解三角形经典练习题集锦
专题06 解三角形(原卷版)
专题06 解三角形一、单选题1．（2022·湖北襄阳·高三期末）在ABC 中，AC =4BC =，则角B 的最大值为（ ） A ．4πB ．3π C ．2π D ．6π2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在ABC 中，π3A =，G 为ABC 的重心，若6AG AB AG AC ⋅=⋅=，则ABC 外接圆的半径为（ ）A B C ．2 D ．3．（2022·山东泰安·高三期末）在ABC 中，“tan cos A B <”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）A ．20mB ．10mC ．D 二、填空题5．（2022·山东莱西·高三期末）在ABC 中，CA a =，CB b =，0a b ⋅<，5a =，3b =，若ABC 的外接C =___________.6．（2022·江苏扬州·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23a A π==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则nm的取值范围是__________． 7．（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，在等腰直角ABC 中，2,AB AC O ==为BC 的中点，E ，F 分别为线段,AB AC 上的动点，且120EOF ∠=.（1）当OE AB ⊥时，则2EF 的值为__________. （2）2211OE OF +的最大值为__________. 8．（2022·山东青岛·高三期末）已知ABC 的三个内角分别为,,A B C ，且sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是_______；2sin 2B B +最小值为______.三、解答题9．（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝2∠ACB ＝4∠BAC ，AB ＝2，BCCD（1）求∠ACB 的大小； （2）求四边形ABCD 的面积．10．（2022·江苏通州·高三期末）从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA ＝3；②BC ；③∠A ＝60°.在△ABC 中，已知 ，D 是AC 边的中点，且BD ，求AC 的长及△ABC 的面积.11．（2022·江苏扬州·高三期末）在①b 2＋c 2－a 2S ，②a sin B ＝b sin （A ＋3π），③cos cos 2cos b C c B a A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ， ． （1）求角A ；（2）若AC ＝2，BC ，点D 在线段AB 上，且△ACD 与△BCD 的面积比为4∶5，求CD 的长． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）12．（2022·江苏宿迁·高三期末）在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABCSBC ⋅；③tan tan A C +=tan A C ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且__________. （1）求角B ；（2）若ABC 是锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13．（2022·江苏如东·高三期末）在①cos cos a b A B =；②22tan tan a b A B=,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）判断△ABC 的形状；（2）在（1）的条件下，若cos A =，b ＝10，AD 为BC 边上的中线，求AD 的长.14．（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC 中，D 为边BC 上一点，CD =10，2AC =3AD ，cos ∠CAD =13.（1）求AD 的长； （2）求sin B .15．（2022·江苏无锡·高三期末）ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知a =tan 3A =，________.请在①sin 3cos c A C =；②22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-⋅这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） （1）求角C ； （2）求ABC 面积.16．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形ABCD 中，7AB =，13BC =，CD AD =，且1cos 7B =，2BAD BCD ∠=∠．（1）求BCA ∠； （2）求AD ．17．（2022·江苏苏州·高三期末）在①2MC MB =；②sin C =③ABM S =△补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在ABC 中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a =sin sin 2B Cb a B +=． （1）求A ；（2）若M 为边AC 上一点，且ABM BAC ∠=∠，__________，求ABC 的面积． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）18．（2022·广东揭阳·高三期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin B b A +=. （1）求角A ；（2）若a =ABC b c >，求b 和c 的值.19．（2022·广东潮州·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin b C a B =，（1）求角B 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求ABC 面积的最大值．20．（2022·广东东莞·高三期末）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos a b C c B =+. （1）求a ；（2）若3A π=，ABC ABC 的周长. 21．（2022·广东罗湖·高三期末）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=． （1）求角B 的大小；（2）若边AB 上的高为4c，求cos C ．22．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形ABCD 中，,,4,362∠=∠=∠===ADB BDC BCD AD CD ππ．（1）求AB ；（2）求ABC 的面积．23．（2022·广东汕尾·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=-（1）求角B（2）当b =3时，求ABC 的面积的最大值．24．（2022·广东佛山·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos (2)cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小；（2）若2,b BC =边上的中线AD =ABC 的面积. 25．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积. 26．（2022·湖南娄底·高三期末）在ABC 中，已知3π4ABC ∠=，2AB =． （1）若π6BAC ∠=，求ABC 的面积； （2）若23=BC AC ，求ABC 的周长．（参考数据：πsin12=） 27．（2022·湖南常德·高三期末）设a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()()()sin sin sin sin B C b a c A C -=-+．（1）求角A 的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答．．．．．．，两个都作答则按第一个记分． ①设角A 的角平分线交BC 边于点D ，且1AD =，求ABC 面积的最小值． ②设点D 为BC 边上的中点，且1AD =，求ABC 面积的最大值．28．（2022·湖南郴州·高三期末）在ABC ∆中，若边,,a b c 对应的角分别为,,A B C ，且sin cos c C c A =-． （1）求角A 的大小；（2）若3,1c b ==，2BD DC =，求AD 的长度．29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin cos c C c A -．（1）求A ；（2）若a =b c +=ABC 的面积S ．30．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，ABC 的面积为S .（1）若2a =，3b =，S =c ； （2）若ABC 是锐角三角形且角2A B =，求ab的取值范围.31．（2022·湖北江岸·高三期末）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos a C b C c B -=. （1）求角C ；（2）若2a b +=，求c 的取值范围.32．（2022·湖北襄阳·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)cos cos a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若a =()2cos cos 3c a B b A b -=，求ABC 的面积．33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .B 的角平分线与AC 交于点D .（1）若2c a =，ABD △的面积为4，求ABC 的面积； （2）若2π3ABC ∠=，2BD =，4AB =，求sin C 的值. 34．（2022·湖北·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin B C B C A +-=．（1）求角A ；（2）如图，若b c =，点D 是ABC 外一点，3,DA DC ==ADC θ∠=，求平面四边形ABCD 面积的最大值及相应的θ值．35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，向量(sin ,1cos )(2,0)m B B n =-=与向量夹角的余弦角为1.2（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围.36．（2022·山东青岛·高三期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 1A C a c b+=，且b c b a =>>.（1）求ac 的值；（2）若ABC 的面积S =,a c 的值.37．（2022·山东临沂·高三期末）已知ABC 中，D 是AC 边的中点．3BA =，BC =BD = （1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．38．（2022·山东枣庄·高三期末）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为22,,,6,36a b c a b bc c =-+=． （1）求A ；（2）从以下三个条件：①8b =；②sin B =AC 边上的高112BH =中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积．39．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线()0y x =≥（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇. （1）求,a b 的值；（2）若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.40．（2022·山东淄博·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B =︒，222a b c bc =+-，延长BC 至D ，使7BD =，ACD △ （1）求AB 的长；（2）求ACD △外接圆的面积．41．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四边形ABCD 中，AB //,sin sin CD AD ADC AB ABC ∠∠⋅=⋅.（1）求证：AB BC =；（2）若2,90AD BD ADB ∠===，求CD 的长.42．（2022·山东德州·高三期末）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+③sinsin 2B Ca B +=三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. （1）求角A ；（2）若A 的角平分线AD 长为1，且6b c +=，求sin sin B C 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.43．（2022·山东烟台·高三期末）在①2cos a B c =；②向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-+，m n ⊥；③tan tan A B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3c =，D 为AC 边的中点，若______，求BD 的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．44．（2022·山东济南·高三期末）在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =.（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值.45．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .请在①cos sin b b C B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③222ABCa b c +-=这三个条件中任选一个，完成下列问题 （1）求角C ；（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使cos ADC ∠=，求线段BD 的长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.46．（2022·山东日照·高三期末）已知ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2223332b c a bc +=+. （1）求sin A 的值；（2）若sin 2sin B C =，求tan C 的值.47．（2022·河北唐山·高三期末）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b a B c C +-=． （1）求角C ； （2）求a bc+的取值范围．48．（2022·河北张家口·高三期末）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且135C =，sin b B =.（1）求sin B ；（2）若D 为AB 的中点，1CD =，求ABC 的面积.49．（2022·河北保定·高三期末）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .现测得35,100,400m BCD BDC CD ∠α∠β=====.在点C 测得塔顶A 的仰角为50.5.（1）求B 与D 两点间的距离（结果精确到1m ）； （2）求塔高AB （结果精确到1m ）.50．（2022·河北深州市中学高三期末）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量()32m b a =-，()cos ,cos n C B =，且m n ⊥.（1）求B ；（2）若sin cos A C +a =ABC ∆的周长.。
高考解三角形大题(30道)
高考解三角形大题(30道)1.已知在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a}=\frac{\cos B b}{\sin C}$。
求该三角形的 $\sin A$ 值和面积 $S$，已知 $\cosB=\frac{1}{4}。
b=2$。
2.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\sin C+\cos C=1$。
求 $\sin C$ 值和边c的值，已知$a+b=4(a+b)-8$。
3.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
求 $\sin(A+\frac{C}{2})=\frac{1}{2}\cos A$，并求角A的值；已知 $\cos A=\frac{1}{3}。
b=3c$，求 $\sin C$ 值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且有$BD=\frac{3}{3},\sin B=\frac{5}{3},\cos\angle ADC=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。
求AD的值。
5.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $a=1,b=2,\cos C=\frac{1}{4}$。
求该三角形的周长和$\cos(A-C)$ 值。
6.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
已知 $p=\frac{1}{5},b=1$，求 $a,c$ 的值；若角B为锐角，求p的取值范围。
7.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
求角A的值和$\sin B+\sin C$ 的最大值。
8.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案1.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2.△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4.在△ABC中，若•=•=•，则该三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形6.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形8.在△ABC中，P是BC边中点，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形但不一定是等边三角形9.在△ABC中，若（b﹣bcosB）sinA=a（sinB﹣sinCcosC），则这个三角形是（）A．等腰直角三角形B．底角不等于45°的等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．锐角不等于45°的直角三角形10.在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形12.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形14.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．1016.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米17.在△ABC中，已知AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=，则sinA=（）A． B．C． D．18.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（）A．9 B．9C．6D．619.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是．20.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．其中正确的命题序号是．21.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．22.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．23.在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．24.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）若b=2，求c边的长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．25.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共线，请按以下要求作答：（1）求角A的大小；（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．26.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．27.在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？28.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】1-5BDCDB 6-10CBACB 11-15BDAAB 16-18DAD 19.等腰三角形20.①②③21.222.7+23.解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．24.解：（I）由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc因为a=2且b=2，所以解得：c=2．（II）由（I）知，则A=60°因为a=2，∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，∴，此时三角形是正三角形25.解：（1）∵∥，∴sinA•（sinA+cosA）﹣=0．∴+sin2A﹣=0，即sin2A﹣cos2A=1，即sin（2A﹣）=1，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，A=．（2）由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc，又S△ABC=bcsinA=bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）∴S△ABC=bcsinA=bc≤×4=．当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，∴此时△ABC为等边三角形．26.解：∠CBD=180°﹣∠CDB﹣∠BCD=180°﹣45°﹣75°=60°，在△BCD中，由正弦定理，得：BD==．在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos105°=3+（）2﹣2×××=5+2．∴AB=．27.解：在ABD中，∴，∵A+B+C=π，∴，所以a2=b2+c2﹣2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，即在中，∴bc=4，∴，由于∠ACB=30°，由正弦定理可得，计算得；在△ACD中，∠DAC=75°，，AD=50，根据余弦定理可得=28.解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．。
解直角三角形练习题(带答案)
解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=， ，求．【答案】．【解析】 在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
解三角形经典练习题集锦
解三角形经典练习题集锦解三角形一、选择题1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（）A．1B．-1C．2/3D．-2/32.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．XXXD．1/tanA3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为（）A．2B．3/2C．3D．2/35.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是1/2.2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。
3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3.4.在△ABC中，若5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7.三、解答题1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。
2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。
3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。
4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2.5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（）A．90B．60C．135D．150解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。
解三角形练习题初三
解三角形练习题初三解三角形是初中数学中的重要知识点之一，对于初三学生来说，熟练掌握解三角形的方法和技巧非常重要。
下面，我将为大家提供一些解三角形的练习题，希望能够帮助大家巩固和提升解三角形的能力。
练习题一：已知△ABC中，∠A=60°，a=5cm，b=8cm，求c的长度和∠B、∠C的度数。
解答：根据余弦定理，可以得到c的长度：c² = a² + b² - 2abcos∠A= 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 25 + 64 - 40= 49c = √49c = 7cm对于∠B和∠C的度数，可以使用正弦定理进行求解：sin∠B / b = sin∠A / csin∠B / 8 = sin60° / 7∠B = arcsin(8 × sin60° / 7)∠B ≈ 47.8°由于∠B + ∠C + 60° = 180°，所以∠C = 180° - 60° - ∠B∠C ≈ 180° - 60° - 47.8°∠C ≈ 72.2°练习题二：已知△ABC中，∠A=45°，a=6cm，b=9cm，求c的长度和∠B、∠C的度数。
解答：同样使用余弦定理，可以得到c的长度：c² = a² + b² - 2abcos∠A= 6² + 9² - 2 × 6 × 9 × cos45°= 36 + 81 - 54 × 0.707≈ 36 + 81 - 38.198≈ 78.8c ≈ √78.8c ≈ 8.875cm使用正弦定理求解∠B和∠C的度数：sin∠B / 9 = sin45° / 8.875sin∠B ≈ 9 × sin45° / 8.875∠B = arcsin(9 × sin45° / 8.875)∠B ≈ 30.5°由于∠B + ∠C + ∠A = 180°，所以∠C = 180° - 45° - ∠B∠C ≈ 180° - 45° - 30.5°∠C ≈ 104.5°练习题三：已知△ABC中，a=8cm，b=12cm，c=15cm，求∠A、∠B、∠C的度数。
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解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值。
解三角形一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 24．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090B ．060C ．0135D ．01506．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 7．在△ABC 中，若tan 2A B a b a b--=+，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠==则C B A c b a sin sin sin ++++=_______。
2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。
3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。
4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。
6．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
三、解答题在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==V ，求c b ,。
（数学5必修）第一章：解三角形一、选择题1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[-2．在△ABC 中，若,900=C 则三边的比cb a +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2B A - 3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221 C ．28 D ．36 4．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ）A ．090B ．060C ．0120D ．01506．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。
3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。
4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+-+C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos ______。
5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。
6．在△ABC 中，若ac b =2，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。
三、解答题如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=- 求△ABC 的面积的最大值。
在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=AB 边上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长[基础训练A 组]一、选择题1.C 00tan 30,tan 302b b a c b c b a=====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,,22A A B A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<> 4.D 作出图形 5.D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150 6.B 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 二、填空题 1.12 11sin sin sin cos sin 222A B A A A ==≤ 2.0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=3.26- 00sin 215,,4sin 4sin154sin sin sin 4a b b A A a A A B B ======⨯4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 5. 4,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC AB B A C B A C+===+AC BC +sin )cos 22A B A B A B +-=+= max 4cos 4,()42A B AC BC -=≤+= 三、解答题4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222A C A C B B +-=，∴1sin cos 2224B A C -==，而0,22B π<<∴cos 24B =，∴sin 2sincos 22244B B B ==⨯⨯=839 [综合训练B 组]一、选择题1.C 12,,,::sin :sin :sin ::2632222A B C a b c A B C πππ====== 2.A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-=3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B ===4.D sin sin lg lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A A B C B C B C=== sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==，等腰三角形5.B 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=6.C 2222cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7B =- 7.D 2cos sin sin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A B A B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++， tan 2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+，或tan 12A B += 所以A B =或2A B π+=二、填空题 1.3392211sin 4,13,222ABC S bc A c c a a ∆==⨯====sin sin sin sin 3a b c a A B C A ++===++ 2.> ,22A B A B ππ+>>-，即sin()2tan tan()2cos()2B A B B πππ->-=- cos 1sin tan B B B ==，1tan ,tan tan 1tan A A B B>> 1. 2 sin sin tan tan cos cos B C B C B C+=+ sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2B C B C B C A B C A A +++=== 2. 锐角三角形 C 为最大角，cos 0,C C >为锐角5. 060222231cos 22b c a A bc -+-==== 6．222222222222213,49,594a b c c a c b c c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>+><<<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩三、解答题1.解：1sin 4,2ABC S bc A bc ∆=== 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=，而c b >所以4,1==c b[提高训练C 组]一、选择题1.C sin cos ),4A A A π+=+而50,sin()144424A A A πππππ<<<+<⇒-<+≤2sincos 222A B A B A B +--==3.D 011cos ,60,sin 22ABC A A S bc A ====V4.D 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==，00045,A << sin cos A A <，004590,sin cos B B B <<>5.C 22222201,,cos ,1202a cb bc b c a bc A A -=++-=-=-= 6.B 22sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A A A B B A B B A B⋅=== sin 2sin 2,2222A B A B A B π==+=或二、填空题1. 对 ,sin sin B A >则22a b a b A B R R>⇒>⇒> 2. 直角三角形 21(1cos 21cos 2)cos ()1,2A B A B +++++= 21(cos 2cos 2)cos ()0,2A B A B +++= 2cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++=cos cos cos 0A B C =3. z y x << ,,sin cos ,sin cos ,22A B A B A B B A y z ππ+<<-<<<,sin sin sin ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<<4．1 sin sin 2sin ,2sincos 4sin cos 2222A C A C A C A C A CB +-+++== cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222A C A C A C A C -+== 则221sin sin 4sin sin 322A C A C = 1cos cos cos cos sin sin 3A C A C A C +-+ 22(1cos )(1cos )14sin sin 22A C A C =---++ 22222sin 2sin 4sin sin 112222A C A C =-⋅++= 5. )2,3[ππ 2tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1A CB AC B A C A C +==-+=- 2tan tan tan tan()tan 1A C B A C B +=-+=-3tan tan tan tan 2tan B B A C B -=+≥=3tan 3tan ,tan 0tan 3B B B B B π≥>⇒≥≥6．1 22,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2cos cos )cos(++- 2cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++-cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++-cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++cos()cos 11A C B =+++=三、解答题1. 解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B++===--cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A Bπ===+=或2222sin sin (2)sin ,2,a A c C a b B a c ab b -=--=- 222222022,cos ,4522a b c a b c ab C C ab +-+-==== 2222,2sin 2,22,sin c R c R C R a b R ab C ===+-= 2222222,22R ab a b ab ab +=+≥≤- 2122sin ,24422S ab C ab ==≤⋅-2max 212R S += 另法：122sin 2sin 2sin 244S ab C ab R A R B ===⨯⨯ 222sin 2sin 2sin sin R A R B R A B =⨯⨯= 212[cos()cos()]2R A B A B =⨯⨯--+ 22122[cos()]2222(1)22R A B R =⨯⨯-+≤⨯+ 2max 21S R +∴= 此时A B =取得等号 3. 解：sin sin 2sin ,2sincos 4sin cos 2222A C A C A C A C A C B +-+++== 12147sin cos ,cos ,sin 2sin cos 222222B A C B B B B -===== 3,,,24242B B AC A C B A C ππππ-=+=-=-=- 33371sin sin()sin cos cos sin 444A B B B πππ+=-=-= 71sin sin()sin cos cos sin 4444C B B B πππ-=-=-= ::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-+4. 解：22201()()3,,cos ,602a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-=== tan tan 33tan(),3,1tan tan A C A C A C +++=-=- tan tan 23A C =+，联合tan tan 33A C +=+得tan 1tan 23tan 1tan 23A A C C =⎧⎧=+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩或，即000075454575A A C C ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或 当0075,45A C ==时，434(326),8(31),8sin b c a A==-=-= 当0045,75A C ==时，4346,4(31),8sin b c a A===+= ∴当00075,60,45A B C ===时，8,4(326),8(31),a b c ==-=- 当00045,60,75A B C ===时，8,46,4(31)a b c ===+。