圆的极坐标方程的教学
直线和圆的极坐标方程教学设计
直线和圆的极坐标方程教学设计引言直线和圆是初等数学中的重要知识点，理解和熟练掌握其极坐标方程对于学生在解决几何问题中非常关键。
本教学设计旨在帮助学生理解直线和圆的极坐标方程的概念、推导过程以及应用方法。
教学目标通过本次教学，学生将能够：1.理解直线和圆的极坐标方程的定义和含义；2.掌握求解直线和圆的极坐标方程的方法；3.运用极坐标方程解决几何问题。
教学内容与步骤第一步：直线的极坐标方程1.引入直线极坐标方程的概念，向学生解释什么是直线的极坐标方程。
–直线的极坐标方程表示一条直线上各点的极坐标坐标与参数关系的方程。
2.解释直线的极坐标方程的推导过程。
–通过使用直角坐标和极坐标之间的转换关系，推导直线的极坐标方程的一般形式。
讲解如何根据已知的直线方程，得到其对应的极坐标方程。
3.给出几个实例，让学生尝试推导直线的极坐标方程。
第二步：圆的极坐标方程1.介绍圆的极坐标方程的定义。
–圆的极坐标方程是表示圆上各点的极坐标坐标与参数关系的方程。
2.解释圆的极坐标方程的推导过程。
–使用勾股定理和直角三角形的性质，推导圆的极坐标方程的一般形式。
3.给出几个实例，让学生尝试推导圆的极坐标方程。
第三步：应用示例1.提供一些几何问题，让学生运用所学的直线和圆的极坐标方程解决问题。
–如：已知直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，求直线与圆的交点坐标；–如：已知一个点在圆外，求出连接该点与圆心的直线与圆的交点坐标。
2.鼓励学生在解决问题的过程中灵活运用所学知识，加强对直线和圆的极坐标方程的理解和运用能力。
教学评估1.在教学中引导学生进行小组讨论，检查学生对直线和圆的极坐标方程的理解和推导方法的掌握程度。
2.布置作业，要求学生解答相关的极坐标方程题目。
3.教学过程中切实关注学生的学习情况，及时给予指导和反馈。
总结本教学设计通过引导学生从直线和圆的坐标方程的概念、推导过程和应用方法入手，帮助学生掌握直线和圆的极坐标方程的知识点。
通过教学实践与评估，提高学生对直线和圆的极坐标方程的理解和运用能力，培养学生解决几何问题的能力。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程
极坐标方程是一种用极坐标表示曲线的方式，将点的坐标以极坐标形式表示，它可以表示一些常见的曲线，比如圆、椭圆、环状等特殊类型的曲线。
下面就来解释下圆的极坐标方程：
一、圆的极坐标定义：
1、圆的极坐标的中心点为原点，可以使用如下公式表示：
2、 r表示半径，a是给定的常数。
二、圆的极坐标方程：
1、极坐标方程的一般形式如下：
r=f(θ)
2、其中，f(θ)为极射线和圆的距离关系，由此可求出圆的方程为：
r=a
3、 a表示半径，即圆形的距离长度，这个参数给定以后即可求出圆的极坐标方程。
三、求解圆的极坐标方程：
1、将圆的极坐标方程改写成极坐标形式：
r=〖a^2〗^(1/2 )
2、令其中的a取为常数K，上面的方程可以简化为：
r=K
3、根据定义，圆的极坐标方程就可以表示为：
r=K
4、这个方程的意思就是极射线的长度总是等于给定的常数K，而极射线的角度可以从0°到360°不等，并且这个常数K可以等于圆的半径。
到此，关于圆的极坐标方程已经全部讲解完成，由以上内容可知，圆的极坐标定义：圆的极坐标的中心点为原点，可以使用如下公式表示：r=a；圆的极坐标方程可以简化为：r=K，这个方程的意思就是极射线的长度总是等于给定的常数K，而极射线的角度可以从0°到360°不等，并且这个常数K可以等于圆的半径。
由圆的极坐标方程找圆心和半径
由圆的极坐标方程找圆心和半径引言在几何学中，圆是一种重要的几何图形。
圆由其圆心和半径来描述，而找出圆心和半径是解决圆相关问题的关键步骤。
在本文中，我们将学习如何通过圆的极坐标方程来确定圆心和半径。
圆的极坐标方程圆的极坐标方程可以用来表示一个圆。
其一般形式如下：r = a其中，r表示极坐标系下点到原点的距离，a表示圆的半径。
找出圆心和半径的步骤下面是一步一步找出圆心和半径的方法：步骤1：确定圆心在极坐标系中的位置圆心的位置可以通过观察极坐标系中的对称性来判断。
由于圆是具有旋转对称性的，可以通过仅观察其中一个象限来确定圆心的位置。
步骤2：找出圆心的极坐标表示在确定圆心所在的象限后，可以通过观察圆心在该象限上的位置，得出其极坐标表示。
使用极坐标中的角度和距离值来表示圆心。
步骤3：找出圆的半径一旦得到了圆心的极坐标表示，可以通过测量从圆心到任意一点的距离来确定圆的半径。
选择一个点作为参考点，并测量它与圆心之间的距离。
此距离即为圆的半径。
示例让我们通过一个具体的例子来演示如何通过圆的极坐标方程找出圆心和半径。
假设我们有一个圆的极坐标方程如下：r = 3步骤1：确定圆心在极坐标系中的位置由于圆具有旋转对称性，我们只需观察第一象限即可。
假设圆心位于第一象限。
步骤2：找出圆心的极坐标表示在第一象限中，我们可以看到圆心位于极坐标系的第一象限上方。
假设圆心的极坐标表示为(θ, r)，其中θ是一个角度值，r是距离原点的距离。
假设θ = 45°。
步骤3：找出圆的半径为了找出圆的半径，我们需要测量从圆心到任意一点的距离。
假设我们选取(1, 1)作为参考点，测量其与圆心的距离。
经测量，我们发现该距离为3。
因此，该圆的圆心位于第一象限的(45°, 3)处，半径为3。
结论本文介绍了如何通过圆的极坐标方程找出圆心和半径的方法。
通过观察圆的对称性，确定圆心的位置；通过观察圆心所在象限的位置，确定圆心的极坐标表示；通过测量距离，确定圆的半径。
高中数学：圆的 极坐标方程
C(a,0)
x
教学目标
1、认识几种圆的极坐标方程，比较 它与直角坐标方程的异同。 2、掌握求圆的极坐标方程的方法。 3、能应用极坐标方程解决圆与直线 的关系。
教学重点： 求圆的极坐标方程的方法与步骤 教学难点： 极坐标方程是涉及长度与角度的问题， 列方程实质是解直角或斜三角形问题， 要使用旧的三角知识。
练习2
பைடு நூலகம்
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
A. 2 cos B . 2 sin 4 4 C . 2 cos 1 D . 2 sin 1
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
作业布置 课本Ｐ15: １(1)(3)、２、(３)(4)
复习引入
一、复习： 1、求曲线的极坐标方程步骤：……
2、直线的几种极坐标方程……
求曲线的极坐标方程的步骤： 答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是建系－设点（点
与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对 应）－化简得方程f(,)=0 －说明
新课引入： 热身训练：在平面直角坐标系中 1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方 程为 （x-3）2+y2=9 2、圆心坐标为（0,3）且半径为3的圆 X2+(y-3)2=9 线方程为_______ 3、圆心在原点半径为3的圆方程为 X2+y2=9 _______ 变式：将以上三个方程化为极坐标方程 并画出对应的图形。
直角坐标系
极坐标系
极坐标图形
1、圆心（3，0） 圆心（3，0） 半径为3 半径为3
圆的极坐标方程的旋转
在极坐标系中，圆的极坐标方程形式：
①圆心在极点，半径为a：
②圆心在（a，0），半径为a：
③圆心在（a，π/2），半径为a：
④圆心在（a， ），半径为a：
二、解疑合探
（一）小组内合作交流，完善课堂目标
（二）展示、评价，要求
（三）教师进行必要的点拨后，进行补充和讲解。
观察图形，从旋转的角度观察图形，有什么变化（顺时针怎么转，逆时针怎么转），从而坐标方程式有什么变化。
2.学科班长总结.
六、作业：
七．课后反思：
（1）、圆心在A（ ），半径为1的圆
（2）、圆心在B（ ），半径为1的圆
（3）、圆心在C（ ），半径为1的圆
（4）、圆心在D（1， ）半径为1的圆
2、观察上述图形及极坐标方程，从旋转角度解释质，通过性质列举几个类似的圆，给其他小组解答
五、小结
1.通过本节学习你有哪些收获？
圆的极坐标方程的旋转
数学组：单守信王占荣
教
学
目
标
1.知识目标
圆的极坐标方程的几种形式
2.能力目标
通过旋转去理解特殊的圆的方程形式
3.德育目标
体会并认识直接证明在数学中的作用
重点：圆的极坐标方程的几种形式
难点：通过旋转去理解特殊的圆的方程形式
教学流程：（包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展。）
对照我们之前学的直角坐标系旋转问题，极坐标系中也符合左加右减，对极坐标系来讲，我们学的圆的极坐标方程可以从极轴开始旋转，也就是方程 变化为 （左加右减）
同理，也可以从（a，π/2）开始旋转，对应方程由 变化为
三、质疑再探
你对以上知识还有什么疑问？就请大家大胆提出来我们共同讨论解决。
圆的极坐标方程
§4.3.1 圆的极坐标方程班别 学号 姓名评价【学习目标】(1) 理解极坐标方程的有关概念；(2) (2) 掌握如何求圆的极坐标方程，并且要求能把直角坐标系与极坐标系的圆的方程的的异同和内在联系找出来。
【重难点】 理解极坐标方程的有关概念。
【教学过程】一、课前预习并完成复习：阅读课本P12-13（学生自主完成）1、在直角坐标系．．．．．中，已知圆心C （a ，b ），半径为r ，则圆的方程为：2、在直角坐标．．．．系中，已知圆心是原点，半径为5，则圆的方程为：3、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，0），半径为3，则圆的方程为：4、在直角坐标．．．．系中，已知圆心C （1，2），且圆经过原点O ，则圆的方程为：二、新课讲授1、曲线极坐标方程概念：在极坐标系中，如果平面曲线C 上 的极坐标中 有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点 ，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
2、求曲线极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程类似，(1)建立适当的极坐标系；(2)找出曲线上的动点θρ的极径ρ和极角θ的相互关系；(3)设法用ρ和θ的方程表示这种关系；(4)化简并证明所得的方程是所求的极坐标方程。
求曲线极坐标方程关键是找出曲线上的点满足的几何条件。
常用解三角形的知识来建立ρ和θ的关系。
注意ρ和θ的取值范围与题设条件。
三、典型例题例1、在极坐标平面内，已知圆心)0,(aC，半径为r，求其极坐标方程。
例2、已知圆心O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？四、课堂练习1、在极坐标系．．．．中，求圆心在点C（3,0），且经过极点的圆的极坐标方程．．．．．。
π），半径为2的圆2、在极坐标系．．．．中，求圆心C（2, 2的极坐标方程．．．．．。
3、课本P15 1（1）（3）五、课堂小结常见圆的极坐标方程：(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程；(2)圆心在位于)0,(a C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；(3)圆心在位于)2,(πa C ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；六、课后作业在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：(1)圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； (2) 圆心在)23,(πa B ，半径为a 的圆。
高三数学教案 圆的极坐标方程公式
圆的认识•圆的定义：圆是一种几何图形。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。
小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。
它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。
•圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
圆—⊙；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；弧—⌒；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。
圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
经过极点的圆的极坐标方程
经过极点的圆的极坐标方程在极坐标系中，描述一个圆的方程通常采用极坐标方程。
本文将探讨经过极点的圆的极坐标方程。
首先，我们需要了解极坐标系的基本知识。
极坐标系是一种二维坐标系，由极点O和极轴组成。
极点O通常位于坐标系的中心，而极轴是从极点O伸出的射线。
极坐标系中，每个点都可以用极径r和极角θ唯一地表示。
一个经过极点的圆可以用极径r的方程表示。
设该圆的半径为R，我们可以得到以下极坐标方程：r = R上述方程描述了经过极点的圆的极坐标方程。
该方程表示，从极点出发到圆上任意一点的距离都等于该圆的半径R。
此外，我们还可以通过极角θ落在一个特定区间来限制圆的位置。
假设我们限定圆的极角范围为[θ₁, θ₂]，其中θ₁和θ₂为给定的角度值，那么可以得到以下极坐标方程：r = R, θ₁ ≤ θ ≤ θ₂上述方程表示，在给定的极角范围内，从极点出发到圆上任意一点的距离都等于该圆的半径R。
需要注意的是，由于极坐标系的特点，上述方程描述的是一个扇形，而不是一个完整的圆。
如果想要描述一个完整的圆，在极角范围上需要覆盖所有的角度。
让我们来看一个具体的例子。
假设我们要描述一个半径为5的圆，限定极角范围为[0, 2π]，可以得到下面的极坐标方程：r = 5, 0 ≤ θ ≤ 2π这个方程描述了一个半径为5的圆，它经过极点O，并且覆盖了0到2π的所有角度。
在极坐标系中，所有满足上述方程的点都属于这个圆。
总结一下，经过极点的圆可以通过极坐标方程来描述。
极坐标方程中，通过设置极径r的值来定义圆的半径，通过限定极角θ的范围来限制圆的位置。
通过合理选择极径和极角范围，我们可以描述出各种不同的圆。
希望本文能给读者带来对经过极点的圆的极坐标方程的理解和应用启示。
通过深入研究和实践，读者可以进一步探索极坐标系的应用，以及使用极坐标方程描述其他有趣的几何形状。
圆的极坐标方程
三者的形状和性质不同。圆的形状是固定的，而椭圆和双曲线的形状随离心率 e 的变化而变化。此外 ，三者在直角坐标系下的方程也不同。
感谢您的观看
THANKS
圆心与半径在极坐标中表示
圆心表示
在极坐标系中，如果一个圆的圆心不 在极点，而是位于一个已知的点(r0, θ0)，那么这个圆的位置可以由r0和 θ0来确定。
半径表示
半径a是圆心到圆上任意一点的距离， 在极坐标中可以通过比较r和r0来得出 。具体来说，对于圆上的任意一点P(r, θ)，有|r - r0| = a。
实例演示推导过程
以$(0,0)$为圆心、半径为2的圆为例
其直角坐标方程为$x^2 + y^2 = 4$。
转换到极坐标系
将$x = rhocostheta$和$y = rhosintheta$代入直角坐标方程，得到$rho^2 = 4$，即 $rho = 2$（$rho geq 0$）。
结论
以$(0,0)$为圆心、半径为2的圆的极坐标方程为$rho = 2$。
05
求解圆的极坐标方程方法 总结
代数法求解
方程形式：在极坐标系下，圆的方程通 常表示为 $r = acos(theta) + bsin(theta) + c$，其中 $a, b, c$ 为常 数。
利用二次方程的求解公式或配方法，求 解该方程得到圆心的坐标和半径。
求解步骤
将转换后的直角坐标方程代入圆的方程 ，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的二次方程 。
02
双曲线极坐标方程推导
通过双曲线的直角坐标方程和极坐标与直角坐标的转换关系，可以推导
出双曲线的极坐标方程。
03
双曲线极坐标方程特点
高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表 示．曲线与方程满足如下关系： 点的坐标 都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线 圆心在极点，半径 为r的圆 圆心为C(r,0)，半径 为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
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4
)
＝cos( - )
3
＝3 sin (4) ＝６
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
２ cos sin 1 0
3
cos 3
例3： 已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
例２： （１）直角坐标方程x y 2 x 3 y 0的极坐标
2 2
方程为＿＿＿＿＿＿＿ －２ cos
２
3 sin 0
（２）直角坐标方程2 x－y＋１ 0的极坐标 方程为＿＿＿＿＿＿＿ 方程为＿＿＿＿＿＿＿ （４）直角坐标方程x ３的极坐标 方程为＿＿＿＿＿＿＿ （３）直角坐标方程x 2 y 2 ９的极坐标
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ( ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为r；
＝r
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(a,０)，半径为a
＝2acos
＝2asin
＝２a cos( 0 )
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)
M
探 究
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
将下列直角坐标转化为极坐标 （1） （-1，3） （2） （-2，-2）
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
3 求两点间的距离. B
2
π 解：∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可.
A o
x
1.3简单曲线的极坐标方程
如图，在极坐标系下半径为a的圆 的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用 一个等式表示圆上任意 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标
2 2 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.曲线极坐标方程cos( -
x ( y 2) 4
6 标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
)=1化为直角坐
３ y20 x