数字信号处理经典例题解析

1：周期序列()()n n x 0cos ~ω=， 0ω6π=，()n x ~是由)(~t x a ()t 0cos Ω=理想抽样而得。

试求(1)()n x ~的周期;(2)()()[]n x F e X j ~=ω (3) ()t x a~=∑∞-∞=n ntj n 0e Ωα；求n α (4)()()[]t x F X a ~=Ω 解：(1) 对于周期性序列()()n n x 0cos ~ω= 因为2ωπ=6/2ππ=112=K N所以序列周期12=N(2):由题意知()n x ~是由()t x a ~理想抽样所得，设抽样间隔为s T ，抽样输出为()t xa ˆ； 易得()()[]t x F X a ~=Ω()[]t F 0cos Ω= ]2[00tj t j e e F Ω-Ω+==π()0Ω+Ωδ+π()0Ω-Ωδ由采样序列()n x ~=()nt xa ˆ，由采样定理知： ()()[]n x F e X j ~=ω=()sTaX /ˆω=ΩΩ =∑∞∞--k ss sT k T X T )2(1πω =∑∞∞--k s s T k X T )2(1πω=)]26()26([1sk s s T k T k T ππωπδππωπδ-++--∑∞∞- =)]26()26([ππωπδππωπδk k k -++--∑∞∞-(3) 由)(~t x a ()t 0cos Ω==200tj tj e e Ω-Ω+=∑∞-∞=n nt j n 0e Ωα得:⎪⎩⎪⎨⎧=±==其他n n n 0121α(4)由(2)得:()ΩX =π()0Ω+Ωδ+π()0Ω-Ωδ2：有限长序列()⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 6cos π()n R 12求：(1))]([)(n R F e R n j n =ω(2) ()()[]n x F e X j =ω，用)(ωj N e R 表示; (3)求(2)中()ωj e X 的采样值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 122π 110≤≤k ; (4)()()[]n x DFT k X =;(5):求第(3)问中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 122π的IDFT 变换; (6)：求()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=n R n F eX j 2416cos πω的采样值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 2421π230≤≤k ; (7):求第(6)问中的采样序列()n x 1; (8):第(2)问中()ωj e X 的采样值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 242π对应的采样序列。

.解:(1))]([)(n R F e R n j n =ω=∑-=1)(N n nj N e n R ω=2/2/2/2/2/2/11ωωωωωωωωj j N j N j j N j j N j ee e e e e e e --------⋅=-- =)2/sin()2/sin(2/2/ωωωωN e e j N j ⋅--容易看出在主值周期内当0=ω时)(ωj n e R N =，当)10(2-≤≤=N k Nk πω时)(ωj n e R =0 (2)根据公式()()[]()()ωωπj j e Y e X n y n x F *=21=θπθωππθd e Y e X j j )()(21)(--⎰又由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛n F 6cos π=)]26()26([ππωπδππωπδk k k -++--∑∞∞-则 ()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛==n R n F n x F eX j 126cos πω=θππθπδππθπδπππθωd e R k k k j ⎰∑-∞-∞=--++--)()]26()26([21)(12 =θπθπδπθπδπππθωd e R j ⎰--++-)()]6()6([21)(12 =+-)(21)6(12πωj e R )(21)6(12πω+j e R(3)易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 122π是对()ωj e X 进行间隔为122π的等间隔采样所得,由(1)知在主值周期内当0=ω时)(ωj n e R N =，当)10(2-≤≤=N k Nk πω时)(ωj n e R =0又因为()ωj e X =+-)(21)6(12πωj eR )(21)6(12πω+j eR 所以在主值周期内πππππ26122,6122=+=-k o k 时即11,1=k 时6212122==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X π，当k 10,9,8,7,6,5,4,3,2,0=时0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X π; 即：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 122π⎩⎨⎧===10,9,8,7,6,5,4,3,2,0011,16k k (4)根据DFT 变换与序列傅里叶变换的关系：()k X =kN πωω2j ) X(e ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k Nj e X π2其中N 为()n x 的周期 所以由(3)得: ()()[]n x DFT k X =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j e X 122π⎩⎨⎧===10,9,8,7,6,5,4,3,2,0011,16k k (亦可根据公式直接求解:()()[]n x DFT k X ==kn j n en x 122110)(π-=∑=kn j n n j n jee e122110122122)(21πππ-=-∑+=∑=-+-+110)1(122)1(122)(21n k n j k n j e e ππ ⎩⎨⎧===10,9,8,7,6,5,4,3,2,0011,16k k(5)由(3)(4)易得()()n x DFT e X k j =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122π; 所以()()n R n n x e X IDFT k j 121226cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ(6)由(1)(2)可得()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=n R n F e X j 2416cos πω=+-)(21)6(24πωj e R )(21)6(24πω+j eR 所以: 在主值周期内πππππ26242,6242=+=-k o k 时即22,2=k 时122242421==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X π， 当k 23,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1,0=时0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X π; 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 2421π⎩⎨⎧===23,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1,0022,212k k (7): 根据DFT 变换与序列傅里叶变换的关系()k X kN πωω2j ) X(e ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k Nj e X π2 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 2421π()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=n R n DFT 246cos π 所以采样序列()()n R n n x 2416cos ⎪⎭⎫⎝⎛=π（8）易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k j e X 242π是对()n x 的24=N 的DFT 变换 所以对应的采样序列()=n x 2⎩⎨⎧≤≤≤≤23n 120110)(n n x3：()⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 6cos ~π由)(~t x a ()t 0cos Ω=理想采样所得(1)求()()[]n x DFS k X ~~=,并求出主值周期内的值(2)()()()[]n R n x DFT k X 2424~=，()k X 24能准确的反应)(~t x a ()t 0cos Ω=的频率成分吗？为什么？解:(1)易知()()[]n x DFS k X ~~=为()()()[]n R n x DFT k X 12~=以12=N 周期性延拓得到，因为()()()[]n R n x DFT k X 12~=⎩⎨⎧===10,9,8,7,6,5,4,3,2,0011,16k k所以()()[]n x DFS k X ~~=()⎩⎨⎧±==kl l k 其他为整数0,1126主值周期内的值为：()()()[]n R n x DFT k X 12~=⎩⎨⎧===10,9,8,7,6,5,4,3,2,0011,16k k(2):能，（原因自己分析）。

4:求解系统因果解:()()()1-+=n y n x n y ,其中)()(n n x δ= 解:对方程两边做Z 变换得:)()()(1z Y z z X z Y -+=所以()=z Y 11111)(---=-zz z X 1>z反Z 变换得()()n u z Z n y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--1111 5：(1):求线性卷积:()()n R n R 22*(2):求圆周卷积:()n R 2○3()n R 2 解(1)()n R 2的支撑区为[]1,0;则()()n R n R 22*的支撑区为[]2,0 所以()()=*n R n R 22)()(22m n R m R m -∑∞-∞==)()(212m n R m R m -∑=有()()=*0022R R 1)0()(212=-∑=m R m Rm()()=*1122R R 2)1()(212=-∑=m R m R m()()=*2222R R1)2()(212=-∑=m R m R m即：()()=*n R n R 22 ⎪⎩⎪⎨⎧==为其他正整数n n n 0122,01 (2)()n R 2的线性卷积支撑区长度为2=N ，由于圆周卷积的周期313=-+==N N L ，根据线性卷积与圆周卷积的关系可得：()n R 2○3()n R 2=()()()n R n R n R 322]~~[⋅*=()()n R n R 22*=⎪⎩⎪⎨⎧==为其他正整数n n n 0122,01 6：画时域抽样8点FFT 的流程图。

解:见课本图3--5(P 109)7:1(3)中n α与3(1)()k X 满足等式∑∞-∞=+=l lN k N k X )()(α,12=N 。

（自证）。