计量经济学双变量回归模型估计问题
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第二章 双变量模型
概念： 概念：
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期 望轨迹称为总体回归线 总体回归线（population 总体回归线 regression line），或更一般地称为总体回 总体回 归曲线（population regression curve）。 归曲线 相应的函数： E (Y | X i ) = f ( X i ) 称为（双变量）总体回归函数（population 总体回归函数（ 总体回归函数 regression function, PRF）。 ）
变量间的关系
经济变量之间的关系，大体可分为两类： （1）确定性关系 函数关系：研究的是确定 确定性关系或函数关系 确定性关系 函数关系： 现象非随机变量间的关系。
相关关系： （2）统计依赖 相关关系： 研究的是非确定现 ）统计依赖或相关关系 象随机变量间的关系。
回归与相关
相关分析的主要目的在于研究变量之间统计 线性关联的程度，将变量均视为随机变量。 回归分析的主要目的在于研究变量之间统计 关联的形式，目的在于揭示被解释变量如何依赖 解释变量的变化而变化的规律，将解释变量视为 确定性的，而将被解释变量视为随机变量。
二、回归分析的基本概念
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关 回归分析 是研究一个变量关 于另一个（ 于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法 和理论。 和理论 其用意：在于通过后者的已知或设定值， 其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和 预测前者的（总体）均值。 （或）预测前者的（总体）均值 这里：前一个变量被称为被解释变量（Explained 被解释变量（ 被解释变量 Variable）或应变量（Dependent Variable）， 应变量（ ） 应变量 ）， 后一个（些）变量被称为解释变量 解释变量 （Explanatory Variable）或自变量 ） 自变量 （Independent Variable）。 ）
计量经济学第三章 双变量线性回归模型
这里 和 为未知总体参数，下一步的任务是应 用统计学的方法，由Y和X的观测值（即样本数据） 来估计和 的总体值，常用的估计方法就是最小二 乘法。为了应用最小二乘法，得到好的估计量，双 变量线性回归模型需要满足一些统计假设条件，这 些统计假设是：
双变量线性回归模型的统计假设
(1). E(ut) = 0, t= 1, 2, ...,n 即各期扰动项的均值(期望值)为0.
(5) (6)
其中：Y Yt , X X t
n
n
xt X t X ,
yt Yt Y
样本均值 离差
（5）式和（6）式给出了OLS法计算ˆ 和 ˆ 的 公式，ˆ 和 ˆ称为线性回归模型 Yt = + Xt + ut
的参数 和 的普通最小二乘估计量 (OLS estimators）。
一. 双变量线性回归模型的概念
设 Y = 消费, X = 收入, 我们根据数据画出散点图
Y
*
*
*
*
*
图1
这意味着
Y = + X
(1)
写出计量经济模型
Y = + X + u
(2)
其中 u = 扰动项或 误差项
Y为因变量或被解释变量
X
X为自变量或解释变量
和 为未知参数
设我们有Y和X的n对观测值数据，则根据(2)式， 变量Y的每个观测值应由下式决定：
=β
——假设（4） ——假设（1）
这表明，ˆ 是β的无偏估计量。
在证明 ˆ 无偏性的过程中, 我们仅用到(1)和(4)两
条假设条件。
由 ˆ Y ˆ X ，我们有：
E(ˆ ) E(Y ˆ X ) E( X u ˆ X ) X E(u) X E(ˆ)
双变量线性回归模型的统计假设
(1). E(ut) = 0, t= 1, 2, ...,n 即各期扰动项的均值(期望值)为0.
(5) (6)
其中：Y Yt , X X t
n
n
xt X t X ,
yt Yt Y
样本均值 离差
（5）式和（6）式给出了OLS法计算ˆ 和 ˆ 的 公式，ˆ 和 ˆ称为线性回归模型 Yt = + Xt + ut
的参数 和 的普通最小二乘估计量 (OLS estimators）。
一. 双变量线性回归模型的概念
设 Y = 消费, X = 收入, 我们根据数据画出散点图
Y
*
*
*
*
*
图1
这意味着
Y = + X
(1)
写出计量经济模型
Y = + X + u
(2)
其中 u = 扰动项或 误差项
Y为因变量或被解释变量
X
X为自变量或解释变量
和 为未知参数
设我们有Y和X的n对观测值数据，则根据(2)式， 变量Y的每个观测值应由下式决定：
=β
——假设（4） ——假设（1）
这表明，ˆ 是β的无偏估计量。
在证明 ˆ 无偏性的过程中, 我们仅用到(1)和(4)两
条假设条件。
由 ˆ Y ˆ X ，我们有：
E(ˆ ) E(Y ˆ X ) E( X u ˆ X ) X E(u) X E(ˆ)
计量经济学(庞皓)第二版课后思考题答案3
5
答：多元线性回归分析中，多重可决系数是模型中解释变量个数的增函数，这给对比不同模 型的多重可决系数带来缺陷，所以需要修正。可决系数只涉及变差，没有考虑自由度。如果 用自由度去校正所计算的变差，可纠正解释变量个数不同引起的对比困难。 联系：由方差分析可以看出，F 检验与可决系数有密切联系，二者都建立在对应变量变 差分解的基础上。F 统计量也可通过可决系数计算。对方程联合显著性检验的 F 检验，实际 F 检验有精确的分布， 上也是对可决系数的显著性检验。区别： 它可以在给定显著性水平下， 给出统计意义上严格的结论。可决系数只能提供一个模糊的推测，可决系数越大，模型对数 据的拟合程度就越好。但要大到什么程度才算模型拟合得好，并没有一个绝对的数量标准。 3.5 什么是方差分析？对被解释变量的方差分析与对模型拟合优度的度量有什么联系和区 别？ 答：被解释变量 Y 观测值的总变差分解式为： TSS = ESS + RSS 。将自由度考虑进去进行 方差分析，即得如下方差分析表： 变差来源 源于回归 源于残差 总变差
Y = b1 + β 2 X 2 + β3 X 3 + β 4 X 4 + u
其中，Y 为汽车销售量，X2 为居民收入， X3 为汽车价格， X4 为汽油价格，像其他费用、 道路状况、政策环境等次要因素包含在随机误差项 u 中。 3.9 说明用 Eviews 完成多元线性回归分析的具体操作步骤。 答：1、建立工作文件，建立一个 Group 对象，输入数据。 2、点击 Quick 下拉菜单中的 Estimate Equation。 3、在对话框 Equation Specification 栏中键入 Y C X2 X3 X4 ，点击 OK，即出现回归结 果。
而当 X 2 和 X 3 相互独立时， X 2 和 X 3 的斜方差等于零，即：
答：多元线性回归分析中，多重可决系数是模型中解释变量个数的增函数，这给对比不同模 型的多重可决系数带来缺陷，所以需要修正。可决系数只涉及变差，没有考虑自由度。如果 用自由度去校正所计算的变差，可纠正解释变量个数不同引起的对比困难。 联系：由方差分析可以看出，F 检验与可决系数有密切联系，二者都建立在对应变量变 差分解的基础上。F 统计量也可通过可决系数计算。对方程联合显著性检验的 F 检验，实际 F 检验有精确的分布， 上也是对可决系数的显著性检验。区别： 它可以在给定显著性水平下， 给出统计意义上严格的结论。可决系数只能提供一个模糊的推测，可决系数越大，模型对数 据的拟合程度就越好。但要大到什么程度才算模型拟合得好，并没有一个绝对的数量标准。 3.5 什么是方差分析？对被解释变量的方差分析与对模型拟合优度的度量有什么联系和区 别？ 答：被解释变量 Y 观测值的总变差分解式为： TSS = ESS + RSS 。将自由度考虑进去进行 方差分析，即得如下方差分析表： 变差来源 源于回归 源于残差 总变差
Y = b1 + β 2 X 2 + β3 X 3 + β 4 X 4 + u
其中，Y 为汽车销售量，X2 为居民收入， X3 为汽车价格， X4 为汽油价格，像其他费用、 道路状况、政策环境等次要因素包含在随机误差项 u 中。 3.9 说明用 Eviews 完成多元线性回归分析的具体操作步骤。 答：1、建立工作文件，建立一个 Group 对象，输入数据。 2、点击 Quick 下拉菜单中的 Estimate Equation。 3、在对话框 Equation Specification 栏中键入 Y C X2 X3 X4 ，点击 OK，即出现回归结 果。
而当 X 2 和 X 3 相互独立时， X 2 和 X 3 的斜方差等于零，即：
计量经济学第二章经典线性回归模型
Yt = α + βXt + ut 中 α 和 β 的估计值 和
,
使得拟合的直线为“最佳”。
直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上
Y
* * Yˆ ˆ ˆX
Yt
* **
Yˆt
et * *
*
*
**
*
**
**
*
Xt
X
图 2.2
残差
拟合的直线 Yˆ ˆ ˆX 称为拟合的回归线.
对于任何数据点 (Xt, Yt), 此直线将Yt 的总值 分成两部分。
β
K
βK
β1 β1
...
βK
βK
Var(β 0 )
Cov(β1 ,β
0
)
Cov(β 0 ,β1 )
Var(β1 )
...
Cov(β
0
,β
K
)
...
Cov(β1
,β
K
)
...
...
...
...
Cov(β
K
,β
0
)
Cov(β K ,β1 )
...
Var(β K )
不难看出，这是 β 的方差-协方差矩阵，它是一 个(K+1)×(K+1)矩阵，其主对角线上元素为各 系数估计量的方差，非主对角线上元素为各系 数估计量的协方差。
ut ～ N (0, 2 ) ，t=1,2,…n
二、最小二乘估计
1. 最小二乘原理
为了便于理解最小二乘法的原理，我们用双
变量线性回归模型作出说明。
对于双变量线性回归模型Y = α+βX + u， 我 们
的任务是，在给定X和Y的一组观测值 (X1 ,
计量经济学 第3章 双变量模型：假设检验
假设检验的前提是什么？
本章框图 一、古典假设
回归结果好坏？ 三、高斯马尔科夫定理
二、估计量的分布问题
四、 假设 检验
七、正态性检验
方法 统计量 显著性
结论
五、拟合优度 六、预测
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
十三、案例2股票价格和利率
理论和假说 变量选择 数据6-13 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十四、案例3房价和贷款利率
理论和假说 变量选择 数据6-6 散点图 估计和结果 结论的经济意义
十五、案例4古董和拍卖价格
理论和假说 变量选择 数据6-14 散点图 估计和结果 结论的经济意义
第3章 双变量模型：模型检验
引子、样本回归参数的估计问题
引子、样本回归参数的估计问题
结论：
样本回归系数随样本变化。 样本回归系数是随机变量，如何描述？ 样本回归系数和总体回归参数是什么关系 基于什么条件下，利用最小二乘估计的得
到的样本回归系数可以用来作为总体回归 参数的估计？ 根据什么说明：总体回归函数的模型设定 是正确的。
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
七、判决系数的性质有哪些？
双变量回归
第三章
双变量回归模型：估计问题
简单的线性回归模型
Yi = 1 + 2 X i + ui
Yi = 每周家庭支出 X i = 每周家庭收入
对于给定的 xi的水平, 预期的食物支 出将是: E(Yi|X i) = 1 + 2 X i
参数
1和 2是未知常数.
^ ^ ) 的公 产生样本估计量 b1 (或 1)和 b2(或 2 式就是 1 和 2的估计。
b1 和b2的预期值
简单线性回归下的估计量的公式:
b2 =
nXiYi - XiYi nX2 -(Xi)2 i
xiyi = xi2
b1 = Y - b2X
这里
Y = Yi / n 和 X = Xi / n
将 Yi = 1 + 2xi + 替代到 b2 公式中并得:
ui
nxi ui - xi ui b2 = 2 + 2 2 nxi -(xi)
)2
=
yi
i
2
=
^
xi2 yi2
Sx2 Sy2
xiyi)2 xiyi 2 xi2 = = 2 2 xi2yi2 xi yi
Y
当R2 = 0 SRF
哪个是SRF ?Leabharlann X Y当 R2 = 1
SRF
SRF 通过所有点
X
高斯马尔可夫定理
在经典的线性回归模型条件下, 最小二乘 (OLS) 估计量 b1 和 b2 是1和 2 的最优线 性无偏估计量 (BLUE). 这意味着 b1和 b2 在1 和2所有线性无偏估计量中拥有 最小 方差.
错误的模型设定 先前的无偏结果假定使用了正确 的设定形式
双变量回归模型：估计问题
简单的线性回归模型
Yi = 1 + 2 X i + ui
Yi = 每周家庭支出 X i = 每周家庭收入
对于给定的 xi的水平, 预期的食物支 出将是: E(Yi|X i) = 1 + 2 X i
参数
1和 2是未知常数.
^ ^ ) 的公 产生样本估计量 b1 (或 1)和 b2(或 2 式就是 1 和 2的估计。
b1 和b2的预期值
简单线性回归下的估计量的公式:
b2 =
nXiYi - XiYi nX2 -(Xi)2 i
xiyi = xi2
b1 = Y - b2X
这里
Y = Yi / n 和 X = Xi / n
将 Yi = 1 + 2xi + 替代到 b2 公式中并得:
ui
nxi ui - xi ui b2 = 2 + 2 2 nxi -(xi)
)2
=
yi
i
2
=
^
xi2 yi2
Sx2 Sy2
xiyi)2 xiyi 2 xi2 = = 2 2 xi2yi2 xi yi
Y
当R2 = 0 SRF
哪个是SRF ?Leabharlann X Y当 R2 = 1
SRF
SRF 通过所有点
X
高斯马尔可夫定理
在经典的线性回归模型条件下, 最小二乘 (OLS) 估计量 b1 和 b2 是1和 2 的最优线 性无偏估计量 (BLUE). 这意味着 b1和 b2 在1 和2所有线性无偏估计量中拥有 最小 方差.
错误的模型设定 先前的无偏结果假定使用了正确 的设定形式
第二章 双变量回归分析(计量经济学,南开大学)
ˆ 和 ˆ 1 2
i
为Yi的线性函数
i 2 i
ˆ
2
xY x
(
xi )Yi 2 x i
k Y
i
i
其中k i
xi xi2 1 xi2
ki k i2
x
2
i
0
2 xi
1 xi2 1 xi2
i
1 xi2
6、样本回归函数（SRF） 由于在大多数情况下，我们只知道变量值得一个样本，要用样本信息的基础 上估计PRF。(表） 样本1
X（收入） Y（支出） 80 55 100 65 120 79 140 80 160 102 180 110 200 120 220 135 240 137 260 150
样本2
ˆ ) VAR( 2
x
2 i
2
2 i
x
ˆ： 对于 1
ˆ Y ˆ X 1 ˆ X Yi 1 2 2 n 1 ˆ X ( 1 2 X i ui ) 2 n u 1 i X k i ui n ˆ ) E[( ui X 方差：VAR( k i ui ) 2 ] 1 n
ˆ ) E( ki E (ui ) 2 2 2 ˆ Y ˆ X 1 2 ( 1 2 X i ui ) ( 1 k i u i ) X 1 u i X k i u i ˆ ) E( 1 1
1 1 2 21
估计量（Estimator）：一个估计量又称统计量(statistic)，是指一个规则、公式 或方法，以用来根据已知的样本所提供的信息去估计总体参数。在应用中，由估 计量算出的数值称为估计（值）（estimate)。 样本回归函数SRF的随机形式为：
计量经济学(完整版)多元线性回归模型习题及答案
多元线性回归模型一、单项选择题1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ ） A. 0.8603 B. 0.8389 C. 0.8655 D.0.83272.下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（） A. i C （消费）=500+0.8i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+0.8i I （收入）+0.9i P （价格）C. s i Q （商品供给）=20+0.75i P （价格）D. i Y （产出量）=0.650.6i L （劳动）0.4i K （资本）3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水平上对1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ ） A. )30(05.0t B. )28(025.0t C. )27(025.0t D. )28,1(025.0F4.模型t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ ）A.x 关于y 的弹性B. y 关于x 的弹性C. x 关于y 的边际倾向D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明模型中存在（ ）A.异方差性B.序列相关C.多重共线性D.高拟合优度6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...)t H b i k ==时，所用的统计量 服从( )A.t(n-k+1)B.t(n-k-2)C.t(n-k-1)D.t(n-k+2)7. 调整的判定系数与多重判定系数 之间有如下关系( ) A.2211n R R n k −=−− B. 22111n R R n k −=−−− C. 2211(1)1n R R n k −=−+−− D. 2211(1)1n R R n k −=−−−− 8．关于经济计量模型进行预测出现误差的原因，正确的说法是（ ）。
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第三章
双变量回归分析：
估计问题
基本内容
普通最小二乘法（OLS） 经典线性回归模型：OLS的基本假定 OLS估计的性质 判定系数r2：“拟合优度”的一个度量
2
普通最小二乘法
（Ordinary Least Squares ，OLS）
最小二乘准则
ui2 (Yi Yi )2最小化
3
最小二乘准则
27
r2与r
r2
r
就模型而言
就两个变量而言
说明解释变量对因变量 的解释程度 度量不对称的因果关系
取值：[0,1]
度量两个变量线性依存 程度。
度量不含因果关系的对 称相关关系
取值：[－1,1]
28
运用r2时应注意
● 判定系数只是说明列入模型的所有解释变量对 因变量的联合的影响程度，不说明模型中每个 解释变量的影响程度（在多元中）
X
2 i
(
Xi )2
5
用离差表现的OLS估计式
为表达得更简洁，或者用离差形式OLS估计式：
__
__(Yi
__
Y
)
(Xi X )2
xi yi xi2
^
1
__
Y
ˆ2 X
注意其中： xi X i X
yi Yi Y
6
OLS估计量的良好性质
容易计算（由可观测的样本表达） 是点估计量 容易画出SRF，且SRF： （1）通过样本均值点
● 回归的主要目的如果是经济结构分析，不能只 追求高的判定系数，而是要得到总体回归系数 可信的估计量，判定系数高并不表示每个回归 系数都可信任。
29
Cov(Yi ,Yj ) 0(i j)
13
OLS估计的标准误（精度）
se（2 ）
xi2
2
ui 2
n2
14
OLS估计的性质：
高斯-马尔可夫定理
在给定经典线性回归模型的假定下， OLS估计量在所有线性无偏估计量中具 有最小方差，也就是说，它们是最优线 性无偏估计量（BLUE)。
15
无偏性
23
r2=？
r 2 ESS TSS
r 2 1 RSS TSS
24
r2=？
r2测度了在Y的总变异中由回归模型解释 的那个部分所占的比例或百分比。
25
r2的作用
r2越大，模型拟合优度越好。反之说明模型对样本观 测值的拟合程度越差。
26
r2的特点
0 r2 1
随抽样波动，样本判定系数r2是随抽样 而变动的随机变量
(Yi - Y)2 (Yi -Y )2 (Yi Yi )2
即：
yi 2
2
yi
ui2
22
定义
总离差(TSS):
Y的值与其均值的离差平方和（总平方和）
解释了的离差(ESS):
Y的估计值与其均值的离差平方和（解释平方和）
未解释的离差 (RSS):
Y的值与其估计值的离差平方和（残差平方和）
Var(ui Xi ) E[ui E(ui Xi )]2 2
11
假定3 无自相关假定 Cov（ui，uj|Xi，Xj）=0 Cov（ui，uj）=E[ui-E(ui)][uj-E(uj)] =E(uiuj) =0
12
Yi的分布性质
E(Yi | X i ) 1 2 X i Var(Yi | X i ) 2
如 Yi 1 2 Xi ui
假定解释变量 X是非随机的，或者虽然是随机的，但与扰动
项 u是不相关的
假定解释变量 X 在重复抽样中为固定值
假定变量和模型无设定误差
9
（2）对随机扰动项的假定 假定1，零均值
E(ui|Xi）=0
10
假定2：同方差假定 在给定X的条件下，ui的条件方差为某个常 数
X
19
总离差的分解
Y的观测值围绕其均值的总变异分为两部分：一 部分来自样本回归线，另一部分来自随机扰动项。
Yi - Y (Yi -Y ) (Yi Yi )
20
图示
Y
Yi
•
ei来自残差
^
SRF
(Y i- Y ) 总变差
^
(Y i- Y ) 来自回归
Y
Xi
X
21
将上式平方加总可整理得：
概
率 密
f (ˆ)
度
f (*)
偏倚 E( *)
估计值
16
最小方差性
概
率
密
度
f (ˆ)
f (*)
估计值
17
第三节 拟合优度的度量
本节基本内容: ●什么是拟合优度 ●总离差的分解 ●判定系数
18
拟合优度
定义：
Y
样本回归线对样本观测数据 拟合的优劣程度
拟合优度的度量建立在对 总离差分解的基础上
Yi Yi
i 0
（2）残差与Yi的预测值不相关 （3）残差与Xi不相关
7
经典线性回归模型
OLS的基本假定
线性回归模型 X值是固定的或独立于误差项 干扰项ui的均值为0 干扰项ui的同方差性 各干扰项之间无自相关 观测次数n必须大于待估计的参数个数 X的取值不只一个
8
小结
（1）对模型和变量的假定
ui2 f（1，2）
4
正规方程和估计式
取偏导数为0，得正规方程
Yi nˆ1 ˆ2 Xi XiYi ˆ1 Xi ˆ2 Xi2
用克莱姆法则求解得观测值形式的OLS估计量：
^ n
2
n
X iYi
X
2 i
(
X i Yi Xi )2
^
1
X
2 i
Yi
Xi
X iYi
n
双变量回归分析：
估计问题
基本内容
普通最小二乘法（OLS） 经典线性回归模型：OLS的基本假定 OLS估计的性质 判定系数r2：“拟合优度”的一个度量
2
普通最小二乘法
（Ordinary Least Squares ，OLS）
最小二乘准则
ui2 (Yi Yi )2最小化
3
最小二乘准则
27
r2与r
r2
r
就模型而言
就两个变量而言
说明解释变量对因变量 的解释程度 度量不对称的因果关系
取值：[0,1]
度量两个变量线性依存 程度。
度量不含因果关系的对 称相关关系
取值：[－1,1]
28
运用r2时应注意
● 判定系数只是说明列入模型的所有解释变量对 因变量的联合的影响程度，不说明模型中每个 解释变量的影响程度（在多元中）
X
2 i
(
Xi )2
5
用离差表现的OLS估计式
为表达得更简洁，或者用离差形式OLS估计式：
__
__(Yi
__
Y
)
(Xi X )2
xi yi xi2
^
1
__
Y
ˆ2 X
注意其中： xi X i X
yi Yi Y
6
OLS估计量的良好性质
容易计算（由可观测的样本表达） 是点估计量 容易画出SRF，且SRF： （1）通过样本均值点
● 回归的主要目的如果是经济结构分析，不能只 追求高的判定系数，而是要得到总体回归系数 可信的估计量，判定系数高并不表示每个回归 系数都可信任。
29
Cov(Yi ,Yj ) 0(i j)
13
OLS估计的标准误（精度）
se（2 ）
xi2
2
ui 2
n2
14
OLS估计的性质：
高斯-马尔可夫定理
在给定经典线性回归模型的假定下， OLS估计量在所有线性无偏估计量中具 有最小方差，也就是说，它们是最优线 性无偏估计量（BLUE)。
15
无偏性
23
r2=？
r 2 ESS TSS
r 2 1 RSS TSS
24
r2=？
r2测度了在Y的总变异中由回归模型解释 的那个部分所占的比例或百分比。
25
r2的作用
r2越大，模型拟合优度越好。反之说明模型对样本观 测值的拟合程度越差。
26
r2的特点
0 r2 1
随抽样波动，样本判定系数r2是随抽样 而变动的随机变量
(Yi - Y)2 (Yi -Y )2 (Yi Yi )2
即：
yi 2
2
yi
ui2
22
定义
总离差(TSS):
Y的值与其均值的离差平方和（总平方和）
解释了的离差(ESS):
Y的估计值与其均值的离差平方和（解释平方和）
未解释的离差 (RSS):
Y的值与其估计值的离差平方和（残差平方和）
Var(ui Xi ) E[ui E(ui Xi )]2 2
11
假定3 无自相关假定 Cov（ui，uj|Xi，Xj）=0 Cov（ui，uj）=E[ui-E(ui)][uj-E(uj)] =E(uiuj) =0
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Yi的分布性质
E(Yi | X i ) 1 2 X i Var(Yi | X i ) 2
如 Yi 1 2 Xi ui
假定解释变量 X是非随机的，或者虽然是随机的，但与扰动
项 u是不相关的
假定解释变量 X 在重复抽样中为固定值
假定变量和模型无设定误差
9
（2）对随机扰动项的假定 假定1，零均值
E(ui|Xi）=0
10
假定2：同方差假定 在给定X的条件下，ui的条件方差为某个常 数
X
19
总离差的分解
Y的观测值围绕其均值的总变异分为两部分：一 部分来自样本回归线，另一部分来自随机扰动项。
Yi - Y (Yi -Y ) (Yi Yi )
20
图示
Y
Yi
•
ei来自残差
^
SRF
(Y i- Y ) 总变差
^
(Y i- Y ) 来自回归
Y
Xi
X
21
将上式平方加总可整理得：
概
率 密
f (ˆ)
度
f (*)
偏倚 E( *)
估计值
16
最小方差性
概
率
密
度
f (ˆ)
f (*)
估计值
17
第三节 拟合优度的度量
本节基本内容: ●什么是拟合优度 ●总离差的分解 ●判定系数
18
拟合优度
定义：
Y
样本回归线对样本观测数据 拟合的优劣程度
拟合优度的度量建立在对 总离差分解的基础上
Yi Yi
i 0
（2）残差与Yi的预测值不相关 （3）残差与Xi不相关
7
经典线性回归模型
OLS的基本假定
线性回归模型 X值是固定的或独立于误差项 干扰项ui的均值为0 干扰项ui的同方差性 各干扰项之间无自相关 观测次数n必须大于待估计的参数个数 X的取值不只一个
8
小结
（1）对模型和变量的假定
ui2 f（1，2）
4
正规方程和估计式
取偏导数为0，得正规方程
Yi nˆ1 ˆ2 Xi XiYi ˆ1 Xi ˆ2 Xi2
用克莱姆法则求解得观测值形式的OLS估计量：
^ n
2
n
X iYi
X
2 i
(
X i Yi Xi )2
^
1
X
2 i
Yi
Xi
X iYi
n