理想刚塑性平面应变问题

理想刚塑性平面应变问题滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf 和Budiansky 在1949年提出的。

由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。

滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。

除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。

应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。

蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。

自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。

刚塑性平面应变问题的基本方程一、不可压缩条件平面应变的位移满足关系：),(y x u u x x = ),(y x u u y y = 0=z u （1）其速度场满足：),(y x v dtdu x x=),(y x v dt du y y = 0==z z v dt du （2） 其应变率张量为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=0000)(210)(21y v x v yv yv x v x v y y x xy xij ε（3）不可压缩条件表示为：0=++z y x εεε（4） 因为0=z ε ，故有: 0=∂∂+∂∂yv x v yx （5） 二、Levy —Mises 关系由于)2(yx x xS σσλλε-==)2(xy y y S σσλλε-==xyxy τλγ 2= 故有 xy x y xy x y xy x yyv x v x v y v τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂ 三、平衡条件和屈服条件不考虑体积力,平衡条件为:0=∂∂+∂∂yx xyx τσ (6.1) 0=∂∂+∂∂yxy xy στ (6.2)Mises 屈服条件:022=-=k J f 由正交流动法则,并知0=z ε,则有:0)(=-==∂∂=σσλλσλεz z zz S f 进而可知:σσσσ=+=2yx z (7)注意到:2yx x x S σσσσ-=-=2xy y y S σσσσ-=-= 故有y x S S -= (8)进而可知:22222222)2()2(2121xy y x xy x xy y x ij ij S S S S S S S J τσσ+-=+=++==∴Mises 屈服条件可进一步表示为下式:22244)(k xy y x =+-τσσ (9)又考虑到: 2231)2(2xy y x yx τσσσσσσ+-±+=故有:2231)2(2xyyx τσσσσ+-=-因此Tresca 屈服条件表示为:22244)(k xy y x =+-τσσ (10)应当注意: (9)中的3sk σ=,而(10)中的2skσ=注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求x σ ，y σ， xy τ在刚性区则有: 22244)(k xyy x <+-τσσϕκσσ2cos +=xϕκσσ2cos -=yϕκτ2sin =xy其中ϕ为1σ与x 轴夹角,而α线与x 轴夹角为θ,则有:4πθϕ+=进而: θϕ2sin 2cos -= ,θϕ2cos 2sin =θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy将上式代入平衡方程(6)式可得:02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂yk x k x θθθθσ 02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+yk x k y θθθθσ (11)由 式θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy可得xy yx tg τσσθ22-=-将上式代入式xy x y xy x y xy x yyv x v x v y v τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂ 可得 0)(2)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂xv y v tg y v x v yx y x θ 0=∂∂+∂∂yv x v yx (12) 注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求y x V V ,，θ，σ滑移线1、应力场中的滑移线、应力方程材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。

因为斜面上的平均正应力式不影响屈服的，因此材料是沿斜面剪应力方向发生剪切屈服破坏。

在平面应变问题中，连续材料质点的剪应力最大值即各质点等斜面剪应力轨迹线或滑移线。

如果能在平面内描出塑性变形滑移线。

也表示沿这些线上的剪应力等于屈服剪应力，而与之对应的面上正应力即为平均应力。

在塑性变形中，任一点的滑移线方向已知，由式θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy可知，如果能计算出该点的平均应力大小，那么该点的应力状态可唯一的确定，如此通过平面滑移线作图与应力分析，就可以求出平面应变的应力分量。

由于滑移曲线仅限于二维坐标平面，因而它仅限于求解平面应变问题，页因为应力场中剪切屈服认为式等值才能描述出滑移线，所以只能认为理想刚塑性的材料才是适宜的。

02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂yk x k x θθθθσ02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+yk x k y θθθθσ由于问题解与坐标选择无关,将y x ,坐标系化为βα,坐标系(取0=θ)则有:0)2(=-θσαk d d0)2(=+θσβk d d进而可得: ξθσ=-k 2 (沿α线) (24.1)ηθσ=+k 2 (沿β线) (24.2)上式称为Hencky 方程。

此外由图可见, 沿α线满足θtg dxdy=, 沿β线θctg dxdy-= 。

这是互相垂直的平面坐标中两曲线族，一条曲线的切线与x 轴夹角为θ ，另一条曲线是逆时针转90度形成的曲线，显然，曲线族任何点都满足这个条件，而满足这个条件各点连成曲线形成平面中互为正交的两族曲线。

这两族曲线被称为α和β两族滑移线。

滑移线上各点既满足屈服条件和满足平衡方程，是塑性区的解。

自然，滑移线是一种通过作图给出塑性解的形象描述，它不是指一点或一条线而言，而是对某塑性区的描述，因而能在某塑性区域中画出滑移线，也就能求出该区域中的塑性解。

2、速度滑移线、速度方程平面刚塑性的变形问题一一速度场是在应力场的基础上加以分析求解。

它也可以借助于作图和分析相结合的办法求出变形过程中的应变率分量和速度分量。

而这一滑移线且 刚好与应力场中的滑移线是吻合的。

本节对此加以说明在直角坐标下，平面应变的速度分量分别为(),x V x y 和()y x V x ,。

应变率分别为x ε，y ε和xy γ，并且两者之间有⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x V y V yV x V y x xy y y x x γεε（9.42） 显然，如以x V 和y V 作为基本未知量表示平面应变中的变形，那么依据塑性区体积不可压缩条件0=+y x εε，得出0=∂∂+∂∂yV x V yX （9.43） 在求出应力解基础上，利用增量型本构方程xyxy y y x x S S τλγλελε 2.=== （9.44）将与表示的应变率带入上式，得出⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-∂∂-=∂∂-=∂∂xy yx m y y m x xx V y V y V x V τλσσλσσλ 2)()( (9.45)由以上三式消去λ，并用应力分量表示X V 和yV ，则xy xy x y yx xV y V xV y V σστ-=∂∂-∂∂∂∂+∂∂2 (9.46) 这样对刚塑性平面应变变形问题，由（9.43）和(9.46)两个方程求解XV 和y V的两个未知数。

因而与应力场一样，平面应变的速度场也是静定的。

显然直接求解(9.43)和（9.46）两个方程是不可能的，依然可用特征值和滑移线方法求速度场问题。

将(9.46)方程中的应力分量用平均应力σ滑移线夹角θ表示成θτθσσθσσ2cos 2sin 2sin k k k xy y x =+=-=将速度方程改写成0)(2=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂xV y V tg y V x V y x y x θ （9.47） 再考虑体积不变条件和沿xy 平面上任一曲线XV 和y V 的增量，则有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂dyy V dx x V dV dy y V dx x V dV yV x V y y y x x x yx 0 （9.48） 以上4个方程式构成一组以x V x ∂∂、y V x∂∂、x V y ∂∂、yV y ∂∂未知量的线性方程组，令其系数行列式等于零，即0010011221=-dy dxdy dx tg tg θθ展开得解得：⎩⎨⎧-=θθctg tg dx dy（9.49）说明x V 和y V 的特征线在xy 平面中与应力场中定义的滑移线式同一曲线，也就是平面应变的滑移线既是应力解方程的特征线，也是速度解方程的特征线。

因为它们在平面中具有相同的曲线切线描述。

并由Levy-Mises 本构理论，应变增量分量与对应的应力偏量分量成正比，也就是两者的主方向重合。

因而最大剪应力与最大剪应变率方向重合，说明由应力场中所划出的滑移线，不但表达了各点最大剪应力以及进而发生屈服的方向，也表达了最大剪应变率以及屈服的变形方向。

在应力场中的滑移线理论中，曾给出了沿α和β滑移线σ和θ满足的滑移方程，在研究变形问题即速度场中，也由速度滑移线给出由αV ，βV 和θ表达的速度方程，这一方程首先是由Griringer 在1930年给出的，又称为Griringer 方程。

如图9.17所示，αV 和βV 是任一点θ的速度矢量，并且是沿滑移线α和β的速度分量，θ则是α线与x 正方向的夹角。

按图示的坐标转换关系，则有直角坐标速度分量X V 、y V和滑移线速度分量αV 、βV之间的关系⎪⎭⎪⎬⎫+=-=θθθθβαβαcos sin sin cos V V V V V V y x (9.50)Levy-Mises 本构理论在这里表示为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂y yx x S y V S x V ..λλ （9.51） 如果沿滑移线方向取微元，并用αl d 、βl d 分别表示其沿α与β线之微弧长。

以α滑移线与β滑移线方向的局部坐标代表该点的直角坐标x 轴与y 轴的话，那么由滑移线所表达的力学概念，必有微元正应力ασ和βσ均为平均应力σ，于是有α与β线上的应力偏量分量为零，即⎭⎬⎫=-==-=00σσσσββααS S （9.52）依据（9.44）式的本构关系知，沿滑移线的应变率也为零。