2021年高二上学期9月月考数学(文)试卷含解析
2021-2022学年浙江省台州市高联成人中学高二数学文月考试卷含解析
2021-2022学年浙江省台州市高联成人中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的大致图像为（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】本题采用特值法判断即可，选择有效特值代入即可判断正确答案【详解】从选项中可知，采用特值法进行代入求解，对于函数取得，，排除A，D；取得，，排除C；得到答案选B【点睛】本题考查函数图像问题，适用特值法求解，属于基础题2. 以下给出的是计算的值的一个程序框图，如右图所示，其中判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．参考答案：A3. 若实数x，y满足不等式则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：A略4. 已知函数则等于（）A． B． C． D．参考答案：A5. 设，则方程不能表示的曲线为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆参考答案：C略6. 有一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷号恰为1，2，3，4顺序的概率等于( )A. B. C. D.参考答案：B7. 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是A．B．C．D．参考答案：B略8. 已知集合M={0,1,2,3}，N={-1,0,2}那么集合（）A、0,2B、{0,2}C、(0,2)D、{(0,2)}参考答案：B9. 已知则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：C略10. 已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有（）A．B． C．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．参考答案：y=﹣【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．12. 圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标．参考答案：（2，﹣3）【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得（x﹣2）2+（y+3）2=13∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆故答案为：（2，﹣3）【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．13. 完成下列进位制之间的转化：＝________（10）=_______（7）参考答案： 45，6314. 若椭圆的离心率为，则m 的值等于 ▲ 。
湖北省沙市2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含解析
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合{}215=∈<N M x x ，若{}05⋃=≤<M N x x ，则集合N 可以为（）A.{}4 B.{}45≤<x x C.{}05<<x x D.{}5<x x 2．若复数232022202320241i i i i +i i z =-+-++- ，则z =（）A.B.C.1D.23．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为60︒，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．12br B ．12b- C ．32b- D ．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.155．已知,(0,π)αβ∈，且cos 5α=，sin()10αβ+=，则αβ-=（）A ．4πB ．34πC ．4π-D ．34π-6．已知函数2()()ln 0f x x ax b x =++≥恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．函数()ln 1f x x =-与函数()πsin 2g x x =的图象交点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波拉契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为1122n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log1(14(xx x⎡⎤⎣-⎦-<+的正整数解，则n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．已知数据12310x x x x、、、、，满足：()12210i ix x i--=≤≤，若去掉110x x、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P xσ>=，若()0.34P x a<=，则0.5a=C．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i ix y i=的线性回归方程为 23y x=+，若6130iix==∑，则6163iiy==∑D．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1DD的中点，F为正方形11C CDD内一个动点（包括边界），且1//B F平面1A BE，则下列说法正确的有（）A．动点FB．1B F与1A B不可能垂直C．三棱锥11B D EF-体积的最小值为13D．当三棱锥11B D DF-的体积最大时，其外接球的表面积为25π211．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,A B 两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN NF=，则（）A．lB．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF2D．2||BF FA FD⋅>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“[]1,4x∃∈使20040x ax-+>”为假命题，则实数a的取值范围为___________.13．在ABC∆中，BC=，∠3Aπ=，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BF BC=，则AE AF⋅的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为()1,2,,7ia i= ，若47a=，123567a a a a a a++<++，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()4sin sin sin -=-A b B c A B .（1）求a 的值；（2）若ABC △的面积为()22234+-b c a ，求ABC △周长的取值范围.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21na nb =-，若数列{}nc 满足11n n n n b c b b ++=⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()12n T n λ-+≤恒成立，求λ的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,22OB OO AB AC ====.(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值；(3)求点G 到直线OD 距离的最大值.18．已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >，且)*n ∈N ，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(1)求E 的方程；(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0n Q t n ∈N ，设2nn p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21n b n n =-∈N ，求211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑.19．如果函数的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x ⎰=，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线=op ，直线x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C ⎰=+，其中C 为常数；()()2202204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，，其中Rm ∈，对[)0,a b ∞∀∈+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.1．C2．C 【详解】()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++C6．B 【详解】∵()0f x ≥恒成立，设2()g x x ax b =++，则当1x >时()0g x ≥，01x <<时()0g x <，∴(1)0g =⎧⎨≤，即101a b a b++=⇒=--⎧⎨≤，∴1a ≥-11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为x 则11,,0,242xy p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝可知MNF 为等边三角形，即且MN ∥x 轴，可知直线则直线:32p l y x ⎛⎫=- ⎪12．【详解】因为“0使00”为假命题，所以“[]1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，其等价于4≥+a x x在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.13．11814．360【解析】∵12345621+++++=，∴310S ≤，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360A A ⨯⨯=个这样的数列。
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ； 【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >， 对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误； 对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确； 对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误； 对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则 ）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项， 故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7． 故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法： （1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值； （2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。
高二数学上学期月考试题含解析 (2)
三林中学2021-2021学年高二数学上学期10月月考试题〔含解析〕一、填空题〔本大题一一共12题，满分是36分，每一小题对得3分，否那么一律不得分〕 1.数1与9的等差中项是_____. 【答案】5 【解析】 【分析】假设a 、b 、c 成等差数列,那么2b a c =+,称b 为a 、c 的等差中项,由题,故192b +=,解出b 即可【详解】设等差中项为b ,那么192b +=,5b ∴= 故答案为：5【点睛】此题考察等差中项的概念,属于根底题{}n a 满足1111n n a n a a n +=⎧⎪⎨=⎪+⎩，那么6a =__________ 【答案】16【解析】 【分析】递推公式为11n n na a n +=+,故用累乘法求得数列{}n a 的通项公式,令6n =,即可求解 【详解】由题,当2n ≥时,11n n n a a n --=,∴2112a a =,3223a a =,…, 11n n n a a n --= ∴用累乘法可得2312112123n n n a a a a a a n--⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即()2312112123n n n a a a a a a n --⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭,∴111n a a n n== ∴当6n =时,616a =故答案为：16【点睛】此题考察数列的递推公式,考察累乘法求通项公式,考察求数列的某一项{}n a 的前四项为072663,,,14916--，那么该数列的一个通项公式为_______ 【答案】()31211n n n a n+-=- 【解析】 【分析】观察数列,奇数项为非负数,偶数项为负数；分母为2n ,分子为31n -,将这些特征整理即可【详解】由题,31201111a -==,32272142a -=-=-,332263193a -==,3426341164a -=-=-,会发现奇数项为非负,偶数项为负,故用()11n +-来处理,即该数列的通项公式为()31211n n n a n+-=- 故答案为：()31211n n n a n+-=- 【点睛】此题考察归纳、猜测的应用问题,解题时应观察数列各项的特征,通过归纳猜测,即可得出该数列的一个通项公式{}n a 中，11a =-，33a =，9n a =，那么n =_____【答案】6 【解析】 【分析】将33a =代入等差数列通项公式()11n a a n d +-=中,求得d ,即得到通项公式,再将9n a =代入通项,求得n 即可【详解】设()11n a a n d +-=,()3131123a a d d ∴=+-=-+=,2d ∴=,∴通项公式为()12123n a n n =-+-=-,当9n a =时,即239n -=,6n ∴=故答案为：6【点睛】此题考察定义法求等差数列通项公式,考察等差数列的某一项,属于根底题{}n a 满足1113n n a a a +=⎧⎨=⎩，那么其通项公式n a =________【答案】13n - 【解析】 【分析】由递推公式可得数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,根据等比数列定义求出通项公式即可【详解】由题知,数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,1113n n n a a q --∴=⋅=故答案为：13n -【点睛】此题考察定义法求等比数列通项公式,属于根底题{}n a 中，n S 表示其前n 项和，假设121,4S S ==，那么3S=___________【答案】9 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质,n S 、2n n S S -、32n n S S -仍成等差数列,将值代入即可求解【详解】{}n a 是等差数列,∴1S 、21S S -、32S S -仍成等差数列,∴根据等差中项可得,()()211322S S S S S -=+-,即()324114S -=+-,39S ∴=故答案为：9【点睛】此题考察等差数列前n 项和的性质的应用,考察等差中项,属于根底题{}n a 的前n 项为22nSn n =+，那么此数列的通项公式为_____【答案】21n a n =+ 【解析】 【分析】用公式法求数列的通项公式,分别讨论当1n =和当2n ≥的情况,最后要检验【详解】当1n =时,2111213a S ==+⨯=；当2n ≥时,()()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦,检验,当1n =时,12113a =⨯+=,符合21n a n ∴=+故答案为：21n a n =+【点睛】此题考察公式法求数列的通项公式,方法如下： 〔1〕当1n =时,11a S =； 〔2〕当2n ≥时,1n n n a S S -=-；〔3〕检验,当1n =时,代入〔2〕中的n a 后判断是否与〔1〕中值一致,假设符合,那么1n n n a S S -=-；假设不符合,那么11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，那么其公比q 为____________【答案】3 【解析】 【分析】由等比中项可得2263a a a ⋅=,且等差数列{}n a ,故为()()()211152a d a d a d ++=+,可得到12d a =-,那么2a ,3a 均用1a 来表示,进一步求得公比q【详解】由题,可得2263a a a ⋅=等差数列{}n a ,∴()()()211152a d a d a d ++=+,即()120d a d -+=,0d ≠,120a d ∴+=,即12d a =-211112a a d a a a ∴=+=-=-,31111243a a d a a a =+=-=-312133a a q a a -∴===- 故答案为：3【点睛】此题考察求等比数列的公比,等比中项,考察等差数列通项公式的应用{}n a 中，其公差0d <，且满足24248,12a a a a +=⋅=，那么该数列的通项公式为____________. 【答案】210n a n =-+ 【解析】 【分析】根据2424812a a a a +=⎧⎨⋅=⎩且0d <得到2462a a =⎧⎨=⎩,代入()11n a a n d +-=中求1a 与d 后整理即可【详解】248a a +=且2412a a ⋅=∴2462a a =⎧⎨=⎩或者2626a a =⎧⎨=⎩又0d <,∴{}n a 是递减数列,24a a ∴>，∴2462a a =⎧⎨=⎩()11n a a n d +-=2141632a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩ ，182a d =⎧∴⎨=-⎩()821210n a n n ∴=--=-+故答案为：210n a n =-+【点睛】此题考察定义法求等差数列通项公式,考察由公差判断等差数列的单调性,考察解二元一次方程组{}n a 中，n S 表示其前n 项和，72450S S -=那么9S =____________【答案】810 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式为()112n n n dS na -=+,将7S 、2S 分别用其表示代入等式中,整理可得590a =,根据等差数列的性质959S a =,即得结果 【详解】等差数列{}n a ,n S 表示其前n 项和∴()112n n n dS na -=+, 7211176217252045022S S a d a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫∴-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1490a d ∴+=,即590a =19595299981022a a aS a +∴=⨯=⨯== 故答案为：810【点睛】此题考察等差数列前n 项和公式的两种形式,考察等差数列的性质,考察运算才能{}n a 满足12213,5n n n a a a a a ++==⎧⎨=-⎩，那么2019a =_____【答案】2 【解析】【分析】根据递推公式,得到32a =,43a =-,55a =-,62a =-,713a a ==,故周期为6,由周期性可得20193a a =,即可得到结果 【详解】由题, 321532a a a =-=-=,432253a a a =-=-=-,543325a a a =-=--=-,654532a a a =-=-+=-,7651253a a a a =-=-+==,6T ∴=,20196=336∴÷余3,即201932a a ==故答案为：2【点睛】此题考察数列周期性,考察数列的递推公式,考察运算才能 12.设数列{a n }的前n 项和为S n 〔n ∈N *〕，关于数列{a n }有以下三个命题： ①假设数列{a n }既是等差数列又是等比数列，那么a n ＝a n +1； ②假设S n ＝an 2+bn +c 〔a 、b 、c ∈R〕，那么数列{a n }是等差数列； ③假设S n ＝1﹣〔﹣2〕n ，那么数列{a n }是等比数列． 其中，真命题的序号是_____ 【答案】①③ 【解析】 【分析】①易得既是等差数列又是等比数列的是非0常数列；②③利用公式法证明其结论的正确性 【详解】①既是等差数列又是等比数列的是一个非0常数列,那么有1n n a a +=,故是真命题；②当2n ≥时,()()()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an b a -⎡⎤=-=++--+-+=+-⎣⎦那么()()()1212n a a n b a an b a +=++-=++,()()()22223n a a n b a an b a +=++-=++()()212322n n a a an b a an b a a ++∴-=++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,()()1222n n a a an b a an b a a +-=++-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，211n n n n a a a a +++∴-=-当1n =时,11a S a b c ==++，()()221423a S S a b c a b c a b =-=++-++=+,()()33293425a S S a b c a b c a b =-=++-++=+,()()32532a a a b a b a ∴-=+-+=,()()2132a a a b a b c a c -=+-++=-∴假设3221a a a a -=-,那么当且仅当0c 时,数列{}n a 为等差数列,题中R c ∈,故为假命题； ③当2n ≥时,()()()111121232n n n n n n a S S ---⎡⎤⎡⎤=-=-----=⋅-⎣⎦⎣⎦,()132n n a +=⋅-,()1232n n a ++=⋅-,那么()()()()11211323223232n n n n n n n n a a a a +++-+⋅-⋅-==-==⋅-⋅-； 当1n =时,()111123a S ==--=,()()2122112126a S S ⎡⎤⎡⎤=-=-----=-⎣⎦⎣⎦，()()32332121212a S S ⎡⎤⎡⎤=-=-----=⎣⎦⎣⎦,3221126263a a a a -∴==-==-, ∴数列{}n a 是以3为首项,2-为公比的等比数列,故为真命题故答案为：①③【点睛】此题考察对常数列的认知,考察等差数列,等比数列的证明二、选择题〔本大题一一共4题，满分是12分，每一小题有且只有一个正确答案，选对得3分，否那么一律不得分〕{}n a 中，n S 表示其前n 项和，假设1020100,110S S ==，那么30S =〔 〕A. 210B. 120C. 121D. 111【答案】D【分析】根据等比数列前n 项和的性质,n S 、2n n S S -、32n n S S -仍成等比数列,将值代入即可求解 【详解】由题, 等比数列{}n a ,那么有10S 、1200S S -、3020S S -仍成等比数列,∴由等比中项可得()()21030202010S S S S S ⋅-=-,即()()230100110110100S ⨯-=-30111S ∴=应选：D【点睛】此题考察等比数列前n 项和的性质的应用,属于根底题135...(21)2019246...(2)2020n n ++++-=++++的正整数n =〔 〕A. 2021B. 2021C. 2021D. 2021【答案】B 【解析】 【分析】通过观察可得,等式左侧分式的分母为连续偶数求和,分子为连续奇数求和,利用等差数列前n 项和公式整理分式,求解n 即可【详解】由题,等式左侧分式的分子为()21212n n S n n +-==；分母为2222n n T n n n +==+,∴原式22201912020n n n n n ===++,2019n ∴= 应选：B【点睛】此题考察等差数列前n 项和的公式的应用,属于根底题a ，假设该厂产量月平均增长率为P ，那么今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为〔 〕A. 12(1)p +B. 12(1)1p +-C. 11(1)p +D. 12P【解析】 【分析】今年12月份的月产量为()121a p +,增加比率应为：〔今年产量-去年产量〕÷去年产量,将式子代入整理即可【详解】由题,今年12月份的月产量为()121a p +,那么增加的比率为()()1212111a p a p a+-=+-应选：B【点睛】此题考察等比数列在实际生活中的应用,属于根底题16.某个命题与正整数有关，假设当()n k k N *=∈时该命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现当4n =时该命题不成立，那么可推得〔 〕 A. 当5n =时，该命题不成立 B. 当5n =时，该命题成立 C. 当3n =时，该命题成立 D. 当3n =时，该命题不成立【答案】D 【解析】试题分析：“当()n k k N *=∈时该命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立〞它的逆否命题为“当1n k =+时该命题不成立，那么当()n k k N *=∈时该命题也不成立〞，因为它们同真，所以当4n =时该命题不成立，那么可推得当3n =时，该命题也不成立，应选择D.考点：四种命题和数学归纳法.三、解答题：〔本大题一一共有6题，满分是52分，每一小题必须写出必要的解题步骤〕 17.在1，x ，9，y 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x ，y 的值【答案】3x =,15y =或者3x =-,21y = 【解析】 【分析】根据等比中项可得219x ⨯=；根据等差数列可得29x y +=⨯,求解即可【详解】由题, 21929x x y ⎧⨯=⎨+=⨯⎩,315x y =⎧∴⎨=⎩或者321x y =-⎧⎨=⎩即当3x =时,15y =；当3x =-时,21y =【点睛】此题考察等差中项、等比中项的应用,考察运算才能18.用数学归纳法证明：()()()2232*1211236n n n n n N ++++++=∈… 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用数学归纳法证明分两步进展:①当1n =时证明不等式左右两边相等;②假设当n k =时等式成立,应用此结论证明当1n k =+时等式也成立即可. 【详解】①当1n =时左边1=,右边()()1112116⨯++==所以左边=右边,等式成立.②假设当n k =时等式成立,即()()22321211236k k k k ++++++=…那么当1n k =+时,()222321231k k ++++++…()()()212116k k k k ++=++()()()()()()12211122366k k k k k k ++++⎡⎤+++⎣⎦==即当1n k =+时等式也成立 由①②可知, ()()22321211236n n n n ++++++=…对任意正整数都成立【点睛】此题考察了数学归纳法在证明等式中的应用,注意证明的格式和步骤,对假设成立等式的应用是关键,属于中档题.19.在正数数列{a n }中，前n 项和S n 满足：S n ＝2a n ﹣1， 〔1〕求a 1的值； 〔2〕求{a n }的通项公式. 【答案】〔1〕1〔2〕12n n a【解析】 【分析】〔1〕当1n =时,11a S =；〔2〕当2n ≥时,1n n n a S S -=-，即用公式法求解通项公式 【详解】〔1〕当1n =时,11121a S a ==-,11a ∴=〔2〕当2n ≥时,()()111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-,即12n n a a -={}∴n a 是首项为1,公比为2的等比数列,12n na【点睛】此题考察求数列首项,考察公式法求通项公式,考察等比数列通项公式{}n a 为等差数列，设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔1〕证明数列{}n b 为等比数列；〔2〕假设123123121,88b b b b b b ⋅⋅=++=，求数列{}n a 的通项公式； 〔3〕在〔2〕的条件下，当数列{}n a 的公差0d <时，求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕23n a n =-或者25n a n =-+；〔3〕4 【解析】 【分析】〔1〕借助等差数列{}n a 的定义来证明121n n n n b b b b +++=即可； 〔2〕利用等比中项先求得2b ,代入123218b b b ++=得到关于q 的方程,解出q ,由q 得到d ,再将q 代回2b 中求得1a ,整理后即得到数列{}n a 的通项公式〔3〕由题, 25n a n =-+,找到符合0n a ≥时的n 值,即找到n S 最大时的n 值,再代入等差数列的前n 项和公式即可求解 【详解】〔1〕证明：数列{}n a 为等差数列,设()11n a a n d +-=又12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112n a n b ++⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,2212n a n b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭11111122212n n n n aa a d n a nb b ++-+⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,22112111122212n n n n aa a d n a nb b ++++-++⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∴121n n n n b b b b +++=, 当1n =时,1112ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即数列{}n b 是以112a⎛⎫ ⎪⎝⎭为首项,12d⎛⎫ ⎪⎝⎭为公比的等比数列〔2〕解：由〔1〕可知3123218b b b b ⋅⋅==,212b ∴=123218b b b ++=,即222111212228b b b q q q q ++=++=,14q ∴=或者4q = 当14q =时,即1124d⎛⎫= ⎪⎝⎭,2d ∴=,此时1211122124a b b q ⎛⎫==== ⎪⎝⎭,11a ∴=-， ()()1112123n a a n d n n ∴=+-=-+-=-当4q =时,即142d⎛⎫= ⎪⎝⎭,2d ∴=-,此时1211112482a b b q ⎛⎫==== ⎪⎝⎭,13a ∴=, ()()1132125n a a n d n n ∴=+-=--=-+综上,23n a n =-或者25n a n =-+ 〔3〕0d <,∴25n a n =-+令0n a ≥,即250n -+≥,52n ∴≤, n N +∈，20a ∴>,30a <()()212max 32254n S S a a ∴==+=+-⨯+=【点睛】此题考察等比数列的证明,等差数列的通项公式以及等差数列前n 项和的最值问题{}n a 的前n 项和为n S ，其满足：12()n n nS a a =+〔1〕试求1S 的值；〔2〕利用：当2n ≥时，1n n n a S S -=-证明：数列{}2n S 为等差数列；〔3〕求数列{}n a 的通项公式。
2021北京八一中学高二(上)9月月考数学(教师版)
2021北京八一中学高二（上）9月月考数学考生须知：1.本试卷满分100分。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（3分）已知点A（2，﹣1，3）、B（1，2，3），则＝（）A．（2，﹣1，3）B．（1，2，3）C．（﹣1，3，0）D．（1，﹣3，0）2．（3分）若直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面α的位置关系为（）A．平行B．垂直C．在平面内D．斜交3．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知平面α内有一点A（2，﹣1，2），平面α的一个法向量为，则下列四个点中在平面α内的是（）A．P1（1，0，3）B．P2（1，﹣1，1）C．P3（2，﹣3，1）D．P4（﹣2，0，1）5．（3分）如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D﹣EF﹣B的平面角为锐角，记二面角D﹣EF﹣B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则（）A．β＞α，β＞γB．α＞β，β＞γC．α＞β，γ＞βD．α＞γ，γ＞β6．（3分）已知＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），若，，共面，则λ等于（）A．﹣3B．3C．﹣9D．97．（3分）四棱锥S﹣ABCD中，＝（4，﹣1，0），＝（0，3，0），＝（﹣3，1，﹣4），则这个四棱锥的高h为（）A．1B．2C．3D．48．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．A1E∥平面BFD1B．A1E⊥平面ADFC．A1，E，B，F四点共面D．二面角D1﹣BF﹣B1的平面角为钝角9．（3分）对于任意非零空间向量，给出下列三个命题：①若a1＝a2＝a3＝1，则为单位向量；②；③＝0．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．310．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AC1上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A．存在点P使得D1P与B1C不垂直B．不存在点P使得|D1P|+|A1P|＝2成立C．不存在点P使得D1P与BC所成角为D．存在点P使得平面BCP与平面DCP所成角为二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）如图，已知矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，P A⊥平面ABCD，并且P A＝，则PC的长为．12．（4分）已知＝（1，3，m），＝（2n，6，﹣4），若∥，则•＝．13．（4分）已知空间三点O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，2，1），在直线OA上有一点满足BH⊥OA，则点H的坐标为．14．（4分）中国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”若称为“鳖臑”的某三棱锥如图所示，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB ＝BC＝4，则PB与AC所成的角等于；PC与AB之间的距离等于．15．（4分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为．三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（10分）已知空间向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求；（Ⅰ）若⊥，求cos＜，＞的值．17．（10分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，设．（Ⅰ）求的值；（Ⅰ）求的值．18．（10分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．19．（12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅰ）求平面CDE与平面AEF所成锐二面角的余弦值；（Ⅰ）求点C到平面AEF的距离．20．（8分）已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，a n）∈S n，B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|．（Ⅰ）写出A＝（1，0，1，0）与B＝（0，0，1，1）的差A﹣B和距离d（A，B）；（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n；证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（B，C），d（A，C）三个数中至少有一个是偶数．2021北京八一中学高二（上）9月月考数学参考答案一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解．【解答】解：∵点A（2，﹣1，3）、B（1，2，3），∴＝（﹣1，3，0）．故选：C．【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】推导出直线l的方向向量和平面α的法向量平行，由此能求出直线l与平面α的位置关系为垂直．【解答】解：直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），∵＝﹣2，∴∥，∴直线l与平面α的位置关系为垂直．故选：B．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【分析】根据空间向量的线性运算法则，计算即可．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，所以＝+＝+＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣+﹣．故选：D．【点评】本题考查了空间向量的线性运算应用问题，是基础题．4．【分析】设所求点的坐标为P（x，y，z），由•＝0，逐一验证选项，即可．【解答】解：设所求点的坐标为P（x，y，z），则＝（x﹣2，y+1，z﹣2），∵平面α的一个法向量为，∴•＝3（x﹣2）+（y+1）+2（z﹣2）＝3x+y+2z﹣9＝0，对于选项A，3x+y+2z﹣9＝3×1+0+2×3﹣9＝0，符合，对于选项B，3x+y+2z﹣9＝3×1﹣1+2×1﹣9≠0，不符合，对于选项C，3x+y+2z﹣9＝3×2﹣3+2×1﹣9≠0，不符合，对于选项D，3x+y+2z﹣9＝3×（﹣2）+0+2×1﹣9≠0，不符合，故选：A．【点评】本题考查平面的法向量，空间向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．5．【分析】过C作CO⊥平面ABFE，垂足为O，连结EO，则α＝∠AED，β＝∠CEO，γ＝∠CEF，由此能求出结果．【解答】解：过C作CO⊥平面ABFE，垂足为O，连结EO，∵矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D﹣EF﹣B的平面角为锐角，记二面角D﹣EF﹣B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，∴α＝∠AED，β＝∠CEO，γ＝∠CEF，∵CF＞CO，∴α＞β，γ＞β．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面角、二面角、线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．【分析】由，，共面，设＝m，列方程组能求出λ的值．【解答】解：＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），∵，，共面，∴设＝m，则（2，1，﹣3）＝（﹣m+7n，2m+6n，3m+λn），∴，解得m＝﹣，n＝，解得λ＝﹣9．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】先求出平面ABCD的一个法向量，则在法向量上的投影的绝对值即为这个四棱锥的高．【解答】解：设平面ABCD的法向量为＝（x，y，z），则，即，∴，取z＝1，则＝（0，0，1），∴这个四棱锥的高h＝＝4，故选：D．【点评】本题主要考查了平面的法向量，考查了向量数量积的几何意义，是基础题．8．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果判断A，B．利用异面直线的判断方法判断C，利用D1在面BCC1B1上的射影为C1判断D．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），D1（0，0，2），D（0，0，0）对于A，＝（﹣2，﹣2，2），＝（﹣2，0，1），设平面BFD1的一个法向量＝（x，y，z），所以得，令x＝1，则z＝2，y＝1，平面BFD1的一个法向量＝（1，1，2），又＝（0，1，﹣2），所以＝﹣3，所以A1E不平行于面BFD1，所以A错误；对于B，＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（0，1，﹣2），∴，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故B正确；对于C，∵A1E⊂面ABB1A1，BF⊄面ABB1A1，且B∉A1E，所以直线A1E与BF为异面直线，故C错误；对于D，∵D1C1⊥面BCC1B1，所以二面角D1﹣BF﹣B1的平面角为锐角，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】直接利用单位向量，向量的模，向量的共线和向量的垂直的应用判断①②③的结论．【解答】解：对于任意非零空间向量，对于①：若a1＝a2＝a3＝1，则||＝，故该向量不为单位向量，故①错误；对于②：，反之不一定成立，故②错误；对于③：＝0，故③正确．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：单位向量，向量的共线，向量的垂直，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】利用线面垂直的定义易判断A选项，取特殊位置可验证B，C．【解答】解：A：因为P在面D1C1BA内，而B1C⊥面D1C1BA，所以B1C⊥D1P，所以无论P怎么移动，都有B1C⊥D1P，不存在P点使D1P与BC1不垂直，故A错．B：当P在正方体中心时，|O1P|+|A1P|＝，当P在A或C1时，|D1P|+|A1P|＝1+即：，故存在点P，使|D1P|+|A1P|＝2成立，故B错．C：因为BC∥A1D1，即D1P与BC所成的角即D1P与A1D1所成的角，P在C1时，D1P与A1D1的夹角为，P在A时，D1P与A1D1夹角为，而＜＜，所以存在符合条件的点P，故C错．故选：D．【点评】本题考查了立体几何动态点问题，属于难题．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，由线面垂直的性质得到P A⊥AC，由勾股定理求解PC即可．【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，则AC＝，因为P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则P A⊥AC，在Rt△P AC中，AC＝5，P A＝，则．故答案为：6．【点评】本题考查了空间中线段长度的求解，线面垂直的性质定理的应用，勾股定理的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于基础题．12．【分析】∥，可得，解得m，n．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴，解得m＝﹣2，n＝1．∴＝2+18+（﹣2）×（﹣4）＝28．故答案为：28．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．【分析】根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算，求解即可．【解答】解：由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，2，1），∴＝（﹣1，1，0），且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），则＝（﹣λ，λ﹣2，﹣1），又BH⊥OA，∴＝0，即（﹣λ，λ﹣2，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣2＝0，解得λ＝1，∴点H（﹣1，1，0）．故答案为：（﹣1，1，0）．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，是基础题．14．【分析】由异面直线所成角的定义结合三角形中位线定理找出PB与AC所成的角，求解三角形可得PB与AC 所成的角；再找出PC与AB的公垂线，进一步求解三角形可得PC与AB之间的距离．【解答】解：如图，分别取BC，P A，AB的中点为E，F，H，连接EF，EH，FH，由三角形中位线定理可得，EH∥AC，FH∥PB，则∠EHF（或其补角）即为PB与AC所成的角，∵P A＝AB＝BC＝4，∴PB＝AC＝，则EH＝FH＝，AF＝2，AE＝，EF＝，∴cos∠EHF＝＝，∴∠EHF＝120°，则PB与AC所成的角等于60°；取PC中点为O，连接CH，PH，AO，BO，由已知求解三角形可得AO＝BO＝PC＝，PH＝CH，则OH为异面直线PC与AB的公垂线，∴OH＝，即PC与AB之间的距离等于2．故答案为：60°；．【点评】本题考查空间中异面直线所成角及距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值的最大值，进一步可得tanθ的最大值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，3，c），（0≤a≤3，0≤c≤4），则A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，4），＝（a﹣3，3，c），＝（﹣3，﹣3，4），平面BCC1B1的法向量＝（0，1，0），∵AP⊥BD1，∴•＝﹣3（a﹣3）﹣9+4c＝0，解得c＝，∴＝（a﹣3，3，），∵AP与平面BCC1B1所成的角为θ，∴sinθ＝＝＝，∴当a＝时，sinθ取最大值为，此时cosθ＝，∴tanθ的最大值为：＝．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【分析】（Ⅰ）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；（Ⅰ）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）空间向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1），因为∥，所以存在实数k，使得，所以，解得x＝1，则＝；（Ⅰ）因为⊥，则，解得x＝﹣2，所以，故cos＜，＞＝＝．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共线定理的应用，向量数量积的坐标运算以及空间向量夹角公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）由图得到＝++，再由向量模的运算即可求得答案；（Ⅰ）表示出•＝•（﹣），代入数据运算即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可得＝+＝++，所以||²＝|++|²＝²+²+²+2•+2•+2•＝2²+1²+1²+2×2×1×cos120°+2×1×1×cos90°+2×2×1×cos120°＝4+1+1﹣2﹣2＝2，则||＝；（Ⅰ）因为＝﹣，所以•＝•（﹣）＝•﹣•＝2×1×cos120°﹣2×1×cos120°＝0．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，考查向量模的求解，数形结合思想，属于中档题．18．【分析】（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法求出直线AM和A1C所成角的余弦值；（2）点M在线段A1B1上，设，求出平面ABC1所法向量，利用夹角公式求出x，代入求出M 的坐标．【解答】解：（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），，，因为A1M＝3MB1，所以，所以，，所以．所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为；（2）由A（4，0，0），B（0，4，0），，得，，设平面ABC1的法向量为，由得，令a＝1，则b＝1，，所以平面ABC1的一个法向量为，因为点M在线段A1B1上，设，所以，因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，所以，由，得，解得x＝2或x＝6，为点M在线段A1B1上，所以x＝2，即点是线段A1B1的中点．【点评】考查向量法求直线与平面，异面直线所成的角，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题．19．【分析】以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．（Ⅰ）为平面CDE的一个法向量，证明AF∥平面CDE，只需证明＝0×2+2×0+（﹣4）×0＝0；（Ⅰ）求出平面CDE的一个法向量、平面AEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面CDE与平面AEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅰ）由点到面的距离公式可得．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CE，BC⊥CD，又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，∴DC⊥平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：A（2，0，4），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），则＝（0，2，﹣4），＝（2，0，0）．∵BC⊥CD，BC⊥CE，∴为平面CDE的一个法向量．又＝0．AF⊄平面CDE．∴AF∥平面CDE．（Ⅰ）由（I）知＝（2，0，0）为平面CDE的一个法向量，由（I）知＝（﹣2，4，﹣4），＝（0，2，﹣4）设平面AEF的一个法向量＝（x，y，z），则，∴，令z＝1，则y＝2，x＝2，∴平面AEF的一个法向量＝（2，2，1），cos＜＞＝＝，平面CDE与平面AEF所成锐二面角的余弦值为；（III）由（I）知＝（2，0，4），又平面AEF的一个法向量＝（2，2，1），所以点C到平面AEF的距离d＝＝，【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．20．【分析】（Ⅰ）由题中的定义计算距离d（A，B）即可；（Ⅰ）由题中的定义首先证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，然后证明d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）即可．（Ⅰ）结合（Ⅰ）中的结论和奇数偶数的性质即可证得题中的结论．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，A﹣B＝（|0﹣1|，|1﹣1|，|0﹣1|，|0﹣0|，|1﹣0|）＝（1，0，1，0，1），d（A，B）＝|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|＝3．（Ⅰ）证明：设A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n）∈S n，因为a i，b i∈{0，1}，所以|a i﹣b i|∈{0，1}（i＝1，2，n），从而A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|a n﹣b n|）∈S n，由题意知a i，b i，c i∈{0，1}（i＝1，2，⋯，n），当c i＝0时，|a i﹣c i|﹣|b i﹣c i|＝|a i﹣b i|，当c i＝1时，|a i﹣c i|﹣|b i﹣c i|＝|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）|＝|a i﹣b i|．所以．（Ⅰ）证明：设A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n）∈S n，d（A，B）＝k，d（A，C）＝l，d（B，C）＝h，记0＝（0，0，…，0）∈S n，由（Ⅰ）可知：，因为|a i﹣b i|∈{0，1}，，所以|b i﹣a i|（i＝1，2，⋯，n）中1的个数为k，|c i﹣a i|（i＝1，2，⋯，n）中1的个数为l，设t是使|b i﹣a i|＝|c i﹣a i|＝1成立的i的个数．则h＝l+k﹣2t，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．【点评】本题主要考查数列中的新定义及其应用，反证法及其应用等知识，属于中等题．。
北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题(含解析)
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（ ）i 1i z=-z =A.0B.1D.22.如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD AA --=A.B. C. D.1AC 1AC 1D B 1DB 3.已知，则的坐标为（ ）()()2,3,1,6,5,3A B ---ABA.B.C.D.()8,8,4--()8,8,4-()8,8,4-()8,8,4--4.如图，已知正方体的棱长为（ ）ABCD A B C D '-'''1,AA DB ⋅=''A.1D.1-5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（12,n n,αβ()()121,,2,,2,1n y n x =-=- α∥βx y +=）A. B. C.3 D.92-72-726.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数1l()0,0,1u =2l()1v =-1l 2l 为（ ）A.B.C.D.30601201507.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（ ）n αa l a n ⊥l ∥αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与,,,O A B C a OA OB OC =++ b OA OB OC =+- 不能构成空间基底的向量是（ ）,a bA. B. C. D.或OA OB OC OA OB9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，Oxyz ()2,1,1A Oxz B y C 则两点间的距离为（ ）,B CB.C.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和ABCD ,M N ,BC ADAM 夹角的余弦值为（ ）CN A. C. D.231323-二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.()2,3,1a =- a 12.已知向量且，则__________，__________.()()2,0,1,,2,1a b m =-=-a b ⊥ m =a b += 13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.l ()()1,0,1,2,0,0A B ()2,1,4P l 14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的Oxyz ()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===CD CB余弦值为__________；在的投影向量__________.CD CB a = 15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则,,a b c a ∥,b b ∥c a ∥c ②任意向量满足,,a b c ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ ③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面{},,OA OB OC221333OD OA OB OC=+- ,,,A B C D ④已知向量，若，则为钝角()()1,1,,3,,9a x b x ==-310x <,a b <>其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.1111ABCD A B C D -2,AB E =11B C（1）求证：；11AA D E ⊥（2）求平面的法向量；1D BE （3）求点到平面的距离.1A 1D BE 17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.111ABC A B C -4,D 1CC E 11A B（1）求证：平面；1C E ∥1A BD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 1A BD18.如图，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -14,2,60AB AD AA BAD ∠====与相交于点，设.1145,BAA DAA AC ∠∠==BD O 1,,AB a AD b AA c ===（1）试用基底表示向量；{},,a b c1OA （2）求的长；1OA （3）求直线与直线所成角.1OA BC19.如图，四棱锥倍，为侧棱上的点.S ABCD -P SD（1）求证：；AC SD ⊥（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；SD ⊥PAC PAC ACD （3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；SC E BE ∥PAC :SE EC 若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.z【详解】依题意，，则()i 1i 1iz =-=--z ==故选：C 2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C 3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，()()2,3,1,6,5,3A B ---所以()8,8,4AB =-故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，DB DB BB AB AD BB AB AD AA '=+=-+'''=-+且，0,0AA AB AA AD ''⋅=⋅= 所以.()21AA DB AA AB AD AA AA AB AA AD AA '''''''⋅=⋅-+=⋅-⋅+= 故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.1n ∥1n 1221y x -==-,x y 【详解】，且分别是平面的法向量，则，α ∥β12,n n ,αβ1n ∥1n 则有，故，则.1221y x -==-1,42x y =-=72x y +=故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.cos ,u v u v u v⋅<>=⋅【详解】直线方向向量，1l ()0,0,1u= 直线方向向量，2l()1v =-，1cos ,2u v u v u v ⋅<>===-⋅所以两向量夹角为，120直线和所成角为，∴1l 2l 60故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，n αal 若，则或，充分性不成立，a n ⊥ l α⊂l ∥α若，则，必要性成立，l ∥αa n ⊥所以“”是“”的必要不充分条件.a n ⊥ l ∥α故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC=-=++-+- 与不能构成空间基底；OC ∴ a b､故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解,B C 【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，()2,1,1A Oxz B 所以，()2,0,1B 因为点关于轴的对称点为点，()2,1,1A y C 所以，()2,1,1C --所以BC ==故选：D 10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，BN P AMP ∠AM CN 计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：BN BN P ,AP MP由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又分别是的中点，所以，且,M P ,BC BN MP ∥CN 12MP CN ==所以即为异面直线和的夹角的平面角，AMP∠AM CN 又易知，且，所以BN AN ⊥12PN BN ==AP ===因此，2cos 3AMP ∠==即和夹角的余弦值为.AM CN 23故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或⎛⎝【分析】求出，再根据求解即可.aa a± 【详解】因为向量，所以()2,3,1a =-a==所以，aa ±==±所以与共线的单位向量为或.a⎛ ⎝故答案为：或.⎛ ⎝12.【答案】（1）（21##0.52【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，()()2,0,1,,2,1a b m =-=-当时，所以，a b ⊥210m -=所以；12m =因为，()12,0,1,,2,12a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，5,2,02a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以.a b +==故答案为：.1213.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到cos ,,AP AB AP<>AP 'PP 'P 直线的距离.l 【详解】如图，过点作于点P PP AB'⊥P '由题意得，，()()1,1,3,1,0,1,cos ,AP AB AP AB==-<>==，所以.AP ==cos ,3AP AP AP AB PP =⋅<='='>= 故答案为：3.14.【答案】①②12()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计CD CB算公式即可求出结果.【详解】因为，()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===所以，()()0,2,2,2,2,0CD AD AC CB AB AC =-=-=-=-所以，1cos ,2CD CB CD CB CD CB ⋅<>===在的投影向量为.CD CB()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB<>=-故答案为：.()1;1,1,02-15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断1133AD AB CB=+③；当时可判断④.3x =-【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，,,a b c a ∥,b b ∥c ,λμa b λ= ，故，所以，故①正确；b c μ= a c λμ= a ∥c 对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；,a c ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，{},,OA OB OC,,A B C ，且，221333OD OA OB OC =+- ()()1211133333OD OA OA OB OC OB OA OB OC-=-+-=-+- 所以，则四点共面，所以③正确；1133AD AB CB=+ ,,,A B C D 对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.3x =-,a b 3,,b a a b =- 180故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；()2,1,1-（3.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.11A D 【小问1详解】因为是正方体，故可得面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1111A B C D又面，故可得.1D E ⊂1111A B C D 11AA D E ⊥【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：D 则可得：，()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2D B E A ()()()1111,2,0,1,0,2,2,0,0D E BE A D ==-=-设平面的法向量为，1D BE (),,m x y z =则，即，取，可得，100m D E m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩2x =1,1y z =-=故平面的一个法向量为.1D BE ()2,1,1-【小问3详解】设点到平面的距离为，1A 1D BE d 则.11A D m d m ⋅===故点到平面.1A 1D BE17.【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面1C E 1A BD 平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A 为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴1,AC AA y z ABC AC x 建立空间直角坐标系，())()()()1110,2,4,,0,2,2,,4,0,0,4,0,2,02C B D E A C ⎫⎪⎪⎭所以113 ,0,4),(2)2C E A B BD ⎫=-=-=⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，1A BD (),,n x y z = 所以，即，100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4020y z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩令，x =1,1z y ==即为平面的一个法向量，)n = 1A BD 所以，1310102C E n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又因为平面，1C E ⊄1A BD 所以平面；1C E ∥1A BD 【小问2详解】由（1）知，()),BC n == 设直线与平面所成角为，BC 1A BD θ所以，sin cos ,BC θ= 所以直线与平面.BC 1A BD 18.【答案】（1）11122OA a b c =--+（2（3）π2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；11122OA a b c =--+ （3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】()111111111;22222OA OA AA AB AD AA AB AD AA a b c =+=-++=--+=--+ 【小问2详解】，1114,2,60,45AB AD AA BAD BAA DAA ∠∠∠====== 所以，1cos604242a b a b ⋅==⨯⨯=，cos4524b c b c ⋅==⨯=，cos4548a c a c ⋅==⨯= 由（1）知，11122OA a b c =--+ 所以，22222111111322442OA a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭ 所以1OA = 【小问3详解】，BC AD b == ，21111102222OA BC a b c b a b b b c ⎛⎫⋅=--+⋅=-⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，111cos ,0OA BC OA BC OA BC ⋅==所以与所成角为，1OA BC π2所以直线与直线所成角为.1OA BC π219.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.30 :2:1SE EC =【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O 分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可,,OB OC OS x y z OC SD 证明；AC SD ⊥（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；PAC ACD （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法BE ∥PAC BE PAC 向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O ，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系如图.OB ,OC OSx y z O xyz -设底面边长为，则高.aSO =于是,,0,0,,0S D C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,0,,0,OC SD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故，从而.0OC SD ⋅= OC SD ⊥AC SD ⊥（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC DS ⎫=⎪⎪⎭ DAC ，设所求角为，则平面与平面的夹角为.OS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭θcos OS DS OS DS θ⋅==∴⋅ PAC DAC 30（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，SC E BE ∥PAC DS PAC 且.,0,DS a CS a ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 设，则CE tCS = BE BC CE BC tCS=+=+ 而，()1t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭103BE DS t ⋅=⇔= 即当时:2:1SE EC =，而不在平面内，故平面.BE DS ⊥ BE PAC BE ∥PAC。
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
上海市金山中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．与()3,4a =-同向的单位向量为b =______.2．已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________．3．已知{}|A x y x R ==∈，{}2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B =______. 4．若向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，则2a b +=______.5．已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________． 6．向量(24)(11)a b ==，，，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 7．在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，则AB AC ⋅=______.8．平面上不共线的四点O 、A 、B 、C 满足1344OC OA OB =+，则AB BC =______. 9．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅=______.10．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围是________.11．已知函数()()2lg 1x f x x x =+>，且()y g x =与()11y f x -=+互为反函数，则()g x =______.12．已知函数()22224x ax a f x x x a+-=+-在定义域内恒正，则实数a 的取值范围是______.二、单选题13．平面向量a 、b 平行的充要条件是（ ）A ．a 、b 方向相同B ． a 、b 两向量中至少有一个是零向量C ．存在实数k ，使得b ka =D ．存在不全为零的实数1k 、2k ，使得120k a k b +=14．设(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则实数a ，b 满足的关系式为（ ）A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5412a b += 15．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论，正确的是（ ） A ．lim 1n n S →+∞=- B ．lim 2015n n S →+∞= C ．()()()*2016,12016lim 1.2017n n n S n N n →+∞⎧≤≤⎪=∈⎨-≥⎪⎩ D ．以上结论都不对三、解答题17．如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的关于x ，y 的二元一次方程组无解，求实数m 的值. 18．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a B C a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积. 19．已知()2111111af x x x =-，()x R ∈. （1）当1a =时，求方程()0f x =的解集；（2）若方程()0f x =有且只有一个实数解，求实数a 的值并解该方程.20．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店a 元，写出在第()1,2,,36i i =⋅⋅⋅个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额a 为多少元（精确到0.01元）？21．在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，()222,2P ，()333,2P ，…，(),2nnP n ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，…，n A 为1n A -关于点n P 的对称点.（1）求向量02A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =.求以曲线C 为图像的函数在(]1,4上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标.参考答案1．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】先由题意设()3,4b a a =-，0a >，根据模为1，即可求出结果.【详解】因为b 与()3,4a =-同向，所以设()3,4b a a =-，0a >，又b 为单位向量，所以291b a =+=，解得15a =， 因此34,55b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭. 故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【点睛】 本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.2．【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用．3．[]2,1-【分析】先分别化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果.【详解】因为{}{}||2A x y x R x x ==∈=≥-，{}{}2|1,|1B y y x x R y y ==-+∈=≤， 因此[]2,1A B =-.故答案为：[]2,1-【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.4．2【分析】根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，所以cos1503462a b a b ⎛⎫⋅==⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 因此，2224412162a b a b a b +=++⋅=+=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型. 5．【解析】试题分析：设点，，因此，得，得点．考点：平面向量的坐标表示． 6．-3【详解】试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()26,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，∴()2()0b a b a b b λλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7．9【分析】先由题意，得到0CA CB ⋅=，再由()AB AC CB CA AC ⋅=-⋅，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，所以0CA CB ⋅=，因此()29AB AC CB CA AC CB CA CA ⋅=-⋅=-⋅+=.故答案为：9【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.8．4【分析】 先由题中条件，得到1144OC OB OA OB -=-，推出14BC BA =，从而可得出结果. 【详解】 因为1344OC OA OB =+，所以1144OC OB OA OB -=-， 即14BC BA =， 因此4ABBC =【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.9．8【分析】先由题意，得到AD AC AB =-，BD AD AB =-，求出两向量的坐标，即可得出结果.【详解】因为平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，所以AB AD AC +=，又()2,4AB =，()1,3AC =，因此()1,1AD AC AB =-=--，所以(3,5)BD AD AB =-=--，所以(1)(3)(1)(5)8AD BD ⋅=-⋅-+-⋅-=.故答案为：8【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.10．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设出P 点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设()[](),0,1P x x x ∈，而()()0,1,1,0B D ，所以()()()(),,11,AP PB PD x x x x x x ⎡⎤⋅+=⋅--+--⎣⎦()()()2,12,1221242x x x x x x x x =⋅--=-=-+，函数[]()2420,1y x x x =-+∈对称轴14x =，开口向下，故1x =时有最小值2-；14x =时，有最大值14.故取值范围为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11．()2lg 11xx x +-> 【分析】先由()y g x =与()11y fx -=+互为反函数，得到()1()g x f x +=，进而可求出结果. 【详解】因为()y g x =与()11y f x -=+互为反函数，所以()1()g x f x +=；又()()2lg 1x f x x x =+>，所以()()()12lg 11xg x f x x x =-=+->. 故答案为()2lg 11xx x +-> 【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考题型. 12．118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果.【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线； 若分子分母对应的方程是同解方程， 则有12422a aa ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即12a =； 若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数()22224x ax a f x x x a+-=+-在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于0；即24(2)0142(4)0a a a ⎧-⋅-<⎨-⋅⋅-<⎩，解得13280a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，即1832a -<<-； 当132a =-，由21208x x ++≠得，函数()f x 定义域为14x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭， 则222024x ax a x x a +->+-可化为221132160128x x x x -+>++，即22115162560124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，显然在定义域内恒成立；所以132a =-满足题意； 综上，实数a 的取值范围是118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭. 故答案为：118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【点睛】 本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型. 13．D【分析】根据向量的共线向量定理，即非零向量a 与向量b 共线的充要条件是必存在唯一实数k ，使得b ka =成立，即可得到答案. 【详解】解：因为平面向量a 、b 平行，根据向量的共线向量定理可知：若a 、b 均为0，则显然符合向量a 与向量b 共线，且存在不全为0的实数1k 、2k ，使得120k k a b +=，若a ≠0，则由两向量共线的充要条件，存在唯一实数k ，使得b ka =，符合存在不全为0的实数1k 、2k ，使得120k k a b +=，即平面向量a 、b 平行的充要条件是存在不全为零的实数1k 、2k ，使得120k k a b +=， 故选D. 【点睛】本题考查了共线向量定理，属基础题. 14．A 【分析】先由题意得到(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =，根据向量数量积，分别求出OA 与OB 在OC 方向上的投影，进而可求出结果.【详解】因为(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点， 所以(),1OA a =，()2,OB b =，()4,5OC =， 因此OA 在OC 方向上的投影为cos ,16OA OC OA OA OC OA OA OC⋅⋅<>=⋅==OB 在OC 方向上的投影为cos ,16OB OC OB OB OC OB OB OC⋅⋅<>=⋅==，又OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，=，即453a b -=. 故选：A 【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型. 15．B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 16．B 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当2017n ≥时，2016120153n n S -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由极限的运算法则，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，所以122016...1a a a ====，201723a =-，201829a =-，...… ， 所以当2017n ≥时，2016201620162113311201620161201513313n n n n S ---⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此20161lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型. 17．1m = 【分析】先由题意，得到()()11D m m =+-，()21x D m =-+，()21y D m =+，对满足0D =的m进行讨论，即可得出结果. 【详解】由题意可得：方程组为12mx y x my m +=-⎧⎨+=+⎩，()()1111m D m m m ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，()11212x D m m m -⎛⎫==-+ ⎪+⎝⎭，()21112y m D m m -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭， 当1m =-时，0x y D D D ===，方程组有无数个解； 当1m =时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，方程组无解. 所以1m =. 【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.18．(1)3C π=【解析】试题分析：（1）先根据行列式定义得()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-，再根据正弦定理化角为边得222c a b ab =+-，最后根据余弦定理求角C 的大小；（2）先根据正弦定理求a ，再根据两角和正弦公式求sin B ，最后根据三角形面积公式求面积. 试题解析：（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-； 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；（2）由4sin 5A =，c =，且sin sin a c A C =，∴85a =；由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,∴()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C =+=+=；∴1sin 2ABC S ca B ∆==. 19．（1）{}1,1-（2）当1a =-，或3a =-时，解都为-1 【分析】先由题意计算行列式，得到2()(1)(1)2f x a x a x =++--，（1）由1a =，将方程()0f x =化为2220x -=，求解，即可得出结果；（2）根据题意，得方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，分别讨论10a +=与10a +≠两种情况，即可得出结果.【详解】因为()22211111111111111a x xf x xa x x x --=-=-+ ()()2222()()112x x a x x a x a x =---++=++--，（1）当1a =时，方程()0f x =可化为2220x -=，解得1x =±， 所以方程的解集为{}1,1-；（2）由题意可得，方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，当10a +=，即1a =-时，方程可化为220x --=，解得1x =-；当10a +≠，即1a ≠-时，只需2(1)8(1)0a a ∆=-++=，即2690a a ++=，解得3a =-，此时方程为：22420x x ---=，即2210x x ++=，解得1x =-； 综上，当1a =-或3a =-时，方程的解都是1-. 【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.20．（1）4020元；（2）表达式为3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-+-=i a n 元；（3）121.69元【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即4000元，又按月利率0.5%，即可求出结果；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，根据题意，14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，进而得出1(10.5%)-=+-i i y y a ，整理，即可得出结果；（3）由题意得到360=y ，由（2）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6000400032⨯=，又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为()400010.5%4020+=元， 即到第一个月底，欠款余额为4020元；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，则有14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，3232(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-+-y y a a a a ，……11(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)...(10.5%)--=+-=+-+--+-n n i i y y a a a a整理得：3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-=+-=i i y a n ；（3）由题意可得：360=y ，所以363(10.5%)14000(10.5%)00.5%+-+-=a ，因此36364000(10.5%)0.5%121.69(10.5%)1+⋅=≈+-a 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型.21．（1）()2,4（2）()()lg 14g x x =--（3）()4213n n ⎛⎫- ⎪⋅⎪⎝⎭【分析】（1）先设点0(,)A x y ，由题意求出1(2,4)--x y A ，进而得到()22,4++x A y ，从而可求出向量02(2,4)=A A ；（2）先由题意，得到()y f x =是由曲线C 按向量02A A 平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；（3）先由1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点，得到212--=n n n n P P A A ，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设点0(,)A x y ，因为1A 为0A 关于点()11,2P 的对称点，所以1(2,4)--x y A ， 又2A 为1A 关于点()222,2P 的对称点，所以()()()242,84----x A y ，即()22,4++x A y ， 因此02(2,4)=A A ； （2）由（1）02(2,4)=A A ，因为点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像， 所以()f x 的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 因此，设曲线C 是函数()y g x =的图像，因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以()g x 也是以3为周期的周期函数， 当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，所以当(]2,1∈-x 时，()()lg 24=+-g x x ； 于是，当(]1,4x ∈时，()()lg 14g x x =--；（3）由题意，1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点. 所以在21--∆n n n A A A 中，1n P -为21n n A A --的中点，n P 为1-n n A A 的中点， 所以212--=n n n n P P A A ，因此()00224212341...2...--=+++=+++n n n n n A A A A A A A A PP P P P P ，()()()2431221,2243,22...(1),22-⎡⎤=--+--++---⎣⎦n n n n()()()22314(14)2421,21,2...1,2,,143+-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎡⎤=+++== ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭nn n n n .【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.。
天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案解析)
天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线l 的斜率是（）ABC ．D ．2．已知()2,1,3=- a ，()4,2,b x =- ，且a b ∥，则x 的值为（）A ．103B ．103-C ．6D ．-63．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（）A ．8-B ．6-C ．10D ．04．已知ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）5．在三棱锥-P ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，PC ，AD 的中点，设PA a = ，PB b =，PC c = ，则EF =（）A ．111244a b c --B ．111+244a b c- C ．111+244a b c -D ．111++244a b c- 6．已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若AF = 3FB ，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．12C D7．直线:20l kx y --=与曲线1C x =-只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．(-8．设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±9．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题10．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________.11．已知C ：224630x y x y +---=，点()20M -，是C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是__________．12．空间直角坐标系中，四面体ABCD 的各顶点(0,0,2)A ，(2,2,0)B ，(1,2,1)C ，(2,2,2)D ，则点B 到平面ACD 的距离是_______________.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.14．设点P 是曲线221(0)3x y x -=>上一动点，点Q 是圆()2221x y +-=上一动点，点()20A -，，则PA PQ +的最小值是_____________15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且PH =，则PFH ∆的面积为______．三、解答题16．（1）已知直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：(2)320a x y a -++=，若12l l ⊥，求a 值.（2）求与直线220x y --=平行且纵截距是2-的直线3l 的一般式方程.（3）若直线l 经过(2,1)A 、()21,B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角α的取值范围.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1CD AB ==，1,,BC PA AB BC N ==⊥为PD 的中点.(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC ，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由.18．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .(3)设{}n b 的前n 项和为n T ，求n a T 19．(1)若圆M 的圆心在直线1y x =-上，且圆M 过点(0,1)A ，B ，求圆M 标准方程(2)已知直线0mx ny c ++=和圆O ：221x y +=交于A ，B 两点，且O 到此直线的距离为12，求OA OB ⋅的值.(3)两圆1C ：222240x y ax a +++-=和2C ：2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，求2211a b +的最小值.20．如图，椭圆22221x y a b +=（0a b >>为A ，B ，C ，D ，且||2AB =.(1)求椭圆的方程；(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线CP，DP与直线l：4x=分别交于G、H两点.若||4GH=，求点P的坐标；(3)直线AM，BM分别与椭圆交于E，F两点，其中点1,2M t⎛⎫⎪⎝⎭满足0t≠且t贡若BME面积是AMF面积的5倍，求t的值.参考答案：1．B【分析】由图中求出直线l 的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l 的斜率.【详解】如图，直线l 的倾斜角为30°，tan30°=l .故选：B.2．D【分析】由向量a b ∥可得21342x-==-，从而得出答案.【详解】由a b ∥，则21342x-==-，则6x =-故选：D 3．D【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得23a =a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴23a =a1a4，∴21(22)a +⨯=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+982⨯×2=0，故选D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【分析】首先设点(),,2C x y x ≠±，根据条件列式，再化简求解.【详解】设(),,2C x y x ≠±，2AC BC k k ⋅=，所以222y y x x ⋅=+-，整理为：22148x y -=，2x ≠±，故选：A 5．B【分析】连接DE 由中位线性质可知12DE b =-；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.【详解】连接DE ,D ，E 分别是BC ,PC 的中点111222DE BP PB b∴==-=-()1111122444EF DF DE DA DE AD DE AB AC DE AB AC DE∴=-=-=--=-+-=---()()1111111144442244EF AB AC DE PB PA PC PA PB PA PB PC∴=---=----+=+-PA a = ，PB b =，PC c = 111111244244EF PA PB PC a b c∴=+-=+- 故选：B 6．D【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值.【详解】作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.∵AF = 3FB，∴设AF ＝3m ，BF ＝m ，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC ＝3m ，BD ＝m .因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°所以，直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，得直线AB 的斜率k ＝tan 60°=故选：D.【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.7．C【分析】确定直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，确定曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有2个交点，此时2k =，不满足题意，直线记为1l ，当直线l 经过点(1,2)时，l 与曲线C 有1个交点，此时4k =，满足题意，直线记为3l ，如图，当直线l1=，解得43k =，直线记为2l ，由图知，当24k <≤或43k =，l 与曲线C 有1个交点，故选：C 8．C【分析】根据图形的几何特性转化成双曲线的,,a b c 之间的关系求解.【详解】设另一焦点为2F ，连接2PF ，由于1PF 是圆O 的切线，则OQ a =，且1OQ PF ⊥，又Q 是1PF 的中点，则OQ 是12F PF △的中位线，则22PF a =，且21PF PF ⊥，由双曲线定义可知14PF a =，由勾股定理知2221212F F PF PF =+，2224416c a a =+，225c a =，即224b a =，渐近线方程为a y x b=±，所以渐近线方程为12y x =±．故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9．B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c ca c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.10【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，双曲线2213yx -=的渐近线方程为y =，利用点到直线的距离公式可得：d =11．20x +=或724140x y ++=【分析】按切线斜率存在不存在分类讨论，利用点到直线的距离求解.【详解】由题意得圆C ：22(2)(3)16x y -+-=，圆C 是以()23，为圆心，4为半径的圆．当直线的斜率不存在时，2x =-，与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，可设切线l 的方程为()2y k x =+．由圆C 到直线l的距离等于半径，可得4d ==．解得724k =-．所以切线方程为20x +=或724140x y ++=．故答案为：20x +=或724140x y ++=．12【分析】先求出平面ACD 的法向量n，则点B 到平面ACD 的距离是BA n n ⋅.【详解】由题可得()()121220,,，,,AC AD =-=，则设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则20220n AC x y z n AD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()1,1,1n =--.又()222,,BA =-- ，则点B 到平面ACD的距离BA nd n ⋅===13．1-【分析】由椭圆离心率和,,a b c 关系可得,a b 关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】解：由题意可得c e a ==a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b-+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122121226134y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+.故答案为：1-.14．1【分析】通过双曲线的定义得PA PQ PQ PF +=++【详解】解：设双曲线2213x y -=的右焦点为()20F ，，圆()2221x y +-=的圆心为()02M ，，如图所示：由双曲线的定义得PA PF -=，所以PA PF =，所以2221PA PQ PQ PF FQ FM MQ +=+++-+，当且仅当P ，Q 分别为线段FM 与双曲线的右支，圆的交点时取等号．故PA PQ +的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题．在解决线段的和或差的最值，常运用圆锥曲线的定义，化曲为直得以解决.15．4±【解析】设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．【详解】解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±．则PFH ∆的面积为1242t ⨯⨯=±故答案为：4±【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（1）12a =；（2）240x y --=；（3）ππ0,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】（1）根据两直线垂直的公式求解即可；（2）设3:l 20x y a -+=，再根据截距求解即可；（3）根据倾斜角与斜率的关系可得tan 1α≤，再根据倾斜角的范围求解即可.【详解】（1）因为12l l ⊥，故()1230a a ⨯-+=，解得12a =；（2）设3:l 20x y a -+=，因为纵截距是2-，故()0220a -⨯-+=，解得4a =-.故3:l 240x y --=；（3）直线l 的斜率为221112m m -=--，因为20m ≥，故211m -≤，则tan 1α≤.因为[)0,πα∈，故ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭17．(1)见解析(2)23(3)存在M ，且23DM DP =.【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于E ，以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线AN 的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD 的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DM DP λ=，[0,1]λ∈，设(),,M x y z ，求出CM ，结合已知条件可列出关于λ的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1DE =，如图，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,1,0B，()E，()1,0D -，()C ，()0,0,1P ，N Q 为PD的中点，11,22N ⎫∴-⎪⎭，则11,22AN ⎫=-⎭ ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z = ，(0,1,1)BP =-，BC =，则00m BP y z M BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，，，令1y =，解得：()0,1,1m = .11022AN m =∴⋅=-+uuu r r ，即AN m ⊥uuu r u r ，又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n a b c =，(0,0,1)AP =，1,0)AD =- ，所以00AP n c AD n b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1a =，解得(1,n =r .所以2cos ,3m n m n m n⋅==⋅u r ru r ru r r .即平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23.（3）假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.(1,)(x y z λ-+=-Q，,1,)M λλ∴-，则(,2,)CM λλ=--又直线CM 与平面PBC ，平面PBC 的一个法向量()0,1,1m =CM m CM m ⋅=uuu r uuu u r r u r ，化简得22150240λλ-+=，即()()327120λλ--=，[0,1]λ∈ ，23λ∴=，故存在M ，且23DM DP =.18．(1)2n n a =，21n b n =+；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+；(3)21222n n n n a T T +==+．【分析】（1）由等差数列的基本量法求得公比q 后可得n a ，再计算得n b ；（2）由错位相减法求和；（3）由等差数列的前n 项和公式计算．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则由已知得22222a a q a q =-，20a ≠，则220q q --=，2q =或1q =-（舍去），∴1222n n n a -=⨯=，212log 221nn b n =+=+；（2）(21)2nn n n c a b n ==+⋅，23252(21)2n n S n =⨯+⨯+++⋅ ，∴23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ，相减得231322(222)(21)2n n n S n +-=⨯++++-+⋅ 1114(12)62(21)22(12)212n n n n n -++-=+⨯+⋅=-+-⋅-，∴1(21)22n n S n +=-⋅+；（3）由（1）21n b n =+，2n n a =，2122(3221)35(221)222n n n n nn na T T ++⨯+==+++⨯+==+ ．19．(1)()2214x y ++=(2)12-(3)1【分析】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB =求出a ，可得圆心和半径，从而得到答案；（2）根据O 到此直线的距离为12，得到2π3AOB ∠=，再由数量积公式计算可得答案；（3）由圆和圆的位置关系判断出两圆外切，得到2249a b +=，再由基本不等式求解可得答案.【详解】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB ==，解得0a =，所以()0,1M -2=，圆M 标准方程为()2214x y ++=；（2）因为O 到此直线的距离为12，所以112sin 12∠==OAB ，所以π6∠=∠=OAB OBA ，即2π3AOB ∠=，1== OA OB ，所以1cos 2⋅=⋅∠=- OA OB OA OB AOB ；（3）圆1C ：()224x a y ++=，圆心()1,0C a -，半径为2，圆2C ：()2221x y b +-=，圆心()20,2C b ，半径为1，因为两圆1C 和2C 恰有三条公切线，所以两圆外切，所以123C C =3=，整理得2249a b +=，因为a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，所以()222222222211111145994⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎝⎭⎝⎭a b a b a b b a a b()11559419⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22224=a b a b即223,32==b a 时等号成立.所以2211a b+的最小值为1.20．(1)2214x y +=(2)()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)1t =±【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点P 的坐标，从而得到点,G H 的坐标，根据4GH =列出方程即可得到结果.（3）分别设直线AM ,直线BM 的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出BME 面积是AMF 面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】（1）由题意可知22222c e a AB b a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>由()42x y k x =⎧⎨=+⎩得()4,6G k 联立直线CP 的方程与椭圆方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222214161640k x k x k +++-=设()00,P x y ，则()202164214k x k --=+，所以20022284,1414k kx y k k -==++，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又因为()2,0D ，所以2224142821414DPkk k k k k --+-+==，所以直线DP 的方程为()124y x k =--，由()1244y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩得14,2H k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1642GH k k =+=，因为0k >，所以12k =或16从而得()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（3）∵()0,1A ,()0,1B -,1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭,且0t ≠,∴直线AM 的斜率为112k t =-,直线BM 斜率为232k t=,∴直线AM 的方程为112y x t =-+,直线BM 的方程为312y x t=-,由2214112x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140t x tx +-=,∴0x =,241t x t =+,∴22241,11t E t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由2214312x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120t x tx +-=,∴0x =,2129t t x =+,∴222129,99t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；∵1sin 2AMF S MA MF AMF =∠ ,1sin 2BME S MB ME BME =∠ ,AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S =△△,∴5MA MF MB ME =,即5MA MB MEMF=,又t 贡∴22541219t tt t t t tt =--++,整理方程得：()22519t t +=+,解得：1t =±.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
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2021年高二上学期9月月考数学（文）试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是．2．过（﹣5，0），（3，﹣3）两点的直线的方程一般式为．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．4．直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，则实数m= ．5．圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的方程为．6．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．7．已知直线过点（2，3），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为．8．直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为．10．下列命题正确的序号是；（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β则α⊥β11．已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围为．12．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．13．若直线y=﹣x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0，求BC所在直线．16．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）平面BDD1⊥平面AB1C．17．（1）已知△ABC顶点A（4，4），B（5，3），C（1，1），求△ABC外接圆的方程．（2）求圆心在x轴上，且与直线l1：4x﹣3y+5=0，直线l2：3x﹣4y﹣5=0都相切的圆的方程．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．xx学年江苏省徐州市邳州市运河中学高二（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，可得，即可得出．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，∴，∵θ∈[0，π），∴．故答案为：．2．过（﹣5，0），（3，﹣3）两点的直线的方程一般式为3x+8y﹣15=0．【考点】直线的一般式方程；直线的两点式方程．【分析】根据所给点坐标的特点，可以用直线的两点式求直线方程，再化一般式即可．【解答】解：因为直线过（﹣5，0），（3，﹣3），所以直线的方程为=，化为一般式为3x+8y﹣15=0，故答案为：3x+8y﹣15=0．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是①④．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由平行公理知①正确；由a⊥b，b⊥c，知a与c平行、相交或异面；由直线与平面平行的性质，知a与b平行、相交或异面；由直线与平面垂直的性质知a∥b．【解答】解：∵若a∥b，b∥c，∴由平行公理，知a∥c，故①正确；∵a⊥b，b⊥c，∴a与c平行、相交或异面，故②不正确；∵a∥γ，b∥γ，∴a与b平行、相交或异面，故③不正确；∵a⊥γ，b⊥γ，∴a∥b，故④正确．故答案为：①④．4．直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，则实数m=．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×（2﹣m）﹣2m=0，解之可得．【解答】解：因为直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，所以1×（2﹣m）﹣2m=0，解得m=故答案为：5．圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的半径，即可写出圆的标准方程．【解答】解：圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的半径为：=．所以申请的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=13．6．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为7．已知直线过点（2，3），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为3x﹣2y=0或x+2y﹣8=0．【考点】直线的截距式方程．【分析】当直线经过原点时，直线方程为：y=x．当直线不经过原点时，设直线方程为： +=1，把点P（2，3）代入解得a即可得出．【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：y=x．当直线不经过原点时，设直线方程为： +=1，把点P（2，3）代入+=1，解得a=4．∴直线方程为x+2y=8．综上可得直线方程为：3x﹣2y=0或x+2y﹣8=0，故答案是：3x﹣2y=0或x+2y﹣8=0．8．直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出AC⊥平面BB1D1D，从而四棱锥A﹣BB1D1D的体积V=，由此能求出结果．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴四棱锥A﹣BB1D1D的体积：V====．故答案为：．10．下列命题正确的序号是（1）（3）（4）；（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】根据线线垂直、线段垂直的几何特征，及面面垂直的判定方法，我们可判断（1）的正误，根据线面垂直，面面垂直及平行的几何特征，我们可以判断（2）、（3）、（4）的真假，进而得到结论．【解答】解：若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊥β，则α⊥β，故（1）正确；若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行也可能相交，故（2）不正确；若α⊥γ，则存在直线a⊂α，使a⊥γ，又由β∥γ，则a⊥β，进而得到α⊥β，故（3）正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又由m⊂β，则α⊥β，故（4）正确；故答案为：（1）、（3）、（4）11．已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围为1＜m＜121．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心坐标和半径，利用两个圆的圆心距大于半径差，小于半径和，即可求出m的范围．【解答】解：x2+y2=m是以（0，0）为圆心，为半径的圆，x2+y2+6x﹣8y﹣11=0，（x+3）2+（y﹣4）2=36，是以（﹣3，4）为圆心，6为半径的圆，两圆相交，则|半径差|＜圆心距离＜半径和，|6﹣|＜＜6+，|6﹣|＜5＜6+，5＜6+且|6﹣|＜5，＞﹣1 且﹣5＜6﹣＜5，＞﹣1 且1＜＜11，所以1＜＜11，那么1＜m＜121，另，定义域m＞0，所以，1＜m＜121时，两圆相交．故答案为：1＜m＜12112．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．13．若直线y=﹣x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．【考点】曲线与方程．【分析】曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，分类讨论求得当直线y=﹣x+b与曲线x=即恰有一个公共点时b的取值范围．【解答】解：曲线x=即x2+y2=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆．当直线y=﹣x+b经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1，当直线y=﹣x+b经过点B（0，1）时，求得b=1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=﹣x+b的距离等于半径，可得=1=1，求得b=，或b=﹣（舍去）．故当直线y=﹣x+b与曲线x=即有一个公共点时b的取值范围是，故答案为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣5，5）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由条件求出圆心，求出半径，由数形结合，只需圆心到直线的距离圆心到直线的距离小于半径和1的差即可．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为O，半径等于2，圆心到直线的距离d=，要使圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，应有＜2﹣1，即﹣5＜c＜5，故答案为（﹣5，5）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0，求BC所在直线．【考点】直线的一般式方程．【分析】先由AB的中点公式求出B点的坐标，再由AC与BE的交点求出C点的坐标，从而求出直线BC的方程．【解答】解：由题意可设B（﹣3a﹣4，a），则AB的中点D（，）必在直线CD上，∴+=0，∴a=0，∴B（﹣4，0），又直线AC方程为：y﹣2=3（x﹣2），即y=3x﹣4，由得，C（1，﹣1）．则BC所在直线为x+5y+4=0．16．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）平面BDD1⊥平面AB1C．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）记AC与BD交于点O，连接EO．证明BD1∥OE，然后证明BD1∥平面EAC．（2）通过DD1⊥AC，AC⊥BD，推出AC⊥平面BDD1，然后证明平面EAC⊥平面BDD1．【解答】证明：（1）记AC与BD交于点O，连接EO．∵O，E分别是BD，DD1的中点，∴BD1∥OE…∵OE⊂平面EAC，BD1⊄平面EAC，∴BD1∥平面EAC…（2）∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∵DD1⊥AC…又∵AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDD1…17．（1）已知△ABC顶点A（4，4），B（5，3），C（1，1），求△ABC外接圆的方程．（2）求圆心在x轴上，且与直线l1：4x﹣3y+5=0，直线l2：3x﹣4y﹣5=0都相切的圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】（1）由题意设出圆的一般式方程，把三点的坐标代入，求出D、E、F的值得答案；（2）设所求圆的圆心为（a，0），半径为r（r＞0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，由圆心到直线的距离列式求得a，r的值得答案．【解答】解：（1）设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵点A，B，C在所求的圆上，∴，解之得．故所求圆的方程为x2+y2﹣6x﹣4y+8=0；（2）设所求圆的圆心为（a，0），半径为r（r＞0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，则由题设知：，解得或．∴所求圆的方程为x2+y2=1，或（x+10）2+y2=49．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BDEC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BDEC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．【考点】点与圆的位置关系；中点坐标公式；点到直线的距离公式．【分析】（1）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，判断直线是否存在，求出k，即可求l1的方程；（2）l1的倾斜角为，直接求出l1的方程，利用直线l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l1垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；（3）l1与圆C相交于P，Q两点，直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，得到l1的直线方程．【解答】解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．∵∴∴M点坐标（4，3）．（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆．又∵三角形CPQ面积∴当d=时，S取得最大值2．∴．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．【分析】（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．【解答】解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA2的方程是：y=（x﹣r）．…解得．…解得．…于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…xx年12月8日]25302 62D6 拖22539 580B 堋38166 9516 锖31191 79D7 秗35041 88E1 裡%27535 6B8F 殏,m (27619 6BE3 毣39144 98E8 飨。