际符号中对称要素的表示法
对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、 、 和 。 、 2 3 4 6 注意:由于1 L1i C ，习惯用 1 代表对称中心。
6、三方、六方晶系
对称特点：有且只有一个L3或L6或Li6。 选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
z
u
y x
晶体常数特点 a＝b≠c，α＝β＝９０°γ＝１２０°
总结－晶体定向方法
1、根据晶体对称型，确定晶体属于何种晶系
整数比, 此时的h, k, l就称为晶面指数;
晶面符号写作（ h k l ）
注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“－”号
Z
C
已知晶面ABC在X、Y、 Z轴上的截距为： OA=2a， OB=3b， OC=6c； 求晶面的米氏符号。
Oc a b A X
B
Y
截距系数的倒数比： 1/2∶1/3∶1/6 化整→ 3∶2∶1 去比例号，加小括号→(321)。
2、对应各晶系定向原则，确定相应的x轴、y轴、z轴
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z轴
§4.3晶面符号
一、 晶面符号
–所谓晶面符号就是根据晶面(或晶体中平行于 晶面的其他平面)与晶轴的空间关系，用简单 的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的的 一种晶体学符号; –目前国际上通用的都是米氏符号(Miller’s symbol)，亦称米勒符号。
等轴晶系
2 3 1
四方晶系
2 3 1 2 3 1 2 3
晶体定向和晶面符号
二、晶体定向原则
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴 的具体方法也不同,见表5-1(此表非常重要，要熟记).
等轴晶系的定向:
晶体几何常数为: a = b = g = 90°, a = b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
只写出对称型中的三类对称要素 只写出对称轴，对称面，旋转反伸轴，其它对称要素 可根据组合定理推导出来 国际符号中对称要素的表示法 对称面：m 对称轴：以轴次的数字表示，如1、2、3，4和6； 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号，如1、2、3、 4和6。 由于1=Li1=C,2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心．m代 表2。
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[r v w] = [1 2 3]
2、晶带: (zone) 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。 晶带轴(zone axis) 通过晶体中心的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶 面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱，用以 表示晶带方向。
卤钠石(sulphohalite )的平行连生体
赤铜矿的连生晶体
明矾八面体的平行连生
萤石立方体的平行连生
自然铜立方体的树枝状平行连生
内 部 的 晶 体 格 子 是 连 续 的
2、双晶（孪晶） twin
定义：互不平行的同种单体，彼此间按一定的 对称关系相互取向而组成的规则连生晶体。
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系，即H（Hexagonal）取向；②R（Rhombohedral）取向。即选取三 次轴为对称的相交的3个主要晶面带轴为a、b、c轴，如图所示。三次 轴对称对这种取向有如下要求：a0=b0=c0，α=β=γ≠90º
民 主 评 议 党员 个人年 度总结 的进行 是为了 使党员 们更好 地反思 过去的 工作， 不 断 地 改 进 。以下 是小编 为大家 精心整 理的民 主评议 党员个 人年度 总结范 文，欢
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 有： （h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w = 0 即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的 晶面指数。
晶面间距
晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所 交截的距离即是晶面间距。
晶带定律
晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成
一个“晶带”，此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为 晶带面。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ——— 晶带定律
凡满足此关系的晶面都属于以[u v m]为晶带轴的晶带
晶带定律
晶带定律的应用：
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:l v1 w1 : w1u1 : u1 v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
③由同一晶带的两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求此晶带上 另一晶面指数，由：
晶体定向
晶胞参数：晶体内部结构的特征是以a0、b0、c0，α、β、γ在晶体内部
割取的平行六面体来表征，这就是晶胞。 a0、b0、c0，α、β、γ称为
晶胞参数。不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个晶系。 7个晶系按照轴的高低分为三类：
不具有高次轴（三斜、单斜、正交）称为低级晶系；具有一个高次轴 （六方、三方、四方）称为中级晶系；具有一个以上高次轴（立方） 称为高级晶系。
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
第四章 晶体的定向及晶面符号
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
下面分别对32点群进行讨论：
晶体定向
1. 三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。原则上 任何3条不平行的阵点列方向都可以选作晶轴。如点群1和 1
晶体定向
2. 单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它 们两者的组合点群2/m。选择二次轴或对称面的法线为一个晶
体学轴（b轴），垂直与二次轴的任何两条互不平行的阵点列
都可以选择为a，c轴，二者的夹角β最好是大于并接近与90º。
晶体定向
3. 正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个 以上对称面的点群。它们的2次轴或对称面都是互相垂直的， 因此选择二次轴及对称面的法线作为3个晶轴，这样的坐标系 必然是正交晶系。
晶体定向
4. 四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先 选择四次轴或四次反轴作为C轴，然后将垂直于四次轴的两个 相互垂直的二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足四次轴 的对称，a、b轴的单位轴长必须相等，即a0=b0
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
那么,怎么选出这些晶轴?
晶体定向
选晶轴的原则
1）依赖于晶体内部的点阵特征，与晶体的对称特点 相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴 ，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度 .
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶 轴的具体方法也不同。
欧拉定理：对于相互垂 直的3个坐标轴，有
晶面间距
一组平行晶面的晶面间距d hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c 有下列关系：
正交晶系
dhkl
1
h a
2
k b
2
l c
2
四方晶系
dhkl
1
h2 k 2 a2
l c
2
立方晶系 dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
求法： 1. 确定坐标系 2. 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3. 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（xyz），若某一坐
标值为负，则在其上加一负号。 4. 将此值化成最小整数uvw并加以方括号[uvw]即是。
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶面指数与晶棱指数
练习题：请确定各晶面指数
hk a2
k2
l 2 c
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原 子面的影响。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
晶面指数与晶棱指数
晶面指数与晶棱指数
晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指数相似，用3
个互质的整数并以方括号[uvw]表示晶棱的方向。晶体中每个实际的或者可能 的晶面与3个晶体学轴的取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号 （hkl）来表示。其中hkl为互质的整数，被称为晶面指数。
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
迎 大 家 阅 读 。 第 一 篇 ： 民主 评议党 员个人 年度总 结范文 一、政 治思想 方面 我 热爱祖 国，热 爱中国 共产党 ，热爱 党的教 育事业 ，拥护 党的领 导及路 线、方 针、 政 策 ;一 年 来 认真学 习党的 十八大 会及十 八届三 中全会 的各项 文件和 重要精神。坚 决 贯 彻 执 行 上级领 导下达 的各项 工作与 指示。 同时深 入学习 《中小 学教师 职业道 德 规 范 》 ， 坚决依 法执教 ，爱岗 敬业， 廉洁从 教，为 人师表 。积极 参与党 组织的 各 项 活 动 ， 坚决服 从组织 安排。 作为一 个共产 党员， 我在思 想上严 于律己 ，不断 鞭 策 自 己 ， 牢记全 心全意 为人民 服务的 宗旨， 不断提 高自己 的道德 修养和 业务水 平 ， 努 力 提 高自身 的党性 修养和 觉悟， 力争思 想上和 工作上 在同事 、学生 的心目 中 都 树 立 起 榜样的 作用。 二 、 教 学 工作方 面 恪 职 守 责 ，勇 于创新 ，分层 教 学 。 在 过 去的一 年里， 我担任 高一、 二两个 年级的 专业课 程教学 工作， 上半年 担 任高一 年级的 《发动 机维护 》、《 底盘维 护》和 高二年 级的《 汽车维 护》课 程。 下 半年担 任高一 年级的 《汽车 与汽车 维修企 业概况 》和高 二年级 的《底 盘维护 》、
求法： 1. 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标
轴x，y，z 2. 以棱边长为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若
某一截距为负，则在其上加一负号。 3. 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l）
即是。
代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行
下表列出了7种晶系及其所属点群。表中每个晶系所列的最后一个点群 是该晶系最高对称类型，称为该晶系的全对称型。
晶体定向
晶面指数与晶棱指数
晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与3个晶体学轴的
取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号（hkl）来表示。其中hkl 为互质的整数，被称为晶面指数。
《汽车电
晶体定向
7. 立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与
立方体中4个对角线重合，那么立方体中3个通过体心并相互垂直的三 对面的法线将被选择为晶轴a、b、c。3个晶轴分别与3个二次轴或3个 四次轴或3个四次反轴重合。这种对称性对要求： a0=b0=c0，α=β=γ = 90º
c
b a
民 主 评 议 党员 个人年 度总结 的进行 是为了 使党员 们更好 地反思 过去的 工作， 不 断 地 改 进 。以下 是小编 为大家 精心整 理的民 主评议 党员个 人年度 总结范 文，欢
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 有： （h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w = 0 即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的 晶面指数。
晶面间距
晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示 从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所 交截的距离即是晶面间距。
晶带定律
晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成
一个“晶带”，此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为 晶带面。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ——— 晶带定律
凡满足此关系的晶面都属于以[u v m]为晶带轴的晶带
晶带定律
晶带定律的应用：
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:l v1 w1 : w1u1 : u1 v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
③由同一晶带的两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求此晶带上 另一晶面指数，由：
晶体定向
晶胞参数：晶体内部结构的特征是以a0、b0、c0，α、β、γ在晶体内部
割取的平行六面体来表征，这就是晶胞。 a0、b0、c0，α、β、γ称为
晶胞参数。不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个晶系。 7个晶系按照轴的高低分为三类：
不具有高次轴（三斜、单斜、正交）称为低级晶系；具有一个高次轴 （六方、三方、四方）称为中级晶系；具有一个以上高次轴（立方） 称为高级晶系。
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
第四章 晶体的定向及晶面符号
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
下面分别对32点群进行讨论：
晶体定向
1. 三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。原则上 任何3条不平行的阵点列方向都可以选作晶轴。如点群1和 1
晶体定向
2. 单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它 们两者的组合点群2/m。选择二次轴或对称面的法线为一个晶
体学轴（b轴），垂直与二次轴的任何两条互不平行的阵点列
都可以选择为a，c轴，二者的夹角β最好是大于并接近与90º。
晶体定向
3. 正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个 以上对称面的点群。它们的2次轴或对称面都是互相垂直的， 因此选择二次轴及对称面的法线作为3个晶轴，这样的坐标系 必然是正交晶系。
晶体定向
4. 四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先 选择四次轴或四次反轴作为C轴，然后将垂直于四次轴的两个 相互垂直的二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足四次轴 的对称，a、b轴的单位轴长必须相等，即a0=b0
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
那么,怎么选出这些晶轴?
晶体定向
选晶轴的原则
1）依赖于晶体内部的点阵特征，与晶体的对称特点 相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴 ，要么对称面法线);
2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度 .
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶 轴的具体方法也不同。
欧拉定理：对于相互垂 直的3个坐标轴，有
晶面间距
一组平行晶面的晶面间距d hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c 有下列关系：
正交晶系
dhkl
1
h a
2
k b
2
l c
2
四方晶系
dhkl
1
h2 k 2 a2
l c
2
立方晶系 dhkl
a h2 k2 l2
六方晶系
dhkl
1
4 3
h2
求法： 1. 确定坐标系 2. 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3. 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（xyz），若某一坐
标值为负，则在其上加一负号。 4. 将此值化成最小整数uvw并加以方括号[uvw]即是。
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
晶面指数与晶棱指数
练习题：请确定各晶面指数
hk a2
k2
l 2 c
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原 子面的影响。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
晶面指数与晶棱指数
晶面指数与晶棱指数
晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指数相似，用3
个互质的整数并以方括号[uvw]表示晶棱的方向。晶体中每个实际的或者可能 的晶面与3个晶体学轴的取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号 （hkl）来表示。其中hkl为互质的整数，被称为晶面指数。
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
迎 大 家 阅 读 。 第 一 篇 ： 民主 评议党 员个人 年度总 结范文 一、政 治思想 方面 我 热爱祖 国，热 爱中国 共产党 ，热爱 党的教 育事业 ，拥护 党的领 导及路 线、方 针、 政 策 ;一 年 来 认真学 习党的 十八大 会及十 八届三 中全会 的各项 文件和 重要精神。坚 决 贯 彻 执 行 上级领 导下达 的各项 工作与 指示。 同时深 入学习 《中小 学教师 职业道 德 规 范 》 ， 坚决依 法执教 ，爱岗 敬业， 廉洁从 教，为 人师表 。积极 参与党 组织的 各 项 活 动 ， 坚决服 从组织 安排。 作为一 个共产 党员， 我在思 想上严 于律己 ，不断 鞭 策 自 己 ， 牢记全 心全意 为人民 服务的 宗旨， 不断提 高自己 的道德 修养和 业务水 平 ， 努 力 提 高自身 的党性 修养和 觉悟， 力争思 想上和 工作上 在同事 、学生 的心目 中 都 树 立 起 榜样的 作用。 二 、 教 学 工作方 面 恪 职 守 责 ，勇 于创新 ，分层 教 学 。 在 过 去的一 年里， 我担任 高一、 二两个 年级的 专业课 程教学 工作， 上半年 担 任高一 年级的 《发动 机维护 》、《 底盘维 护》和 高二年 级的《 汽车维 护》课 程。 下 半年担 任高一 年级的 《汽车 与汽车 维修企 业概况 》和高 二年级 的《底 盘维护 》、
求法： 1. 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标
轴x，y，z 2. 以棱边长为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若
某一截距为负，则在其上加一负号。 3. 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（h k l）
即是。
代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行
下表列出了7种晶系及其所属点群。表中每个晶系所列的最后一个点群 是该晶系最高对称类型，称为该晶系的全对称型。
晶体定向
晶面指数与晶棱指数
晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与3个晶体学轴的
取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号（hkl）来表示。其中hkl 为互质的整数，被称为晶面指数。
《汽车电
晶体定向
7. 立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与
立方体中4个对角线重合，那么立方体中3个通过体心并相互垂直的三 对面的法线将被选择为晶轴a、b、c。3个晶轴分别与3个二次轴或3个 四次轴或3个四次反轴重合。这种对称性对要求： a0=b0=c0，α=β=γ = 90º
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