椭圆常用结论及其应用
高考数学椭圆中重要结论及其应用
一椭圆中的一些不等关系
（1）设椭圆（22221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点，
12,F F 为椭圆的两个焦点，则：
①0a x a -≤≤，0b y b
-≤≤例已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的
一点且212PF PF c = ，则此椭圆离心率的范围是______.,]32②b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）③122PF PF c -≤.
例若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心率的取值范围是______.1[,1)
3
④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.
例已知椭圆2222:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为
T ，且PT 的最小值不小于()2
a c -，则椭圆的离心率取值范围为
______.3
[,52④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 22二椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan 221θb S PF F =?例已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3练习椭圆22194
x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为_______.3535(,55
-（2）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a .
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得2122PF PF b = ，则椭圆的离心率e 的取值范围
_________.,1)2（3）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ?∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围
_________.,1)2（4）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.
21cos 2e -≥θ
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范围________.3,1)2
三椭圆的中点弦问题（1）在椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2020MN y b k x a
=- （2）在椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2020MN y a k x b
=- 例1椭圆221169x y +=，以点(1,2)M -为中点的弦所在直线的斜率为_____.（932
）例2已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为_________.（221189
x y +=）
练习1已知椭圆2217525y x +=的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为_____.11(,22-练习2已知椭圆2217525
y x +=，则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为_____.
0(22
x y x +=-<<（综合题）已知椭圆E 过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12
e =.
（1）求椭圆E 的方程；2211612x y +=（2）求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；210
x y --=（3）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异的两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（不存在）四椭圆与直线的位置关系及其弦长公式若椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，直线:(0)l y kx b k =+≠与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则弦AB 的长度为：
12AB x =-或12AB y y =-例设椭圆的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60?
，2AF FB = .
（1）求椭圆的离心率；（2）如果154
AB =，求椭圆C 的方程.l 练习1已知椭圆22:14
x C y +=，直线l 过点(1,0)E -且与椭圆相交于,A B 两点，是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积，若不存在，说明理由.
练习2已知椭圆22:14x C y +=，若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N （,M N 不与左右顶点重合），且0MA NA = ，求证：
l 定点，并求出定点的坐标.
椭圆常见结论求解离心率
椭圆离心率a c e =的求法 1.椭圆方程()01:22 22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两 点，直线l 的倾斜角为60°，FB AF 2=,求椭圆的离心率？（焦半径公式11ex a PF +=， 22ex a PF -=的应用左加右减，弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=） 2.椭圆方程()01:22 22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上 存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围？（焦准距c b 2 的应用） 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于c a ,的二元二次方程02 2 =++pc nac ma 解法）
4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ,且 FD BF 2=,则C 的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用） 5.过椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用） 6.过椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点， 若?=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(2 tan 212 PF F b S ∠==θθ ） 7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质2 2 2 c b a +=的应用） 8.椭圆142 2=+y x 的离心率为?（椭圆基本性质2 2 2 c b a +=的应用） 9.椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的焦点为21,F F ，两条准线与x 轴的交点为N M ,，若 212F F MN ≤，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）
椭圆常结论及其结论(完全版)
、焦半径 圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式： 焦点在x 轴（左焦半径） 匚=a ex 0,（右焦半径）r 2二a - ex 0,其中e 是离心率， 焦点在y 轴 MF i =a+ey °, MF 2 =a —ey 。其中F i ’F ?分别是椭圆的下上焦点- 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 .可以记为：左 加右减，上减下加? PF 1 _a-c, PF 2 _a-c 推导：以焦点在x 轴为例 如上图，设椭圆上一点 P x o , y o ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，?匸旦=e ， PM 、椭圆的第二定义+： 2椭圆常用结论 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 （0,1）内常数e ,那么这个点的 轨 迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 左对左，右对右） e 就是离心率.（点与线成对出现, 2 2 对于?爲=1，左准线h : x a b a 2 2 2 对于与二药，下准线h : y a b 2 —；上准线12 ： y - C C 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 2 焦点到准线的距离 p = ’ - C C 2 2 . 2 a - c b 宀厶" （焦参数） c B i 则 Ph =ePM |=e x 0 f 2、 f 2 > f 2 \ c 丄a c 丄a =e x ° +_ x° + ’ c z / < c 丿 a < c 丿 =a ex 。
2 2 四、若P 是椭圆： 冷■存=1上的点? F 1,F 2为焦点，若/F 1PF^ <1，则.■PF 1F 2的面积为 a b PF I PF)2 -2|PF i| PF 2 -4c 2 2PF d'i PF 2| 4a 2-2|PF 1 PF 2 -4c 2 2 PF 1I PF 2 4b 2 -2PF i PF 2 2|PFj ]PF 2「 推 导： 1 如图 S ZP F 1F ^-PF 1 PF 2 sinT 根据余弦定理，得 b tan 2 PF|2+|PF|2|F i F 2 2 同理可得 PF 2 =a - ex o 三、通径： 圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 弦AB x 轴为例, b 2 ，B bT c,- 一 c,—— I a 丿 I a J 弦AB 长度: AB 2b 2 a COS ：= 2PF i PF ? 得PF 1 PF 2 2b 2 1 COS- 1 , 1 S PF 1F 2 =?PF i PF 2 sinr =- 2 b 2 1 cos- sin r = b 2 -^^=b 2 tan- 1 cos^ 2 坐标: A
椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论 一、椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右） 对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 2 2:= 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-=（焦参数） 二、焦半径 圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式： 焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=- 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加() c a PF c a PF -≥-≥21, 推导：以焦点在x 轴为例 如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义， e PM PF =1， 则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=???? ??+=???? ??+=???? ? ????? ??--==
同理可得0 2ex a PF -= 三、通径： 圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB 坐标：???? ??-a b c A 2,，??? ? ??a b c B 2, 弦AB 长度： a b AB 2 2= 四、若P 是椭圆：12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b . 推导：如图θsin 2 12121??= ?PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos = 2 12 2 12 2 2PF PF F F PF PF ?-+ = 2 12 2121242)PF PF c PF PF PF PF ?-?-+ = 2 12 2122424PF PF c PF PF a ?-?- = 2 12 12224PF PF PF PF b ??- 得θ cos 122 21+=?b PF PF θsin 212 121??=?PF PF S F PF =θθsin cos 12212?+?b =θθcos 1sin 2+?b =2 tan 2θb
史上最全椭圆二级结论大全
专题 —史上最全椭圆二级结论大全 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2 时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直 线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L =17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意
椭圆常用结论及其应用
高考数学椭圆中重要结论及其应用 一椭圆中的一些不等关系 （1）设椭圆（22221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点， 12,F F 为椭圆的两个焦点，则： ①0a x a -≤≤，0b y b -≤≤例已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的 一点且212PF PF c = ，则此椭圆离心率的范围是______.,]32②b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）③122PF PF c -≤. 例若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心率的取值范围是______.1[,1) 3 ④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点. 例已知椭圆2222:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为 T ，且PT 的最小值不小于()2 a c -，则椭圆的离心率取值范围为 ______.3 [,52④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 22二椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θb S PF F =?例已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3练习椭圆22194 x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为_______.3535(,55 -（2）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a . 例已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得2122PF PF b = ，则椭圆的离心率e 的取值范围 _________.,1)2（3）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点 例已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ?∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围 _________.,1)2（4）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则. 21cos 2e -≥θ
椭圆中的重要结论
椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等 一?焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 2 2 例1椭圆 ? 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2 的形状. 16 12 性质一： 2 2 已知椭圆方程为 笃?爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2 ,设焦点三角形 a b PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 性质 三： h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2 已知椭圆方程为 务?每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a b 2 PF 1F 2 中 FfF 2 - V,则 COST 一1 — 2e . 2 2 一 x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上 a b 存在一点P,使得三F 1PF 2二12。0,求椭圆的离心率e 的取值范围。 二 b 2 tan —。 2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+ 着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为 F 1, F 2,设焦点三角
例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.
高考中圆锥曲线常见结论
高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
史上椭圆二级结论大全
专题118—史上最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方 程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)
椭圆的经典知识总结
椭圆知识总结 班级 姓名 椭圆的定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 =+ b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12 2 2 2=+b x a y ) 0(>>b a ，其中2 22 b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：12 2 22 =+b y a x )0(>> b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程12 222=+b y a x )0(>>b a ： 说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12 2 2 2=+ b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个 对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆12 2 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e ==22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<
最新椭圆常用结论及其推导过程资料
椭圆中重要结论 一 椭圆中的一些不等关系 （1）设椭圆（22 221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点，12,F F 为 椭圆的两个焦点，则： ① 0a x a -≤≤，0b y b -≤≤ 例 已知12,F F 是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的一点且 212PF PF c =，则此椭圆离心率的范围是______. ② b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远） ③122PF PF c -≤. 例 若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心 率的取值范围是______.1 [,1)3
④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点. 例 已知椭圆22 22:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆 心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的 最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率取值范围为______.3[,52 ④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 二 椭圆焦点三角形的结论 （1）已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =? 例 已知12,F F 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且 12PF PF ⊥，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
椭圆知识点总结
椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个 定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为 坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在 y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、 y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形， 这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ， ),0(1b B -，),0(2b B
椭圆拓展知识常用结论(应该掌握)
椭圆常用结论 一、椭圆的第一定义: 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．（口诀： 看到左焦点，想到右焦点） 二、椭圆的第二定义: 1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左， 右对右） 对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 2 1:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径 圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式： 焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=- 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加( )c a PF c a PF -≥-≥21,椭圆上的点到 焦点距离的最大值和最小值。 二、椭圆的第三定义: 在椭圆()22 22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2=1=PA PB b k k e a ?-- 证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论： 2 2 2=1=MO PB b k k e a ?--知此结论成立。 三、椭圆的焦点三角形: 1、通径： x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 B 1 B 2
椭圆常见题型总结(精.选)
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α ?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为22 1Ax By +=；
椭圆与双曲线必备经典结论
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点， 则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为 122t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则 MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0 202y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.
第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)
第一讲 椭圆中常用结论及解法技巧 【知识要点】 一．椭圆三大定义 定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值． 定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆 ． 几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b -． 二．椭圆经典结论汇总 1．AB 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则 22a b k k AB OM -=?，即 0 20 2y a x b k AB -=． 等价形式：21,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其 它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A -=?． 2．椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2 tan 22 1 θb S PF F =?． 3．过椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC = （常数）． 4．P 为椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 ||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立． 5．已知椭圆()0122 22>>=+b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥， （1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ?的 最小值是22 22 a b a b +．