枚举-递归-回溯

一、暴力求解法（枚举法/ 穷举法）概念：什么是枚举法？在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。

即，把所要解决问题的所有可能性都列举出来，一一试验。

枚举应用简单举例：求1~100之间的素数；求水仙花数；鸡兔同笼问题；百元买百鸡问题；整数（分数）拆分问题；排列问题……枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：1、得到的结果肯定是正确的；2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。

3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。

4、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。

采用枚举算法解题的基本思路：（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；（2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。

例1：百元买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。

到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。

现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？算法分析：我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z），以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为判定条件，穷举各种鸡的个数。

（1）基本算法：for (x=0;x<=100;x++)for (y=0;y<=100;y++)for(z=0;z<=100;z++)if(x+y+z==100 && z%3==0 && x*3+y*2+z/3==100)输出x,y,z（2）优化算法：只需要枚举2种鸡x（x<=33）和y（y<=50)，第3种根据约束条件100-x-y可得:for (x=0;x<=33;x++)for (y=0;y<=50;y++){Z=100-x-y;if (z%3==0 && x*3+y*2+z/3==100)输出x,y,z小结：对于枚举算法，加强约束条件，缩小枚举的范围，是程序优化的主要考虑方向。

1.枚举对象的选择问题：在枚举算法中，枚举对象的选择是非常重要的，它直接影响着算法的时间复杂度，选择适当的枚举对象可以获得更高的效率。

如下例：例2：将1,2...9共9个数分成三组，分别组成三个三位数，且使这三个三位数构成1:2:3的比例，试求出所有满足条件的三个三位数。

例如：三个三位数192，384，576满足以上条件。

我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围将大大缩小。

例3. 五猴分桃：五只猴子一起摘了一堆桃子,因为太累了,它们商量决定,先睡一觉再分.一会其中的一只猴子来了,它见别的猴子没来,便将这堆桃子平均分成5份,结果多了一个,就将多的这个吃了,并拿走其中的一份.一会儿,第2只猴子来了,他不知道已经有一个同伴来过,还以为自己是第一个到的呢,于是将地上的桃子堆起来,再一次平均分成5份,发现也多了一个,同样吃了这1个,并拿走其中一份.接着来的第3,第4,第5只猴子都是这样做的.......,根据上面的条件,问这5只猴子至少摘了多少个桃子?第5只猴子走后还剩下多少个桃子?算法分析：我们设总的桃子数为S0，五子猴子分得的桃子数分别为S1，S2，S3，S4，S5，则有以下关系式：S0 = 5*S1 + 1；4*S1 = 5*S2 + 1；4*S2 = 5*S3 + 1；4*S3 = 5*S4 + 1；4*S4 = 5*S5 + 1；我们可以枚举桃子总数S0，从5开始直到满足条件，此时S0的值就是最少的总桃子数。

对应程序如下：int main(void){int s[6] = {0};int i;for(s[0]=5; ;s[0]++){s[1] = s[0] - 1;if (s[1]%5) // （s[0] – 1）要能被5整除elses[1] /= 5;s[2] = 4 * s[1] - 1;if (s[2]%5) // （4 * s[1] - 1）要能被5整除continue;elses[2] /= 5;s[3] = 4 * s[2] - 1;if (s[3]%5)continue;elses[3] /= 5;s[4] = 4 * s[3] - 1;if (s[4]%5)continue;elses[4] /= 5;s[5] = 4 * s[4] - 1;if (s[5]%5)continue;elses[5] /= 5;break; //很关键，什么时候结束枚举}printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s[0], s[5]*4);for (i=0; i<6; i++)printf("%d ", s[i]);return 0;}程序输出：摘了3121个桃子, 剩下765个桃子。

根据程序结果我们知道循环体执行了3116次，同时我们可以知道第5个猴子分得255个桃子，所以如果枚举S5，则循环体只需执行了255次。

对应程序如下：#include <stdio.h>int main(void){int s[6] = {0};int i;for(s[5]=1; ;s[5]++){s[4] = 5 * s[5] + 1;if (s[4]%4)elses[4] /= 4;s[3] = 5 * s[4] + 1;if (s[3]%4)continue;elses[3] /= 4;s[2] = 5 * s[3] + 1;if (s[2]%4)continue;elses[2] /= 4;s[1] = 5 * s[2] + 1;if (s[1]%4)continue;elses[1] /= 4;s[0] = 5 * s[1] + 1;break;}printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s[0], s[5]*4);return 0;}我们可以发现求S4，S3，S2，S1的表达式完全是一样的，所以我们可以用一个函数或者循环来表示，改进后的程序如下：#include <stdio.h>int main(void){int s[6] = {0};int i;for(s[5]=1; ;s[5]++){for (i=4; i>0; i--){s[i] = 5 * s[i+1] + 1;if (s[i]%4)break;elses[i] /= 4;}if (i == 0){s[0] = 5 * s[1] + 1;break;}}printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s[0], s[5]*4);return 0;}2.如何确定枚举范围？例4：分数拆分问题（输入正整数k，找到所有的正整数x≥y，使得1/k=1/x+1/y。

）分析：由于x≥y，有1/x≤1/y，因此1/k-1/y≤1/y，即y≤2k。

这样只需要在2k范围内枚举y，然后根据y尝试计算出x即可。

3.约束条件的确定在枚举法解题中，判定条件的确定也是很重要的，如果约束条件不对或者不全面，就穷举不出正确的结果，我们再看看下面的例子。

例3：高斯日记。

计算1777年4月30日（高斯出生日）之后第8113天的日期是多少。

例4：大小之差。

由6个数字（允许重复）组成的最大6位数与最小6位数之间的差值也是一个6位数，且刚好包含了这6个数字。

（2014第五届蓝桥杯校内赛C语言B组）综合举例1：古堡算式（ABCDE * ？= EDCBA）（1）枚举对象，可以有两种选择：a）对每一个字符进行0~9的枚举；b）利用一个5位数进行10000~99999的枚举；（2）枚举范围设定对于用5位数来枚举的方式，根据条件“各字符均不相同”、以及乘上一个1位数后仍然是5位数的情况，可缩小枚举范围为12345~49876。

（3）约束条件，根据题目可知有两个约束条件：a）各字符均不相同（即：A!=B && A!=C && A!=D && A!=E && B!=C && B!=D && B!=E && C!=D && C!=E && D!=E）b）算式（即ABCDE * ？== EDCBA）下面分别按上述两种枚举对象给出程序代码：方法一：#include<stdio.h>int x[5]; //用于存放5个字符对应的5个数字void calc(int &a, int &b) // 计算5位数的值{int i;a=b=0;for (i=0; i<5; i++){a = 10 * a + x[i];b = 10 * b + x[5-i-1];}return;}int main(int argc, char* argv[]){int flag[10]={0}, a=0, b=0, t; //flag数组用于表示各数字是否被选用for (x[0]=0; x[0]<=9; x[0]++){flag[x[0]] = 1;for (x[1]=0; x[1]<=9; x[1]++)if (!flag[x[1]]){flag[x[1]] = 1;for (x[2]=0; x[2]<=9; x[2]++)if (!flag[x[2]]){flag[x[2]] = 1;for (x[3]=0; x[3]<=9; x[3]++)if (!flag[x[3]]){flag[x[3]] = 0;for (x[4]=0; x[4]<=9; x[4]++)if (!flag[x[4]]){calc(a,b);for (t=2; t<=9; t++)if (a*t==b) //约束条件printf("A=%d\nB=%d\nC=%d\nD=%d\nE=%d\n?=%d\n", x[0],x[1],x[2],x[3],x[4],t);}flag[x[3]] = 0;}flag[x[2]] = 0;}flag[x[1]] = 0;}flag[x[0]] = 0;}return 0;}方法二：int main(int argc, char* argv[]){int A,B,C,D,E,t,x,y;for (x=12345; x<=49876; x++){A = x/10000;B = (x%10000)/1000;C = (x%1000)/100;D = (x%100)/10;E = x % 10;if (A!=B && A!=C && A!=D && A!=E && B!=C && B!=D && B!=E && C!=D && C!=E && D!=E ){y = E*10000+D*1000+C*100+B*10+A;for (t=2; t<=9; t++)if (x * t==y)printf(“A=%d\nB=%d\nC=%d\nD=%d\nE=%d\n?=%d\n",A,B,C,D,E,t);}}return 0;}综合举例2：警察抓住A B C D四名罪犯，其中一人是小偷。