集合知识框架

内容 基本要求集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，知识内容高考要求模块框架集合记作A b ∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。

<教师备案>⑴集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他的概念给它下定义，所以集合是不定义的概念，只能做描述性的说明．⑵构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何．．对象．例：{小明，机器猫，哈里波特}⑶正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．①任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素，这是集合中元素的最基本的特征——确定性，反例：“很小的数”，“个子较高的同学”； ②集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素——互异性，事实告诉我们，集合中元素的互异性常被忽略，从而导致解题出错．例：方程2(1)(2)0x x --=的解集不能写成{1,1,2}，而应写成{1,2}③在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序——无序性 例：集合{,,}a b c 与集合{,,}b c a 是相同集合 ⑷用描述法表示集合，对其元素的属性要准确理解．例如：集合{}2x y x =表示自变量x 值的全体，即{}x x ∈R ；集合{}2y y x =表示函数值y 的全体，即{}0y y ≥；集合{}2()x y y x =，表示抛物线2y x =上的点的全体，是点的集合（一条抛物线）；而集合{}2y x =则是用列举法表示的单元素集．⑸关于集合的表示方法之间的转换例如：①63A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z N ，，用列举法表示为{}0124569A =，，，，，， ②a b A x x a b a b ⎧⎫⎪⎪==+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，是非零实数，用列举法表示为{}202A =-，，2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。

<教师备案>⑴强调说明，加深印象：①表示元素和集合之间的关系：属于“∈”和不属于“∉” ②表示集合与集合之间的关系：包含关系：如果对于任意a A a B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇；注意提示：A A ⊆，A ∅⊆真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或BA ）相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且．B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =注意提示：如果“A B ⊆”，那么有A B =或A B ，两种情况二者必居其一；而AB 是不允许A B =，所以即使A B ⊆，AB 不一定成立；反之，A B 可以说A B ⊆；A B =也可说A B ⊆不包含关系：如果集合A 中存在着不属于集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A ．分别记作AB ，或BA⑵0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅④显然，0∉∅，0{}∉∅⑶集合中的计数问题当研究有限集合问题时，常有一些计数问题． 在计数时常用下列结论：设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n -4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

<教师备案>1．理解两个集合的并集、交集、补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集⑴能使用Venn 图表示集合的并集、交集、补集；⑵能使用数轴表示不等式或不等式组的解集和表示集合A 的补集R A2．基础知识点拨：⑴交集的概念：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈ ② Venn 图反映：BABABABA⑵并集的概念：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈或}x B ∈① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈ ② Venn 图反映：BABABA⑶补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作UA ，即{|,UA x x U =∈且}x A ∉ ①数学符号表示：{|,UA x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：AUAU()U A A U =；()U A A =∅；()UU A A =3．公式定理小结： ⑴A A ⊆；A ∅⊆；⑵若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B ，BC ，则AC ；⑶A B BA =；⑷A B A ⊆；A B B ⊆； ⑸A ∅=∅； ⑹A B B A =；⑺A A B ⊆；B A B ⊆；⑻A A ∅=⑼()U A A =∅；()U A A U =； ⑽()UU A A =5．集合的简单性质：（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。

6．集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.1．集合的概念集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念．尽管如此，对于一个具体的集合而言，很多情况下我们可以通过采用列举或者描述的方法给出它的一个准确而清晰的表示．2．集合的描述法对任给的一个性质P ，存在一个集合S ，它由恰好是具有性质P 的所有对象构成，即{|()}S x P x =，其中()P x 表示“x 具有性质P ”．3．元素与集合的关系一个集合的元素是完全确定的，同时其包含的元素之间具有无序性和互异性．对于一个确定的对象x 和一个确定的集合A ，“x A ∈”与“x A ∉”有且仅有一个成立．如果对象x 满足描述集合A 的性质，则有“x A ∈”，此时称对象x 为集合A 的元素．集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限的集合称为无限集．空集∅不含任何元素．思考：{}∅是不是空集，它的元素是什么4．集合与集合的关系集合A 包含于集合B ，即“A B ⊆”⇔“x A ∀∈，有x B ∈．”（“∀”：任给，“x A ∀∈”即“任给集合A 中的元素x ”）；集合A 真包含于集合B ，即“A B ”⇔“x A ∀∈，有x B ∈．”且“x B ∃∈，使得x A ∉．”（“∃”：存在，“x B ∃∈”即“存在集合B 中的元素x ”）；集合A 与集合B 相等，即“A B =”⇔“A B ⊆”且“B A ⊆”．思考：如何利用“∀”和“∃”通过数学语言叙述命题“对任何自然数a ，都存在整数b ，使得a b +是质数．”5．集合与集合的运算 集合的交集、并集、补集三种基本运算是通过元素与集合的关系来定义的．有时，我们还要用到集合的差集的概念．下面给出这四种运算的定义：交集：{|A B x x A =∈，且x B ∈｝，竞赛知识并集：{|A B x x A =∈，或x B ∈｝， 补集：如果有A B ⊆，则A 对B 的补集{|BA x xB =∈，且x A ∉｝．（注意前提条件，如果A B ⊆不成立，就A 对B 的补集运算就无从谈起．），当给定全集U 时，UA 常记做A ．差集：\{A B x A =∈，且x B ∉｝．利用维恩图可以直观的理解集合与集合的运算，例如交集和并集：思考：补集运算与差集运算的联系，画出补集和差集的维恩图表示．6．子集以及摩根定律 如果集合A 与集合M 间满足关系：A M ⊆，那么称集合A 是集合M 的子集．特别的，规定空集∅是任何集合的子集． 摩根定律：如果集合A 、B 都是集合M 的子集，那么()A B A B =，()A B A B =． 另外，如果集合A 、B 都是集合M 的子集，那么\M A B A B =．7．给定一个有限集，写出其所有子集的方法 写出给定有限集的所有子集的方法有很多种，在这里我们通过一个实际的例子介绍通过添加给定集合元素得到给定集合所有子集的添加元素法：例：对给定集合{1，2，3}写出其所有子集．⑴写出空集⑵将前一步得到的所有集合照抄，然后将给定集合中第一个元素添加到那些集合中，得到一些新的集合．把照抄的集合和新的集合放在一起，作为该步得到的集合．⑶与⑵类似，不过这次添加的元素为集合中的第二个元素．重复操作，直到将给定集合的所有元素都添加完毕，就得到了给定集合的所有子集．∅→∅，{1}→∅，{1}， {2}，{1，2}→∅，{1}，{2}，{1，2}→∅，{1}，{2}，{1，2}，{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 思考：写出集合{1，}∅的所有子集．8．有限集的阶 如果集合A 为有限集，那么集合A 的元素的数目叫做这个集合的阶，记做||A ．特别的，定义空集∅的阶为0．思考：如果使用维恩图表示集合，那么可以用面积表示有限集的阶．9．子集族某些集合的元素是集合，例如{A =∅，{1}，{1，2}，{2}}就是一个含有4个元素（每个元素都是集合）的集合．特别的，将集合M 的若干子集作为元素构成的集合*M 叫做集合M 的一个子集族．最简单的子集族是由有限集M 的全体子集所构成的子集族，简称为C 族．知识提要7给出的方法，其实就是得到有限集M 的C 族*M 中所有元素的方法．C 族的基本性质：如果集合M 的阶为n ，那么集合M 的C 族*M 的阶为2n ． 思考：通过写出给定有限集的所有子集的添加元素法的步骤理解C 族的基本性质．10．覆盖和集合的分划覆盖：如果对于一个集合M ，n 个非空集合1A ，2A ，…，n A 满足1ni i A M ==，则称1A ，2A ，…，n A 是集合M 的一个覆盖．集合的分划：如果1A ，2A ，…，n A 是集合M 的一个覆盖，若1A ，2A ，…，n A 两两间交集为空集，即“1i j n ∀<≤≤，i j A A =∅．”，那么这些集合的全体叫做集合M 的一个n -分划．集合M 的覆盖1A ，2A ，…，n A 构成的集合*M 一定是集合M 的一个子集族．例如集合{1,2,3,4,5}A =可以写成{1，2}{2，4，5}{3，4}，记1{1A =，2}，2{2A =，4，5}，3{3A =，4}．所以1A ，2A ，3A 是集合A 的一个覆盖，它们所构成的集合是集合A 的一个子集族，但不是集合A 的一个分划．思考：集合A 的子集族{∅，{1}，{2，3}，{4，5}｝中的元素是否构成集合A 的一个分划，给出集合A 的一个5-分划．11．分类与加法原理分类：对于某个问题，设所研究的对象的全体形成集合M ，那么对集合M 的一个n -分划又叫做研究对象的全体的一个n -分类，其中每一个子集叫做所研究对象的一个类．从集合的分划的定义，我们可以看到分类的原则：无重复（两两交集为空集）以及无遗漏（覆盖）．加法原理：如果1A ，2A ，…，n A 是有限集M 的一个n -分划，那么1||||ni i M A ==∑．特别的，对于有限集M 的一个2-分划A ，A ，有||||||M A A =+．由于补集运算对交集和并集有摩根定律()AB AB =以及()AB AB =，我们常用到变形||||||A M A =- ．12．容斥原理如果1A ，2A 为集合M 的一个覆盖，那么1212||||||||M A A A A =+-，考虑到集合的覆盖的定义，我们有121212||||||||A A A A A A =+-．由该公式在计算左端集合的元素个数时，右端采用了将“应该有的”包含进来，“不应该有的（或者重复的）”排斥出去的思想方法，所以称其为容斥原理．思考：画出容斥原理的维恩图表示．13．极端原理 最小数原理：设集合M 是实数集的一个有限非空子集，则M 中必有最小数． 推论：设集合M 是实数集的一个有限非空子集，则M 中必有最大数．最小数原理以及其推论称为极端原理．。