人教版2021届中考数学第四章几何初步与三角形第二节三角形的有关概念及性质要题检测
人教版中考数学一轮复习课件第四章 第2课时 三角形的有关概念及性质
重要 线段 中线
高线
图形
性质
结论
BD＝__D_C_
1.中线将三角形分割成等底同
高(即面积相等)的两个三角 形,即S△ABD＝S△ACD＝ 12S△ABC； 2．三角形三条中线的交点,
叫做这个三角形的重心
AD⊥__B_C__, 即∠ADB＝ ∠ADC＝90°
1.高线不一定在三角形内,遇 到高线问题应注意分类讨论； 2．三角形三条高线的交点, 叫做这个三角形的垂心
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
2．如图,△ABC中,AB＝4,AC＝3,AD,AE分别是其角平分线和中线, 过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为( A)
A. 1
B．1
C. 7
D．7
2
2
3．如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC交CB于点D,过点D作
DE⊥AB,垂足恰好是边AB的中点E.若AD＝3 cm,则BE的长为( A)
A. 3 3 cm
2
C．3 2 cm
B．4 cm D．6 cm
【问题情境1——示例】 1．为了探究三角形内角和,把∠B和∠A剪下后拼在一起,请你用量角器量 一量,∠BCD＝____1_8_0___°,所以∠A＋∠B＋∠ACB＝_____1_8_0__°.
1.三角形三个内角的和等于180°；特别地,当有一个内角是 90°时,其余的两个内角互余
2.三角形的外角和等于360°
3.三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三 角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角
三角形的 边角关系 同一个三角形中,等角对等边,大角对大边
状元笔记：三角形的外角通常和三角形的内角、平行线一起考查,在解题时 要注意一个外角和与它不相邻的两个内角之间的关系
人教版初三数学下册第二节 三角形的 基本概念和性质
长白学校教师备课笔记
年级
九年级
学科
数学
2、（2010河北2题2分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）
A、60°B、70°C、80°D、90°
3、（2014河北4题2分）如图，平面上直线a、b分别过线段OK的两个端点（数据如图），则a、b相交所成的锐角是（）
A、20°B、30°C、70°D、80°
3．如图15－7，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝4 cm2，求S△ABE.
三角形的相关概念及性质，以及它们在中考中的地位。
作业：题册：第二节习题。
学生在练习本上独立完成，教师公布答案。
学生小组讨论并回答问题
通过回答往年的中考题，让学生找出差距，做好复习。
通过中考预测，使学生树立学习信心。
教
学
目
标
1、巩固三角形的有关概念及性质
2、灵活应用三角形的有关性质解决实际问题，进一步规范推理过程.
教学重点难点分析
重点：三角形的基本概念和性质
难点:灵活运用三角形的基本概念和性质解决相关问题.
教学策略分析
通过学生归纳总结，形成本章系统的知识体系，从而养成举一反三的好习惯，增强学习数学的信心.。
课前准备
(2)三角形的：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段．
(3)三角形的：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段．
2021年河南省中考数学一轮复习课时训练：第四章 第二节 三角形及其性质
第二节三角形及其性质基础分点练(建议用时:45分钟)考点1三角形及其边、角关系1.[2019江苏徐州]下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.2,2,4B.5,6,12C.5,7,2D.6,8,102.[2019浙江杭州]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则( )A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°3.[2019湖北荆门]将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的两组直角边分别垂直,则∠1的度数是( ) A.95° B.100°C.105°D.110°考点2三角形中的重要线段4.[2020四川宜宾]如图,点M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B=( ) A.20° B.45° C.65° D.70°(第4题)(第5题)5.[2020湖北黄石]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若EF+CH=8,则CH的值为( ) A.3 B.4C.5D.66.[2020陕西]如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为( )A.1013√13B.913√13C.813√13D.713√13(第6题)(第7题)7.[2019湖南永州]已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过点D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=.考点3直角三角形的性质与判定8.[2018四川泸州]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )A.9B.6C.4D.39.[2019北京]如图所示的网格是由相同的正方形组成的,则∠PAB+∠PBA=°.(点A,B,P 是网格线交点)10.[2021预测]如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,则DE=.11.[2020黑龙江哈尔滨]在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6√3,CD=1,则BC的长为.考点4等腰三角形的性质与判定12.[2020山东济宁]一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是( ) A.15海里 B.20海里C.30海里D.60海里13.[2020四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为( ) A.2 B.2√2-2C.2√2+2D.2√214.[2020江苏常州]如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=°.15.[2019重庆A卷]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;(2)求证:FB=FE.综合提升练(建议用时:30分钟)1.[2020浙江绍兴]长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( )A.4B.5C.6D.72.[2019湖北黄石]如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD的平分线和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,且CD=CF,则∠ACD+∠CED=( )A.125°B.145°C.175°D.190°3.[2020湖南邵阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=√2,过点C作CF∥AB,以AB为边作菱形ABEF,若∠F=30°,则Rt△ABC的面积为.4.[2020贵州贵阳]如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为.5.[2020许昌二模]如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D是边AC上一动点.连接BD,将△ABD沿直线BD折叠,点A落在A'处,当点A'在△ABC的内部(不含边界)时,AD长度的取值范围是.6.[2020三门峡二模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D,E分别是AB,BC上的动点,将△BDE沿着直线DE翻折得到△FDE,使点F落在射线AC上,当BE的长为时,△ADF是直角三角形.7.[2019洛阳五校联考]如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,点E,F分别是线段CD和射线BA上的动点,点D关于直线EF的对称点D'恰好落在边BC上,连接AD',D'D,D'E.当△AD'D是以DD'为腰的等腰三角形时,DE的长为.8.[2020浙江绍兴]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.9.[2019吉林]性质探究如图(1),在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为.图(1)图(2)理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3,则它的面积为;(2)如图(2),在四边形EFGH中,EF=EG=EH.①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含α的式子表示).10.已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=°,β=°.②求α,β之间的关系式.(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,说明理由.全国视野创新练[2020浙江绍兴]将两条邻边长分别为√2,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,腰长可以是下列数中的(填序号).①√2,②1,③√2-1,④√3,⑤√3.2答案第二节三角形及其性质基础分点练(建议用时:45分钟)考点1三角形及其边、角关系1.[2019江苏徐州]下列长度的三条线段,能组成三角形的是( D )A.2,2,4B.5,6,12C.5,7,2D.6,8,102.[2019浙江杭州]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则( D )A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°3.[2019湖北荆门]将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的两组直角边分别垂直,则∠1的度数是( C ) A.95° B.100°C.105°D.110°考点2三角形中的重要线段4.[2020四川宜宾]如图,点M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B=( D ) A.20° B.45° C.65° D.70°(第4题)(第5题)5.[2020湖北黄石]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点H,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若EF+CH=8,则CH的值为( B ) A.3 B.4C.5D.66.[2020陕西]如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为( D )A.1013√13B.913√13C.813√13D.713√13(第6题)(第7题)7.[2019湖南永州]已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过点D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=4.考点3直角三角形的性质与判定8.[2018四川泸州]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( D ) A.9 B.6 C.4 D.39.[2019北京]如图所示的网格是由相同的正方形组成的,则∠PAB+∠PBA=45°.(点A,B,P是网格线交点)10.[2021预测]如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,则.DE=3211.[2020黑龙江哈尔滨]在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6√3,CD=1,则BC的长为5或7.考点4等腰三角形的性质与判定12.[2020山东济宁]一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是( C ) A.15海里 B.20海里C.30海里D.60海里13.[2020四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为( B ) A.2 B.2√2-2C.2√2+2D.2√214.[2020江苏常州]如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=30°.15.[2019重庆A卷]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;(2)求证:FB=FE.(1)解:∵AB=AC,点D为BC的中点,∴∠ABC=∠C=36°,AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°.(2)证明:∵BE平分∠ABC,EF∥BC,∴∠ABE=∠EBC,∠FEB=∠EBC,∴∠FEB=∠ABE,∴FB=FE.综合提升练(建议用时:30分钟)1.[2020浙江绍兴]长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( B )A.4B.5C.6D.72.[2019湖北黄石]如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD的平分线和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,且CD=CF,则∠ACD+∠CED=( C )A.125°B.145°C.175°D.190°3.[2020湖南邵阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=√2,过点C作CF∥AB,以AB为.边作菱形ABEF,若∠F=30°,则Rt△ABC的面积为124.[2020贵州贵阳]如图,△ABC 中,点E 在边AC 上,EB=EA ,∠A=2∠CBE ,CD 垂直于BE 的延长线于点D ,BD=8,AC=11,则边BC 的长为 4√5 .5.[2020许昌二模]如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D 是边AC 上一动点.连接BD ,将△ABD 沿直线BD 折叠,点A 落在A'处,当点A'在△ABC 的内部(不含边界)时,AD 长度的取值范围是 95<AD<157 .6.[2020三门峡二模]如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D ,E 分别是AB ,BC 上的动点,将△BDE 沿着直线DE 翻折得到△FDE ,使点F 落在射线AC 上,当BE 的长为209或10049 时,△ADF是直角三角形.7.[2019洛阳五校联考]如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=5,点E ,F 分别是线段CD 和射线BA 上的动点,点D 关于直线EF 的对称点D'恰好落在边BC 上,连接AD',D'D ,D'E.当△AD'D 是以DD'为腰的等腰三角形时,DE 的长为 258或8932 .8.[2020浙江绍兴]问题:如图,在△ABD 中,BA=BD ,在BD 的延长线上取点E ,C ,作△AEC ,使EA=EC ,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC 的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC 的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n °”,其余条件不变,求∠DAC 的度数.解:(1)∠DAC 的度数不会改变.理由:∵EA=EC ,∴∠AED=2∠C ,∠EAC=∠C.又∵∠BAE=90°,∴∠BAD=12[180°-(90°-2∠C )]=45°+∠C ,∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C )=45°-∠C ,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45°.(2)设∠B=m °,则∠BAD=12(180°-m °)=90°-12m °,∠AEB=180°-n °-m °, ∴∠DAE=n °-∠BAD=n °-90°+12m °.又∵EA=EC , ∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n °-12m °,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n °-90°+12m °+90°-12n °-12m °=12n °.9.[2019吉林]性质探究如图(1),在等腰三角形ABC 中,∠ACB=120°,则底边AB 与腰AC 的长度之比为 √3∶1 .图(1) 图(2)(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3,则它的面积为 4 √3;(2)如图(2),在四边形EFGH中,EF=EG=EH.①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sin α∶1(用含α的式子表示).性质探究√3∶1解法提示:过点C作CD⊥AB于点D.∵△ABC是等腰三角形,∠ACB=120°,∴∠CAB=30°,AD=DB,∴AB=2AD=2×AC×cos 30°=√3AC,∴AB∶AC=√3∶1.理解运用(1)4 √3解法提示:由“性质探究”可知该三角形的底边与腰的长度之比为√3∶1,又该三角形的周长为8+4√3,故该三角形的底边长为4√3,腰长为4,由顶角为120°,易求得底边上的高为2,×4√3×2=4√3.故该三角形的面积为12(2)①证明:∵EF=EG=EH,∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG.∵∠EGF+∠EGH=∠FGH,∴∠EFG+∠EHG=∠FGH.②MN=5√3.解法提示:∵∠FGH=120°,∴∠EFG+∠EHG=120°,又∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=360°-120°-120°=120°.∵EF=EH,∴△EFH为顶角为120°的等腰三角形,∴FH=√3EF=10√3.∵M,N分别为FG,GH的中点,∴MN为△FGH的中位线,FH=5√3.∴MN=12类比拓展2sin α∶110.已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=20°,β=10°.②求α,β之间的关系式.(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,说明理由.解:(1)①2010②设∠ABC=x,∠ADE=y,则∠ACB=x,∠AED=y,在△DEC中,y=β+x,在△ABD中,α+x=y+β,∴α=2β.(2)存在.如图,点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,设∠ABC=x,∠ADE=y,则∠ACB=x,∠AED=y,在△ABD中,x+α=β-y,在△DEC中,x+y+β=180°,∴α=2β-180°.全国视野创新练[2020浙江绍兴]将两条邻边长分别为√2,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,腰长可以是下列数中的①②③④(填序号).①√2,②1,③√2-1,④√3,⑤√3.2。
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_三角形的角平分线、中线和高,单选题专训及答案
A . 线段DE B . 线段BE C . 线段EF D . 线段FG 24、 (2018曲靖.中考模拟) 已知△ABC如图1，嘉淇同学进行如下作图（如图2）： （ 1 ）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；（2）作直线AP，AP与BC交于D点，则线段 AD就是△ABC的（ ）
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_三角形的角平分线、中线
和高，单选题专训及答案
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 的 角 平 分 线 、 中 线 和 高 ， 单 选 题 专 训
1、
(2019泰州.中考真卷) 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 、 、 、 、 、 、 在小正方形的
A.
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
11、 (2019永定.中考模拟) 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如 下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A . B . C . 34 D . 10
A. B. C. D.2 7、 (2017道外.中考模拟) 如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE，若BD=4，CE=6，则△AB C的面积为（ ）
A . 12 B . 24 C . 16 D . 32 8、 (2017.中考模拟) 如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9 ，CE=12，那么下列结论不正确的是（ ）
人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形三、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定(二)
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定（二）1．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．2．补充完成下列推理过程：．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C（）∵∠ADC＝∠B+∠（）且∠ADE＝∠B∴∠ADC＝∠ADE+∠又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE在△BAD和△CDE中．∠B＝∠C∠BAD＝∠CDE＝∴△BAD≌△CDE（）∴AD＝DE（）3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过A作AC的垂线交∠BCA的角分线于点D．CD交AB于点F．（1）求证：∠ADF＝∠AFD；（2）如图2，DE⊥AF，若AC+BC＝16，DE＝4，求BC的长．4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．5．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．7．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．8．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．9．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．10．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC ＝∠BAD ＝90°，得S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝S ABC +S ABE ＝S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG ＝FN ＝HM ＝GH +MN ＝2cm ，∠G ＝∠N ＝90°，求五边形FGHMN 的面积．参考答案1．证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，∴∠COE ＝∠DOE ，∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE ＝∠ODE ＝90°，又∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，∴OE是CD的垂直平分线．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角性质），且∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝∠ADE+∠BAD，又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，在△BAD和△CDE中．，∴△BAD≌△CDE（AAS）∴AD＝DE（全等三角形的对应边相等）；故答案为：等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE，CE；AAS；全等三角形的对应边相等．3．证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCF，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝∠B＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠D＝∠CFB，∴∠ADF＝∠CFB＝∠AFD；（2）如图，过点D作DH⊥BC，交CB的延长线于H，在△ACD和△HCD中，，∴△ACD≌△HCD（AAS），∴AC＝CH，∵∠ABC＝∠H＝90°，DE⊥AB，∠ABH＝90°，∴AB∥DH，DE∥BH，∴DE＝BH＝4，∵AC+BC＝16，∴CH+BC＝BH+BC+BC＝4+2BC＝16，∴BC＝6．4．证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAE＝45°＝∠ABE，∴AE＝BE，∵∠C＝90°，∠BEF＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BFE+∠DBC＝90°，∴∠BFE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠BFE，即∠ADE＝∠BFE，在△AED和△BEF中，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF．5．解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°；（2）AD平分∠BDE，理由是：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE．6．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE＝DF，DE＝4，∴DF＝4，∵AC＝16，∴△ADC的面积是＝＝32．7．（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．8．证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB，∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（60°+80°）＝40°，∴∠F＝∠ACB＝40°．9．证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．10．解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：＝2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，。
中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质
三角 形的 边角
关系
边的关系：三角形两边之和② 大于 第三边，两边之
差③ 小于 第三边，即a+b>c，｜a-b｜<c（a，b，c
为三角形的三边长）
内角和等于④ 180° .
角的 关系
任意一个外角⑤ 等于 与它不相邻的两个内角的和
任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
温馨提示①利用三角形三边关系可判断三条线段能否构成三
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玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
1.三边相等
性质
2.三角相等，且每一个角都等于⑫_60_°__
3.是轴对称图形，有三条对称轴
等 边 三 角 形(如 图⑥)
1.三边都相等的三角形是等边三角形
2.三角都相等的三角形是等边三角形
判定 3.有一个角是60°的⑬ 等腰 三角形是等
4.顶角的⑩ 角平分线 重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形
2.有两角相等的三角形是等腰三角形
面积计算公式：S=⑪ 1 a h
h是底边上的高
2
，其中a是底边长，
未完继续
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温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶 点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解 决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性 质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
温馨提示 中线等分三角形面积
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定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线
三角形的概念和性质核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(解析版)
专题15三角形的概念和性质的核心知识点精讲1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线；2.理解并掌握三角形的中位线的性质；3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。
考点1：三角形边角关系（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。
考点2：三角形的重要线段考点3：三角形的内角和定理及推论①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。
③直角三角形的两个锐角互余。
【题型1：三角形的三边关系】【典例1】（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4B．1，2，3C．3，4，5D．3，4，8【答案】C【解答】解：∵2+2＝4，∴A不能构成三角形；∵1+2＝3，∴B不能构成三角形；∵3+4＞5，4﹣3＜5，∴C能构成三角形；∵3+4＜8，∴D不能构成三角形．故答案为：C．1．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6【答案】C【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2＜7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5＞7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3＝6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．2．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．9【答案】B【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故选：B．3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【答案】C【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm适合，故选：C．【题型2：三角形内角和定理及推论】【典例2】（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°【答案】B【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故选：B．1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形．【答案】直角．【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，根据题意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．2.（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝55°．【答案】55．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案为：55．3．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【答案】B【解答】解：如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°，故选：B．【题型3：三角形中的重要线段】【典例3】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是80或40度．【答案】80或40．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG，∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，∴＝4，＝16，∵S△ADG＝4，∴S△CEG故选：B．2．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为9．【答案】9．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为8，∴AC+CD+AD＝8，∵AC＝3，∴BD+AD＝5，∵AB＝4，∴AB+BD+AD＝9．故答案为：9．一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵DF∥EB，∠D＝70°，∴∠D＝∠CEB＝70°，∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，故选：A．2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．74°B．32°C．22°D．16°【答案】B【解答】解：∵CD＝CE，∠D＝74°，∴∠DEC＝∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°，故选：B．3．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°【答案】D【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故选：D．4．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【答案】C【解答】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：7﹣2＜x＜7+2，解得：5＜x＜9，故选：C．5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°【答案】A【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠CDE＝∠1＝58°，∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，故选：A．6．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，故选：B．7．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°【答案】A【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故选：A．8．下列图形中，是直角三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、第三个角的度数是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等边三角形，不符合题意；B、第三个角的度数是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合题意；C、第三个角的度数是180°﹣30°﹣30°＝120°，是钝角三角形，不符合题意；D、第三个角的度数是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合题意；故选：B．9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5°B．8°C．10°D．12°【答案】C【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于点E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故选：C．10．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（）A．65°B．67.5°C．75°D．80°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，∵∠α＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，故选：C．11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．55°【答案】D【解答】解：由题意解得∠2＝55°．故选：D．二．填空题（共3小题）12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝6，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长之差为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵AB＝6，AC＝5，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝6﹣5＝1，故答案为：1．13．将一副三角板如图所示放置，使点D在BC上，DC∥AE，则∠EFB的度数为75°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DC∥AE，∴∠BDF＝∠E＝45°，∴∠BFE＝∠B+∠BDF＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．14．一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A减少（选填“增加”或“减少”）．【答案】减少．【解答】解：延长CD交AB于点E，∵∠ADC＝∠A+∠CEA，∠CEA＝∠B+∠C，∴∠ADC＝∠A+∠B+∠C，∵∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，∴∠ADC＝20°+90°+35°＝145°，∵∠ADC＝140°，∴可将∠A减少5°．故答案为：减少．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC；（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）88°．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠1，∴∠DCB＝∠D，∴DF∥BC．（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，∴∠B＝∠DFE＝36°，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，又∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠ACB＝52°，∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．16．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度数；（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝×60°＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°；（2）∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°一．选择题（共4小题）1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交B C于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α﹣B．2α﹣βC．α+D．3α﹣β【答案】B【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，∵CA＝CE，∠ACB＝β，∴＝，在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD＝180°﹣＝90°+，∵BA＝BD，∴，在△BAD中，＝2α﹣β．故选：B．2．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°【答案】D【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵B'D∥C'G，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．3．如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．85°B．60°C．50°D．95°【答案】D【解答】解：如图，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣60°﹣∠1＝50°，∵∠4＝45°，∴∠2＝∠3+∠4＝50°+45°＝95°，故选：D．4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BO C＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【答案】C【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．二．填空题（共3小题）5．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝2b﹣2a．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．故答案为：2b﹣2a6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A＝5 0°，则∠BPC＝115°．【答案】115°．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝115°．故答案为：115°．7．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝70°，∠D＝10°，则∠P的度数为30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△BCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝70°，∠D＝10°，∴∠P＝（70°﹣10°）＝30°．故答案为：30°．三．解答题（共2小题）8．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，∴2∠BOC﹣∠A＝180°，∴∠BOC＝90°+∠A，（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠BOC＝90°+×70°＝125°；（2）∠BOC＝90°+∠A＝125°；（3）∠BOC＝90°+n°．9．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝115°，∠P＝65°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．【答案】（1）115，65；（2）∠D＝118°，∠P＝62°；（3）∠D+∠P的值不变．∠D+∠P＝180°，理由见解析．【解答】解：（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°；∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴，∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝＝＝＝118°；∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠CBP+∠BCP＝＝＝＝＝90°+28°＝118°；∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝＝90°﹣28°＝62°；（3）∠D+∠P的值不变．∵由（1）知，，∴∠D+∠P＝180°．∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变．1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9【答案】C【解答】解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C．2．（2022•玉林）请你量一量如图△中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC ＝100°．【答案】100°．【解答】解：如图，由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案为：100°．5．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，＝2S△AEC，∴S△ACD∵△AEC的面积是1，＝2S△AEC＝2，∴S△ACD∵AD是△ABC的中线，＝S△ACD＝2．∴S△ABD故答案为：2．。
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测
第二节三角形的有关概念及性质
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(xx·福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A．1，1，2 B．1，2，4
C．2，3，4 D．2，3，5
2．(xx·河北中考)下列图形具有稳定性的是( )
3．(xx·衢州中考)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )
A．30° B．40°C．60° D．70°
4．(xx·贵阳中考)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )
A．线段DE B．线段BE
C．线段EF D．线段FG
5．(xx·成都中考)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__________．6．(xx·福建中考)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE.若DE＝3，则线段BC的长等于______．
测
7．(2021·易错题)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是________．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°.求∠DAC的度数．
9．(xx·河北中考)已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
测
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
10．(xx·黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )
A．75° B．80° C．85° D．90°
11．(xx·临淄模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝
4 cm，AC＝3 cm，则点D到直线AB的距离为________．
12．(2021·原创题)如图，在△ABC中，E是底边BC上一点，且满足EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若S△A BC＝15，则S△ADF－S△BEF＝________．
13．(xx·宜昌中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
测
14．(2021·创新题)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．
应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝1
2AB ，求∠APB 的度数．
探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．
测
参考答案【基础训练】
1．C 2.A 3.A 4.B
5．40° 6.6 7.13
8．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°.
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝60°－40°＝20°.
【拔高训练】
9．B 10.A
测
11．1.5 cm 12.5
2
13．解：(1)∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝1
2
∠CBD＝65°.
(2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠CEB＝25°. 【培优训练】
14．解：应用：①若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD 为等边三角形的高，
∴AD＝BD ，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°， ∴PD＝33DB ＝3
6
AB ，
与已知PD ＝1
2AB 矛盾，∴PB≠PC.
②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC. ③若PA ＝PB ，由PD ＝1
2AB ，得PD ＝AD ，
∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°. 探究：∵BC＝5，AB ＝3， ∴AC＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.
①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x)2，
测
解得x ＝78，即PA ＝7
8
.
②若PA ＝PC ，则PA ＝2.
③若PA ＝PB ，由图知，在Rt△PAB 中，PA 为直角边，PB 为斜边， ∴PA≠PB.
综上所述，PA ＝2或7
8
.
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