双曲线的简单几何性质人教A版高中数学选修第一册课件
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人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》名师课件
2
所以双曲线的离心率为e=2.
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
点拨:此题易得出错误答案 e 2 3 或2 ,其原因是未注意到0 a b
3
从而离心率e
2
而2 3
3
2 应舍去.
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探究三:直线与双曲线的位置关系
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探究三:直线与双曲线的位置关系
★▲ 重难点
例4.过点P(8,1)的直线与双曲线 x2 4y2 4 相交于A,B两点,且P是线段AB 的中点,求直线AB的方程.
解法二:设A、B两点坐标分别为 (x, y)、(16 x,2 y) ,
∵A、B为双曲线上的点
∴ x2 4y2 4
(a, 0)
无
有两条
e c 0 e 1
a
e c e 1
a
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重难点突破
1.双曲线的渐进线
（1）对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,画双曲线时应 先画出它的渐近线．
（2）要明确双曲线的渐近线是哪两条直线,过双曲线实轴的两个 端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线,它们围成一个矩 形,其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．
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探究二:运用双曲线几何性质解决简单问题
★▲ 重难点
例3.设双曲线
x2 9
y2 16
1
的半焦距为2c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且
原点到直线l的距离为 3 c ,求双曲线的离心率.
4
解:由直线l过(a,0),(0,b)两点,得直线l方程为bx ay ab 0
双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−
2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
高二数学人教A版选修1-1课件：2.2.2 双曲线的简单几何性质
(3)设所求双曲线方程为2������42 − 4������02=λ(λ≠0),过点 M(3 2,
λ=1284
−
10 40
=
12.
故双曲线方程为������2
24
−
������2 40
=
12,即1������22
−
2������02=1.
10),有
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
(4)方法一:首先确定所求双曲线的标准类型,可在图中判断一下
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
若双曲线的焦点在 y 轴上,设������������22 − ������������22=1(a>0,b>0).
同理,有������������22
=
5 4
,
2 ������2
−
���9���2=1,a2+b2=c2.
解得 b2=-127(舍去).
∴双曲线的焦点只能在 x 轴上,故所求双曲线方程为 x2-4y2=1.
(2)若是根据双曲线的渐近线求标准方程,设法为:
若双曲线的渐近线方程为 y=±������������x,则双曲线方程可表示为
������2 ������2
−
������������22=λ(λ≠0).
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 2】 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为 12,离心率为54;
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预习导引
12
顶点
性
轴长
质
离心率
渐近线
A1(-a,0),A2(a,0)
实轴长=2a,虚轴长=2b e=ac ∈(1,+∞)
高中数学新课标人教A版选修1：双曲线 课件
结论 2
平面内的动点 M 与平面
F1，F2 为双曲线的
内的两个定点 F1，F2 M 点的轨迹 焦点；
||MF1|－|MF2||＝2a
为双曲线 |F1F2|为双曲线的源自2a＜|F1F2|焦距
[提醒] (1)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (2)当 2a＞|F1F2|时，P 点不存在．
6．焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F1，F2 为双曲线
的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2 的面积为
b2 θ.
tan2
[提速度] 1．经过点 A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为
________．
解析：设双曲线的方程为 x2－y2＝λ，把点 A(5，－3)代入，得 λ＝16，故所求方程为1x62－1y62 ＝1.
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
[提醒] (1)在双曲线的标准方程中，看 x2 项与 y2 项的系数的 正负，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正， 则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”；
(2)e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大．
重点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴．对称中心：原点
2.2 双曲线
[备考领航]
课程标准解读
关联考点
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.2双曲线的简单几何性质》课件
[典例 4] 已知双曲线 3x2－y2＝3，过点 P(2,1)作一直线交 双曲线于 A，B 两点，且 P 为 AB 的中点.
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
[解] (1)法一：由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程 3x2－y2＝3，得 (3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k32－k－k2 1＝4，解得 k＝6. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝6(x－2)， 即 6x－y－11＝0.
[方法技巧] 求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定 系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择 方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为xa22－by22＝1(a>0， b>0)； ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为ay22－xb22＝1(a>0， b>0)；
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( )
(2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．
()
(3)
双
曲
线
x2 b2
－
y2 a2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
离
心
率
e
＝
c a
(其
中
c＝
a2＋b2)．
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．双曲线1x62－y2＝1 的顶点坐标是
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
[解] (1)法一：由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程 3x2－y2＝3，得 (3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k32－k－k2 1＝4，解得 k＝6. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝6(x－2)， 即 6x－y－11＝0.
[方法技巧] 求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定 系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择 方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为xa22－by22＝1(a>0， b>0)； ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为ay22－xb22＝1(a>0， b>0)；
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( )
(2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．
()
(3)
双
曲
线
x2 b2
－
y2 a2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
离
心
率
e
＝
c a
(其
中
c＝
a2＋b2)．
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．双曲线1x62－y2＝1 的顶点坐标是
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2《双曲线的简单几何性质》课时1
F1
A1
O
A2 F2
x
(3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
思考：y
1 的图像是什么？
x
图 像 无 限 靠 近 x轴 和 y轴
x轴, y轴叫做y 1 的渐进线. x
5、渐近线
双曲线 x2 y 2 1, (a 0, b 0) a2 b2
拖动下方中间的两个点绘制双曲线 图像，体会双曲线和渐近线的关系
yb a
x2 a2 b | x | a
1
a2 x2
b x 1 a2
a
x2
y
当x
时,
a2 x2
0.
说明:
O
当x 时, 双曲线上点的纵坐标
ybx a x
与y b x的纵坐标很接近. a
即y b x a
y
13
C′
C
12
A′
0
Ax
20
B′
B
x2 y2 1．若双曲线 8 － m ＝1
的渐近线方程为
y＝±2x，则实数
m
等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：由题意，得双曲线焦点在 x 轴上，且 a2＝8，b2＝m， ∴a＝2 2，b＝ m.
又渐近线方程为 y＝±2x， ∴m8＝4.∴m＝32.
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其
虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为
双曲线的简单几何性质课件课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
y
A
6．通径
∙F
1
O
F2 x
B
通径 =
+
例3 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐
标、离心率、渐近线方程.
双曲线标准方程
焦点位置
−
= （ > ， > ）
−
焦点在x轴上
= （ > ， > ）
双曲线的实轴： = ；
双曲线的虚轴： = ；
双曲线的焦距： = .
A2
O
为实半轴长；
为虚半轴长；
为半焦距.
x
y=-b
− =
( > , > )
4．渐近线
x2 y 2
活动：利用信息技术画出双曲线 1 和两条直
9
4
x y
对称中心叫做双曲线的中心.
y
3．顶点
B2
y=b
观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？
F1
双曲线与x轴的交点： 令 = 0， = ±
F2
A1
双曲线与y轴的交点：令 = 0， 得 2 = − 2 ，
方程无实数根，则双曲线与y轴无交点.
B1
双曲线的两个顶点坐标为 (−, )， (, )
行线 = ± ，四条直线围成一个矩形 (如图)．
y
B
2
b
两条直线： = ± ( ± = )
F1
a F2
A2 x
A1 O
叫做双曲线 − = ( > , > )的渐近线.
A
6．通径
∙F
1
O
F2 x
B
通径 =
+
例3 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐
标、离心率、渐近线方程.
双曲线标准方程
焦点位置
−
= （ > ， > ）
−
焦点在x轴上
= （ > ， > ）
双曲线的实轴： = ；
双曲线的虚轴： = ；
双曲线的焦距： = .
A2
O
为实半轴长；
为虚半轴长；
为半焦距.
x
y=-b
− =
( > , > )
4．渐近线
x2 y 2
活动：利用信息技术画出双曲线 1 和两条直
9
4
x y
对称中心叫做双曲线的中心.
y
3．顶点
B2
y=b
观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？
F1
双曲线与x轴的交点： 令 = 0， = ±
F2
A1
双曲线与y轴的交点：令 = 0， 得 2 = − 2 ，
方程无实数根，则双曲线与y轴无交点.
B1
双曲线的两个顶点坐标为 (−, )， (, )
行线 = ± ，四条直线围成一个矩形 (如图)．
y
B
2
b
两条直线： = ± ( ± = )
F1
a F2
A2 x
A1 O
叫做双曲线 − = ( > , > )的渐近线.
双曲线的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
返
首
页
·
29
·
情
课
景
堂
导
小
学 探
法二：设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
·
结 提
新
素
知
养
合
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14，
作
课
探 究
释
所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14，即49x2－y42＝1.
时 分 层 作
疑
业
难
返 首 页
·
30
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
[解]
方程 4x2－9y2＝－4 可化为标准方程y42－x2＝1，焦点在 y
·
提 素 养
9
合
作 探 究
轴上，这里 a2＝49，b2＝1，c2＝49＋1＝193.
课 时 分
层
释
作
疑 难
所以顶点坐标为0，23，0，－23.Biblioteka 业返 首 页·
21
·
情
课
景 导 学
焦点坐标为0，
313，0，－
313.
堂 小 结
学 ________.
·
结
探
提
新
素
知 合
5 [∵双曲线的标准方程为ax22－y92＝1(a>0)，
养
作
课
探 究
∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3ax.
时 分 层
释
作
疑 难
又双曲线的一条渐近线方程为 y＝35x，∴a＝5.]
【数学】2.2.2《双曲线的简单几何性质(1)》课件(人教A版选修1-1)
F2
X
a2 x c
a2 x c
B1
a2 x c
上述性质其研究方法各是什么？
复
习
双曲线的标准方程
形式一： x 2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b F1 F2 （焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0））
形式二： y 2
x 2 1(a 0, b 0) 2 a b
o
B1
5、渐近线方程： 6、离心率：
e=c/a 如何记忆双曲线的渐进线方程？
F2
小
结
双 曲 线
2 2
性 质 图象
y
o
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0) y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
xa
x
x a
法二：巧设方程,运用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 x 2 y 2 ( 0) ,
9 16
( 3)2 (2 3)2 9 16
1 4
x2 y2 双曲线的方程为 1 9 4 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 16 4
2.2.2 双曲线的 简单几何性质(1)
标 准 方 程
范 围
复习 椭圆的图像与性质
x2 y2 2 1 2 a b
Y
B2
|x|a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称
对称性
顶点 焦 点
对称轴 离心率 准 线
(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2+双曲线的简单几何性质
答疑解惑
AYIJIEHUO
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探究二根据几何性质求双曲线的标准方程 【例2】 求解下列各题: (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且
过点 P( 6,2),求双曲线方程; (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为53,且经过点 M(-3,2 3),求双曲线方程;
−
bx22=1(a>0,b>0)
图形
性 质
焦点 焦距 范围
F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c x≤-a 或 x≥a,y∈R
F1(0,-c),F2(0,c) y≤-a 或 y≥a,x∈R
-3-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
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答疑解惑
AYIJIEHUO
故所求双曲线方程为x2
9
−
y42=1
或y 2
9
−
4x2 81
=1.
(4)双曲线方程可化为x22-y2=1,依题意设所求双曲线的方程为
x2 2
-y2=k,将点
M(2,-2)代入,得
k=222-(-2)2=-2,
因此双曲线方程为x22-y2=-2,即y22
−
x2 4
=1.
-16-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
离心率 e=ac = 529,渐近线方程为 y=±25x.
-10-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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