耐克函数的图象及性质优秀PPT
耐克函数的研究成果(对号函数)
课题研究——对于“耐克函数”的研究经过小组研究，现发现形如xb ax y +=（a>0,b>0） 的函数有如下的特点：即x=1时最小值为2.当给出的定义域区间不包括耐克函数的顶点时，求最值应该利用耐克函数的单调性来解。
如下面这个例子 例．求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt tt y 112+=+=根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y有最小值223。
此时x=-1.此题是一道求最值的问题，由于t ≥2，所以不能用均值不等式t+t1≥2来解，所以用耐克函数的单调性来解比较简易。
例 已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f 。
（1） 当21=a 时，求函数)(x f 的最小值：Oxyxy =221解：（1）2)(21++=xx x f设xx x g 21)(+= [)+∞∈,1x ，其图象如图所示， 在[)+∞,1上是增函数，当1=x 时，23)(m in =x g27)(m in =x f面对这个函数 f(x)=ax+b/x , 我们应该想得更多，需要我们深入探究：（1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。
因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。
47对勾函数的性质及应用
类型
定义域
值域
奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
在 上单调递增
在 上单调递减
②当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 。
综上所述，函数 的值域为 。
【题型7】函数 。
此类函数可变形为标准形式： .
【例12】函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 ，令 ，则 ，显然在 上单调递增，故 ，此时 ，故函数 的最小值为 。
【例13】函数 的值域为.
【答案】
【解析】由题可知，函数 ，令 ，故 ，故函数 的值域为 。
类型
图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
奇函数
单调递增区间
单调递减区间
最值
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
【例4】函数 的在区间 上的值域为
【答案】
【解析】 ， ， 函数 在 上单调递增， ，当且仅当 时取等号，即 。
【例5】如 ， ，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】由题可知， ，令 ， ， ，
在 上单调递减， ，即 ， ，故 ，得 。
【例1】函数 的值域为
【答案】
【解析】显然函数的定义域为 ， 。
①当 时, , ,当且仅当 ，即 取等号;
②当 时, , ,当且仅当 ，即 取等号;
综上所述，函数 的值域为 。
【例2】函数 的值域为
【答案】
【解析】易知函数 的定义域为 ，
。
①当 时, , ,当且仅当 ，即 时取等号;
②当 时, , ,当且仅当 ，即 时取等号;
【题型4】函数 .
可变形为 ，则 可由对勾函数 左右平移，上下平移得到。
对勾函数的性质
性质二
⑸极 值： 当x﹥0时，当x= 根号b/a 时，y最小=2根号ab 当x﹤0时， 当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号 ab ⑹对称性：图像关于原点对称 ⑺顶点坐标：（根号b/a ,2根号ab ）、 （-根号b/a ，-2根号ab ） ⑻渐 近线：y轴和y=ax Ⅱ当a、b均小 于零时
性质简介
1.对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、 焦点、顶点等等 2.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近 线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象 限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab 的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2倍根号 ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，负根 号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷） 上单调递增
图像一
图象二
图像三
图像 四
对勾函数的性质
Y=ax+b/x的性质 分工： 搜集资料：马学、宋建弟、涂川 汇总资料：潘文龙、宋愚云 制作ppt：强立忠、申超
简介
对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见 图示。 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函 数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被 形象称为“耐克函数” 所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为 了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当 x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
性质一
函数y=ax+b/x的性质 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ⑴定义域：x≠0 ⑵值
“耐 克” 函数及其性质
x
x
x
f (x) 2 综上知，函数 f (x) 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
（5）单调性：由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故只研究当 x﹥0 时的单调性：
1
1)定义法：任取 x1, x2 0, 且 x1 x2 则令
A
f
(x2 )
f
x1
x2
1 x2
x1
20 当 0 x1 x2 1 时， x2 x1 1,此时 A 0 .
由上可知，函数在 (0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.又由函数在对称区间上单调性相同知，f(x) 在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
2)导数法： f (x) x 1 x
f
' ( x)
1
1 x2
2） 当
n为 奇 数 时 ， 当
x0时 ，
axn
0,
b xn
0，
则
利
用
均
值
不
等
式
，
3
f (x) axn b 2 axn b 2 ab 当且仅当 axn b 即 x 2n b 时等号成立，
xn
xn
xn
a
故 f (x) 2 ab 又当 n 为奇数时 f (x) 为奇函数，而奇函数在对称区间上的值域相反，所以当 x 0
则当
x
,
1
1,
时，
f
' ( x)
1
1 x2
0
当
x 1, 0 0,1 时，
f
' ( x)
1
1 x2
0 ,故函数在(-∞,-1)和[1,+∞)上
函数的图像与性质课件
函数的图像与性质课件函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。
本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义与图像表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。
其中，图像法是最直观且常用的一种方式。
图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。
在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。
函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。
二、常见函数的图像与性质1. 线性函数线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。
它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。
2. 幂函数幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。
根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。
3. 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。
指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。
4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。
对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。
5. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。
三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。
三、函数图像的应用函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动轨迹函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。
2. 经济学中的供需关系函数图像可以用于表示市场的供给和需求关系，帮助分析市场的平衡点和价格变化。
双勾函数
则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重
要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到
标准的双曲线方程。也就是说，对勾
2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果
常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞）上是增函数．
⑴如果函数 y=x+（2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞），求b 的值；
⑵研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；
当x<0,-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1，有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0）在x>0上的单调性
设x1，x2∈（0，+∝）且x1>x2
∴f(x1）-f(x2）<0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减
∴ 当x∈（√（b/a），+∞）时，x1x2>b/a， 则ax1x2-b>b-b=0
∴f(x1）-f(x2）>0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。
14第四章-1二次函数与耐克函数
域内的任意实数 x ，函数值均为正，则实数 a 的取值范围是
7． （2013 年虹口一模 17） 定义域为 R 的函数 f ( x ) ax b x c ( a 0) 有四个单调区间，则实数 a, b, c 满足
2
（
）
A. b 2 4ac 0且a 0
B. b 2 4ac 0
『双基达标』
1．若不等式 a 2 x 2a 2 x 4 0 对一切 x R 恒成立，则 a 的范围是
2
．
2．设二次函数 f x x x a a 0 ，若 f m 0 ，则 f m 1 的值为 （
2
）
（A）正数
（B）负数
（C）非负数
2 在 x 1, 2 上恒成立，求实数 a 的取值范围； x 1 a 1 x 2 在 2 , 3 上是增函数，求实数 a 的取值范围． （3）函数 g x f x x
f x
- 92 有志者， 事竟成， 破釜沉舟， 百二秦关终属楚； 苦心人， 天不负， 卧薪尝胆， 三千越甲可吞吴。
2
使得 g ( x2 ) f ( x1 ) ，则实数 a 的取值范围是
．
6．已知 t R ，函数 y x 2 x t 在区间 0,3 上的最大值为 2 ，则 t
2
．
7．若二次函数 f x x 2 x 在 a, b 上的值域为 3,1，则 a b 的范围是
2
(m 4, m 1) ，则实数 c 的值为_________．
5． （2014 年嘉定一模 13）
2 ax 2 x 1 , x 0 , 已知函数 f ( x ) 是偶函数，直线 y t 与函数 f ( x ) 的图像自左至右依次交于四 2 x bx c , x 0
耐克函数和韦达定理
耐克函数和韦达定理耐克函数，又称双曲函数，双勾函数。
是形如f(x)=ax+b/x（a>0)的函数。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）时（sqrt表示求二次方根）。
韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程的根与系数的关系。
定理内容：一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系由一元二次方程求根公式为：（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得,1.2.家教——三角函数公式大全两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- sin2A=2s inA•cosA cos2A = cos 2A-sin 2A=2cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]万能公式sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan2aa - 其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab]a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba]平面向量--02/08一、选择题错误！未指定书签。
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y
y
y
0 a2
4
x0
2a4
x0
2
4a
x
12
变式．函数 f (x) x ax（a是常数，a∈R)，x 2, 4
求 f (x)的最小值.
y
y
0 2 4x
a0
0 2 4x
a0
13
问题3．函数 f (x) x ax（a是常数，aa∈>0R )，在
2, 4 上单调递增，求实数a的取值范围.
函数 f x x a 的图像及应用
x
1
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像.
y
2
1
01
x
2
2
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
0 11 42
x
区间 最大值是 最小值是
1 4
,
1 2
f 1 4
f 1 2
3
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
01
3
x
4
区间
11 44
,,312
最大值是 最小值是
f 1 4
ff 11 2
4
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
1 2 3
01
4
3
x
区间
最大值是
最小值是
142,,313
ff
14
1
ff 11 3
5
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
1 2 3
F t t 12 3 t 2 2t 4 t 4 2
t
t
t
令
gt
t
4 t
，则它的定义域为1,
a 1 ，值域为4,5
y
y
y
5
5
5
4
4
4
1 a1
0
2
4
1
a 1 4
1
x
0
2
x
0
2
4 a 1
x
17
2 a 1 4
y
解得：1 a 9 且 a N 5
4
M 1,2,3,4,5,6,7,8,9
0
2,4 2
4
x
区间
2,
1 3
最大值是 ff 41
最小值是
ff 21
3
6
问题2．函数 f (x) x ax（a是常数,a>0 )，x 2, 4
求 f (x)的最小值.
y
0
2
4
x left center righ7 t
问题2．函数 f (x) x ax（a是常数,a>0 )，x 2, 4
求 f (x)的最小值.
y
0
a2
4
x
11 left center righ8 t
问题2．函数 f (x) x ax（a是常数,a>0 )，x 2, 4
求 f (x)的最小值.
y
0
2a4
x
11 left center righ9 t
问题2．函数 f (x) x ax（a是常数,a>0 )，x 2, 4
1
a 1 4
0
2
x
18
学习研究函数
f (x) x a x
的两种图像，掌握
这类函数求最值，单调区间等问题的方法
y
y
0
x
0
x
19
学习研究函数 f (x) x a 的两种图像， x
掌握这类函数求最值，单调区间及相关问题 的方法 体会数学分类讨论、数形结合、转化与化归 的思想方法
20
根据研究函数
求 f (x)的最小值.
y
0
2
4a
x
11 left center rig1h0 t
问题2．函数 f (x) x ax（a是常数,a>0 )，x 2, 4
求 f (x)的最小值.
y
y
y
0 a2
4
左
x0
2a4
中
x0
2
4a
x
右
11
变式．函数 f (x) x ax（a是常数，aa∈>0R)，x 2, 4
f (x)
x
a x
（a&ax b（a，b∈R）的图像与性质.
x
（2）研究
广到 f x
f x
xn
xanx2nxaN2（ a，>并0）研的究单推调广性后，函进数一的步单推
调性.
作业：《复习点要》P４０ 基础练习
21
22
y
y
y
0 a2
4
左
x0
2a4
中
x0
2
4a
x
右
14
问题3．函数 f (x) x ax（a是常数，a∈R )，在
2, 4 上单调递增，求实数a的取值范围.
y
y
y
0 a2
4
x
左
0 2 4x
a0
0 2 4x
a0
15
问题4．设函数 f x 1 ，gx x 3, x 3, a, a 为常
x 1
数且 a 0 ，令函数 F x f x gx
1）求函数 F(x) 的解析式
2）是否存在自然数a，使 F(x)的值域为 2,3若存在
写出满足条件的自然数a所构成的集合M，若不存在说明理由.
解：1） Fx x 3 , x 0, a a 0
x 1
16
2）Fx x 3 , x 0, a a 0
x 1
令 x 1 t t 1, a 1 , x (t 1)2