第1章 一元线性回归模型(双变量回归分析：一些基本概念)..
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第一章 回归分析概述
4 随机误差
由人们无法控制且难以解释的干 扰所导致的误差作为随机误差归入随 机误差项.
线性回归模型的一般形式为
y 0 1x1 2 x2 L p xp
其中0，1，2，L
，
为未知参数（称为回归参数）
p
如果（xi1,xi2,L ,xip;yi）,i=1,2,L ,n是变量
（x1,x2,L ,xp;y）的一组观测值，则线性回归模型的 数据形式可表示为
数据整理不仅要把一些数据进行换 算，差分，甚至将数据标准化，有时也要 剔除一些“异常值”或利用插值的方法补 齐空缺的数据。
（三）确定理论回归模型 的数学形式
要确定回归模型的数学形式，我们首
先 应 将 收 集 的 样 本 数 据 绘 制 关 于 yi 与 xi (i 1, 2,L , n) 的样本散点图。根据散点
yi 0 1xi1 2 xi2 L p xip i , i 1, 2,L , n
为了估计模型参数的需要,一般线 性回归模型应满足以下几个基本假设:
1
解释变量 x1, x2,L
,
x
是非随机变量；
p
2 高斯-马尔可夫条件(简称G-M条件)
E（i）=0,i=1,2,L ,n
Cov(
i
,j
)=
民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确
定性。
我们将上海市城镇居民可支配收入与支 出的数据（1985 年~2001 年）用散点图表示，
可以发现居民的收入 x 与消费支出 y 基本上
呈现线性关系，但并不完全在一条直线上。 附数据与图形。
年份
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
第一章 回归分析概述
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
线性回归分析
3.用参数估计值替代初始值，将方程再次展开，进行线性化，从而又可 一点的导数求得。
以求出一批参数估计值。
4.如此反复，直至参数估计值收敛为止。
04 总结
回归模型的原理及应用
模型表达形式
模型的基本 假定
模型的估计
模型的检验
05 案例
05 案例
05 案例
学生化残差是残差除以它的标准差 后得到的数值，用以直观地判断误 差项服从正态分布这一假定是否成 立 ，若假定成立，学生化残差的 分布也应服从正态分布。学生化残 差由普通残差推导出，在数据诊断 与残差分析 为零、方差为σ2正态分布。 即，μi ∼ N（0，σ2）
Part 03
多元线性回归模 型
03 多元线性回归模型
03 最小二乘法原理
原理：利用样本回归函数估计总体回归函数，是根据一个给定的包含n组X和Y观测数据的样 本，建立样本回归函数，使估计值尽可能接近观测值YiYˆi。最小二乘原理就是根据使样本剩 余的平方和达到最小的准则，确定模型中的参数，建立样本回归函数（回归系数的最小二乘 估计，包括截距系数和斜率系数）。
2.回归模型的分类 （1）按模型中自变量的多少，分为一元回归模型和多元回归模型。 （2）按模型中参数与被解释变量之间是否线性，分为线性回归模型和非线性回归模型。
01 相关方法演示
“分析”
“相关”
“双变量” “偏相关”
“距离”
双变量：用于进行两个/多个变量间的参 数/非参数相关分析，计算两个变量之间 相关性的强弱,如果是多个变量，则给出 两两相关的分析结果。 偏相关：如果需要进行相关分析的两个 变量其取值均受到其他变量的影响，就 可以利用偏相关分析对其他变量进行控 制，输出控制其他变量影响后的相关系 数。 距离：比较特殊的中间过程，调用此过 程可对同一变量内部各观察单位间的数 值或各个不同变量间进行相似性或不相 似性（距离）分析，前者用于检测观测 值的接近程度，后者则常用于考察各变 量的内在联系和结构。
《一元线性回归》ppt课件
E (Y|X i)01X i
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：
一元线性回归
第六讲 一元线性回归在客观世界中, 普遍存在着变量之间的关系.数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、表达和分析这些关系。
而变量之间关系, 一般可分为确定的和非确定的两类. 确定性关系可用函数关系表示, 而非确定性关系则不然.例如, 人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额间的关系等, 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。
我们称这类非确定性关系为相关关系。
具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函数被称为回归函数。
回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。
在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。
考虑用下列模型表示)(x f Y =. 但是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系，因此必须把随机波动考虑进去，故引入模型如下ε+=)(x f Y其中Y 是随机变量，x 是普通变量，ε是随机变量（称为随机误差）。
回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预测和控制等。
本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验以及相应的预测和控制等问题。
一、引例为了研究某一化学反应过程中温度x 对产品得率Y 的影响. 测得数据如下:89857874706661545145%/190180170160150140130120110100/i i y C x 温度温度试研究这些数据所蕴藏的规律性.二、一元线性回归模型一般地,当随机变量Y 与普通变量x 之间有线性关系时, 可设εββ++=x Y 10, （1）),,0(~2σεN 其中10,ββ为待定系数。
设),(,),,(),,(2211n n Y x Y x Y x 是取自总体),(Y x 的一组样本,而),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 是该样本的观察值,在样本和它的观察值中的n x x x ,,,21 是取定的不完全相同的数值，而样本中的n Y Y Y ,,,21 在试验前为随机变量，在试验或观测后是具体的数值，一次抽样的结果可以取得n 对数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ，则有i i i x y εββ++=10, n i ,,2,1 = (2)其中n εεε,,,21 相互独立。
一元线性回归
第三节
一元线性回归
一、回归分析的基本思想 二、一元线性回归的数学模型 三、可化为一元线性回归的问题 四、小结
一、回归分析的基本思想
确定性关系 变量之间的关系 相 关 关 系
S πr 2
身高和体重
确定性关系 相关关系
相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一 种精确的方法表示出来.
确定性关系和相关关系的联系
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
var( y ) i
2
2
2 ( x x ) j j 1 n
1 xi x ˆ 0 y 1 x ( x ) yi n lxx
1 xi x ˆ Var ( 0 ) x lxx n
由于存在测量误差等原因,确定性关系在实际 问题中往往通过相关关系表示出来;另一方面,当对 事物内部规律了解得更加深刻时,相关关系也有可 能转化为确定性关系. 回归分析——处理变量之间的相关关系的一 种数学方法,它是最常用的数理统计方法.
回 归 分 析
线性回归分析
非线性回归分析
一元线性回归分析
多元线性回归分析 β1 = Nhomakorabea(x
i=1 n
n
i
x )( yi y ) ,
2 ( x x ) i i=1
β0 = y β1 x,
1 n 1 n 其中 x xi , y yi . n i 1 n i 1
记
l xx = ( xi x )2 ,
i=1
n
l yy = ( yi y )2 ,
2 x x x 2 2 i ˆ ˆ ˆ cov(y , 1 ) x cov(1 , 1 ) x nlxx l xx l xx
一元线性回归
一、回归分析的基本思想 二、一元线性回归的数学模型 三、可化为一元线性回归的问题 四、小结
一、回归分析的基本思想
确定性关系 变量之间的关系 相 关 关 系
S πr 2
身高和体重
确定性关系 相关关系
相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一 种精确的方法表示出来.
确定性关系和相关关系的联系
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
var( y ) i
2
2
2 ( x x ) j j 1 n
1 xi x ˆ 0 y 1 x ( x ) yi n lxx
1 xi x ˆ Var ( 0 ) x lxx n
由于存在测量误差等原因,确定性关系在实际 问题中往往通过相关关系表示出来;另一方面,当对 事物内部规律了解得更加深刻时,相关关系也有可 能转化为确定性关系. 回归分析——处理变量之间的相关关系的一 种数学方法,它是最常用的数理统计方法.
回 归 分 析
线性回归分析
非线性回归分析
一元线性回归分析
多元线性回归分析 β1 = Nhomakorabea(x
i=1 n
n
i
x )( yi y ) ,
2 ( x x ) i i=1
β0 = y β1 x,
1 n 1 n 其中 x xi , y yi . n i 1 n i 1
记
l xx = ( xi x )2 ,
i=1
n
l yy = ( yi y )2 ,
2 x x x 2 2 i ˆ ˆ ˆ cov(y , 1 ) x cov(1 , 1 ) x nlxx l xx l xx
一元线性回归模型(习题与解答)
要求： ，即条件期望值； （1）对每一收入水平，计算平均的消费支出，E（Y︱Xi）
5
（2）以收入为横轴、消费支出为纵轴作散点图； （3）在散点图中，做出（1）中的条件均值点； （4）你认为 X 与 Y 之间、X 与 Y 的均值之间的关系如何？ （5）写出其总体回归函数及样本回归函数；总体回归函数是线性的还是非线性的？ 2-24．根据上题中给出的数据，对每一个 X 值，随机抽取一个 Y 值，结果如下：
•
∧
∑ ( n − xW ) y
i =1 i
n
Байду номын сангаас
1
i
这
里 Wi =
xi
∑ xi
•
2
，i=1，2，…，n。 2-15．已知两个量 X 和 Y 的一组观察值（xi，yi） 证明：Y 的真实值和拟合值有共同的均值。 因为散点图上的点 （ Ci ， Yi ） 2-16． 一个消费分析者论证了消费函数 C i = a + bYi 是无用的， 不在直线 C i = a + bYi 上。他还注意到，有时 Yi 上升但 Ci 下降。因此他下结论：Ci 不是 Yi 的函数。请你评价他的论据（这里 Ci 是消费，Yi 是收入） 。 2-17．证明：仅当 R2=1 时，y 对 x 的线性回归的斜率估计量等于 x 对 y 的线性回归的斜率 估计量的倒数。 2-18．证明：相关系数的另一个表达式是： r = 系数的估计值，Sx、Sy 分别为样本标准差。 2-19．对于经济计量模型： Yi = b0 + b1 X i + u i ，其 OLS 估计参数 b1 的特性在下列情况下 会受到什么影响： （1）观测值数目 n 增加； （2）Xi 各观测值差额增加； （3）Xi 各观测值近 似相等； （4）E（u2）=0 。 2-20．假定有如下的回归结果： Yt = 2.6911 − 0.4795 X t ，其中，Y 表示美国的咖啡的消费 量（每天每人消费的杯数） ，X 表示咖啡的零售价格（美元/杯） ，t 表示时间。
一元线性回归概念要点
2
0.9938
相关系数较大，这说明人均消费额与人均国内生产 总值高度相关。 2、由分组资料计算相关系数的公式为:
r
f x y f x f y f x f ( x f ) f y f
ij i j ij i i 2 2 2 i i i i i j j
j
fj ( y j f j ) 2
18
1、由未分组资料计算相关系数公式：
2 xy r x y
2 ( x x )
2 ( y y )
其中：x、y 和2 x、变量y的标准差及x与y的协方差。 xy分别为变量
x
n
y
n
xy
( x x )( y y ) n
r
( x x )( y y ) ( x x ) 2 ( y y ) 2
单相关：两个变量之间的相关，称为单相关。 复相关：一个变量与两个或两个以上其他变量之
间的相关，称为复相关。
偏相关：在复相关的研究中，假定其他变量不变，
专门研究其中两个变量之间的相关关系时称其为 偏相关。
11
三、相关关系的测定
注意：并非所有的变量之间都存在相关关系，因此需要用相 关分析方法来识别和判断。
称为不完全相关。不完全相关关系是现实当中相关关 系的主要表现形式，是相关分析的主要研究对象。
8
2. 按相关的方向可分为正相关和负相关 正相关：当一个变量随着另一个变量的增加 （减少）而增加（减少），即两者同向变化时， 称为正相关。 如家庭收入与家庭支出之间的关系。 负相关：当一个变量随着另一个变量的增加 （减少）而减少（增加），即两者反向变化时， 称为负相关。 如产品产量与单位成本之间的关系，单位成 本会随着产量的增加而减少。
0.9938
相关系数较大，这说明人均消费额与人均国内生产 总值高度相关。 2、由分组资料计算相关系数的公式为:
r
f x y f x f y f x f ( x f ) f y f
ij i j ij i i 2 2 2 i i i i i j j
j
fj ( y j f j ) 2
18
1、由未分组资料计算相关系数公式：
2 xy r x y
2 ( x x )
2 ( y y )
其中：x、y 和2 x、变量y的标准差及x与y的协方差。 xy分别为变量
x
n
y
n
xy
( x x )( y y ) n
r
( x x )( y y ) ( x x ) 2 ( y y ) 2
单相关：两个变量之间的相关，称为单相关。 复相关：一个变量与两个或两个以上其他变量之
间的相关，称为复相关。
偏相关：在复相关的研究中，假定其他变量不变，
专门研究其中两个变量之间的相关关系时称其为 偏相关。
11
三、相关关系的测定
注意：并非所有的变量之间都存在相关关系，因此需要用相 关分析方法来识别和判断。
称为不完全相关。不完全相关关系是现实当中相关关 系的主要表现形式，是相关分析的主要研究对象。
8
2. 按相关的方向可分为正相关和负相关 正相关：当一个变量随着另一个变量的增加 （减少）而增加（减少），即两者同向变化时， 称为正相关。 如家庭收入与家庭支出之间的关系。 负相关：当一个变量随着另一个变量的增加 （减少）而减少（增加），即两者反向变化时， 称为负相关。 如产品产量与单位成本之间的关系，单位成 本会随着产量的增加而减少。
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的经济理论可以给我们一些指导。假如， E(Y | X i ) 是 X i 的线性函数：
E(Y | X i ) 1 2 X i
（2.2.2）
1 和 2 为 回 归 系 数 （ regression coefficients ） ， （ 2.2.2 ）称为线性总体回归函数，或简称线性总体回归。
ui Yi E(Y | X i ) 或
Yi E(Y | X i ) ui （2.4.1）
离差 ui 是一个不可观测的随机变量，称之为随机干扰 （stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）
从计量经济学上看，对于给定的X水平，个别家庭的支出 可以分解为两个部分： ①表示收入相同的所有家庭的平均消费支出，称为系 统 性 （ systematic ） 或 确 定 性 （ deterministic ） 成 分 （component）。 ②ui为随机的或非系统性成分（nonsystematic component）。它是代表所有可能影响Y的，但又没有包 括到回归模型中的替代（surrogate）或代理（proxy）变 量 假定 E(Y | X i ) 对X i 是线性的，（2.4.1）式便可以写 为： Yi 1 2 X i ui （2.4.2） 它表示消费支出Y线性地依赖于相应的收入X i 和随机 扰动项
E(Y | X i ) f ( X i )
（2.2.1）
这个方程就叫做（双变量的）总体回归函数（PRF） 或简称总体回归（population regression, PR），它表明Y 的均值或平均响应（average response）是如何随X而不同
f ( X i ) 的具体函数形式如何确定是一个经验问题，已知
在我们的课程中，回归，回归方程和回归模型将 不加以区分，作为同义词使用
“线性”一词的含义 （ 2.2.2 ）式被称为“线性”总体回归，其中的 “线性”的含义是什么？ 它可以作两种解释： （1）对变量为线性
即：Y的条件期望值是 X 的线性函数，从几何意 i 义上看，这样的回归曲线是一条直线。
诸如：
175
70
80
94
103
116
130
144
152
165
178
75
85
98
108
118
135
145
157
175
180
—
88
—
113
125
140
—
160
189
185
—
—
—
115
—
—
—
162
—
191
共
678
750
685
1043
966
1211
表2.1的含义：它给出了以X的给定值为条件的Y值 的条件分布（conditional distribution） 因为表2.1代表一个总体，我们可以从表中计算出 给定X的Y的概率，这在统计上叫做什么？ 比如：
图2.1可以画成图2.2的形式 可见，对应于每一个Xi都有一个Y值的总体和 一个相应的条件均值。而回归直线（曲线）正好 穿过这些条件均值
总体回归函数（PRF，population regression function） 由图2.1和图2.2可见，每一个条件均值都是 X i 的一个函 数，即：
第1章 一元线性回归模型
前导：双变量回归分析的
一些基本概念
回归分析是要根据解释变量的已知或给定值， 去估计或预测因变量的总体均值 假如我们要研究每周家庭消费支出Y与每周 可支配的家庭收入X之间的关系 假设这个国家的家体的总体由60户家庭组成。 可以按收入的高低把这60户家庭分组，每一组的 组内收入相差不大。假定我们得到的观察值如表 2.1所示
1 P(Y 55 | X 80) 5
1 P(Y 150 | X 260 ) 7
对Y的每一个条件概率分布，我们所计算出它的均 值（mean或average value），称为条件均值 （conditional mean）或条件期望（conditional expectation），记做： E(Y | X X i )
E(Y | X i ) 1 2 X i
2
这样的回归函数，就不是线性的。
（2）对参数为线性
即Y的条件期望 E(Y | X i ) 是参数 i 的一个线性函数； 它既可以是也可以不是变量X的线性函数
这样以来，
E(Y | X i ) 1 2 X i
2
就是一个线性回归模型， 而
一个例子
表2.1 x y
80 100
X：每周家庭收入（$）
120 140 160 180 200 220 240 260
55
65
79
80
102
110
120
135
137
150
每 周 家 庭 消 费 支 出
60
70
84
93
107
115
136
137
145
152
65
74
90
95
110
120
140
140
155
我们现在再回到表 2.1 和图 2.1 ，可见，随着家庭收 入↑，家庭消费支出平均地看也会↑；但是对具体的某一 个家庭的消费支出却不一定随收水平↑而↑ 给定收入水平 X i 的个别家庭的消费支出，聚集在收 入为 X i 的所有家庭的平均消费支出的周围，也就是围绕 着它的条件均值 个别的Yi围绕它的期望值的离差（deviation）可以表 示如下：
E(Y | X i ) 1 2 X i
则不是线性的。
在今后的课程中，我们讲的“线性”指的是对参数为 线性的情况，对解释变量 X i 则可以是也可以不是线性的。
如：
E(Y | X i ) 1 2 X i
2
是一个LRM（linear regression model）
PRF的随机设定
比如，给定X＝80
1 1 1 1 1 E (Y | X 80) 55 60 65 70 75 65 5 5 5 5 5
可以由表 2.1绘制如 右图的散点 图
散点图表明对应于各个X值的Y的条件分布，它表 明随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。 Y的条件均值随 X增加而增加。图中的粗圆点（大 的黑点）表示Y的各个条件均值 Y的条件均值落在一条正斜率的直线上，这条线叫 总体回归线（population regression line or curve），它 代表Y对X的回归 从几何意义上讲，总体回归曲线就是，当解释变 量取给定值时，因变量的条件均值或条件期望的轨迹