集合的基本运算资料讲解
3. 交集的性质
(1) A A A (2)A (3)A B B A (4)A B A, A B B (5)A B 则 A B A
4.并集的性质
(1) A A A (2) A A (3) A B B A (4) A A B, B A B, A B A B (5) A B则A B B
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
练习
1。 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
2。 设集合A={x|x为等腰三角形},集合B={x|x 为直角三角形} 求A∪B.
例9.设U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角 三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B, CU (A∪B)
补例.已知全集U＝R，集合A＝｛x｜ 1≤2x＋1＜9｝，求CUA
1.补集的性质：
∁UU=
∁U(∁UA)= A
∁U= U
A∩(∁UA)=
2.两点注意：
(1) 全集不同A的补集也不同 (2) 全集U不一定是R
1.1.3 集合的基本运算
实数有加减乘除 的基本运算，集 合是否有类似的
运算法则 ？
思考
考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}
(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.
பைடு நூலகம்题分析
3.设集合 A x / x2 6x 0 , B x / ax2 3x 2 0 ，
且A B A，求实数a的取值范围
变式：设 A x / x2 ax b 0 , B x / x2 cx 15 0 ，
又 A B 3,5, A B 3 ，求实数a,b和c
思考
考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C 之间的关系吗?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}; (2) A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学}, B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级同学}, C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级女同 学}.
的值。
例题分析
4。已知集合A {y | y x 2, x R} B {y | y x2 - 2x - 8, x R} 求A B，A B
1改B {x | y x2 - 2x - 8, x R} 2 改A {x, y| y x 2, x R} B {x, y| y x2 - 2x - 8, x R} 3改A {x | x 2 0, x R} B {x | x2 - 2x - 8 0, x R }
思考
考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗?
(1) U={1,2,3,4,5,6}， A={1,2}, B={3,4,5,6}
(2) U={x|x是实数}， A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
5.全集 如果一个集合含有我们所要研究的各 个集合的全部元素，这个就称这个集合 为全集
全集常用U表示.
6.补集
对于一个集合A,由全集U中不属于A的 所有元素组成的集合称为集合A相对于 全集U的补集，简称为集合A的补集，
记作 CU A
即Cu A {x | x U ,且x A}
A
CU A
U
简单陈述三种运算,让同学们对三种运算有一 个整体的了解!
A
CU A
U
例8 设U={x|x是小于9的正整数}， A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CUA, CUB
练习：P11 T1----T4
本课小结
1.并集 2.交集
2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作“A交B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
练习
1。 新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}, 求A∩B.
例题分析
1。已知集合A {x | x 2} B {x | x 3}求A B，A B
1改B {x | x -3} 2 改B {x | x 3}3改B x | 3 x 3
例题分析
2.设 A x / 2 x 5, B x / m 1 x 1 3m，
若 A B A，求实数m的取值范围。
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
1.3.1集合的基本运算(并集与交集)
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
集合的基本运算知识点
集合的基本运算知识点在数学的广阔天地中，集合是一个非常基础且重要的概念。
而集合的基本运算，则是我们深入理解和运用集合的关键。
首先，让我们来了解一下什么是集合。
简单来说，集合就是把一些具有共同特征的对象放在一起组成的一个整体。
比如说，一个班级里所有的男生可以组成一个集合，一年中所有的月份也可以组成一个集合。
集合的表示方法有多种，常见的有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，像{1, 2, 3, 4, 5}就是用列举法表示的一个集合。
描述法呢，则是通过描述元素所具有的共同特征来表示集合，比如{x ｜ x 是小于 10 的正整数}。
图示法中，最常用的就是韦恩图，它能非常直观地展示集合之间的关系。
接下来，咱们重点说一说集合的基本运算。
集合的基本运算主要包括并集、交集和补集。
并集，用符号“∪”表示。
如果有两个集合 A 和 B，那么它们的并集A∪B 就是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
举个例子，如果集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，那么 A∪B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
也就是说，把两个集合中的元素统统放到一起，去掉重复的，就是它们的并集。
交集，用符号“∩”表示。
集合 A 和集合 B 的交集A∩B 是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
还是上面的例子，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，那么A∩B ＝｛3}，只有 3 这个元素同时属于 A 和 B。
补集呢，相对来说稍微复杂一点。
设 U 是一个全集，集合 A 是 U的一个子集，那么 A 在 U 中的补集记作∁UA，是由属于 U 但不属于A 的所有元素组成的集合。
比如说，U ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，A ＝｛1, 2, 3}，那么∁UA ＝｛4, 5}。
为了更好地理解这些运算，我们再来看几个实际的例子。
假设学校举办运动会，参加跑步比赛的同学组成集合 A ＝｛张三，李四，王五}，参加跳远比赛的同学组成集合 B ＝｛李四，赵六，孙七}。
知识讲解_集合的基本关系及运算_提高
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭，那么,A B 间的关系是（ ）.A. A BB. B AC. A =BD.以上都不对【答案】B【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素211(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1(1)(1)4n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（ ）.A. A BB. B AC. A =BD.A B Z =【答案】C例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n 个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】（2016 湛江一模）已知集合A ={1，2，3}，平面内以（x ，y ）为坐标的点集合B ={（x ，y ）｜x ∈A ，y ∈A ，x +y ∈A }，则B 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】∵ 集合A ={1，2，3}，平面内以（x ，y ）为坐标的点集合B ={（x ，y ）｜x ∈A ，y ∈A ，x +y ∈A }，∴B ={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B 的子集个数为：23=8个．故选D ．例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；集合B={y|y=x 2+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】 设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则MN =（ ） A. {1,1}- B. {1,1}x y =-= C.(1,1)- D. {(1,1)}-【答案】D【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此M N 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B 表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．【变式2】 设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，则M 与N 的关系是（ ） A. N M B. M N C. N M = D. N M =∅ 【答案】A【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】 当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O {x,xy,x-y}∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠0 0x-y=，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b {1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b 1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又， ∴当b=1时，a=-1，b {0,b}={0,-1,1}a∴， 当b =1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二、集合的运算例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .【答案】A B A C B C ===∅,B D D =【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可. 集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合；集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合；集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；A B A C B C ∴===∅,B D D =.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式】（2014 河南洛阳期中）已知集合{}2M x y x ==-，{}2N y y x==，则M ∩N ＝（ ） A ．∅ B ．(){}11, C ．{}0x x ≥ D ．{}0y y >【答案】C【解析】集合M 中的代表元素是x ，集合N 的代表元素是y ，表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M ={x |x ∈R}，N ={y |y ≥0}，所以M ∩N ={x |x ≥0}，选C ．例6.（2016春 福建期中）已知全集U =R ，集合A ={x ∈R ｜x 2－3x －4＜0}，B ={x ∈R ｜2a ＜x ＜4a ，a ∈R }（1）当a =1时，求()U A B ；（2）若A ∪B =A ，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）将a =1代入B ，求出B ，得到B 的补集，从而求出其和A 的交集即可；（2）根据A 、B 的包含关系，通过讨论B 得到关于a 的不等式组，解出即可．【答案】（1）(){|12}U A B x R x =∈-<≤；（2）102a -≤≤或a ≥4 【解析】A ={x ∈R ｜x 2－3x －4＜0}，（1）当a =1时，B ={x ∈R ｜2＜x ＜5}，∴(){|12}U A B x R x =∈-<≤（2）由已知A ∪B =A ，得B A ⊆；①当B =∅时2a ≥4+a ，即a ≥4，满足B A ⊆；②当B ≠∅时242144a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，即102a -≤≤时，满足B A ⊆； 综上所述a 的取值范围为102a -≤≤或a ≥4． 举一反三：【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2+4}， 求：A ∩B ，A ∪B ；（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2+1， 2a-1}， 其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B.【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}.【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R .（3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：①a-3=-3⇒a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}⇒A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；②2a-1=-3⇒a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集{}{}21,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.【思路点拨】C u A 隐含了A U ⊆，对于A U ⊆，注意不要忘记A =∅的情形.【答案】 当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5.【解析】当A =∅时，方程240x px ++=无实数解.此时2160,44p p ∆=-<-<<.C u A=U当A ≠∅时，二次方程240x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U .因为124x x =，所以只可能有下述情形：当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5；当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5.综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5.【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.类型三、集合运算综合应用例8．（2014 北京西城学探诊）已知集合A ={x |－4≤x ＜2}， B ={x |－1≤x ＜3}，C ={x |x ≥a ，a ∈R}．（1）若（A ∪B ）∩C =∅，求实数a 的取值范围；（2）若（A ∪B ）C ，求实数a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．【答案】（1）a ≥3 （2）a ≤－4【解析】（1）∵A ={x |－4≤x ＜2}， B ={x |－1≤x ＜3}，又（A ∪B ）∩C =∅，如图，a ≥3；（2）画数轴同理可得：a ≤－4．【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤故选C ．例9. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值.【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2．【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由A B B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-.②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意；当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =.当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-.（2）,A B B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若AB B =,求实数a 的取值范围. 【答案】4,a ≥或4a <-【解析】A B B =,B A ∴⊆.①当B =∅时，此时方程22120x ax a ++-=无解，由0∆<，解得4,a >或4a <-.②当B ≠∅时，此时方程22120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2， 0∴∆=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若BC u A ，求实数p 的取值范围.【答案】4p ≥ 【解析】 C u A={}|1,2x x x <->或，|4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭. B C u A ，∴14p -≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥.。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，简单地说，集合是由元素构成的一种集合结构。
在数学中，集合和集合运算能够被应用到各种各样的领域，比如计算机科学、物理学、经济学等。
本文将深入探讨集合的基本概念和运算。
一、基本概念在集合的讨论中，我们需要先了解一些基本概念。
首先，元素是指集合中的一个个体。
例如，{1, 2, 3}中的1、2、3就是元素。
其次，集合可以用花括号{}来表示，例如{1, 2, 3}就是一个集合。
注意，集合中的元素是无序的，也就是说{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是等价的。
另外，集合中的元素必须是不同的，例如{1, 1, 2}就不是一个合法的集合，因为其中有重复的元素。
集合的大小可以用“|S|”来表示，其中S是集合的名字。
比如{1, 2, 3}的大小是3。
二、集合运算在集合的讨论中，我们需要介绍一些集合运算。
这些集合运算包括并集、交集、补集等。
并集对于两个集合A、B，它们的并集是指由它们中的所有元素组成的集合，用“∪”表示。
例如，如果A={1, 2}，B={2, 3}，则它们的并集是{1, 2, 3}，即A∪B={1, 2, 3}。
需要注意的是，如果两个集合的元素有重复，重复的元素只会出现一次。
交集对于两个集合A、B，它们的交集是指它们中共同包含的元素所组成的集合，用“∩”表示。
例如，如果A={1, 2}，B={2, 3}，则它们的交集是{2}，即A∩B={2}。
补集对于一个集合A和它的一个父集合U，A的补集是指U中不包含A中所有元素的集合，用“A'”表示。
例如，如果U={1, 2, 3}，A={1, 2}，则A的补集是{3}，即A'={3}。
三、常用集合运算规则对于集合的运算，还有一些常用的规则。
结合律对于任意三个集合A、B、C，它们的并集和交集都满足结合律。
即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
交换律对于任意两个集合A、B，它们的并集和交集都满足交换律。
集合的四种基本运算
集合的四种基本运算稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊集合的四种基本运算，超有趣的哟！先说并集吧。
这就像是把两个篮子里的水果都放到一个大篮子里。
比如集合 A 里有苹果、香蕉，集合 B 里有橙子、草莓，那 A 和B 的并集就是苹果、香蕉、橙子、草莓，都在一块儿啦，是不是很简单？再讲讲交集。
这个呀，就好比找两个篮子里都有的水果。
还是刚才那两个集合，要是只有香蕉同时在 A 和 B 里，那香蕉就是它们的交集。
然后是差集。
比如说集合 A 减去集合 B，就是把集合 A 里属于集合 B 的那些东西拿掉，剩下的就是差集。
就好像从 A 篮子里把和B 篮子一样的水果拿走。
说说补集。
假如我们有个大的集合 U，还有个小集合 A，那 A 在U 里的补集，就是在 U 里但不在 A 里的那些东西。
怎么样，集合的这四种基本运算是不是还挺好玩的？多练习练习，咱们就能熟练掌握啦！稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来好好唠唠集合的四种基本运算。
并集呢，你就想象成两个帮派合并，把两边的人都算上。
比如说一个帮派有、，另一个帮派有、赵六，那并集就是、、、赵六都在一起。
交集呢，这就像是两个帮派里都有的共同成员。
假设一个帮派喜欢武术，另一个帮派喜欢书法，而同时喜欢武术和书法的就只有小明，那小明就是这两个帮派的交集。
差集呢，好比一个帮派开除一些人。
比如原来的帮派有小陈、小周，开除了小陈，剩下的小周就是差集。
补集呢，就像是整个江湖是个大集合，其中一个门派是个小集合。
门派之外的那些江湖人士就是这个门派在整个江湖里的补集。
集合的这四种运算呀，其实不难，只要咱们多琢磨琢磨，很快就能搞明白的！加油哦！。
集合的基本运算
1.3集合的基本运算知识点一、交集与并集注：（1）并集中的“或”字与生活中的“或”字含义有所不同.（2）并集中的公共元素只能出现一次；交集中的公共元素必须是全部的公共元素；知识点二、全集与补集（1）全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.知识点三、德•摩根定律知识点四、集合中元素的个数我们用card 来表示有限集合A 中元素的个数，记作card (A).例如，A=｛a ，b ，c ｝，则card(A)=3.一般地，对任意两个有限集合A ，B ，C ，有：（1）card (A ⋃B)=card (A)+card (B)-card (A ⋂B).（2）card (A ⋃B ⋃C)=card (A)+card (B)+card (C)-card (A ⋂B)-card (A ⋂C)-card (B ⋂C)+ card (A ⋂B ⋂C).例题讲解一、交集、并集、补集的基本运算1、已知集合{}3,2,1=A ，{}A x x y y B ∈-==,12|，则=⋃B A （ ） A.{}321，， B.{}3211，，，- C.{}5321，，， D.{}5321，，，-2、已知集合{}21|<<-=x x A ，{}1|>=x x B ，则=⋃B A （ ）A.{}21|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}1|->x xD.{}1|>x x3、已知集合{}6101，，，-=A ，{}R x x x B ∈>=，0|则=⋂B A .4、已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}2,1=A ，集合{}3,2=B ，则()B A C U ⋃=（ ） A.{}431，， B.{}43， C.{}3 D.{}45、(1)已知全集U ，集合A=｛1，3，5，7｝，C U A=｛2，4，6｝，C U B=｛1，4，6｝，则集合B= .(2)已知A ，B 均为集合U=｛1，3，5，7，9｝的子集，且A ⋂B=｛3｝，(C U B)⋂A=｛9｝，则A=（ ）A.｛1，3｝B.｛3，7，9｝C.｛3 ，5，9｝D.｛3，9｝6、设全集U=｛0，1，2，3，4｝，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4},则(C U A)⋃(C U B)= （ ）A. ｛0｝B.｛0，1｝C.｛0，1，4｝D.｛0，1，2,3，4｝二、利用集合的运算性质求参数的值或范围1、设集合A=｛x |x 2-2x =0｝，B=｛x |x 2-2a x +a 2-a =0｝.(1)若A ⋂B=B ，求实数a 的取值范围；(2)若A ⋃B=B ，求实数a 的值.2、设集合{}1,0,1-=M ，{}2,a a N =，若N N M =⋂,则实数a 的值是（ ）A.-1B.0C.1D.1或-13、已知集合T 是由关于x 的方程x 2+p x +q=0(p 2-4q ＞0)的解组成的集合，A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛1，4，7，10｝，且T ⋂A=⍉，T ⋂B=T ，试求实数p 和q 的值.4、已知集合A=｛x |2a ≤x ≤a +3｝，B=｛x |x ＜-1或x ＞5｝，若A ⋂B=⍉，求实数a 的取值范围.三、补集思想1、已知集合A=｛y l y >a 2+1或y <a ｝，B=｛y |2≤y ≤4｝，若A ⋂B ≠⍉，则实数a 的取值范围为（ ）A.｛a l a ≥2｝B.｛a l-3＜a ＜3｝C.｛a l a >2或-3＜a ＜3｝D.｛a l a ≥2或-3≤a ≤3｝2、已知集合{}R x m mx x x A ∈=++-=,0624|2，{}R x x x B ∈<=,0|，若=⋂B A ⍉，求实数m 的取值范围.四、易错题型1、设M 和P 是两个非空集合，规定M-P=｛x l x ∈M ，且x ∉P ｝，根据这一规定，计算M-(M-P)等于( ).A.MB.PC.M ⋃PD.M ⋂P2、设全集S=｛2，3，a 2+2a -3｝，A=｛|2a -1|，2｝，C S A=｛5｝，求实数a 的值.基础巩固1、已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}2、已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}3、已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}4、已知集合{}35A x x =-≤≤，{}141B x a x a =+≤≤+ A B B =，B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．01a ≤≤C ．0a ≤D ．41a -≤≤5、设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则A ∩B ＝ ．6、已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为________．7、已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}8、已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）．A ． {|02}x x x ≤≥或B ． {|02}x x x <>或C ． {|2}x x ≥D ． {|2}x x > 9、设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}10、已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝() A ．{1,3} B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}11、已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，则p = ；q = ．12、设全集{}22,4,1U a a =-+，{}22,2A a a =--，且{}7U C A =，求实数a 的值．能力提升13、(1)设A ＝{4,5,6,8}，B ＝{3,5,7,8}，求A ∪B ．(2)设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ．(3)设集合A ＝{1,2}，求满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B ．14、(1)已知集合{}4,5,6,8A =，{}3,5,7,8B =，{}1,3C =，求()A B C ．(2)已知集合A ＝{x |－5≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤－2或x >3}，则A ∩B ＝________．(3)设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，求A B ．15、已知A ＝{x |x 2－a x ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋8＝2}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，若()A B ∅⊂，且A C =∅，求a 的值．16、已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}20B x mx =+=，A B A =，求m 的取值范围．17、已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}022=+-=mx x x B ，B B A = ，求m 的取值范围．18、已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．19、求下列集合的补集（1）设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，求∁U A ，∁U B ．（2）设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，求∁U M ，∁U N ．20、已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3<x ≤3}． 求A B ，A B ，U C A 、U C B ，()U C A B ，()U C A B ．21、试用集合,A B 的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合．Ⅰ部分:______ ____Ⅱ部分:______ ____Ⅲ部分:____ ______Ⅳ部分:________ __或_________________．22、设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m ．23、设全集{}010,*U x x x N =<<∈，若{}3A B =，{}1,5,7U A C B =，()()U U C A C B ={}9，求A 、B ．24、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A B=∅，求实数m的取值范围．。
集合运算知识点总结
集合运算知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象组成的。
这些对象称为集合的元素。
如果一个集合里有限个元素，称这个集合为有限集合；如果集合的元素可以用无穷个数来表达，称这个集合为无限集合。
集合用字母表示，大写字母A、B、C表示集合，小写字母a、b、c表示集合的元素。
当元素x属于集合A时，就记作x∈A，读作x属于A。
二、集合的表示方式1. 列举法：将集合中的元素用大括号{}括起来，用逗号隔开，写出来。
例如：集合A={1,2,3,4,5}，表示A是由元素1,2,3,4,5组成的集合。
2. 描述法：用一个符合逻辑条件的语句来描述该集合。
例如：集合A={x|x是自然数，0<x<6}，表示A是由大于0且小于6的自然数组成的集合。
三、集合之间的关系1. 相等关系：当两个集合具有完全相同的元素时，它们就是相等的。
例如：A={1,2,3,4,5}，B={5,4,3,2,1}，A和B是相等的集合。
2. 包含关系：当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，称前一个集合包含于后一个集合。
例如：A={1,2,3,4}，B={1,2,3,4,5}，则A⊆B，表示A包含于B。
3. 交集：两个集合A和B的交集，是由所有既属于A又属于B的元素组成的集合。
例如：A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
4. 并集：两个集合A和B的并集，是由所有属于A或属于B的元素组成的集合。
例如：A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。
5. 补集：若全集为U，集合A是U的一个子集，那么A对于U的补集是由A不在U中的元素组成的集合。
一般记作A'。
例如：U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3,4}，则A'={5,6}。
四、集合的运算1. 交集运算：设A和B是两个集合，A∩B={x|x∈A且x∈B}，即A与B的交集是由既属于A又属于B的元素组成的集合。
集合的基本运算空集与全集
集合的基本运算空集与全集集合的基本运算：空集与全集集合是数学中重要的概念之一，它是由一些特定对象或元素组成的，并且没有重复元素的事物的总体。
在集合的研究过程中，有一些基本的运算必须要掌握，其中包括空集与全集。
一、空集空集是指没有任何元素的集合。
用符号∅或 {} 来表示。
空集是集合论中最基本也是最简单的集合。
具体来说，对于任何给定的集合A，如果不存在任何一个元素 x，使得 x 属于 A，那么集合 A 就是一个空集。
举个例子，假设 A 是由正整数构成的集合，那么 A 中不包含任何负数和 0，因此 A 并不是一个空集。
空集的特点是没有元素，即其中不含任何对象。
空集的运算：1. 交集：对于任意集合 A，A 与空集的交集仍然是空集。
即A ∩ ∅= ∅。
2. 并集：对于任意集合 A，A 与空集的并集等于 A 本身。
即 A ∪∅ = A。
3. 差集：对于任意集合 A，A 与空集的差集等于 A 本身。
即 A - ∅= A。
二、全集全集是指包含了研究对象的所有元素的集合。
全集常用符号 U 来表示。
对于任何一个集合 A，如果 A 的所有元素都是全集 U 的子集，则称 A 为全集。
全集的运算：1. 交集：对于任意集合 A，A 与全集 U 的交集等于集合 A 本身。
即A ∩ U = A。
2. 并集：对于任意集合 A，A 与全集 U 的并集等于全集 U。
即 A ∪ U = U。
3. 差集：对于任意集合 A，A 与全集 U 的差集等于空集∅。
即 A - U = ∅。
需要注意的是，空集与全集是特殊的集合，它们在集合运算中具有一些特殊的性质。
比如，对于交集来说，任何集合与空集的交集都等于空集，而与全集的交集则等于原集合本身。
这是因为空集不包含任何元素，所以与任何集合的交集都是空集；而与全集的交集等于原集合本身，因为全集包含了所有元素。
对于并集来说，任何集合与空集的并集等于原集合本身，而与全集的并集则等于全集。
这是因为为空集不包含任何元素，所以与任何集合的并集都等于原集合；而与全集的并集等于全集，因为全集已经包含了所有元素。
集合间的基本运算
集合间的基本运算一、知识概述1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A, B的交集记作 A ' B （读作‘ A 交B'），即卩 A 1 B= {x|x 已A,且B} 2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A, B的并集.记作：A」B （读作’A并B'），即卩A」B ={x|x三A,或B}.3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即…=1 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作。
貝, 即［/ ={小胡且入¥ 2}性质：％/）二月“J©乓0二用全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S, U表示+4、运算性质：（1） I I 「I 'I ；（2）I — -「'；（3）I . ；（4）T __「T 1 -；（5）、二一匚 _「丄一「* 二：.（6）「厂_「；：「：冷」'J'：,二、例题讲解例1、设集合A={ —4, 2m- 1, m2} , B={9, m-5, 1 —m},又A B={9}，求实数m的值.解：I A B={9}，二2m—1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=—3.若m=5 贝U A={—4, 9, 25} , B={9, 0,—4}与A B={9}矛盾；若m=3则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾；若m=-3,则A={ —4,—7, 9} , B={9,—8, 4}满足 A B={9}.二m=- 3.例2、设A={x|x 2+ ax+ b=0}, B={x|x 2+ ex + 15=0},又A B={3, 5} , A A B={3}, 求实数a , b , e的值.解：v A A B={3}，二3 € B，二32+ 3e+ 15=0,••• e= —8,由方程x2—8x+ 15=0 解得x=3 或x=5.••• B={3 , 5}.由A二（A」B）={3 , 5}知,3€ A, A （否则5€ A A B,与A G B={3}矛盾)故必有A={3},.••方程x2+ ax+ b=0有两相同的根3.由韦达定理得3+ 3=—a, 3 3=b,即a=—6, b=9, c=—8.例3、已知A={x|x 3+ 3x2+ 2x >0} , B={x|x 2+ ax+ b< 0},且A G B={x|0 v x< 2}, A U B={ x | x > —2},求a、b 的值.解：A={x| —2v x v—1 或x>0},设B= [x i, X2]，由A G B= (0, 2]知X2= 2,且—1<xW 0,①由A U B= (—2 ,+x)知一2w X1w —1. ②由①②知X i =—1, X2 = 2,a=—( X1+ X2)=—1, b= X1X2= —2.例4、已知A={x|x 2—ax+ a2—19=0}, B={x|x 2—5x + 8=2}, C={x|x 2+ 2x —8=0}. 若E =A G B,且A G C=] , 求a 的值.解：—3)(x —2)=0}={3 , 2},•- B={x|(xC={x|(x + 4)(x —2)=0}={ —4 , 2},又••• E =AG B,又••• A G C==,•可知-4^A, 2^A, 3€ A.• •由9—3a+ a —19=0 ,解得a=5或a=—2.①当a=5 时，A={2, 3}，此时A H C={2} ，矛盾，二a^ 5;②当a=—2时，A={—5, 3}，此时A H C山，A H B={3}工它，符合条件.综上①②知a=—2.例5、已知全集U={不大于20的质数} ,M N是U的两个子集，且满足MA （•门）={3，5},（「r）H N={7，19},（」'）H（ •「）={2，17}，求M N.解：用图示法表示集合U, M N （如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3, 5, 11, 13}, N={7, 11, 13, 19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素.特别提示：下列四个区域:对应的集合分别是:①一q : ::②一-r 二：③―_ 5 ■':④一I一、选择题1下列命题中，正确的是（）A. 若U=R 祐u,匸B. 若U为全集，①表示空集，则-①=①；C. 若A=｛1，①,｛2｝｝，则｛2｝二A;D. 若A=｛1，2，3｝，B=｛x|x 二A｝，则A€ B.3 IM= ｛工 |畝迄忑€ 血¥_｝= （x l 也｝『2、设数集 ' - …且MN都是集合｛x|0 < x< 1｝的子集，如果把b—a叫做集合｛x|a <x< b｝的“长度”，那么集合Mn N 的“长度”的最小值是（）1 2A. - B .」丄5C. 1- D .一3、设M N是两个非空集合，定义M与N的差集为M—N=｛x|x € M且x己N｝，则M—（M—N）等于（）A. N B . MA NC. MU N D . M 4、已知全集：=R，集合朴11"弔刀和严砂亠■“ L的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，贝U阴影部分所示的集合的元素共有（）B . 2个 D .无穷个1、 - ••匚 I -①=U, {2} € A, {2}单独看是一个集合，但它又是A 中的一个元素.3 £2、集合M 的“长度”为-，集合N 的“长度”为」，而集合—+ — — 1{x|0 <x < 1}的“长度”为1,故MAN 的“长度”最小值为4」3、M-N={x|x €“且x^N}是指图（1）中的阴影部分.同样M-（ M- N ）是指图（2）中的阴影部分.4、t 图形中的阴影部分表示的是集合 =；，由；解得集合‘"一—二一，而N 是正奇数的集合；-「，故选B.二、填空题 5、已知集合A={x|x 2— 3x + 2=0}，集合B={x|ax — 2=0}（其中a 为实数），且A U B=A 则集合 C={a|a 使得 A U B=A}= ______________ . 5、｛0, 1, 2｝解析：A=｛1, 2｝，由 A U B=A 得 匪 A.••• 1€ A,即得 a=2;或 2€ A,即得 a=1 ;或 B=©，此时 a=0.••• C=｛0, 1, 2｝.A. 3个C. 1个⑴6、非空集合S^｛1 ,2,3,4,5｝，且若a€ S,则6-a€ S,这样的S共有________ 个.6、6解析：S=｛1, 5｝或｛2 , 4｝或⑶，或｛1 , 3, 5｝，或｛2 , 4 , 3｝，或｛1 , 5 , 2 , 4｝.三、解答题7、设集合卫=｛込加7-①，吕―^ —另1—^,9｝(1)若■■-丄)，求实数a的值.(2)若.''■,求实数a的值.7、解：(1)：9 三’1 '',二9 A.则a2=9或.解得a=±3或5.当时，'' ■' ■ ' - '-（舍）当a =—3时，卫={9,一兀一4},£=〔一出4,9〕(符合)当a = 5时，乂={25,9, —= {0,—4,9〕(符合).综上知一 ?或“一-.(2)由(1)知•，一二8已知全集U= R,叮•二•….丄v 0・，_ = “ V呗亠」或x >5 —「一：,，若- J，求实数⑴的取值范围8解：依题设可知全集】=三且打丨■■-0 =0月=缶1一2三工W5)，「月=仗冲+1=工w2喘_1}，由题设分类如下：①若'，贝U m^ 1>2mn 1= mV 2.②若加工0，则m^ i<2mn 1,且I®用一1« 5，解得2< 3.由①②可得：me 3.•••实数m的取值范围为{m|mc 3}.9、已知全集U={|a -1|，(a - 2)(a -1)，4，6}.(1)若-八「•求实数a的值;(2)若：4 '求实数a的值.9、解：(1)t L •厂一；' 且多U,•••|a - 1|=0,且(a - 2)(a - 1)=1 ,或|a -1|=1 ,且(a - 2)(a -1)=0 ;第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a -1|=1得a=0或a=2, --a=2.(2)依题意知|a - 1|=3 ,或(a - 2)(a - 1)=3,若|a -1|=3 ,则a=4, 或a=-2；若(a —2)(a —1)=3，贝U -经检验知a=4时，(4 —2)(4 —1)=6，与元素的互异性矛盾.二a=- 2或亠 .10、设集合A =｛：：广「二1｝, B 屮 | ...... - ,*｝，若A B=B求实数二的值.10、解：先化简集合A=J '.由A】B=B则F A,可知集合B可为二:，或为｛0｝，或｛- 4｝，或".(i) 若B』：，则贝:，解得立＜-：；(ii) 若- - B,代入得-- =0=应=1 或：'=一-,当丸=1时，B=A符合题意；当：』=-1时，B=｛0｝二A,也符合题意.（iii）若一4^B,代入得工上L = 口=7或“ =1,当：』=1时，已经讨论，符合题意；当屯=7时，B={- 12,—4}，不符合题意.综上可得，^ =1或立€-1.11、已知集合A={x|x —4m灶2计6=0}，B={x|x V 0}，若A A B M，求实数m的取值范围.= ^ | A = (-4jK)3-4(2^ 4-5)^ 0} = (/w | 或朋11、解：设全集 ' 」m皂U,< 珂4- x- = 4^ 鼻0,若方程X2—4mx+ 2m^ 6=0的两根x’，x?均非负，贝卩山忑八载以―D胆沖一••• {m|- }关于U的补集是{m|m<—1}，二实数m的取值范围是{m|m<—1}.1、（全国I，1）设集合A={4，5, 7,9}，B={3,4,乙8, 9}，全集U=A U B，则集合・⑺厂启）中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R,集合A={x|x2—2x>0}，则干」等于（）A. {x|0 < x< 2}B. {x|0<x<2}C. {x|x<0 或x>2} D . {x|x < 0 或x > 2}答案：A解析：■/ x2—2x>0，二x（x —2）>0，得x<0 或x>2,••• A={x|x<0 或x>2}，[ 4 ；. ■ i•.3、（山东，1）集合A={0 , 2, a}, B={1 , a2}.若A U B={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D解析：T A U B={0, 1, 2, a, a2}，又A U B={0, 1, 2, 4, 16}, • {a , a2}={4 , 16} , • a=4 ,故选D.集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。