郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第6章 信号的矢量空间分析【圣才出品
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表 6-1-3 实内积空间满足的公理
设 C 是复线性空间，如果对于 C 中任意两元素 x，y，均有一复数与之对应，记为 〈x，y〉，〈x，y〉为复内积空间应满足以下公理，如表 6-1-4 所示。
表 6-1-4 复内积空间满足的公理
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表 6-1-1 范数常用公理
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常用的范数及其代表的物理意义如表 6-1-2 所示。 表 6-1-2 常用范数
3．内积与内积空间 设 R 是实线性空间，如果对于 R 中任意两元素 x，y，均有一实数与之对应，此实数 记为〈x，y〉，〈x，y〉为实内积空间应满足以下公理，如表 6-1-3 所示。
6.1 复习笔记
一、信号矢量空间的基本概念 1．线性空间 特点：①实质为集合；②任意两元素之和为此集合内的另一元素；③任一元素与任一 数之积为此集合内的另一元素。 常见线性空间：N 维实数空间 RN、复数空间 CN、连续时间信号空间 L、离散时间信 号空间 l。
2．范数和赋范空间 线性空间中元素 x 的范数以符号||x||表示，范数满足以下公理，如表 6-1-1 所示。
四、能量谱和功率谱 能量谱和功率谱表示信号的能量或功率谱密度在频域中随频率的变化情况，对研究信 号能量（或功率）的分布，决定信号所占有的频带等问题有重要意义，能量谱和功率谱的 重要性质如表 6-1-8 所示。
表 6-1-8 能量谱和功率谱的重要性质
五、信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析（如表 6-1-9 所示） 表 6-1-9 线性系统激励与响应的关系
【注】①实函数的自相关函数是时移 τ 的偶函数，即 R（τ）＝R（－τ）；
②复函数且为能量有限信号，相关函数性质为 R12（τ）＝R21*（－τ），R（τ）
＝R*（－τ）；
③相关系数
12
f1 t
f2
t d t
1
f12
t dt
f
2 2
t
dt
2
3．相关与卷积的比较
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表 6-1-5 能量与功率的定义
2．相关系数与相关函数 相关函数主要是为了研究两信号在时移过程中的相关性，不同的信号类别的定义方法
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也不同，如表 6-1-6 所示。
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表 6-1-6 不同信号类别相关函数的定义
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六、匹配滤波器 性能：①以最低的错误概率判决脉冲 s（t）的有无；②滤波器的性能与信号 s（t）的 特性取得某种一致；③滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率之比为最大；④增强 信号分量而同时减弱噪声分量。 匹配滤波器的重要参数如表 6-1-10 所示。
表 6-1-10 匹配滤波器的重要参数
【注】①取 k＝1，tm＝T，则有 h（t）＝s（T－t），即匹配滤波器的冲激响应是所需 信号 s（t）对垂直轴镜像并向右平移 T，这样的线性系统称为匹配滤波器或匹配接收机。
②从改善系统输出端信噪比的角度考虑，匹配滤波器是线性系统的最佳滤波器。
七、测不准原理（不定度原理）和码分复用、码分多址通信 测不准原理：对于实信号波形，系统的阶跃响应上升时间与带宽之乘积受到限制，这 两个参量不可能同时达到任意小的数值。
4．柯西—施瓦茨不等式 |〈x，y〉|2≤〈x，x〉〈y，y〉
二、信号的正交函数分解
1．正交函数
两个函数在区间（t1，t2）内正交的条件：
f t2
t1 1
t
f2 t dt 0
。
2．正交函数集
假设有 n 个函数 g1（t），g2（t），…，gn（t）构成的一个函数集，这些函数在区间
（t1，t2）内满足如下的正交特性
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码分是指利用一组正交码序列来区分各路信号，它们占用的频带和时间都可重叠。实
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相关与卷积二者的关系如表 6-1-7 所示。
表 6-1-7 相关与卷积的比较
4．相关定理 内容：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换 取共轭二者之乘积，即若已知 f1（t）↔F1（ω），f2（t）↔F2（ω），则 R12（τ） ↔F1（ω）F2*（ω）。
t2 t1
gi
t
g
j
t
dt
0, i
g t2 2
t1
i
t
dt
Ki , i
j
j
则称此函数集为正交函数集。
3．归一化正交函数集
如果对某一正交函数集有
g t2 2
t1
i
t dt Ki 1
，则称此函数集为“规格化正交函数集”
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或“归一化正交函数集”。
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第 6 章 信号的矢量空间分析
本章是利用矢量空间方法研究信号理论的重要一章，本章介绍了线性矢量空间的基本 理论，介绍了正交分解以及一些常用的正交函数集，引入了相关运算，分析了信号通过线 性系统的自相关函数、能量谱和功率谱。学完本章读者应该掌握相关的计算以及与卷积运 算的区别，能够求出常见信号的能量谱与功率谱，重点掌握匹配滤波器涉及到的重要参数， 重点掌握方均误差的求法和沃尔什函数的正交展开式。
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4．完备正交函数集和帕塞瓦尔定理 常用的完备正交函数集有三角函数集、复指数函数集、勒让德多项式、拉德马赫函数 集和沃尔什函数集等。对于完备正交函数与规格化完备正交函数应满足帕塞瓦尔方程
这一约束规律称为帕塞瓦尔定理。
三、相关 1．能量信号与功率信号 如果信号 f（t）的能量有界（0＜E＜∞，P＝0），称 f（t）为能量有限信号，简称为 能量信号。如果信号 f（t）的功率有界（0＜P＜∞，E＝∞），称 f（t）为功率有限信号， 简称为功率信号，各自计算的公式如表 6-1-5 所示。
设 C 是复线性空间，如果对于 C 中任意两元素 x，y，均有一复数与之对应，记为 〈x，y〉，〈x，y〉为复内积空间应满足以下公理，如表 6-1-4 所示。
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表 6-1-1 范数常用公理
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常用的范数及其代表的物理意义如表 6-1-2 所示。 表 6-1-2 常用范数
3．内积与内积空间 设 R 是实线性空间，如果对于 R 中任意两元素 x，y，均有一实数与之对应，此实数 记为〈x，y〉，〈x，y〉为实内积空间应满足以下公理，如表 6-1-3 所示。
6.1 复习笔记
一、信号矢量空间的基本概念 1．线性空间 特点：①实质为集合；②任意两元素之和为此集合内的另一元素；③任一元素与任一 数之积为此集合内的另一元素。 常见线性空间：N 维实数空间 RN、复数空间 CN、连续时间信号空间 L、离散时间信 号空间 l。
2．范数和赋范空间 线性空间中元素 x 的范数以符号||x||表示，范数满足以下公理，如表 6-1-1 所示。
四、能量谱和功率谱 能量谱和功率谱表示信号的能量或功率谱密度在频域中随频率的变化情况，对研究信 号能量（或功率）的分布，决定信号所占有的频带等问题有重要意义，能量谱和功率谱的 重要性质如表 6-1-8 所示。
表 6-1-8 能量谱和功率谱的重要性质
五、信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析（如表 6-1-9 所示） 表 6-1-9 线性系统激励与响应的关系
【注】①实函数的自相关函数是时移 τ 的偶函数，即 R（τ）＝R（－τ）；
②复函数且为能量有限信号，相关函数性质为 R12（τ）＝R21*（－τ），R（τ）
＝R*（－τ）；
③相关系数
12
f1 t
f2
t d t
1
f12
t dt
f
2 2
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2
3．相关与卷积的比较
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表 6-1-5 能量与功率的定义
2．相关系数与相关函数 相关函数主要是为了研究两信号在时移过程中的相关性，不同的信号类别的定义方法
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六、匹配滤波器 性能：①以最低的错误概率判决脉冲 s（t）的有无；②滤波器的性能与信号 s（t）的 特性取得某种一致；③滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率之比为最大；④增强 信号分量而同时减弱噪声分量。 匹配滤波器的重要参数如表 6-1-10 所示。
表 6-1-10 匹配滤波器的重要参数
【注】①取 k＝1，tm＝T，则有 h（t）＝s（T－t），即匹配滤波器的冲激响应是所需 信号 s（t）对垂直轴镜像并向右平移 T，这样的线性系统称为匹配滤波器或匹配接收机。
②从改善系统输出端信噪比的角度考虑，匹配滤波器是线性系统的最佳滤波器。
七、测不准原理（不定度原理）和码分复用、码分多址通信 测不准原理：对于实信号波形，系统的阶跃响应上升时间与带宽之乘积受到限制，这 两个参量不可能同时达到任意小的数值。
4．柯西—施瓦茨不等式 |〈x，y〉|2≤〈x，x〉〈y，y〉
二、信号的正交函数分解
1．正交函数
两个函数在区间（t1，t2）内正交的条件：
f t2
t1 1
t
f2 t dt 0
。
2．正交函数集
假设有 n 个函数 g1（t），g2（t），…，gn（t）构成的一个函数集，这些函数在区间
（t1，t2）内满足如下的正交特性
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相关与卷积二者的关系如表 6-1-7 所示。
表 6-1-7 相关与卷积的比较
4．相关定理 内容：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换 取共轭二者之乘积，即若已知 f1（t）↔F1（ω），f2（t）↔F2（ω），则 R12（τ） ↔F1（ω）F2*（ω）。
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则称此函数集为正交函数集。
3．归一化正交函数集
如果对某一正交函数集有
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，则称此函数集为“规格化正交函数集”
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或“归一化正交函数集”。
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第 6 章 信号的矢量空间分析
本章是利用矢量空间方法研究信号理论的重要一章，本章介绍了线性矢量空间的基本 理论，介绍了正交分解以及一些常用的正交函数集，引入了相关运算，分析了信号通过线 性系统的自相关函数、能量谱和功率谱。学完本章读者应该掌握相关的计算以及与卷积运 算的区别，能够求出常见信号的能量谱与功率谱，重点掌握匹配滤波器涉及到的重要参数， 重点掌握方均误差的求法和沃尔什函数的正交展开式。
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4．完备正交函数集和帕塞瓦尔定理 常用的完备正交函数集有三角函数集、复指数函数集、勒让德多项式、拉德马赫函数 集和沃尔什函数集等。对于完备正交函数与规格化完备正交函数应满足帕塞瓦尔方程
这一约束规律称为帕塞瓦尔定理。
三、相关 1．能量信号与功率信号 如果信号 f（t）的能量有界（0＜E＜∞，P＝0），称 f（t）为能量有限信号，简称为 能量信号。如果信号 f（t）的功率有界（0＜P＜∞，E＝∞），称 f（t）为功率有限信号， 简称为功率信号，各自计算的公式如表 6-1-5 所示。