空间向量运算的坐标表示
【解】 → ∴设 c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，λ∈R. ∴|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3. 解得 λ＝± 1. ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
16
→ → (1)∵BC＝(－2，－1,2)且 c∥BC，
三、典型例题、拓展训练
→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)· (ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)· (k＋2，k，－4) ＝2k2＋k－10＝0. 总结：利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练 5 解得 k＝2 或 k＝－ . 掌握以下两个常用的充要条件，若a＝(x1 ，y1 ， 2
6
二、类比知识、形成概念 例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.
(1) (2,0,0) AB (2)AB1 (2,0, 2) (3)AC (2, 2,0) (4) AC1 (2, 2, 2) (5)CD1 (2, 0, 2) (6)C1 A (2, 2,-2)
3
i , j , k 为基底
i
k
j
下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
二、类比知识、形成概念 1、空间向量的坐标表示：
分别为x,y,z轴正方向上的单位坐标向量，由空间 向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) 使得 p xe1 ye2 ze3
a （2）当 cos a , b 1 时， 与
思考：当 0 cos a , b 1
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
及
1 cos a , b 0
10
时，夹角在什么范围内？
三、典型例题、拓展训练
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2， M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求 BN （2）求cos<
的长；
BA1 ,CB1
>的值
Y
（3）求证：A1B⊥C1M.
X
20
练习 3⑴.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F CD 分别是 BB1 、 的中点,求证: D1 F 平面ADE .
D
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
三、典型例题、拓展训练
利用向量的坐标表示求夹角和距离
如图，在棱长为1的正方 体ABCD- 1B1C1D1 中，E、F、G A 分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长．
请同学们独立思考，把过程写在练习本上，举手回答）
13
三、典型例题、拓展训练
1 1 1 → → 1 1 ∴EF· ＝ × ＋(－ )× ＋－2×0＝0. CF 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－1， )， 2 → ∴|CE|＝
12＝ 5. 0 ＋－1 ＋ 2 2
2 2
例1 如图, 在正方体
请同学们独立思考，举手回答）
B ABCD A1 B1C1 D1 中，1 E1
z
D1 A1
D1 F1
F1 E1 B1
A1 B1 ，求 所成的角的余弦值. BE1 与 DF1 4
C1
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . y C O 4 3 1 A B BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 x 1 15 1 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 16 4 415 4 4 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 11 继续 4 4
变式
12
三、典型例题、拓展训练
【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 标系 Dxyz， 0，0，1，C(0,1,0)， 则 D(0,0,0)，E 2 1，1，0，G1，1，1. F2 2 2 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2， 1 → 1 CF＝ ，－ ，0. 2 2
14
三、典型例题、拓展训练
（例 2）如图，正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1 B1 中点，求证： EF DA1 （请同学们独立思考，把过程写在练习本上，举手回答）
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1 , 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
∴k 的值为± 1.
k＝－1 k＝1 ，∴ 或 ， λ＝－1 λ＝1
19
19．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为 正方形ABCD和AA1B1B的中心． (1)求证：AC1⊥平面A1BD； (2)求D1 M 与 CN 夹角的余弦值．
高考资源网
Z
：
自助餐
a, b, c 都叫做基向量
2
一、复习旧知 形成规律 单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交 基底，常用 { i , j , k } 来表示.
空间向量 p
有序实数组 一一对应 ( x, y, z ) p xi y j zk
B( x2 , y2 , z2 )，则
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
| AB | AB AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
空间向量运算的坐标表示(一)
1
一、复习旧知 形成规律
思考，如何表示空间中的任意向量
p
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}， 使 p xa yb zc.
空间向量基本定理：
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
给定一个空间直角坐标系和向量 p， e1、、 且设 e2 e3
则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标， 上式可简记作 p ( x, y, z ) z
p
e3 Oe
2
A(x,y,z) y
a ( a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 5
二、类比知识、形成概念
例1、已知a (2, 3,5), (3,1, 4) b 求a b, a b,8a 解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8 (2, 3,5) (16, 24, 40)
z A1 B1 C1
D1
A B x
D y
C
7
二、类比知识、形成概念 二、距离与夹角
a b a1b1 a2 b2 a3b3 a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a , b都不是零向量 )
9
二、类比知识、形成概念
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a, b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， 与 b 同向； a
z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，
z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
17
三、典型例题、拓展训练
变式: 将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互
相 垂 直 ” 改 为 “ 若 向 量 ka ＋b与 a ＋ kb互 相 平 行”，其他条件不变，求k的值． 解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0，4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
（1）向量的长度（模）公式 2 2 2 2 | a | a a a1 a2 a3 2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3
16
→ → (1)∵BC＝(－2，－1,2)且 c∥BC，
三、典型例题、拓展训练
→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)· (ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)· (k＋2，k，－4) ＝2k2＋k－10＝0. 总结：利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练 5 解得 k＝2 或 k＝－ . 掌握以下两个常用的充要条件，若a＝(x1 ，y1 ， 2
6
二、类比知识、形成概念 例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.
(1) (2,0,0) AB (2)AB1 (2,0, 2) (3)AC (2, 2,0) (4) AC1 (2, 2, 2) (5)CD1 (2, 0, 2) (6)C1 A (2, 2,-2)
3
i , j , k 为基底
i
k
j
下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
二、类比知识、形成概念 1、空间向量的坐标表示：
分别为x,y,z轴正方向上的单位坐标向量，由空间 向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) 使得 p xe1 ye2 ze3
a （2）当 cos a , b 1 时， 与
思考：当 0 cos a , b 1
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
及
1 cos a , b 0
10
时，夹角在什么范围内？
三、典型例题、拓展训练
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2， M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求 BN （2）求cos<
的长；
BA1 ,CB1
>的值
Y
（3）求证：A1B⊥C1M.
X
20
练习 3⑴.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F CD 分别是 BB1 、 的中点,求证: D1 F 平面ADE .
D
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
三、典型例题、拓展训练
利用向量的坐标表示求夹角和距离
如图，在棱长为1的正方 体ABCD- 1B1C1D1 中，E、F、G A 分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长．
请同学们独立思考，把过程写在练习本上，举手回答）
13
三、典型例题、拓展训练
1 1 1 → → 1 1 ∴EF· ＝ × ＋(－ )× ＋－2×0＝0. CF 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－1， )， 2 → ∴|CE|＝
12＝ 5. 0 ＋－1 ＋ 2 2
2 2
例1 如图, 在正方体
请同学们独立思考，举手回答）
B ABCD A1 B1C1 D1 中，1 E1
z
D1 A1
D1 F1
F1 E1 B1
A1 B1 ，求 所成的角的余弦值. BE1 与 DF1 4
C1
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . y C O 4 3 1 A B BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 x 1 15 1 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 16 4 415 4 4 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 11 继续 4 4
变式
12
三、典型例题、拓展训练
【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 标系 Dxyz， 0，0，1，C(0,1,0)， 则 D(0,0,0)，E 2 1，1，0，G1，1，1. F2 2 2 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2， 1 → 1 CF＝ ，－ ，0. 2 2
14
三、典型例题、拓展训练
（例 2）如图，正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1 B1 中点，求证： EF DA1 （请同学们独立思考，把过程写在练习本上，举手回答）
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1 , 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
∴k 的值为± 1.
k＝－1 k＝1 ，∴ 或 ， λ＝－1 λ＝1
19
19．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为 正方形ABCD和AA1B1B的中心． (1)求证：AC1⊥平面A1BD； (2)求D1 M 与 CN 夹角的余弦值．
高考资源网
Z
：
自助餐
a, b, c 都叫做基向量
2
一、复习旧知 形成规律 单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交 基底，常用 { i , j , k } 来表示.
空间向量 p
有序实数组 一一对应 ( x, y, z ) p xi y j zk
B( x2 , y2 , z2 )，则
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
| AB | AB AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
空间向量运算的坐标表示(一)
1
一、复习旧知 形成规律
思考，如何表示空间中的任意向量
p
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}， 使 p xa yb zc.
空间向量基本定理：
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
给定一个空间直角坐标系和向量 p， e1、、 且设 e2 e3
则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标， 上式可简记作 p ( x, y, z ) z
p
e3 Oe
2
A(x,y,z) y
a ( a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 5
二、类比知识、形成概念
例1、已知a (2, 3,5), (3,1, 4) b 求a b, a b,8a 解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) 8a 8 (2, 3,5) (16, 24, 40)
z A1 B1 C1
D1
A B x
D y
C
7
二、类比知识、形成概念 二、距离与夹角
a b a1b1 a2 b2 a3b3 a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a , b都不是零向量 )
9
二、类比知识、形成概念
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a, b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， 与 b 同向； a
z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，
z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
17
三、典型例题、拓展训练
变式: 将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互
相 垂 直 ” 改 为 “ 若 向 量 ka ＋b与 a ＋ kb互 相 平 行”，其他条件不变，求k的值． 解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0，4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
（1）向量的长度（模）公式 2 2 2 2 | a | a a a1 a2 a3 2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3
合集下载
3.1.5空间向量运算的坐标表示
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中 O 为底面正方形的中心， P1P2⊥Oy 轴， P1P4⊥Ox 轴，SO 在 Oz 轴上． ∵|P1P2|＝2，而 P1、P2、P3、P4 均在 xOy 平面 上，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在 xOy 平面内，P3 与 P1 关于原点 O 对称，P4 与 P2 关于原点 O 对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．又|SP1|＝2，|OP1|＝ 2， ∴在 Rt△SOP1 中，|SO|＝ 2，∴S(0,0， 2)． → → → → → → ∴SP1＝OP1－OS＝(1,1，－ 2)，P2P3＝OP3－OP2＝(0，－2,0)．
答案
向量 a 的横坐标不为 0，其余均为零；向量 b 的
纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为零，其 余均为 0.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.5
→ → → (2)设 O 为坐标原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝ (2,1,2)，OP＝ → → (1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动， 则当QA· QB取得最小值时， 求点 Q 的坐标．
→ 1 → 1 1 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2，CF＝2，－2，0，CG＝1，0，2， 1 1 1 1 1 1 → → → CE＝0，－1， ∵EF· CF＝2×2＋2×－2＋－2×0＝0， 2
3.1.5
3 2 ，
1 ＋0
2
2
1 2 ＋ 2 ＝
5 2 1 4
→ → EF· CG → → ∴cos〈EF，CG〉＝ ＝ → → |EF||CG|
15 ＝ 15 . 3 5 × 2 2 15 EF 与 CG 所成角的余弦值为 15 .
答案
向量 a 的横坐标不为 0，其余均为零；向量 b 的
纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为零，其 余均为 0.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.5
→ → → (2)设 O 为坐标原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝ (2,1,2)，OP＝ → → (1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动， 则当QA· QB取得最小值时， 求点 Q 的坐标．
→ 1 → 1 1 1 → 1 1 ∴EF＝2，2，－2，CF＝2，－2，0，CG＝1，0，2， 1 1 1 1 1 1 → → → CE＝0，－1， ∵EF· CF＝2×2＋2×－2＋－2×0＝0， 2
3.1.5
3 2 ，
1 ＋0
2
2
1 2 ＋ 2 ＝
5 2 1 4
→ → EF· CG → → ∴cos〈EF，CG〉＝ ＝ → → |EF||CG|
15 ＝ 15 . 3 5 × 2 2 15 EF 与 CG 所成角的余弦值为 15 .
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
[探究问题] 1．已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的坐标是多少？ [提示] Px1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
空间向量的运算的坐标表示
三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根 空 向 运 的 标 示有 据 间 量 算 坐 表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、 知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判 下 向 是 平 或 直 习 断 列 量 否 行 垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
空间向量运算的坐标表示
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3 )
a (a1,a2,a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
练习1:已知
a
(2,3,5),b
已知 A( x1, y1, z1 ) , B( x2, y2, z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 M
是AB的中点，求 DB1 与 CM 所成的角的余弦值.
z
O
y
x
练习1：如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1, a2 , a3 )
数组 (a1, a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1, a2 , a3 ) 就
i Oj
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系下 x 的坐标.
记为 a (a1,a2,a3 ) .
⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a (x, 2,1) , b (3, x2, 5) 且 a 与 b 的夹角为
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
a (a1,a2,a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
练习1:已知
a
(2,3,5),b
已知 A( x1, y1, z1 ) , B( x2, y2, z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 M
是AB的中点，求 DB1 与 CM 所成的角的余弦值.
z
O
y
x
练习1：如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1, a2 , a3 )
数组 (a1, a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1, a2 , a3 ) 就
i Oj
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系下 x 的坐标.
记为 a (a1,a2,a3 ) .
⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a (x, 2,1) , b (3, x2, 5) 且 a 与 b 的夹角为
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【答案】
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
空间向量运算的坐标表示
E，F分别是BB1，D1B1的中点， 求证: EF⊥DA1 略解：
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)