高等代数北大版第6章习题参考答案(供参考)
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数【北大版】6.2
证:设 α ∈ V , 且 α ≠ 0
k1 , k2 ∈ P , k1 ≠ k2 , 有 k1α , k2α ∈ V
又 k1α-k2α = ( k1 k2 )α ≠ 0
∴ k1α ≠ k2α .
而数域P中有无限多个不同的数,所以V中有无限 而数域 中有无限多个不同的数,所以 中有无限 中有无限多个不同的数 多个不同的向量. 多个不同的向量.
引例 1
在第三章§ 中 我们讨论了数域P上的 上的n维向量 在第三章§2中,我们讨论了数域 上的 维向量
空间P 定义了两个向量的加法和数量乘法: 空间 n,定义了两个向量的加法和数量乘法:
(a1 , a2 , , an ) + (b1 , b2 , , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )
3,0α = 0, k 0 = 0, ( 1)α = α , , k (α β ) = kα k β 证明: 证明:∵ 0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴两边加上 α 即得 0 α =0; ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
+ (1α ) = 1α + (1α ) = (1 1)α = 0α = 0
f ( A) + g ( A) = h( A), kf ( A) = d ( A) 其中, 其中,k ∈ R, h( x ), d ( A) ∈ R[ x ]
中含有A的零多项式 的零元素. 又V中含有 的零多项式,即零矩阵 ,为V的零元素 中含有 的零多项式,即零矩阵0, 的零元素 以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 有负元素- -f(x) , 则 f(A)有负元素-f(A). 由于矩阵的加法与数 有负元素 乘满足其他各条, 为实数域R上的线性空间 乘满足其他各条,故V为实数域 上的线性空间 为实数域 上的线性空间.
高等代数【北大版】6.4
a2n
②
ann
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
为由基1, 2 , , n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , , n
的基变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
§6.4 基变换与坐标变换
解：
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有， (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆，有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即，1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
§6.4 基变换与坐标变换
1 0 0 1
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数_北大第三版_习题答案.pdf
∴ ( x3 − x 2 − x) = ( x − 1 + 2i)3 + (2 − 8i )( x − 1 + 2i) 2 −(12 + 8i )( x − 1 + 2i ) − (9 − 8i ) 即余式 −9 + 8i
商 x − 2ix − (5 + 2i )
2
P44. 4.1).
m n
f m , g1 g 2
g n ) = 1 （注反复归纳用 12 题） 。
f(x)=x3+2x2+2x+1, g(x)=x4+x3+2x2+x+1 解：g(x)=f(x)(x-1)+2(x2+x+1), f(x)=(x2+x+1)(x+1) 即(f(x)，g(x)) = x2+x+1.
令(x +x+1)=0 得
所以 d ( x) = u ( x) f1 ( x) d ( x) + v( x) g1 ( x)d ( x). 消去 d ( x ) ≠ 0 得 1 = u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x)
P45.11
证：设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ≠ 0, f ( x) = f1 ( x) d ( x), g ( x) = g1 ( x)d ( x)
∴ d ( x) h( x) = ( f ( x ), g ( x )) h( x ) = u ( x ) f ( x ) h( x ) + v ( x ) g ( x ) h( x ).
而首项系数=1，又是公因式得（由 P45、8） ，它是最大公因式，且
高等代数习题北大第四版答案一到四章
从 而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
高等代数教案 北大版 第六章
,V 中加法的定构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价；极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα+++,,,s α线性表出.向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,αα,s k ,使得s s k α+=,s α线性相关；若由方程s s k α+=0s k ===则称向量组,s α线性无关.命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:12,,s ααα线性相关；某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有一个部分组,,,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关；、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同,,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11121212221212,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎭,,n ε到1,,n ηη的过渡矩阵.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=,n η是V/K 若12,,,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射nK V ασ,:→,构造方程122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,22)n n k k ηη++0n n k η+=,0n k ==⇒,()n σση线性无关.,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,,)K i n =,作用,得到112()((n k k k σησηση++,120n k k k ⇒====.证毕向量的坐标变换公式；nK 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的),n a ,即1212(,,,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,,n η下的坐标为,,)n b ,即1212,,,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=2n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12[(,,)]n Y T Y εεε=.122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b η=1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.ε为W ,r1,,r r εε+的一个子空间假设即可.二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,,t t i k k k K i t αα+++∈=称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义2{V v =∈称为子空间的交； 21{V v +=+称为子空间的命题9 12V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +12,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则,,m V 是2m V V 和m V +均为的子空间.维数公式.1 设V 为有限维线性空间,2dim()V .,12dim()V V r =,2V 的一组基,r ε(若2V V =0,则基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--是12V V +见12V V +中的任一向量都可1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--线性表出.事实上,V γ∀∈12γ+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表21212,,,,,,,,,,r l r t r εεαααβββ--线性无关即2211220s r s r t r t r a a b b b ααβββ----++++++=,11221r r s r s r k a a a V εααα--+++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,112212r r s r s r a a a V V εααα--++++∈,记为,r ε线性表示,设22r r h h αεε++,12211220r r t r t r h h b b b εεβββ--+++++++=,12,,,,,r t r εβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则12120r t r h h h b b b -========,12120r s r k k a a a -========,21212,,,,,,,,,,r s r t r εεαααβββ--线性无关12,,,t V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则:1212)dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.作归纳.,m V 是V ,,1,2,,m i i V i m αα+∈=.记为2m V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.,,m V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四m V +是直和；零向量表示法唯一；1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=；1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.: 1)2)⇒显然.1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则(m α+-1,2,,m ,21m V V V +++是直和个,1i i ≤≤1ˆ(){0}im V V V ++++≠存在向1ˆ()i im V V V V ∈++++,于是存在j V ,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,()()0m αααα+-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,1,2,,)m 且0i α∃≠.于是1ˆˆ()i m i im V V V V αα+++∈++++,成立.作归纳.由维数公式得到121212dim dim dim()dim dim V V V V V V =+-=+.11)dim(),m m m V V ---+111垐()(){0}i m i i m V V V V V V V -++++⊆++++=由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m V V V V V +++=+++3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐())dim()dim()dim(i m i i m V V V V V V V V V ++++=+++++-++1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: 12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)2{0}V V =；12dim()V V +=二、直和因子的基与直和的基设1m V V V V =⊕⊕,则,m V 的基的并集为,r ii ε是i V 的组基,则V 121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又1dim dim i m V r r =+,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕. 三、补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间证明: 设V ,r ε,将,,)n ε,则有12V V =+,且,即2V 是1V.s n AX ⨯的线性映射.上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,sin 2,,sin ),x nx,cos).nx,AX.单线性映射(monomorphism)满线性映射(endmorphism)fα().α∈U'/kerγ.于是=,fα)('),t V α∈22()(t k k ϕαϕα+++,1122()t t k k k ϕααα+++t t k α+=则120t k k k ====,ii)成立；iii)若取组基12,,,n εεε,则,()n ϕε而im ϕ中任意向,()n ϕε线性表出12(),(),,()n εϕεϕε构成成立；⇒i)由/ker im U ϕ≅dimker dimim ϕ=即有ker ϕ=。
北大版高等数学习题答案6.4
习题6.4223331111.:(1)ln((2),.(3),ln ln .1ln ,(l yx y y y y z x z x z y z zx y xz xy y z x z x x zyx x x z yx z x ---=+∂==∂∂==∂=∂==∂∂=-∂==∂=+=∂求下列函数的一阶偏导数12222222n ),1ln ln ,(ln ).(4).,()().()()(5)arcsin((6).()(1y y y xy xy xy xy x x z zx x x z x x z y yxyz x y z x y x y y x x y x y z x y y x x y x y x y z z z x y z xe z e xe y e xy x -----+∂∂==∂∂=-⎛⎫∂---== ⎪∂--⎝⎭⎛⎫∂-+== ⎪∂--⎝⎭=∂∂==∂∂=∂=+-=-∂2222),.(7).111,,.xy zx e yy z x u x y z u y u z u x x x z y x y z y z -∂=-∂=+-∂∂∂=--=-=+∂∂∂11(8)().(),(),().ln()z z z zu xy u u u yz xy xz xy xy xy x y z --=∂∂∂===∂∂∂ (0,1)(0,1)2(0,1)0(0,1)12arccos(1)(1)cos (1),.1sin sin(1)1sin cos 1,1sin (1sin )(1)(1sin(1))(1)cos(1)1sin(1)(1s x x y x y y x z zz x y x y z d x d x x x x dx xdx x z d y d y y y y dy y dy ===---∂∂=++-∂∂∂+-===∂++∂---+-+--==∂+-+求下列函数在指定点的偏导数:求及21(,1)(,1)22222(,1)(,1)221.in(1))2(2),.cos 2sin cos 2cos ,2(cos )(cos )(cos )2,0.(3)(,,)ln(),(2,1,0),(2,1,0),(2,1,0).(,,)y x y z x y y z zz y x x y z y x z y x y xx y x y y x y x z zx y f x y z xy z f f f f x y z ππππ==--∂∂=+∂∂∂∂+-==⨯=∂+∂++∂∂==∂∂=+求及求1,(,,),(,,).11(2,1,0),(2,1,0)1,(,,).22y z x y z y x f x y z f x y z xy z xy z xy z f f f x y z ===+++===222220,(,)(0,0),3.(,)||||0, (,)(0,0)(0,0),(0,0).(,)|||||0((,)(0,0)),||||(,)(0,0)0((,)(0,0)),(,)(0,0)|(0,0)lim x x x x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y x y f x y f x y f x y x f ∆→⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩+=≤+→→+→=→∆∆=证明函数在连续但是不存在在连续.证|0|lim .||x x x x x ∆→∆=∆∆不存在24..21,,.2y z z zz x yx x yz y y y z yx x x x y x xz z y y y y zx yx y x x x x∂∂=+=∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+-=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂+=+==∂∂设,证明为齐次函数根据关于齐次函数微分的一个定理立得结论直接计算如下证1/2,,..22322225.:(1)(,)ln(23).26,.23(23)(2)(,)sin .cos ,cos .(3)(,)4ln(1).2112,2.1(4)(,)ln()ln ln .ln ln 1xy x xy x x x xy x xy x f f x y x y f f x y x y f x y y x e f y x e f x f x y x xy x x xf y x f y x f x y x xy x x x y f y x =+-==++=+=+==++-+=++-=+==+=++求下列函数的二阶混合偏导数2232223322332222222221,.6.cos3,Laplace 0.3sin 3,9cos3,3cos3,9cos3,0.7.(,)4cos(33)xy yyy yy x ctf yu uu ex u u x yu u e x e x x x u u e x e x y y u u u x yu u u x t e x ct c t -----+=∂∂=∆=+=∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂=-=∂∂∂∂∴∆=+=∂∂∂∂=++=∂ 设证明满足平面方程证明函数满足波动方程证222222222222.12sin(33),36cos(33),12sin(33),36cos(33),.8.(,)(,),.x ct x ct x ctx ct x u u ce c x ct c e c x ct t t u u e x ct e x ct x xu u c t x u u x y v v x y D u u u v u v D x y y x++++∂∂∂=-+=-+∂∂∂∂=-+=-+∂∂∂∂=∂∂==∂∂∂∂==-∂∂∂∂故设及在内又连续的二阶偏导数,且满足方程组证明及在内证2222Laplace 0,.u v u u x y∆=∆=∂∂∆=+∂∂满足平面方程其中 222222222,(),0.0.u v v u v v v v vx x y x y y y x y x x y y x x y u v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∆=∆=和连续故类似证证2222/19.(,)sin (0,)2sin .111sin sin ln(1),11(0,)2sin ,(,)sin ln |1|2sin 1(2)sin ln |1|.10.:(1).y x z z x y y z y y y z x xyy dx x y xy C xy y z y C y y z x y x y xy y y yx y y xy y z e d ∂=-+=+∂-⎛⎫-+=---+ ⎪-⎝⎭==+=---++=-+--=⎰已知函数满足以及.试求的表达式求下列函数的全微分解z=//222222.()()()()(2)(2))(2)..()()(3)arctan arctan arctan arccot ,0.2(4)y x y x y xdy ydx z e de x x x y dx dy x y x y dx dy y dx x dy z dz x y x y x y y x y y z dz x y x x u du π-==++--+--+===---=+=+=====334223433422343344234223223411.(,)(4103)(15125),(,).4103,15125.(4103)53(),1512()15125,()z x y dz x xy y dx x y xy y dy f x y z zx xy y x y xy y x y z x xy y dx x x y xy C y zx y xy C y x y xy y yC y =+-+-+∂∂=+-=-+∂∂=+-=+-+∂'=-+=-+∂'=⎰已知函数的全微分求的表达式解454234522222222222222225,().(,)53.12.(,)(),(,).()11()()2211y C y y C f x y x x y xy y C z f x y y x dz x dx y dy z x y x y x y y x dz x dx y dy x y x y xdy ydx xdx ydy x y xdy ydxyd x x d x y d x y yx =+=+-++=⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭-=+++-=++=+++已知函数的全微分求的表达式解22222221()arctan 21()arctan .21()arctan .2y d x y d x y xy d x y x y z x y C x=+++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+++ 222000000000000013.(,):{()()}0,0.:(,).(,),(,)(,)[(,)(,)][(,)(,)](,)()(,)()0.(,)(,),(,).x y f fz f x y D x x y y R f x y x yx y D f x y f x y f x y f x y f x y f x y f y x x f x y y f x y f x y x y D ξη∂∂=-+-<==∂∂∀∈-=-+-=-+-==∈证明在区域上恒等于常数证14.:(,)(0,0),(0,0),(0,0),(,)(0,0).(,)|0(0,0)((,)(0,0)),(,)(0,0)(0,0)0,(0,0)0.(,)(0,0)0),(,)x y x y o f x y f f f x y f x y f x y f x y f f f x y f x x ==→=→===→证明函数处连续存在但在处不可微处连续.若在处可微, 将有f(x,y)=特别应有证||||)(0),.o x x x ==→但此式显然不成立12222115.(,)(,)(,),,()..(,)(,).,.,,,(),(),,.P x y dx Q x y dy D u x y P Q C D P Q y xu udu P x y dx Q x y dy P Q x y P u u Q u uy y x y x x x y x yP Q u u P QP Q C D C D y x y x x y y x+∈∂∂=∂∂∂∂=+==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∈∈==∂∂∂∂∂∂∂∂设在区域中是某个函数之全微分且证明由假设由得故即证22222(),(,)(0,0)16.(,)0 (,)(0,0).(1)(0,)(0);(2)(0,0)0;(3)(0,0)1;(4)(,0),(0,0) 1.[2((1)0,(,)x x xy y yx x x y xyx y f x y x y x y f y y f f f x f x y x y f x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩≠==-=+≠=设函数计算根据偏导数定义证明在上述结果的基础上证明重复上述步骤于并证明设则证2222222225402222222222)]()2(),()(0,).(2)(,0)0,(0,0)0.(3)(0,0)()| 1.[2()]()2()(4)0,(,),()(,0).(0,)0,(0,0)0.(0,0)x x xy y y y y yx y y x y x x y xyx y y f y y yf x f f y xy x y x x y y x y xyx f x y x y f x x f y f f x =-+--+-==-=='=-=--+-+--≠=+'====设则03332232322322| 1.17.ln(),.11ln()ln()1,,,11,.x z zz x xy x x yz y z z xy x xy x xy x x x x z z x y y x y y ==∂∂=∂∂∂∂∂∂=+=+==-∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂设求解。
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第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。
又因,M N M ⊂ 故M N M =。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N ⊂所以MN N =。
2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。
证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。
反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。
若x M NL M N L ∈∈∈（），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：k a a =；8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =；解 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n nx x ++--=（）（）。
2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为f （x ）+g （x ）=h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以f （A ）+g （A ）=h （A ），kf （A ）=d （A ）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。
KA KA K A KA ''==-=-（）（）（），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2a -b ）。
对于数乘：即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。
＝)])(2)1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-++++， ＝)2)1(,()2)1(,(22222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+＝)2)1(2)1(,(21222221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++＝)2)1(2)1()(),((212122221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++＝))(2)1()(),((22221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为.01αα≠= 。
7）否，因为)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 所以，所给集合+R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。
证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证 因为1cos 22cos 2-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，不妨设,01≠k 则)()()(3132121x f k k x f k k x f --=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。
设1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。
2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++103002d b a d b d c b a c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ⨯；2）P n n ⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ωω231i+-=ω。
解 1)nn P⨯的基是{),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n nPn ⨯=。
2) i)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=...............1............1............ij F ，即,1==jiij a a 其余元素均为零,则{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是2)1(+n n 维的。
ii)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅⋅=...............1............1............ij G ，即),(,1j i a a jiij ≠=-=其余元素均为零,则{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是2)1(-n n 维的。
iii) {}nnn n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2)1(+n n 维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a ,可经2线性表出，即.2)(log 2 a a =,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4)因为231i +-=ω,13=ω,所以⎪⎩⎪⎨⎧+=+===23,13,3,12q n q n qn nωωω，于是E A A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1322ωω， 而⎪⎩⎪⎨⎧+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n。
9.在4P 中,求由基,1ε，,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标。
设)()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114321εεεε，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321ηηηη，()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标； )()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,124321εεεε，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,24321ηηηη，()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标； )()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,134321εεεε，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,14321ηηηη，()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标；解 )1（4321,,,ηηηη）=（,1ε,,,432εεε）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3101121163316502=（,1ε432,,εεε）A 这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵，将上式两边右乘得1-A ， 得 （,1ε432,,εεε）=（4321,,,ηηηη）1-A ，于是=ξ（,1ε432,,εεε）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =（4321,,,ηηηη）1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ，所以在基下的坐标为1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x ，这里1-A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------272631912773200312723319427191113194。