椭圆常用结论及其应用
高中数学新课标椭圆常结论
高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。
二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=三、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 五、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
(完整版)椭圆形状的应用总结
(完整版)椭圆形状的应用总结简介本文档主要总结了椭圆形状在各个领域应用的情况，探讨了其重要性以及应用中的一些注意事项。
椭圆形状的基本特征椭圆是一种平面上的几何形状，与圆形类似具有中心点和半径。
椭圆的特点在于它有两个主轴，即长轴和短轴，分别表示椭圆的长度和宽度。
椭圆的形状由其离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近于圆形。
椭圆形状在实践中的应用1. 天文学领域：椭圆轨道是描述天体运动的一种常见形式，如行星绕太阳运动的椭圆轨道。
2. 电子学领域：椭圆天线在通信系统中具有重要作用，可以实现天线的方向性控制和波束聚焦。
3. 工程领域：椭圆形状常用于设计和建造桥梁、隧道、船舶等结构，具有良好的抗震性能和稳定性。
4. 统计学领域：椭圆形状可以用于描述数据集的离散程度，如椭圆散点图可以直观地反映数据的分布情况。
5. 图形图像处理领域：椭圆形状在边缘检测、图像分割等任务中广泛应用，如椭圆拟合算法可以用于识别出图像中的椭圆对象。
椭圆形状应用中的注意事项1. 椭圆的参数选择：在应用过程中需要合理选择椭圆的参数，如长轴和短轴的长度、离心率的大小等。
2. 边界条件的考虑：在实际应用中，椭圆形状可能受到各种边界条件的限制，需要对边界条件进行适当的处理。
3. 精度要求的控制：部分应用场景中对椭圆的精度要求较高，需要采用精确的计算方法或增加采样点数量进行处理。
结论椭圆形状作为一种重要的几何形状，在各个领域具有广泛的应用。
它的独特特征和形状使得它在雷达、信号处理、图像处理、工程建筑等领域起到了重要的作用。
在应用中需要注意选择合适的参数、合理处理边界条件，并注意精度要求，以确保最佳的应用效果。
椭圆的13个经典结论
椭圆的13个经典结论
椭圆被广泛应用于科学和工程领域。
下面是椭圆的13个经典结论：
1. 椭圆是一种闭合的曲线，它与两个焦点的距离之和是固定的，这个固定值称为椭圆的长轴。
2. 椭圆的中心是长轴的中点。
3. 椭圆的短轴是椭圆的宽度，是长轴的垂直线段。
4. 椭圆的离心率是一个无量纲常数，用来描述椭圆的形状，它等于长轴和短轴之间的差值与长轴之和的比值。
5. 椭圆的离心率小于1，当离心率等于0时，椭圆变成一个圆。
6. 椭圆的面积是长轴和短轴的乘积乘以π的一半。
7. 椭圆的周长没有一个简单的公式，但可以使用椭圆积分来计算。
8. 椭圆可以用焦点和一条线段来定义，这条线段被称为椭圆的直径。
9. 椭圆和直线之间的交点称为椭圆的交点。
10. 椭圆可以被切成两个相等的部分，这两个部分称为椭圆的半个。
11. 椭圆的焦点和直径的中点固定在椭圆上。
12. 椭圆是一种二次曲线，可以使用一元二次方程来表示。
13. 椭圆在几何上具有对称性，椭圆的每个点都可以通过椭圆的中心与另一点的对称轴来进行对称。
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆的结论十三个及证明
椭圆的结论十三个及证明椭圆是平面解析几何中的一类特殊曲线，由两个焦点F1和F2及到它们的距离之和等于常数2a的点动轨迹构成。
本文将介绍椭圆的定义、性质以及它们的证明。
##一、椭圆的定义椭圆的定义如下：设平面上给定两个不重合的点F1和F2，对于平面上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，那么点P的轨迹就是一个椭圆。
我们可以通过以下步骤来证明这一定义。
##二、椭圆的证明### 1.步骤1：点P在椭圆上对于任意一点P在椭圆上，我们有以下等式成立：PF1 + PF2 = 2a由于F1和F2是椭圆的两个焦点，所以对于任意时刻，PF1 + PF2的距离是恒定的，等于椭圆的主轴长2a。
所以点P在椭圆上。
### 2.步骤2：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的指标。
我们可以用离心率e来表示，它的计算公式如下：e = PF1 / a其中，a是椭圆的主轴长。
### 3.步骤3：椭圆的焦点与准线根据椭圆的定义，我们可以得到以下结论：-椭圆的焦点F1和F2在椭圆的主轴上，且在椭圆的中垂线上；-椭圆的准线是与椭圆的对称轴相交于焦点的直线。
### 4.步骤4：椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以根据椭圆的定义推导而得。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆的顶点为A(a,0)和B(-a,0)，那么椭圆的标准方程为：(x - c)² / a² + y² / b² = 1其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距，b是通过离心率计算得到的次长轴。
### 5.步骤5：椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过椭圆的标准方程得到。
设角度θ是椭圆的主轴与x轴的夹角，那么椭圆的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，0 ≤ θ ≤ 2π。
### 6.步骤6：椭圆的半焦距和焦长度椭圆的半焦距c是焦点到中心点的距离的一半，可以用以下公式表示：c = √(a² - b²)椭圆的焦长度是焦点到准线的距离，可以用以下公式表示：d = 2 * c### 7.步骤7：椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得到：S = π * a * b其中，a是椭圆的半长轴，b是通过离心率计算得到的次长轴。
椭圆常结论及其结论完全
椭圆常结论及其结论(完全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边.根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== 同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+12222=+by ax 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长2221212121211(1)()41AB x x x x x x y y ⎡⎤=+-=++-=+-⎣⎦2k k k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆的92条神仙级结论
椭圆的92条神仙级结论
椭圆是高中数学的重要内容，以下是椭圆的92条神仙级结论：
1. 若P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=2a。
2. 椭圆的焦点三角形面积公式：$\underline{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}}$。
3. 椭圆的准线方程：$\underline{x=±a^2\frac{c}{a}}$。
4. 椭圆的焦半径公式：$\underline{|PF1|=a+ex}$，$\underline{|PF2|=a-ex}$（F1为左焦点，F2为右焦点，P为椭圆上任意一点）。
5. 椭圆的切线方程：$\underline{椭圆上一点P(x_0,y_0)处的切线方程是x_0x+y_0y=1}$。
6. 椭圆的焦准距：$\underline{椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到相应准线的距离，其数值为离心率的倒数，即$p={\frac{1}{e}}$。
$0\lt e\lt1$。
椭圆的性质还有很多，同学们可以在学习中不断总结和积累。
椭圆二级结论大全(附证明)
椭圆二级结论大全（附证明）椭圆是数学中一个基础的几何概念，其形状特殊，且具有独特的性质。
本文将介绍椭圆的二级结论，涵盖椭圆的面积公式、焦点、短半轴和长半轴的关系、离心率、切线、法线等内容，并附上相关证明。
一、面积公式椭圆的面积公式为：$S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
证明：考虑通过在椭圆上取微小的弧长元素 $ds$，并连接该弧长元素两端的切线，将椭圆分成许多微小的扇形。
可以证明，每个扇形的面积可以表示为 $dS =\frac{1}{2}rds$，其中 $r$ 为扇形的半径。
因此，椭圆的面积可以表示为：$$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}r^2 d\theta$$其中 $\theta$ 为角度，$r$ 可以表示为 $r = \sqrt{a^2\cos^2\theta +b^2\sin^2\theta}$，则将其代入上式中并对 $\theta$ 进行积分得到：因此，得到椭圆的面积公式。
二、焦点椭圆的焦点是椭圆上到定点距离的和保持不变的点。
对于任意椭圆而言，它都有两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$。
同时，还有一个关于焦点的性质：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度。
证明：设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，某一点 $P$ 到焦点 $F_1$ 和$F_2$ 的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$。
则根据椭圆的定义，$d_1 + d_2$ 为常量，即$d_1 + d_2 = 2a$。
又根据椭圆上点到中心的距离与长半轴和短半轴的关系可得到 $d_1^2 = a^2 - b^2$ 和 $d_2^2 = a^2 - b^2$，将 $d_1 + d_2 = 2a$ 代入得到：$$\sqrt{a^2 - b^2} + \sqrt{a^2 - b^2} = 2a$$化简可得 $a^2 = b^2 + (\frac{1}{2}d)^2$，其中 $d$ 为焦距，即两个焦点之间的距离。
椭圆曲线最常用二级结论总结
椭圆曲线最常用二级结论总结在密码学领域中，椭圆曲线被广泛用于实现安全的加密和签名算法。
下面是对椭圆曲线最常用的二级结论的总结：1. 加法结合律（Associative Law of Addition）：对于任意三个点P、Q和R，它们位于同一条曲线上，有(P + Q) + R = P + (Q + R)。
这意味着椭圆曲线上的点相加的顺序不影响最终的结果。
2. 加法逆元（Additive Inverse）：对于椭圆曲线上的任意点P，存在一个点Q，使得P + Q = O，其中O表示无穷远点。
这个点Q称为点P的加法逆元，记作-Q = -P。
加法逆元的存在性保证了每个点在椭圆曲线上都有一个相反的点。
3. 线性性质（Linearity Property）：对于任意两个点P和Q以及一个标量k，有k(P + Q) = kP + kQ。
这意味着可以通过对点P进行重复相加来计算任意标量倍数的点。
4. 点的倍乘运算（Point Multiplication）：给定一个点P和一个标量k，在椭圆曲线上可以通过连续相加点P来计算kP。
这种运算可以高效地实现加密和签名算法中的密钥生成、加密和签名验证等操作。
5. 椭圆曲线上的离散对数问题（Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem）：椭圆曲线上的离散对数问题是指给定点P和Q，求解满足kP = Q的标量k。
该问题在当前的计算能力下被认为是难解的，从而保证了椭圆曲线加密算法的安全性。
以上是椭圆曲线最常用的二级结论总结。
这些结论对于理解和使用椭圆曲线加密和签名算法非常重要，同时也为进一步研究和开发密码学算法提供了基础。
椭圆常用结论证明
椭圆常用结论证明椭圆是数学中的一个重要概念，被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在椭圆的研究过程中，人们积累了许多常用的结论。
本文将就其中几个常见的结论进行证明。
1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
证明如下：设P(x,y)是椭圆上的任意一点。
由定义可知，PF1+PF2=2a。
根据点到坐标轴的距离公式可得PF1=√((x-c)^2+y^2)，PF2 =√((x+c)^2+y^2)。
代入得√((x-c)^2+y^2)+√((x+ c)^2+y^2)=2a。
平方两边并移项得(x-c)^2+(x+c)^2+ 2√((x-c)^2+y^2)√((x+c)^2+y^2)=4a^2。
化简得x^2 +y^2=a^2-c^2。
由此可见，椭圆的定义得证。
2.椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆的扁平程度。
离心率的计算公式为e=c/a，其中c是两个焦点之间的距离，a是椭圆的长半轴长。
证明如下：根据椭圆的定义可知，PF1+PF2=2a，PF1=e∙a，PF2=(1-e)∙a。
代入得e∙a+(1-e)∙a=2a，化简得e=c/a。
因此，椭圆的离心率的计算公式得证。
3.椭圆的焦点坐标：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个关键点，其坐标可以通过长半轴和离心率计算得出。
证明如下：设椭圆的焦点分别为F1(c,0)和F2(-c,0)，长半轴为a，离心率为e。
根据离心率的定义可知e=c/a。
将其代入焦点坐标的表示式，得到F1(c,0)和F2(-c,0)。
因此，椭圆的焦点坐标的计算得证。
以上就是椭圆常用结论的证明过程。
这些结论在解决椭圆相关问题时非常有用，可以帮助我们深入理解椭圆的性质和特点。
在实际应用中，我们可以利用这些结论进行问题求解和分析。
椭圆作为一种重要的几何形状，其研究和应用将继续对数学和其他学科的发展产生积极的影响。
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高考数学椭圆中重要结论及其应用
一椭圆中的一些不等关系
（1）设椭圆（22221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点，
12,F F 为椭圆的两个焦点，则：
①0a x a -≤≤，0b y b
-≤≤例已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的
一点且212PF PF c = ，则此椭圆离心率的范围是______.,]32②b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）③122PF PF c -≤.
例若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心率的取值范围是______.1[,1)
3
④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.
例已知椭圆2222:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为
T ，且PT 的最小值不小于()2
a c -，则椭圆的离心率取值范围为
______.3
[,52④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 22二椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan 221θb S PF F =∆例已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3练习椭圆22194
x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为_______.3535(,55
-（2）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a .
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得2122PF PF b = ，则椭圆的离心率e 的取值范围
_________.,1)2（3）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ︒∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围
_________.,1)2（4）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.
21cos 2e -≥θ
例已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范围________.3,1)2
三椭圆的中点弦问题（1）在椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2020MN y b k x a
=- （2）在椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2020MN y a k x b
=- 例1椭圆221169x y +=，以点(1,2)M -为中点的弦所在直线的斜率为_____.（932
）例2已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为_________.（221189
x y +=）
练习1已知椭圆2217525y x +=的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为_____.11(,22-练习2已知椭圆2217525
y x +=，则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为_____.
0(22
x y x +=-<<（综合题）已知椭圆E 过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12
e =.
（1）求椭圆E 的方程；2211612x y +=（2）求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；210
x y --=（3）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异的两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（不存在）四椭圆与直线的位置关系及其弦长公式若椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，直线:(0)l y kx b k =+≠与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则弦AB 的长度为：
12AB x =-或12AB y y =-例设椭圆的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60︒
，2AF FB = .
（1）求椭圆的离心率；（2）如果154
AB =，求椭圆C 的方程.l 练习1已知椭圆22:14
x C y +=，直线l 过点(1,0)E -且与椭圆相交于,A B 两点，是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积，若不存在，说明理由.
练习2已知椭圆22:14x C y +=，若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N （,M N 不与左右顶点重合），且0MA NA = ，求证：
l 定点，并求出定点的坐标.。