高中数学：全称量词与全称命题 课时训练 北师大选修
北师大版高中数学选修1-11.3.1全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈Q，x2∈QC．存在x0∈Z，x20>1D．任意x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20>0C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2 5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R )；②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．36．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)①存在x ∈R ，x 2＝0；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；④不等式x 2－x ＋1|x |＋1<0的解集为∅. 三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2.(3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.11．已知对任意x >0，a <x ＋1x恒成立，求a 的取值范围．能力提升12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 01．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题知识梳理1．整体或全部 全称量词2．个别或一部分 存在量词作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．]4．B 5.C6．A [对于选项A ，存在m ∈R ，当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．]7．①②③解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数．8．(－2,2]解析 当a ＝2时，显然符合条件；当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a <2，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， ⇒－2<a <2.综上，a 的取值范围是(－2,2]．9．①②④解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题．10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，∴命题(4)是假命题．11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x恒成立， 只需a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min 恒成立． ∵x >0，x ＋1x≥2，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2. ∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．12．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，此时函数对应的图像开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]。
2019-2020学年高中数学1.3全称量词与存在量词练习北师大版选修1-1
10．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1) 存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(2) 有些整数只有两个正因数；
(3) 对任意实数
α ，有
sin
2
2
α ＋ cos α ＝ 1；
(4) 存在一条直线，其斜率不存在；
(5) 对所有的实数 a、 b，方程 ax＋ b＝ 0 都有唯一解．
[ 答案 ] (1)(2)(4) 为特称命题 (3)(5) 为全称命题 (2)(3)(4) 真 (1)(5) 假
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是异面直线
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D．存在实数大于等于 3
[ 答案 ] D
[ 解析 ] 分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，
其中选项 A，B，C 都是全
称命题．
6．下列命题中是全称命题的是 ( )
A．所有的正方形都是菱形 B．有两个实数 x，使得 x2＋ 3x＋ 2＝0
C．存在两条相交直线平行于同一个平面 D．存在一无理数 x，使得 x2 也是无理数
[ 答案 ] A
[ 解析 ] B， C，D是特称命题．
二、填空题
7．下列命题中真命题为 ________，假命题为 ________．
①末位是 0 的整数， 可以被 2 整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③
[ 答案 ] D
[ 解析 ] 特称命题的否定是全称命题．
2．下列命题中的假命题是 (
)
A．存在实数 α 和 β ，使 cos( α＋ β ) ＝ cos α cos β＋ sin α sin β
B．不存在无穷多个 α 和 β ，使 cos( α ＋β ) ＝ cosα cos β ＋ sin α sin β
2024_2025学年新教材高中数学课时作业七全称量词命题与存在量词命题北师大版必修第一册
课时作业(七) 全称量词命题与存在量词命题[练基础]1．下列选项中，与其他命题不同的命题是( )A．存在一个平行四边形是矩形B．任何一个平行四边形都是矩形C．有些平行四边形是矩形D．有一个平行四边形是矩形2．下列命题中，是真命题的全称量词命题是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)3．关于命题“当m∈[1,2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( )A．是全称量词命题，假命题B．是全称量词命题，真命题C．是存在量词命题，假命题D．是存在量词命题，真命题4．命题“已知y＝|x|－1，∀x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是( ) A．m≥－1 B．m>－1C．m≤－1 D．m<－15．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是________．(全称量词命题、存在量词命题)6．推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并推断真假．(1)不论m取何实数，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)全部末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线相互平分；(4)函数y＝kx图象恒过原点．[提实力]7．[多选题]下列命题中正确的有( )A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C．“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题8．若“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，则实数a的取值范围是________．9．若p：存在x0<5，使2x0＋a>0是真命题，则实数a的取值范围是________．[战疑难]10．已知命题p：∀x∈[2,3]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p 和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．课时作业(七) 全称量词命题与存在量词命题1．解析：A、C、D都是含有存在量词的存在量词命题，B是含有全称量词的全称量词命题．答案：B2．解析：选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≤0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于全部k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)，所以正确选项为D.答案：D3．解析：原命题的含义是“对于随意m∈[1,2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.答案：A4．解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使∀x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1，所以正确选项为C.答案：C5．解析：原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”． 答案：存在量词命题6．解析：(1)即“全部m ∈R ，关于x 的方程x2＋x －m ＝0都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x2＋x －m ＝0没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；(3)是存在量词命题，其否定为“全部梯形的对角线不相互平分”，真命题；(4)即“全部k ∈R ，函数y ＝kx 图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y ＝kx 图象不过原点”，是假命题．7．解析：A.“实数都大于0”的含义是“全部实数都大于0”，所以它的否定应当是“存在实数不大于0”，所以A 错误；B.“三角形外角和为360度”的含义是“全部三角形外角和为360度”，所以B 正确；同理CD 也正确．故选BCD.答案：BCD8．解析：“∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，等价于(a －2)x ＋1>0的解集为R ，所以a －2＝0，即a ＝2.答案：{2}9．解析：存在x0<5，使2x0＋a>0，即存在x0<5，使x0>－a 2，所以－a 2<5，所以a>－10. 答案：a>－1010．解析：∵∀x ∈[2,3]，x2－a ≥0，即a ≤x2，当x ∈[2,3]时恒成立．∴a ≤4. ∵∃x ∈R ，x2＋2x ＋2－a ＝0，即方程x2＋2x ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4－4×1×(2－a)≥0.解得a ≥1.∵命题p 和命题q 都是真命题，∴实数a 的取值范围是[1,4]．。
高中北师大版数学选修2-1学案：1.3 全称量词与存在量词 含答案
§3全称量词与存在量词知识点一全称量词与全称命题的定义[填一填](1)在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．[答一答]将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．(1)不共线的三点确定一个平面；(2)平行线不相交；(3)对顶角相等．提示：(1)任意不共线的三点都可以确定一个平面．(2)任意两条平行线都不相交．(3)每一组对顶角都相等．知识点二存在量词与特称命题的定义[填一填]在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．[答一答]下列各命题中含有的量词分别是什么？(1)任意实数的平方都是正数；(2)0乘以任何数都等于0；(3)任何一个实数都有相反数；(4)△ABC的内角中有小于60°的角．提示：(1)任意(2)任何(3)任何(4)有知识点三全称命题、特称命题的否定形式[填一填](1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．[答一答]1．命题的否定和否命题的区别与联系．提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必须一真一假，原命题和否命题没有固定的真假关系．2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何变化？提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．1．关于全称量词和全称命题的几个注意点：(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，全称命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有的命题省去全称量词，仍是全称命题．如“有理数都是实数”就省去了全称量词“所有”．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义．(3)在全称命题中，可以包括多个变量．如：对任意a，b∈R，(a ＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．当然，当a＝3，b＝5时，上式自然是正确的．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素，使特称命题成立即可；否则，这一特称命题为假．3．常见量词的否定形式：类型一全称命题、特称命题的判断【例1】判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【思路探究】先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．【解】(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”“存在”“存在”．规律方法判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词，则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定．(5)自然数的平方是正数．解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均为全称命题．(3)是疑问句，不是命题．综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．类型二全称命题、特称命题的否定形式【例2】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【思路探究】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定是：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定是：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定是：所有的四边形都是平行四边形．规律方法解题时要注意存在量词、全称量词的不同表示形式．特称命题p：存在x∈A，p(x)，其否定为：任意x∈A，非p(x)；全称命题q：任意x∈A，q(x)，其否定为：存在x∈A，非q(x)．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)有理数都能写成分数的形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(3)有一个素数是偶数；(4)对任意m∈Z，都有m2－3>0成立．解：(1)是全称命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，命题的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，为假命题．(2)是特称命题，即“存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立”，命题的否定为：对任意实数x，方程x2＋2x＋8＝0不成立，为真命题．(3)是特称命题，即“存在一个素数是偶数”，命题的否定为：所有的素数都不是偶数，为假命题(2是素数，也是偶数)．(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．类型三利用全称命题、特称命题求参数的取值范围【例3】对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p －3恒成立，试求x的取值范围．【思路探究】本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．【解】 不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，即(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0恒成立，构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3.当x ＝1时，f (p )＝0，不满足f (p )>0，∴f (p )表示p 的一次函数．∵p ∈[0,4]，∴函数f (p )的图像是一条线段，要使f (p )>0在[0,4]上恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，(x －1)·4＋x 2－4x ＋3>0， 解得x <－1或x >3.所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．规律方法 全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围．而特称命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．”已知二次函数f (x )＝ax 2＋x .对于任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立，试求实数a 的取值范围．解：|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]．①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x 在x ∈(0,1]上恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥(－t 2－t )max ＝－2，a ≤(t 2－t )min ＝0， ⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)．——规范解答——根据全称命题、特称命题的真假确定参数范围【例4】 若命题“存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【思路分析】 解决本题的关键是将已知的特称命题是真命题转化为相应的函数在x 轴下方一定有图象，这是函数思想的应用．【解】 设函数f (x )＝ax 2＋2x ＋a ，原命题为真等价于函数f (x )在x 轴下方有图象．当a ＝0时，f (x )＝2x ，满足题意；当a <0时，二次函数f (x )的图象是开口向下的抛物线，在x 轴下方一定有图象，满足题意；当a >0时，只需4－4a 2>0，所以0<a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．1．下列特称命题是真命题的是( B )A ．存在x ∈R ，使x 2<0B ．有的三角形是等边三角形C ．有的偶数不能被2整除D ．平面内存在一个四边形的内角和小于360°解析：A ，C ，D 均为假命题，B 是真命题．2．给出下列四个命题：①对任意的x ∈R ，x 2>0；②存在x ∈R ，使得x 2≤x 成立；③对于集合M ，N ，若x ∈M ∩N ，则x ∈M 且x ∈N ；④存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β.其中真命题的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：存在x ＝0，使x 2＝0，故①是假命题；显然②③④都是真命题．3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( C )A．某些平行四边形不是矩形B．每一个平行四边形都是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对解析：先否定结论，再把量词“某些”变成“每一个”．4．命题“所有偶函数的图像关于y轴对称”是真命题(填“真”或“假”)．其命题的否定为存在一个偶函数的图像不关于y轴对称，是假命题(填“真”或“假”)．5．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)所有能被5整除的整数的末位数字都是0；(2)有的等腰三角形是直角三角形；(3)任意两个等边三角形都是相似的．解：(1)存在一个能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题；(2)所有的等腰三角形都不是直角三角形，假命题；(3)存在两个等边三角形不相似，假命题．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-
§3全称量词与存在量词[对应学生用书P8]全称量词与全称命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？提示：任意一个，全部，每个．问题2：上述词语都有什么含义？提示：表示某个范围内的整体或全部．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.存在量词与特称命题观察语句①②：①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．提示：是，都为真命题．问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？提示：表示总体中“个别”或“一部分”．问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？提示：某些，有的，有些．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.全称命题与特称命题的否定观察下列命题：①被7整除的整数是奇数；②有的函数是偶函数；③至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题③的否定的真假．提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．[对应学生用书P9]全称命题与特称命题的判断[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．[一点通]判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．1．下列命题为特称命题的是( )A．奇函数的图像关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.答案：D2．下列命题中，全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D全称命题与特称命题的真假判断[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．[精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．[一点通]1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．下列命题的假命题是( )A．有些不相似的三角形面积相等B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：以上4个均为特称命题，A ，C ，D 均可找到符合条件的特例；对B ，任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.故B 为假命题．答案：B4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立； (3)对任意x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3成立．解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1＞12 ⇔x 2－x ＋12＞0，由于Δ＝1－4×12＝－1＜0，所以不等式x 2－x ＋1＞12的解集是R ，所以该命题是真命题． (2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos(π4－π2)＝cos(－π4)＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∈/ N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题.全称命题、特称命题的否定[例3] (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．[精解详析] (1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数． (4)是特称命题，且为真命题．命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形． [一点通]1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.答案：B6．若“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意，问题等价于对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0恒成立．当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－1,0]答案：(－1,0]7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；(2)改变量词；(3)否定结论；(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．[对应课时跟踪训练三]1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：A2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立C ．对任意x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．对任意x ∈R ，f (x )≤0成立解析：“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.答案：A3．下列命题为真命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有cos x ＜2成立 B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)＜0成立 C ．对任意x ＞0，都有3x＞3成立 D ．存在x ∈Q ，使方程2x －2＝0有解解析：A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.答案：A4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，使x ＞0；④对于任意实数x,2x ＋1都是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 答案：C5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是________．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称 7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。
高中数学北师大选修学业分层测评 全称量词与存在量词 含解析
学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·宁波高二检测)将“a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2”改写成全称命题是( )A ．存在a 0，b 0∈R ，使a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2B ．存在a 0＜0，b 0＞0，使a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2C ．存在a 0＞0，b 0＞0，有a 20＋b 20＋2a 0b 0＝(a 0＋b 0)2D ．对所有a ，b ∈R ，有a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2【解析】 a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2是全称命题，隐藏了“对所有a ，b ∈R ”．【答案】 D2．下列命题中的真命题是( )A ．存在x 0∈N ，使4x 0<－3B ．存在x 0∈Z ，使2x 0－1＝0C ．对任意x ∈R,2x ＞x 2D ．对任意x ∈R ，x 2＋2＞0【解析】 当x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋2≥2＞0【答案】 D3．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x【解析】 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥12x .【答案】 D4．非空集合A、B满足A B，下面四个命题中正确的个数是()①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1B．2C．3D．4【解析】根据A B知，①②④正确，③错误．【答案】 C5．(2016·广东梅州一模)下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，tan x＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝110时，lg110＝－1＜1；显然D正确．【答案】 B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】 改变量词并否定判断词．【答案】 存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意可知，命题“对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m 2－4(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6.【答案】 [2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a 、b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解；(2)存在实数x ，使得1x 2－2x ＋3＝34. 【解】 (1)该命题是全称命题．当a ＝0，b ≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴1x 2－2x ＋3≤12＜34. 故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】 (1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是() A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0＞2【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】 B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】 A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t ∈(0,2]，∴a 2－a ＜t ＋1t 2. 要使上式在t ∈(0,2]上恒成立，只需求出f (t )＝t ＋1t 2在t ∈(0,2]上的最小值即可． ∵f (t )＝t ＋1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14， 且1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，∴f (t )min ＝f (2)＝34. ∴a 2－a ＜34.∴－12＜a ＜32.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。
全称量词和全称命题-高中数学知识点讲解(含答案)
全称量词和全称命题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ⊆，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ⊆，B U ⊆，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A UC A f x f x +=；②对x U ∀∈，若A B ⊆，则()()A B f x f x ； ③对，有()()()A B ABf x f x f x =；④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是( ) A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．①②③2．（2010•通州区一模）若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是( ) A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数 B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数3．（2008秋•怀柔区期末）将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是( ) A ．0a ∀>，0b >，2222()a b ab a b ++=+ B ．a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+C ．0a ∃<，0b >，2222()a b ab a b ++=+D ．a ∃，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+4．（2016秋•丰台区期末）已知函数()()sin f x ln x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0,)x e ∀∈，都有()0f x <； ②当a e 时，(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2,)x ∃∈+∞，使得0()0f x =． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共8小题）5．（2019•西城区校级模拟）写出一个满足“(0,)x ∀∈+∞，(1)()f x f x +>均成立，()f x 在(0,)+∞上不是增函数”的具体函数 ．6．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，21m x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 7．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 8．（2012秋•海淀区期末）命题:p a ∀，b R ∈，222a b ab +，则命题p ⌝是 ．9．（2013春•西城区期末）设函数()1n n f x x x =+-，其中*n N ∈，且2n ，给出下列三个结论： ①函数2()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③*n N ∀∈，且4n ，函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．其中所有正确结论的序号为 ．10．（2012•北京）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．11．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ，BU ，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A CU A f x f x +=； ②对x U ∀∈，若A B ，则()()A B f x f x ；③对x U ∀∈，有()()()A B A Bf x f x f x =； ④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是 ．12．（2009秋•昌平区校级月考）写出命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定形式： ，又如果x R ∀∈，2410ax ax ++>，实数a 的取值范围是： ．全称量词和全称命题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ⊆，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ⊆，B U ⊆，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A UC A f x f x +=；②对x U ∀∈，若A B ⊆，则()()A B f x f x ； ③对，有()()()A B ABf x f x f x =；④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是( ) A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．①②③【分析】利用特殊值法解决．先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【解答】解：利用特殊值法进行求解．设{1U =，2，3}，{1}A =，{1B =，2}．那么： 对于①有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，f U C A（1）0=，fU C A（2）1=，fU C A（3）1=．可知①正确；对于②有A f （1）1B f ==（1），A f （2）0B f =<（2）1=，A f （3）B f =（3）0=可知②正确； 对于③有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，ABf （1）1=，ABf （2）0=，ABf （3）0=．可知③正确；对于④有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，AB f （1）1=，ABf （2）1=，ABf （3）0=可知．④不正确；其中，正确结论的序号是：①、②、③． 故选：D ．【点评】本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键． 2．（2010•通州区一模）若函数2()()f x x ax a R =+∈，则下列结论正确的是( ) A ．a R ∃∈，()f x 是偶函数B ．a R ∃∈，()f x 是奇函数C ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．a R ∀∈，()f x 在(0,)+∞上是减函数【分析】当0a =时，()f x 是偶函数；有2x 的存在，()f x 不会是奇函数；在(0,)∝上，只有当0a >时，()x 在(0,)+∞上是增函数；2()g x x =在(0,)+∞上是增函数，不存在a R ∈，有()f x 在(0,)+∞上是减函数．【解答】解：当0a =时，()f x 是偶函数 故选：A ．【点评】本题通过逻辑用语来考查函数的单调性和奇偶性．3．（2008秋•怀柔区期末）将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是( ) A ．0a ∀>，0b >，2222()a b ab a b ++=+B ．a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+C ．0a ∃<，0b >，2222()a b ab a b ++=+D ．a ∃，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+【分析】根据全称命题的定义，全称命题要包含全称量词，我们利用全称量词易得到答案． 【解答】解：利用全称命题来改写． 将2222()a b ab a b ++=+改写成全称命题是： a ∀，b R ∈，2222()a b ab a b ++=+故选：B ．【点评】本题考查的知识点是全称命题的定义，属于基础题．4．（2016秋•丰台区期末）已知函数()()sin f x ln x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0,)x e ∀∈，都有()0f x <； ②当a e 时，(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2,)x ∃∈+∞，使得0()0f x =． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据函数值得特点，逐一判断即可．【解答】解：对于①当0a =时，()sin f x lnx x =-，当56x π=时，5551()sin 06662f ln πππ=->=，故不正确， 对于②a e 时，(0,)x ∀∈+∞，()1ln x a lne +>=，1sin 1x -，则()0f x >恒成立，故正确，对于③当1a =时，()(1)sin f x ln x x =+-，当2x >时，13x +>，故(1)1ln x +>，故()0f x >恒成立，故不正确， 故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性和命题的真假，属于基础题． 二．填空题（共8小题）5．（2019•西城区校级模拟）写出一个满足“(0,)x ∀∈+∞，(1)()f x f x +>均成立，()f x 在(0,)+∞上不是增函数”的具体函数 21()()2f x x =-（答案不唯一） ．【分析】根据条件写出一个函数只需要其满足条件即可，答案不唯一． 【解答】解：根据条件可写函数21()()2f x x =-，由()f x 有，2211(1)()()()2022f x f x x x x +-=+--=>，对“(0,)x ∀∈+∞成立，并且()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．故答案为：21()()2f x x =-．【点评】本题考查了根据条件写函数解析式，属基础题．6．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，21m x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【分析】由题意可知21m x -+ x R ∈恒成立，不等式恒成立问题通常用最值法，求出21x -+的最大值，则m 的范围得解【解答】解：由已知有：“x R ∀∈，21m x -+， 即21m x -+ x R ∈恒成立， 即2(1)max m x -+ x R ∈， 又当0x =时21x -+取最大值1， 即1m ，即m 的最小值为1， 故答案为：1【点评】本题考查了全称命题和全称量词，并着重考查了不等式恒成立问题，通常用最值法解决． 7．（2017秋•丰台区期末）若“x R ∀∈，22m x x -+”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【分析】要使不等式恒成立，只需m 大于右边式子的最大值即可，则问题转化为求右边函数的最大值问题． 【解答】解：222(1)1x x x -+=--+，22x x ∴-+最大值为1， x R ∀∈，22m x x -+，1m ∴，∴实数m 的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，二次函数的最值问题的求法，属于基础题，要注意总结方法，体会解题思想．8．（2012秋•海淀区期末）命题:p a ∀，b R ∈，222a b ab +，则命题p ⌝是 a ∃，b R ∈，222a b ab +< ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，P ∴⌝是：ab R ∃∈，222a b ab +<．故答案是ab R ∃∈，222a b ab +<【点评】本题考查命题的否定及全称命题与特称命题．全称命题与特称命题是互为否定命题． 9．（2013春•西城区期末）设函数()1n n f x x x =+-，其中*n N ∈，且2n ，给出下列三个结论： ①函数2()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③*n N ∀∈，且4n ，函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．其中所有正确结论的序号为 ②③ ．【分析】①判断函数22()1f x x x =+-在区间1(,1)2上取值情况．②利用33()1f x x x =+-的单调性判断．③利用根的存在定理判断．【解答】解：①因为22()1f x x x =+-，所以221111(1)10,()102424f f =>=+-=-<，所以2()f x 在区间1(,1)2上存在零点，所以①错误．②由题意知33()1f x x x =+-．因为331113(1)10,()102828f f =>=+-=-<，所以3()f x 在区间1(,1)2上存在零点，又因为33()1f x x x =+-为单调递增函数，所以函数3()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点，所以②正确．③*n N ∀∈，且4n ，11111(1)10,()()1()022222n n n n f f =>=+-=-<，所以函数()n f x 在区间1(,1)2内存在零点，所以③正确． 故答案为：②③．【点评】本题考查了函数零点的判断，判断函数零点问题主要是利用根的存在定理，判断区间短点处的函数值符合相反即可．10．（2012•北京）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是(4,2)-- ．【分析】①由于()220x g x =-时，1x ，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求②由于(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <，而()220x g x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-时成立，结合二次函数的性质可求 【解答】解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可， ()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键． 11．（2012•顺义区二模）已知全集为U ，P U ，定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对于A U ，BU ，给出下列四个结论：①对x U ∀∈，有()()1A CU A f x f x +=； ②对x U ∀∈，若A B ，则()()A B f x f x ；③对x U ∀∈，有()()()A B A Bf x f x f x =； ④对x U ∀∈，有()()()A B ABf x f x f x =+．其中，正确结论的序号是 ①、②、③ ．【分析】利用特殊值法，先设出特殊的集合U ，A ，B ，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案． 【解答】解：利用特殊值法进行求解．设{1U =，2，3}，{1}A =，{1B =，2}．那么：对于①有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，U C A f （1）0=，U C A f （2）1=，U C A f （3）1=．可知①正确； 对于②有A f （1）1B f ==（1），A f （2）0B f =<（2）1=，A f （3）B f =（3）0=可知②正确； 对于③有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，ABf （1）1=，ABf （2）0=，ABf （3）0=．可知③正确；对于④有A f （1）1=，A f （2）0=，A f （3）0=，B f （1）1=，B f （2）1=，B f （3）0=，AB f （1）1=，ABf （2）1=，ABf （3）0=可知．④不正确；故答案为：①、②、③．【点评】本题考查集合的基本运算，特值法判断选项的正误能够快速解答选择题，理解题意是本题解答的关键． 12．（2009秋•昌平区校级月考）写出命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定形式： x R ∃∈，2410ax ax ++ ，又如果x R ∀∈，2410ax ax ++>，实数a 的取值范围是： ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可．利用恒成立的条件求实数a 的取值范围．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“x R ∀∈，2410ax ax ++>”的否定是：x R ∃∈，2410ax ax ++． 当0a =时，不等式2410ax ax ++>等价为10>，满足条件． 当0a ≠时，要使2410ax ax ++>恒成立，则△21640a a =-<， 即2104a a -<，解得104a <<．综上104a <． 故答案为：x R ∃∈，2410ax ax ++；104a <． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，以及命题恒成立问题，比较 基础．。
高中数学：1.3.1全称量词与全称命题 课时训练 (北师大选修1-1))
第一章 常用逻辑用语第3.1节 全称量词与全称命题第3.2节 存在量词与特称命题1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A ．所有奇数都是质数B ．2,11x R x ∀∈+≥C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数D ．每个函数都有反函数2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是A ．2,10x R x ∀∈+=B ．2,10x R x ∃∈+=C ．,sin tan x R x x ∀∈<D ．,sin tan x R x x ∃∈<4．下列命题中的假命题是（ ）A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β5．对于下列语句（1）2,3x Z x ∃∈= （2）2,2x R x ∃∈=（3）2,302x R x x ∀∈>++ （4）2,05x R x x ∀∈>+- 其中正确的命题序号是 。
（全部填上）61a bb +=+是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
参考答案：1．B2．A3．D4．B5．（2）（3）6．不是全称命题，补充条件：1a b <-<（答案不惟一）当1a b <-<时, 0a b +>，10b +>11)(1)(2++≠++-=++b b a b b a b b a。
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第一章 常用逻辑用语
第3.1节 全称量词与全称命题
第3.2节 存在量词与特称命题
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A ．所有奇数都是质数
B ．2,11x R x ∀∈+≥
C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数
D ．每个函数都有反函数
2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥
B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥
C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥
D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤
3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A ．2,10x R x ∀∈+=
B ．2,10x R x ∃∈+=
C ．,sin tan x R x x ∀∈<
D ．,sin tan x R x x ∃∈<
4．下列命题中的假命题是（ ）
A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β
D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β
5．对于下列语句
（1）2,3x Z x ∃∈= （2）2
,2x R x ∃∈=
（3）2,302x R x x ∀∈>++ （4）2,05x R x x ∀∈>+- 其中正确的命题序号是 。
（全部填上）
611a b
b b +=++是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，
请补充必要的条件，使之成为全称命题。
参考答案：
1．B
2．A
3．D
4．B
5．（2）（3）
6．不是全称命题，补充条件：1a b <-<（答案不惟一）
当1a b <-<时, 0a b +>，10b +>
1
1)(1)(2++≠++-=++b b a b b a b b a。