图形平移和旋转专题

图形平移和旋转专题
二、几种常见的类型
（一）正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP 也为正三角形。

例1、如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.
（二）正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例2、如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD面积。

（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

例3、如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC的度数。

例4、如图，将ΔABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到ΔAB´C´，且C´为BC的中点，
则C´D:DB´=（）
A．1:2 B．1:C．1: D．1:3
例5、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
例6、D、E为AB的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处。

若∠B=50°，则∠BDF=＿＿
例7、如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E在BC上，且AE
⊥EF，AE=EF，求CF的长。

1. （2012江西南昌3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A
重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．
2. （2012吉林省3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ____.
3、（2009年泸州）如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°
4、
(2009年陕西省) 如图，∠AOB＝
90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转
α角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角α的大小可以是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得A B O
''
△，则点A'的坐标为（）．
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
6、(2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图2，则旋转的牌是（）
x
y
1
2
4
3
-1
-2
-3123
A
B
7、（2009年崇左）已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）．A ．()a b -， B ．()a b -， C ．()b a -， D ．()b a -， 三、解答题(每小题10 分，共50分)
8．如图，ABC ∆的∠BAC=120º，以BC 为边向形外作等边BCD ∆，
把ABD ∆ 绕着D 点按顺时针方向旋转60º后到ECD ∆的位
置。

若2,3==AC AB ，求∠BAD 的度数和AD 的长.
9、在矩形ABCD 中，2AD AB =，E 是AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点
E 按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB BC ，分别交于点M N ，时，观察或测量BM 与CN 的
长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
10、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）
图1
图2
A ．
B ．
C ．
D ．
N
C
M B
（8题图）
F
E
D
C
B
A
将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
11、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC
内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．
12、已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
13、已知：如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、
CD 上的点，且∠EAF =45°.
求证： BE +FD =EF
D
图①
D
E
图②
图③ 图①
Q
P
B
A
A
Q
B
P
C
图②
B B M B
C N C
N C N M 图1
图2
图3
A A A D D D
14、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．
（1）求证：AE =CG ；
（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．
15、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，且BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF
16、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各有一点P 、Q ，如果APQ ∆的周长为2，求PCQ ∠的
度数。

Q
B
C
A D
17. （2012四川南充8分）在Rt △POQ 中，OP=OQ=4,M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ 的两直角边分别交于点A 、B ， (1)求证：MA=MB
(2)连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。

请说明理由。

18.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，
较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）
图6
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH
（图4）（图5）（图6）。