毕奥萨伐尔定律安培环路定律磁通连续原理
毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
长直线
长
内
直
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
B 0I 2r
B0
第八章
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
练习：求同轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
B • dl 0
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感应强度
B
在闭合曲线
上的环流，等于该闭合曲线所包围的电流的代
数和与真 空中的磁导率的乘积。即
B • dl 0 Ii
说明：
I4
I1 I2 I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
B • dl 0 Ii
.. . . .
R1 R2
.. . .
..r...............
q
v
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
静电场 E dl 0
l
磁 场 B dl ?
1、圆形积分回路
B
dl
0I 2r
dl
0I
2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
I
r
B
B
0I
2r
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
I
10.3-4a 毕奥萨伐尔定律及安培环路定理
0 NI / 2 2 0 sin d R
0 NI NI 0 R 4 4R
R d r O ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙⊙
x
x
21
三、安培环路定理
1.定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围 的电流代数和乘以 0。 数学表达式：
2 2 5.由 B Bx By Bz2 求总场。
4
例1:一段有限长载流直导线,通有电流 I ,求距 a 处 P 点的磁感应强度。 l
0 Idl sin dB 2 4 r l actg( ) actg
解: 分割电流元
2
Idl
dl a csc d a r sin r a csc
R B o
I
Bo
0 I
2R
11
归纳：（1）载流圆环轴线上
B 2 x R
2
Idl
0 IR2
2 3/ 2
I
R
o
Idl
r dB dB来自（2）载流圆环环心处 Bo 2R （3）半圆圆心处：
B
0 I
dBx x P dBx ' x dB ' dB '
r dN dB
Idl
S
P
16
例6：氢原子中的电子，以速率v在半径为r的圆周轨道 上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强 度。 v 解： 应用运动电荷的磁场公式：
0 q v r 可得： B 4 r3 0 ev B 2 方向如图所示。 4 r I
R sin r 2R
安培环路定理推导毕奥萨伐尔定律
安培环路定理是电磁学中非常重要的原理之一，它描述了磁场的环路积分与通过该环路的电流之间的关系。
而毕奥萨伐尔定律则是安培环路定理的应用，它指出了磁场的旋度与电流密度之间的关系。
本文将围绕这两个定律展开，从安培环路定理的推导开始，逐步深入探讨毕奥萨伐尔定律的相关内容。
1. 安培环路定理的推导安培环路定理是从麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律和高斯定理推导而来的。
首先我们回顾一下这两个定律的表达式：- 法拉第电磁感应定律：$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}=-\frac{\partial}{\partialt}\int_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$- 高斯定理：$\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$其中，$\Sigma$ 为任意闭合曲面，$\partial \Sigma$ 为该闭合曲面的边界，$\mathbf{E}$ 为电场强度，$\mathbf{B}$ 为磁感应强度，$\mathbf{F}$ 为任意矢量场，$\mathbf{S}$ 为曲面的法向量，$\boldsymbol{\ell}$ 为曲线的切向量，$V$ 为任意闭合曲面围成的体积。
通过对法拉第电磁感应定律取环路积分，我们可以得到：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$再根据斯托克斯定理，上式可以转化为：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\nabla \times \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$其中，$\mathbf{A}$ 为矢量势。
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
B, r
BH
r H
0
H
单向电流励磁
B Br
Hc 0
Hc
H
正反电流励磁和退磁
3.2 磁通连续性原理
为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。
➢ 磁力线有以下特点: (1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无 穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2) 磁力线与载流电路互相铰链(即每条磁力线都 围绕着载流导线)。 (3) 任两条磁力线都不相交。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1
I dz
L2 ( 2 z 2 )3 2
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
安培力定律公式可改写为：
F
Id l ( μ0
l
4π
l
I
d
l R2
eR
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是电磁学中重要的定理和法则，它们在描述电路中电流和磁场的关系上起着关键作用。
下面将分别对这两个定理进行介绍和解析。
一、安培环路定理安培环路定理又称安培定律，是电磁学中重要的定理之一，它描述了磁场中闭合曲线上的磁场强度与该曲线所围成的电流的关系。
安培环路定理可以总结为以下几点：1. 磁场环路定理的表述在闭合曲线上的磁场强度的矢量和等于该曲线所围成的电流的矢量和乘以一个常数μ0，即ΣH·dl=μ0ΣI。
2. 安培环路定理的数学表达式安培环路定理的数学表达式为∮H·dl=μ0∑I，其中∮H·dl表示磁场强度矢量沿着曲线的积分，μ0为真空磁导率，∑I表示曲线所围成电流的代数和。
3. 安培环路定理的应用安培环路定理可以用于计算闭合曲线中的磁场强度，是电磁学中重要的工具之一。
通过安培环路定理，可以求解复杂电路中的磁场分布，为电磁学的研究和应用提供了重要的方法。
二、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律是电磁学中描述通过导体中电流产生的磁场的定律，它对于电路和电磁场的分析具有重要意义。
以下是毕奥萨伐尔定律的主要内容：1. 毕奥萨伐尔定律的表述毕奥萨伐尔定律指出，通过导体中电流产生的磁场的强度与导体上任意点到电流元素的距离成正比，在大小和方向上满足右手定则。
2. 毕奥萨伐尔定律的数学表达式毕奥萨伐尔定律的数学表达式为B=μ0/4π∫(Idl×r)/r^3，其中B表示磁场强度，μ0为真空磁导率，Idl表示电流元素，r为导体上任意点到电流元素的距离。
3. 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律可用于计算导体中的磁场分布，也可以应用于分析电路中的电流产生的磁场对周围环境的影响。
在电磁学的理论研究和工程实践中，毕奥萨伐尔定律都具有重要的应用价值。
总结安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是描述电流和磁场之间关系的重要定理，在电磁学的理论研究和工程应用中起着关键作用。
通过学习和理解这两个定律，可以更好地理解电磁学的基本原理，为电路和电磁场的分析提供重要的方法和工具。
磁通连续性和安培环路定理
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36
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度
DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS
穿进的磁通量必定等于穿出的磁通量，亦即通过任
意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零：
SB dS 0
(2.3-3)
这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连 续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.
7
现在，我们从毕奥—萨伐尔定律出发，对(2.3-3)加 以证明.
我们考虑电流圈L中其中一个电流元Idl ，设它的流
我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：
B dS 0
磁场“高斯定理”
S
SB dS V BdV
B 0
安培环路定理
Bdl
L
0
J dS
S
LB dl S ( B)dS
B 0J
37
B 0 J 则表示在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁
场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，
而在J = 0的地方， ▽×B = 0，无涡旋. （静电场 E 0 ）
0 I 4
0 I 4
4
0 I
得证
14
如果有多个电流 I1、I2 …...In穿过积分回路L，根
据叠加原理，即可得:
n
B dl L
0
Ii
i 1
I5 L
当电流以一定的密度J 分布于
以积分回路L为边界的曲面S上，
安培环路定理就表示为
毕奥萨伐尔定律及安培环路定理
2
说明r的：方向dB：从4电0 流Id元lr3所r在位置指向场点IdPl。
P
r
dB
•大小o：dBo1c2440Id1l 0rs2i7n(
N
/
A2
)
真空中的磁导率
dB
Idl
•方 为向I：dlI与dlr之r间的的方夹向角。。
r
dB 的方向垂直于Idl和r 所形
成的平面。 2. 一段载流导线产生的磁场：
1 0, 2 ;
I
B 0
2a
l 2
Idl
lr
o
1 a
2.半无限长载流直导线的磁场：
1
2
,
2
;
B 0I 4a
I
3.半无限长载流直导线的磁场：
1
,
2
;
B 0I (cos 1) 4a
I
P a
dB
Px
P a
6
4.载Id流l导//线r,延I长dl线上r任一0 点的B磁场0
a P
I
例2：一正方形载流线圈边长为 b,通有电流为 I，求正
.... . . .... . . . . ..
r
A1
p
A2
B
I
B 2
0 IR 2
x2 R2
3/ 2
l R cot dl R csc2 d
R2 l2 r2
B
dB
0 R2Indl
2
(
R2
l
2
3
)2
sin 2
R2 r2
R2
l2
R2
sin2
R2
csc2
B
2(
1
毕沙定律安培环路定理
P1dBr
2 R
dI
2
1
1 2
0nI
sin
××××××
d
l
×××××
I
B
1 2
0nI
cos2
cos1
方向：
B
B
右手螺旋
O
x
讨论
B
1 2
0nI
(cos
2
cos1
)
．．．．．．．．．．．
（1）无限长螺线管
1 π, 2 0 B 0nI
.A1
1
2
B
×××××××××××
（2）半无限长螺线管端点中心处，例 A1 点
dq 2π r dr
Q π R2
dI dq 2π r dr
T 2π
dI r dr
(2) 该电流元在场点 P 处旳磁场
dB
0r 2dI
3
0r 2
r dr
3
2 r2 x2 2
2
r
2
x
2
2
(3) 分析另一环状电流元在场点 P 处旳dB 旳方向，与 dB 方向相同。
(4) 统一变量，计算成果。
0 Ix
2π b
d
dx 2x
2
Bx
dBx
0 Id
2π b
bb22
d
dx 2x
2
0I
πb
arctan b 2d
By dBy
0 I
2π b
bb22
d
xdx 2 x2
0
P
dB dB
可由电流分布具有对称性得到。
B
Bx
0I
πb
arctan b 2d
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朱英伟
教案邮箱： 2015142536
第三章 恒定磁场
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
实验测得电流回路 l’ 对电流回路 l 的作用力F
F 0
Idl (I 'dl ' eR )
4π l l'
R2
式中， 为真空中的磁导率 0
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
比较静电场与恒定磁场的知识结构和分析方法。
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位(m) 分界面衔接条件 磁矢位（A）
数值法
边值问题
解析法
有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法
电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算
§3.0 磁力和磁场 磁感应强度
m IS
B
0m 2 x3
3.2 安培环路定律
考虑磁场矢量线积分的特性。 3.2.1 真空安培环路定律
首先计算简单实例——无限长直导线的磁场环量， 然后推广——认为任意情形下磁场的环量都满足特例的结果 这一结果称为安培环路定理。
3.2.2 媒质的磁化及一般形式安培定律
引入磁场强度 H ，得到一般形式的安培环路定律。
B Bxex
0
4π(R2
I
x2
)
sin
dl
l
e
x
圆形载流回路轴线上的磁场分布
讨论：当 x = 0 时
B0
0I 2a
0
4π(R2
I
x2
)
R R2
x2
2πRex
当 x R时，r x
B
0IR 2 2x3
0 IR 2
2(R2 x2 )3/2
ex
定义磁偶极子 磁矩
磁偶极子产生的磁场
Ñ B J Bdl 0I Ñ lB g d l S ( B )g d S 0 SJ g d S
0
说明：
A. 恒定磁场是有旋场，磁场的涡旋源是电流； B. 当 I 的方向与环路的方向满足右手螺旋法则时，I 取正； C. 安培环路定律中，I 是穿过以环路为边界交链电流，
B 是环路内外所有电流产生的总的磁感应强度的矢量和。
解：元电流 Idl 在 P 点产生的 dB 为
dB
0
4π
Idl er r2
(Idl
er )
dB
0 Idl
sin
2
4π(R2 x2 )
圆形载流回路
根据圆环电流对 P 点的对称性， dBx dB sin dBy 0 sin θ R / r
dBx
0 Idl
sin
2
4π(R2 x2)
sin
安培对这些实验事实进行分析，提出物质磁性本质假说：
一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。
物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢? 近代的理论和实验都表明，物质间的磁力作用是通过 磁场传递的。即
运动电荷
磁场
运动电荷
✓磁场和电场一样，也是物质存在的一种形式。
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (两电流回路之间的作用力 )
一.磁力和磁场 早期磁现象磁铁
磁铁之间有相互作用。
(1)人造磁铁、天然磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。 (2) 磁铁有两个极：N，S。 (3) 磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。
1820年，奥斯特发现通有 电流的导线能使附件的磁针发 生偏转，即电流的磁效应。
I
N S
同时，人们还发现： 磁铁对载流导线也有力的作用； 磁铁对运动电荷也有力的作用； 电流与电流之间也有力的相互作用。
3.2.1 真空中的安培环路定律
计算以无限长直导线为圆心的任意圆形环路的磁场环量。
长直导线的磁场
B
0 I 2
e
B
（1）安培环路与磁力线重合
Ñ LBdl
2
0
0Id 2
0 I 2
2
0
d
0I
（2）安培环路与磁力线不重合
Ñ LBdlLBCosdl dlcosd
2
0
0I 2
d
0I
dϕ
（3）安培环路不交链电流
是 Idl 与 r 之间的夹角。
B
2.磁场方向：由右手螺旋法则确定。
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1 L2
(
2
I
z2)3
2
dz
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
0I 4π
(sin 1
sin
2)
当 L1 , L2
时，B
0I 2π
e
Idl
P
长直导线的磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为 R 的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。
➢对于具有对称性分布的磁场，应用安培环路定律求解磁感应 强度 B 比毕奥-沙法尔定律简便。
例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解： 平行平面磁场, B B( )e
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
安培力定律 洛伦兹力
毕奥—沙伐定律的微分形式 真空中，电流元 Idl 在 P点产生的磁场为 ：
Idl Idl
B P
dB
o 4
Idl er r2
r
1.磁场的大小：
dB o Idlsin 4 r 2
L B dlLBC d o l0 0s2 0I d0
（4）安培环路与若干电流交链
B L
dl
0
Ik
安培环路定律：在真空中，磁感应强度 B 沿任何闭合路径 l
的线积分等于该闭合路径 l 所包围的电流强度的代数和的 o 倍。
2.安培环路定律的微分形式
对任意电流产生磁场沿闭合回路的环量，均满足安培环路定理
安培力定律公式可改写为：
F Id l ( μ0 Id l eR )
l
4π l R2
IB
类比电场力计算式
F qE
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）