二次函数学案(全章)(完整资料).doc

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第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银

行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它

例1 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)2

32

1x y +-

= (2)112+=

x y

(3)x y 222

+=

(4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π=

即时练习(1)2x y = (2)212=

x y (3))

1(+=x x y (4)1132

--=）（x y (5)c

ax y -=2

(6)12+=x s 三、挖掘教材

6．对二次函数定义的深刻理解及运用

例2 若函数1232

++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。

分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解：

即时练习：若函数1)3(232

++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式：

(1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。

2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。

3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤

是： ， ， 。 二、解读教材

2值） （2）根据图像，进行小结：

①y＝x2的图像是，且开口方向是。

②它是

对称图像，对称轴是轴。在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大

而；在对称轴的右侧（x<0），y随x

③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点

此时，坐标为（，）。

④因为图像有最低点，所以函数有最值，当

2

小结：①y＝-x2的图像是，且开口向

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x的增

大，在对称轴的右侧，y随x的增大。

③顶点坐标是：（，），且从图像看出它有最点，所以函数有最值。

当x=0时，。

22

三、挖掘教材

8

同时，a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口。

9．例已知：抛物线10

2-

+

=m

m

mx

y，当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。

分析：①函数10

2-

+

=m

m

mx

y的图象是抛物线，则它是二次函数，所以m2+m-10=2，且m≠0；

②当x>0时，y随x的增大而增大，所以m>0。

解：由题意得：

?

?

?

≠

=

-

+

2

10

2

m

m

m解得：

?

?

?

≠

-

=

=

4

3

m

m

m或

又∵当x>0时，y随x的增大而增大，所以m>0。∴m=3

10．已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点

的坐标。

四、反思小结

二次函数的y＝ax2（a≠0）的图象与性质：五个方面理

解：，，，，。

第3课时二次函数y＝ax2+k的图象与性质

作出二次

小结：①y＝2x2+1的图像是，且开口向。

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：

在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大

而。

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③顶点是：( ，)，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x= 时

y有最值是。

3．在同一直角坐标系

中，作出二次函数y＝

-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2

的图像。

小结：

①抛物线y＝ax2+k的开

口方向由决定，

当时，开口向上；

当时，开口向下。

②对称轴是，当

a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且函数y当x=0时y

min

= 。当a<时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大

而。且函数y当x=0时y

max

= 。

③顶点坐标是（，）。

④y＝-x2的顶点坐标是（，），y＝-x2+2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2向平移个单位便可以得到y＝-x2+2。y＝-x2-2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2+2向平移个单位便可以得到y＝-x2-2。

4．变式训练1二次函数y=5

4

x2+3的图像是线，开口向，顶点坐标是，对称轴是；当x>0时，y随x的增大而。当x= 时，y有最值为。

三、挖掘教材---抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经过向上（k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位得到。

5．函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数；函数y=-4+3

2

x2

的图像可以看作函数y=3

2x2的图像向平移个单位而得到。

6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=k

x

的图像有一个公共点是（-1，

-1）。

（1

（2x取何值时，二次函数与反比例函数都

随x

四、反思小结：1

2.抛物线y=ax2+k 经过向（k>0）或向(k<0)平移个

单位得到。

第4课时二次函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象与性质

一、学习准备

1．说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。

（1）y=2x2 （2）y=-2x2+1

2．请说出二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系。

3．我们已知y=ax2，y=ax2+c的图像及性质，现在同学们可能想探究y=ax2+bx的图像，

那我们就动手画图像。

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二、解读教材

4．由学习准备可知，我们如果知道一条抛物线的顶点坐标，那么画图像就比较简单，所以我们可以先配成完全平方式结构。现在我们画二次函数y=3(x-1)2+2的图象．在

2

2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y ＝3x 2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2

+2的图象． 三、挖掘教材

5．抛物线的顶点式y ＝a(x-h)2+k

在前面的学习中你发现二次函数y ＝a(x-h)2

+k 中的a ，h ，k 决定了图形什么？用自己的语言整理得：

（x+1）2-1 的

6．例 已知：抛物线y=a(x-h)2+k 的形状及开口方向与y=-2x 2+1相同，当x=2时，函数有最大值3，求a ，h ，k 的值。

即时练习

已知抛物线的顶点坐标是（3，5）且经过点A （2，-5），请你求出此抛物线的解析式。

7.例 二次函数()2221y x =-+的顶点坐标是 ，把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此时得到的抛物线顶点坐标为 ，它的解析式为 。 四、反思小结

1．一般地，平移二次函数y=ax 2的图象便可得到二次函数为y=ax 2+c ，y ＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k

2．二次函数的顶点式y ＝a(x-h)2+k 的图象是轴对称图形，对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k),a 决定开口方向和大小， a ＞0时，开口向上，有最小值k ； a ＜0时，开口向下，有最大值k 。

第5课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质

y = ax h )2

= a ( x – h )2

+ y

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一、学习准备

2．二次函数25(3)2

y x =--的顶点坐标是 ，对称轴是 。 二、解读教材

3．公式推导——二次函数c bx ax y ++=2图象的顶点坐标，对称轴公式。

由上一节课，我们看到一个二次函数通过配方化成顶点式k h x a y +-=2)(来研究了二次函数中的a 、h 、k 对二次函数图象的影响。但我觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。那么这节课，我们就研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。 例1 求二次函数c bx ax y ++=2图象的顶点坐标，对称轴。 解：c bx ax y ++=2

=2

()b c

a x x a a

++

=222[2()()]222b b b c

a x x a a a a

++-+

=2

24()24b ac b a x a a

-++

二次函数c bx ax y ++=2

的顶点坐标是（2

4,

24b ac b a a

--），对称轴是直线2b

x a

=-

。 4．公式应用——用公式求函数c bx ax y ++=2的顶点坐标，对称轴。

(1)分别用配方法，公式法确定下列二次函数的顶点坐标，对称轴并比较其解值。 ①221213y x x =-++ ②2252y x x =-+ 5．实际操作——画二次函数c bx ax y ++=2的图象 （2）已知：二次函数2463y x x =-+

①指出函数图象的顶点坐标，对称轴。②画出所给函数的草图，并研究它的性质。 三、挖掘教材——二次函数c bx ax y ++=2的性质 6．抛物线c bx ax

y ++=2

（0a ≠）通过配方可变形为

y=2

24()24b ac b a x a a

-++

(1)开口方向：当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口向 。

(2)对称轴是直线 ；顶点坐标是 。

(3)最大（小）值：当0a >，2b

x a

=-时，y min =

244ac b a -；

当0a <，2b

x a

=-

时，y max = 。

(4)增减性：

当0a >时，对称轴左侧（2b

x a

<-），y 随x 增大而 ；对称轴右侧（2b x a

>-

），y 随x 增大而 ； 当0a <时，对称轴左侧（2b x a

<-），y 随x 增大而 ；对称轴右侧（2b x a

>-

），y 随x 增大而 ；

第6课时 二次函数))((21x x x x a y --=与一元二次方程

一、学习准备

1．已学二次函数的哪两种表达式？ 2．分解因式：x 2-2x-3； 3．解方程：x 2 -2x-3=0 二、解读教材

4．一元二次方程的两根x 1，x 2在哪里？

在坐标系中画出二次函数y= x 2 -2x-3

么？

再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧! 5．二次函数的两根式（交点式）

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的另一种表达式：y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）叫做二次函数的两根式又称交点式。

练习：将下列二次函数化为两根式：

（1）y=x 2+2x-15； （2）y= x 2+x-2； （3）y=2x 2+2x-12；

（4）y=3(x-1)2-3 （5）y=4x 2+8x+4； （6）y=-2(x-3)2+8x 三、挖掘教材

6．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴是否有交点？

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x

例 你能利用a 、b 、c 之间的某种关系判断二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴何时有两个交点，何时一个交点，何时没有交点吗？ 即时训练：（1）已知二次函数y=mx 2-2x+1的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 。

（2）抛物线y=x 2-(m-4)x-m 与x 轴的两个交点y 轴对称，则其顶点坐标为 。

（3）抛物线y=x 2-(a+2)x+9与x 轴相切，则a= 。

7．弦长公式：抛物线与x 轴的两个交点的距离叫弦长（如下图中的AB ）。 例 求抛物线y= x 2 -2x-3与x 总结：已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x

那么抛物线的对称轴x= ，AB=21x x -= 即时训练：抛物线y=2(x-2)(x ＋5)的对称轴为 ，与x 轴两个交点的距离为 。 四、反思小结——二次函数与一元二次方程的关系

知识点1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点有三种情况 ， ， ，交点横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的 。

知识点2．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的弦长公式： 。

第7课时 刷图训练

一、学习准备

1．二次函数的一般式为：y= （其中0a ≠，a 、

b 、

c 为常数）；顶点式为：y= ，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；交点式为： （其中1x ，2x 是0y =时得到的一元二次方程20ax bx c ++=的根）。 2．函数2

y ax bx c =++(0a ≠)中，a 确定抛物线的开口方向：当a ＞0时 ，当a ＜0时 ；a 和b 确定抛物线的对称轴的位置：当a 、b 同号时对称轴在y 轴的 侧；当a 、b 异号时对称轴在x 轴的 侧；（可记为“左同右异” ）c 确定抛物线与

的交点位置：当c ＞0时交于y 轴的 半轴；当c ＜0时交于y 轴的 负半轴。

二、阅读理解 3．定义：抛物线的草图：能大致体现抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点、x 轴上的两根为整根的抛物线叫抛物线的草图。

4．在抛物线的三种解析式的图象信息：

一般式能直接体现开口方向、与y 轴的交点；顶点式能直接体现开口方向、对称轴、顶点坐标；两根式能直接体现开口方向、与x 轴的两个交点。因此，它们各有优劣，其中以顶点式为最佳。

5①1,a b ==偶，例1 作出函数2

4y x x =-+解：242y x x =-+ 2442x x =-+- ()2

22x =--

即时练习②1,a b ==奇，（对称轴公式+例2 作出函数2

53y x x =-+解：∴55

2212

b a --=-=?

min 51324

x y ==-当时，

则大致图象是：即时练习：在右图中作出函数232y x x =+-的大致图象。 ③1a ≠（公式法）

例3 作出函数2241y x x =-+的大致图象。 解：∵4

124

b a -

=-=， 24816148ac b a --==-， ∴则大致图象是：（在空白处画图） 即时练习：在右边空白处作出函数2

223y x x =-+-④两根式（先转化为一般式，再转换成顶点式）例4 作出函数()()212y x x =-+的大致图象。

解：()()212y x x =-+

()222x x =--

x

2

19

2

44

x x

??

=-+-

?

??

2

19

2

22

x

??

=--

?

??

6

例5 作出函数22

y x

x m

=-+-

解：a=1>0，则开口向上，

而对称轴1

22

b

x

a

=-=。

即时练习：在右边空白处画出函数y=－x2+n的大致图象。

变式训练：画出函数y=－x2+mx+3的大致图象。

三、巩固训练：作出下列函数的大致图象

①232

y x x

=-+-②244

y x x

=--③221

y x

=+

④()()

1

12

2

y x x

=-+

第8课时根据抛物线得到二次函数系数信息

【学习过程】一、学习准备

二次函数()

20

y ax bx c a

=++≠中，它的顶点坐标式可写为：__________________，

对称轴是，顶点坐标是，还可以写为：，

其中对称轴是__________，顶点坐标是。

二、典例示范

例1 已知函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，1

x=为该图象的对称轴，根据图象信息，

你能得到关于系数a b c

、、

解：由图可得：

⑴a＞0；

⑵1-＜c＜0

⑶1

23

b

a

-=

又

2

b

a

-＜1而a＞0则得b-＜2a

⑷由⑴⑵⑶得abc＞0；

⑸考虑1

x=时y＜0，所以有a b c

++＜0；

⑹考虑1

x=-时y＞0，所以有a b c

-+＞0；

⑺考虑2

x=时y＞0，所以有42

a b c

++＞0，同理2

x=-时，42

a b c

-+＞0；

⑻图象与x轴有两个交点，所以24

b ac

-＞0。

例2 如图是二次函数2

y ax bx c

=++图像的一部分，图像过点A()

3,0

-，对称轴1

x=-，给

出四个结论：

①2b＞4ac，②20

a b

+=，③0

a b c

-+=，④5a＜b）

A、②④

B、①④

C、②③

分析：由图象可以知道a＜0；抛物线与x

∴24

b ac

-＞0，即2b＞4ac；

又对称轴1

x=-，即1

2

b

a

-=-，∴2a b=，b＜0；

∴20

a b

-=，a、b均为负数，5a＜b；当1

x=-

∴a b c

-+＞0；综上，正确的是①④，故选B。

例3 如图所示的抛物线是二次函数22

3

y ax x a

=-+。

分析：由图象可知：a＜0；当0

x=时1

y=，

即21

a=，∴1

a=±，但是a＜0，故1

a=-。

三、巩固训练

1．抛物线2

y ax bx c

=++如图所示，则（）

A、a＞0，b＞0，c＞0

B、a＞0，b＜0，c＜0

C、a＞0，b＞0，c＜0

D、a

＞0，b＜0，c＞0

2．已知二次函数2

y ax bx c

=++的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（）

①a b c

++＜0，②a b c

-+＞0，③abc＞0，④2

b a

=

A、4个

B、3个

C、2个

D、1个

3x c+的部分图像如图所示，则c 0，当x_____时，y随x的

4．已知一次函数y ax b

=+23

bx

-+的三条叙述：

①过定点()2,1；②对称轴可以是1

x=；③当a＜3，

其中正确叙述的个数是（）

A、0

B、1

C、2

D、3

第

第第

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5．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是（ ） A 、－1＜x ＜3 B 、x ＞3 C 、x ＜-1 D 、x ＞3或x ＜-1

6．抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴的一个交点是()2,0-，顶点是()1,3，下列说法中不正确的是（ ）

A 、抛物线的对称轴是1x =

B 、抛物线开口向下

C 、抛物线与x 轴的另一个交点是()2,0

D 、当1x =时，y 有最大值是3 7．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ） A 、223y x x =-+ B

223y x x =--22y x x =+223x +

8标函数图象，且满足b<0，

。 。9．已知y=x 2+ax+a-1的图象如图所示，则a 的取值范围是 。 10．据图抛物线y=ax 2+bx+c 确定式子符号：①a 0，②b 0，③c 0，④b 2-4ac 0，⑤a+b+c 0，⑥a -b+c 0。

11．若函数y=ax 2+bx+c 的对称轴x=1如图所示，则下列关系成立的是：（ ） A 、abc>0 B 、a+b+c<0 C 、a 2>ab-ac D 、4ac-b 2>0

2不经过 象限。

第9课时 求二次函数的解析式（一） 一、学习准备： 1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。 2．二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。 二、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。 3．例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。 4．即时练习 已知抛物线经过A （-1，0），B （1，0），C （0，1）三点，求二次函数的解析式。

三、方法探究（二）——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。

5．例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。 解：设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+。

把顶点（－2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为 2(2)3y a x =++

再把（－1，7）代入上式为 27(12)3a =-++ 解得4a =

所以函数解析式为24(2)3y x =++ 即241619y x x =++

6．即时练习 （1）抛物线经过点（0，－8），当1x =-时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。

（2）已知二次函数2()y a x h k =-+，当2x =时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。

四、方法探究（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。

7．例3 已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达

式。

解：设抛物线的解析式为12()()y a x x x x =-- 把抛物线经过的（－1，0），（3，0）两点代入上式为： (1)(3)y a x x =+- 再把（2，6）带入上式为6(21)(3)a x =+- 解得2a =- 所以函数的解析式为2(1)(3)y x x =-+- 即2246y x x =-++ 8．即时练习 已知抛物线经过A （-2，0），B （4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。

题 题 第

五、反思小结——求二次函数解析式的方法

1．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？

2．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。

3．用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。

【达标测评】求下列二次函数的解析式：

1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。

2．当x=2时，y

最大值

=3，且过点（1，-3）。

3．图象与x轴交点的横坐标分别为2和-4，且过点(1，-10)

第10课时求二次函数的解析式（二）

一、学习准备

1．函数的表示方式有三种：法，法，法。2．二次函数的表达式有：、，。

二、典型例题——用适当的方法求出二次函数的表达式

3．例1 已知抛物线2(0)

y ax bx c a

=++≠与x轴的两个交点的横坐标是－1，3，顶点坐标是（1，－2），求函数的解析式（用三种方法）

4．即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。

一条抛物线的形状与2

y x

=相同，且对称轴是直线1

2

x=-，与y轴交于点（0，1），求抛物线的解析式。

5．例2 已知如图，抛物线b

ax

ax

y+

+

-

=2

2与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C。

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点CO=3时，求抛物线的解析式。

6．即时练习：已知直线y=2x-4与抛物线y=ax2+bx+c的图象相交于A（-2，m），B(n，

2)两点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。

三、反思小结——求二次函数解析式的方法

1．已知三点或三对x、y的对应值，通常用2(0)

y ax bx c a

=++≠。

2．已知图象的顶点或对称轴，通常用2

()(0)

y a x h k a

=-+≠。

3．已知图象与x轴的交点坐标，通常用

12

()()(0)

y a x x x x a

=--≠。

四、巩固训练

1．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点的坐标为(4,0)。

（1）求B点的坐标

（2）求这个二次函数的关系式；

2．如图，在平面直角坐标系中，直线33

y x

=x轴交于点A，与y轴交于点C，

抛物线223(0)

3

y ax x c a

=-+≠经过A B C

，，三点。

（1）求过A B C

，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。

（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP

△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由。

第11课时利用二次函数求最大利润

【学习过程】一、学习准备

1．二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条____________，它的对称轴是直线x=－

a

b

2

，

A O

x

y

B

F

C

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顶点是______________。

2．二次函数y=-2x2+3x-1的图象开口______，所以函数有最_______值，即当x= 时，y

max

=_________。

二、解读教材

3．例1 某商经营T恤衫，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。问销售价是多少时，可以获利最多？

分析：若设销售单价为x(x≤15)元，所获利润为y元，则：

(1)销售量可以表示为______________________________；(2)销售额可以表示为____________________________；

(3)销售成本可以表示为____________________________；(4)所获利润可表示为y=_________________________。

解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

根据题意得关系式：y=____________________，即y= 。

∵a= <0，∴y有最值。

即当x=_______________=______________时，

y

max

=_________________=__________________。

答：

方法小结：解决此类问题的一般步骤是：

(1)设——设出问题中的两个变量（即设未知数）；

(2)列——用含变量的代数式表示出等量关系，列出函数解析式；

(3)自——找出自变量的取值范围；

(4)图——作出函数图像（注意自变量的取值范围）；

(5)最——在自变量的取值范围内，取函数的最值；

(6)答——根据要求作答。

4．即时练习

某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件。据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件。如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？

三、挖掘教材5．例2 某商经营T恤衫，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200

获利最多？

6．即时练习

求二次函数y= x2-2x-3在-2≤x≤0时的最大、最小值。

四、反思小结

1．二次函数是解决实际问题中“最值”问题类较好的数学模型；

2．注意解决此类问题的一般步骤——“设”，“列”，“自”，“图”，“最”，“答”。【达标测评】

1．某商店购买一批单价为8元的商品，如果以单价10元销售，那么每天可以售出100件。据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件。将销售价定为多少，才能使每天获得最大利润？最大利润是多少？

2．某旅行社组团旅游，30人起组团，每人单价800元，每团乘坐一辆准载50人的大客车。旅行社对超过30人的团给予优惠，即每增加一人，每人的单价降低10元。你能帮助计算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

第12课时利用二次函数求最大面积

【学习过程】一、学习准备

1．函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，若a>0，则当x=-

a

b

2

时，y

( )

= ；若a<0，则

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T

M H

F

E C

B

A

x D E C A

当x= 时，y ( )= 。

2．在二次函数y=2x 2-8x+9中当x= 时，函数y 有最 值等于 。

3．如图，在边BC 长为20cm ，高AM 为16cm 的△ABC 内接矩形EFGH ，并且它的一边FG 在△ABC 的边BC 上，E 、F 分别在AB 、AC 上，若设EF 为xcm ，请用x 的代数式表示EH 。

解：∵矩形EFGH ， ∴EH∥BC ∴ △AEH∽___________。

又∵BC 上的高AM 交EH 于T 。

∴

AM

AT =_______，即16

16x -=________。

∴EH= 。

二、解读教材

4．在上题图中，若要使矩形EFGH 获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？

解：设矩形面积为y ，而EF=x ，EH= ，

则y= = 。 ∵a= -4

5<0 则y 有最_______值。

∴当x=______时，则y 最大值=______________。此时EH= 。 答： 。 5．想一想：活动4通过设EH 为xcm 能解决问题吗？（试一试吧！） 6．即时练习：（1）在Rt△的内部作内接矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两条直角边上，点C 在斜边上。

①设矩形ABCD 的边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？

②设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 解：

（2）将（1）题变式：其它条件和图形都不变，设AD 边的长为x m ，则问题又怎样

解决呢？ 解：

三、挖掘教材：

7．在Rt△QMN 的内部作内接矩形ABCD ，点A 和D 分别在两直角边上，BC 在斜

边MN 上。 ①设矩形的边BC=xm ，则AB 边的长度如何表示？

②设矩形的面积为ym 2，当x 取何值时，y 的最大值是多少?

8．即时练习 如图，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角∠C=120°，两腰与

下底AD 的和为4m 。当水渠深（x ）为何值时，横断面积（S ）最大？最大值为多少？ 解：

四、反思小结：通过学习上节和本节解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？ 我认为解决此类问题的基本思路是： 。 【训练提高】

1．用48m 长的竹篱笆围建一矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2m 宽的门(不用篱笆)，问养鸡场的边长为多少m 时，养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

2．正方形ABCD 边长5cm ，等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 向左方向开始匀速运动，ts 后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm 2，解答下列

问题：

(1)当t=3s 时，求S 的值； (2)当t=3s 时，求S 的值；

(3)当5s ≤t ≤8s 时，求S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值。

这是一个二级图形哟！

公式：

全高

上高

下底

上底=

利用相似三角形性质和矩形面积

公式列出二次函数，应用其性质解决。

40m

30m D N O

A

B

C M

M A D P

B

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第13课时 专题复习——二次函数与几何 一、学习准备 1．写出二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴 ，顶点坐标 。 2．谈一谈二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x 轴的交点个数的情况： 。 3．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与y 轴的交点是 。 二、专题讲练 例1 如图，等腰直角三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线m 向正方向移动，直到AB 和CD 重合，设x 秒时三角形与正方形重叠部分的面积为y 平方米，其中正方形的边长等于AB 且为10米。 (1)写出y 与x 的关系表达式。 (2)当x=2，3，4时，y 分别是多少？ (3)当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？ 分析：在运动变化过程中，两个变量的关系可用函数 表达式来描述，最终用函数知识来解决。 例2．抛物线y=x 2+bx 与x 轴交于A 、B 两点，顶点坐标为P 。 (1)证明△ABP 一定是等腰三角形。 (2)当b 取何值时, △ABP 是直角三角形？ (3)当b 取何值时, △ABP 是等边三角形？ 例3．如图，已知二次函数y ＝-mx 2+4m 的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴上，A 、D 两点在抛物线上，矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内。 (1)求二次函数的解析式。 (2)设A 坐标为(x ，y)，试求矩形ABCD 的周长P 关于自变量x 的函数解析式，并求出

自变量x 的取值范围。

【达标测评】

1．如图所示，二次函数y=x 2

-4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点， 则△ABC 面积为：（ ） A 、6 B 、4 C 、3 D 、1

2．如图所示，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴的交点为Q ，过点Q 的直线y ＝2x+m 与x 轴交于点A ，与这条抛物线交于另一点B ，若S ΔBPQ ＝3S ΔAPQ ，求这个二次函数解析式。

3．已知在△ABC 中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上，

G 、H 分别在AC 、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积。

4．某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的路径A 、B 间，按相同的间距0.2m 用5根立柱加固,拱高OC 为

0.6m ，以Ｏ为原点, OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据，则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到0.1m) 。

B A x

O C

y

B C x O y

A D m D

A H

G C x O A

B y C

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5．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交与点A 和B ，与y 轴交于点C ，若

AC=20，BC=15

6．已知二次函数图象的顶点坐标C （1，0），直线y ＝x+m 与该二次函数的图象交于A ，B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上。 （1）求m 的值及这个二次函数的关系式。

（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A ，B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，

使得四边形DCEP 说明理由。