高中数学第一章坐标系三1圆的极坐标方程教学案新人教A版选修4_42

1．圆的极坐标方程[对应学生用书P6] 1．曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简． ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程(1)圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ. (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r .(3)圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)．[对应学生用书P6][例1] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程． [思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程． [解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)．由余弦定理知：CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ，故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．求圆心在C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程．解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos∠COM ＝|CM |2， 即ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式，所以圆的极坐标方程为 ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.2．求圆心在A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程． 解：设M (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连结OM 、MB ，则有OB ＝4，OM ＝ρ，∠MOB ＝θ－32π.∠BMO ＝90°，从而△BOM 为直角三角形． ∴有|OM |＝|OB |cos ∠MOB 即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32π＝－4sin θ.[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0； (3)ρ＝12－cos θ.[思路点拨] 将方程的互化转化为点的互化：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x[解] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1.∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y ＝3x ；(2)x 2－y 2＝1.解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x 得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝1， 得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ.4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1； (2)ρ＝2cos(θ－π4)．解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.[对应学生用书P7] 一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆D ．半圆解析：∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x 2＋y 2＝1.∴表示圆． 答案：C2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：如图所示．设M (ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM ＝∠MOx ＝θ， 在Rt△NMO 中，|OM |＝|ON |sin ∠ONM ， 即ρ＝2r sin θ＝a sin θ. 答案：C3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( ) A ．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆 B ．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆 C ．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆 D ．以点(3，π2)为圆心，3为半径的圆解析：由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x 2＋y 2－6x ＝0， 表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆． 答案：C4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos(θ－π4) B ．ρ＝2sin(θ－π4)C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．答案：C二、填空题5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.答案：ρ＝4sin θ6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.答案：x2＋y2－3y＝07．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.解析：由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±3，则|AB|＝2 3.答案：2 3三、解答题8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ；(3)ρ2＝cos2θ.解：(1)∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.∴(x2＋y2)2＝x2，即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .9．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0) 则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ∵ρ0＝2cos θ0.∴25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ 它表示一个圆．10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程． (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：法一：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求．(2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sinθ，得ρ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ， 即ρ＝－2a cos θ为所求．法二：由圆的极坐标方程ρ＝2a sin θ得ρ2＝2ρa sin θ， 利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ＝x 2＋y 2， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即x 2＋(y －a )2＝a 2，故圆心为C (0，a )，半径为|a |. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a )， 圆的方程为x 2＋(y ＋a )2＝a 2，即x 2＋y 2＝－2ay ，所以ρ2＝－2ρa sin θ， 故ρ＝－2a sin θ为所求．(2)由θ＝3π4得tan θ＝－1，故直线θ＝3π4的直角坐标方程为y ＝－x .圆x 2＋(y －a )2＝a 2关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为(－y )2＋(－x －a )2＝a 2，即(x ＋a )2＋y 2＝a 2，于是x 2＋y 2＝－2ax ，所以ρ2＝－2ρa cos θ.故此圆的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.。