简单曲线的极坐标方程优秀教学设计
《1.3 曲线的极坐标方程》教学案2
sin( ) 0 sin(0 )
(3) 圆心是 （ A 0 ， ， 半径 r 的圆的极坐标方程为 2 20 cos( 0 ) 02 -r 2＝ 0 ） 0 （4）圆锥曲线的极坐标方程：ρ = （5）极坐标与直角坐标的互化． ep 1 - ecosθ
（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。
四、板书设计
五、教后记
π （3）以（5，π ）为圆心，且过极点的圆； （4）以（ 2， ）为圆心，1 为半径的 4 圆。
3、将下列极坐标方程转化为直角坐标方程： （1） sin(
4
)3
（2） 5 sin(
6
)
（3） 2 cos2 16
(4)
6 1 2 cos
4、按下列条件写出椭圆的极坐标方程。 （1）离心率为 0.5，焦点到准线的距离为 6；
三、强化训练： 1．极坐标方程分别是 ρ = cosθ 和 ρ = sinθ 的两个圆的圆心距是____________. 2 ．已知直线的极坐标方程是 ρ sin(θ __________. 3．极坐标方程 4sin θ = 3 表示的曲线是________________________. 4．(2009 上海理)在极坐标系中，由三条直线 θ = 0，θ = 1 围成图形的面积是________. π 5．过点(1，0)且倾斜角为 的直线的极坐标方程是________________________. 4 6 ． 若 圆 C 的 方 程 是 ρ =2asinθ ， 则 它 关 于 极 轴 对 称 的 圆 心 方 程 为 ____________________， 它关于直线 θ = 3π 对称的圆的方程是_____________________. 4 π ，ρ cosθ + ρ sinθ = 3
简单曲线的极坐标方程教案
简单曲线的极坐标方程教案高二年级数学集体备课材料说课人:李德辉说课时间:2013-5-27构建高效课堂教学设计案(正页)高二年级数学学科课题简单曲线的极坐标系方程预讲授时间 2013年 5月 30 日第 1 课时授课类型新授课知识目标:进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法，掌握极坐标方程的意义教和掌握一些特殊位置下的圆和直线(如过极点或垂直于极轴的直线)的极坐标方程.能力目标: 学结合数学实例培养学生归纳类比推理的能力，培养学生逻辑推理能力.目情感目标:标通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识，辨析能力以及良好的思维品质。
教学重点求简单曲线的极坐标方程的基本方法教学难点求简单曲线的极坐标方程的基本方法教学方法学生自主探究为主，教师引导为辅三、简单曲线的极坐标系方程板一.圆的极坐标方程: 例1 例2 书设计二.直线的极坐标方程:学在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但情让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。
这点可采分取的措施是:小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。
析构建高效课堂教学设计案(副页)教学环教师活动学生活动节及时(教学内容的呈现及教学方法) (学习活动的设计) 间分配问题1、引例(如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为引领 ,0)(>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， (aa的极坐标(,,,)满足的条件, 4分钟学生观察、思考，教师引导，从而引出本节的课题，并给出概念2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗,自主曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线定义教师板书，强调含义构建 3分钟1.求以点为圆心，为半径的圆C的极aC(a,0)(a,0)学生依据所学知识进行小组合作合作解决相应问题，实现教学内容的探究坐标方程. 获得. 7分钟2.已知圆心的极坐标为，圆的半径为，M(,,,)r 00求圆的极坐标方程.点拨例1(求圆心在点(3，0)，且过极点的圆的极坐标学生独立思考回答，教师进提升方程.行纠错，并指导. ,7分钟 (4,)练习:1(求以为圆心，4为半径的圆的极坐 2 标方程. 2.已知一个圆的极坐标方程是 ,,53cos,,5sin,，求圆心的极坐标与半径., l【问题1】:求经过极点，从极轴到直线的夹角是 4合作 l探究的直线的极坐标方程.13分钟【问题2】:求过点A(a，0)(a>0)且垂直与极轴的学生在学习小组内部展开讨直线的极坐标方程. 论，教师指导，然后进行交l【问题3】:设点P的极坐标为(,,,)，直线过点P流展示. 教师板书，强调符号11 互相转换的方法 l, 且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程.【问题4】:在问题3中,如果以极点为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,那么直线l 的直角坐标方程是什么?比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程,你对不同坐标系下的直线方程有什么认识?, 例2(求经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方自主学生观察、独立思考回答，6构建程. 教师教师规范步骤.学生整理9分钟记忆.,3 练习:求直线的直角坐标方程. ,,(,,R) 4总结本节课你有哪些收获, 评价知识层面:思想层面: 学生总结归纳，教师提示补充.方法层面: 2分钟布置红对勾 A层 P9: 1-4 6-12P11: 1—3，6—13作业 B层 P9 :5，13，14 P11: 4，5，14总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
高中数学 1.3 简单曲线的极坐标方程教案 新人教A版选修4-4#优选.
三简单曲线的极坐标方程课标解读1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.1．曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．2．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ≤π2)圆心为(r，π2)，半径为r的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a(－π2<θ<π2)过点(a，π2)，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0<θ<π)1．曲线的极坐标方程是否惟一？ 【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不惟一．2．如何求圆心为C (ρ1，θ1)，半径为r 的圆的极坐标方程？【提示】 如图所示，设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O 、C 、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM 中，由余弦定理得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos∠COM ＝|CM |2，∴ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r 2，可以检验，当O 、C 、M 三点共线时的点M 的坐标也适合上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r ，圆心在C (ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)－r 2＝0.圆的极坐标方程求圆心在C (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin 5π6)是否在这个圆上．【思路探究】 解答本题先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．【自主解答】如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos(3π2－θ)，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0,0)，A (4，3π2)的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点(－2，sin 5π6)在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系(本题无需建)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．(2012·江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．【解析】直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】ρ＝2cos θ直线或射线的极坐标方程求过点A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．【思路探究】画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验【自主解答】法一设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ.在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，即ρsin3π4＝1sinπ4－θ，故ρsin(π4－θ)＝22，即ρ(sinπ4cos θ－cosπ4sin θ)＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.∵直线的斜率k＝tanπ4＝1，∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1，∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．若本例中条件不变，如何求以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？ 【解】 由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin(π4－θ)＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1(其中ρ≥0,0≤θ<π4)．极坐标方程与直角坐标方程的互化若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin(θ－π4)＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．【自主解答】 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin(θ－π4)＝0，得ρ(22sin θ－22cos θ)＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2,1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 1极坐标方程的应用 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．【思路探究】 建立点P 的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP |的最小值．【自主解答】 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即(x －32)2＋y 2＝(32)2，知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． 【解】 法一 如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连接CM .∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二 设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ① ∵M 是ON 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将它代入①式得2ρ＝8cos θ， 故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.(教材第15页习题1.3，第5题)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求点A (2，74π)到这条直线的距离．(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【命题意图】 考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解．通过极坐标方程和直角坐标方程之间的转化考查了知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识．【解析】 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 【答案】B1．(2013·安阳质检)下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A ．(12，π3)B ．(－12，2π3)C ．(12，－π3)D ．(12，－2π3)【解析】 点(12，－23π)的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos(－23π)＝－12.【答案】 D2．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ【解析】 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程．【答案】 C3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线【解析】 由题设，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线． 【答案】 C4．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．【解析】 由ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos 2θ＝3.又0≤θ<π2，则cos θ>0.∴cos θ＝32，θ＝π6，故ρ＝2 3. ∴两曲线交点的极坐标为(23，π6)．【答案】(23，π6)(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆【解析】 ρ＝cos(π4－θ)＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，∴ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 化简整理，得(x －24)2＋(y －24)2＝14，表示圆． 【答案】 D2．(2013·三门峡质检)过极点倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( )A ．θ＝π3B ．θ＝π3，ρ≥0C ．θ＝4π3，ρ≥0 D．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0【解析】 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π.∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．【答案】 D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 【解析】 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－π2)．【答案】 B4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝12 B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin(θ＋π3)D ．ρ＝4sin(θ－π3)【解析】 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切． 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·鹤壁调研)点Q 是圆ρ＝4cos θ上的一点，当Q 在圆上移动时，OQ (O 是极点)中点P 的轨迹的极坐标方程是________．【解析】 ρ＝4cos θ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P 的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cos θ.【答案】 ρ＝2cos θ6．(2012·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．【解析】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.【答案】 3三、解答题(每小题10分，共30分)7．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 【解】 在ρsin(θ－π3)＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)，因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N (233，π2)．(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标(0，233)．又P 为MN 的中点，∴点P (1，33)，则点P 的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．9．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求|PQ |的最大值．【解】 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36. ∴|PQ |max ＝6＋6＋332＋32＝18.教师备选10．(2012·大连模拟)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2，π3)，半径r＝1，P 在圆C 上运动。
2022年 《简单曲线的极坐标方程》优秀教案
简单曲线的极坐标方程谷杨华一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力．〔二〕学习目标1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．〔三〕学习重点1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．〔四〕学习难点1．求曲线的极坐标方程．2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务〔1〕读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程．2．预习自测〔1〕以下点不在曲线上的是A BC D【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D不满足方程【思路点拨】由极坐标方程定义可得【答案】D．〔2〕极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为A BC D【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为，依题意,所以选A【思路点拨】根据题意寻找的等量关系式【答案】A．〔3〕将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：①射线；②圆．【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为，代入可得又因为，所以射线在第三象限，故取θ＝错误!ρ≥0②将，代入，整理得【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得【答案】①θ＝错误!ρ≥0 ②．〔4〕极坐标系下，直线与圆ρ＝错误!的公共点个数是【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程ρco＝错误!，即＝错误!，所以直角坐标方程为＋－2＝0圆的方程ρ＝错误!，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为2＋2＝2因为圆心到直线的距离为d＝错误!＝错误!＝r，所以直线与圆相切，即公共点个数是1【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理【答案】 1二课堂设计1．知识回忆〔1〕极坐标系的建立：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系．〔2〕极坐标系内一点的极坐标的规定：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为有序数对叫做点的极坐标，记为．一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数．〔3〕把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度设是平面内任意一点,它的直角坐标是，极坐标是，那么：，，2．问题探究探究一结合实例，类比认识极坐标方程★●活动①类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线可以用方程表示．曲线与方程满足如下关系：1曲线上点的坐标都是方程的解；2以方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程表示呢？我们先看一个例子半径为的圆的圆心坐标为，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如为圆上除以外的任意一点，那么,所以在中，,即经验证，点的坐标满足上式于是上述等式为圆上任意一点的极坐标满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．那么这个点在曲线上【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将条件用曲线上的点的极坐标的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：1建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．2连接,根据几何条件建立关于极径和极角之间的关系式．3将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．4检验并确认所得方程即为所求．假设方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识．探究二探究直线的极坐标方程●活动互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的直线的极坐标方程如右图，以极点为分界点,直线上的点的极坐标分成射线射线两个局部，射线上任意一点的极角都为，所以射线的极坐标方程为：；而射线上任意一点的极角都是，所以射线的极坐标方程为：综上：直线的极坐标方程可以用和表示现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：假设，那么，我们规定点与关于极点对称这样就可以将的取值范围推广到全体实数于是在允许，那么上述直线的极坐标方程就可以写为：或【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点．探究三探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲●活动①稳固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为,半径为1的圆的极坐标方程是多少呢？如右图所示，设为圆上任一点，当三点不共线是，在中利用余弦定理可得即当三点共线时，点的坐标为或，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形正弦定理,余弦定理的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系【设计意图】稳固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备．●活动②强化提升、灵活应用还有没有其它方法来求解极坐标方程呢？根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即由于圆心在极坐标系下为，那么在直角坐标系下圆心，半径，所以圆的直角坐标方程为：，整理得：，因为，，代入直角坐标方程得化简得：【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系．活动③稳固根底，检查反应例1 极坐标方程表示A．直线B．射线C．圆D．椭圆【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】，所以曲线表示的是圆．【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断．【答案】C同类训练极坐标方程表示的曲线是A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】∵in＝，∴或,又∵，∴表示两条相交直线．【思路点拨】通过极坐标方程来判断．【答案】A例2 把以下直角坐标方程化成极坐标方程．〔1〕〔2〕〔3〕【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．【解题过程】〔1〕由，，代入直角坐标方程得，，即〔2〕由上同理可得：〔3〕【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕同类训练把以下极坐标方程化为直角坐标方程．〔1〕〔2〕【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．【解题过程】〔1〕由，，代入极坐标方程得，，即〔2〕由，等式两边同乘以得，所以，即：【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．【答案】〔1〕；〔2〕【设计意图】稳固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化．●活动4 强化提升、灵活应用例3 直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，得：把点的极坐标化为直角坐标，得：在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点到直线的距离，所以点到直线的距离为．【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题．【答案】．同类训练求极点到直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，得：把极点的极坐标化为直角坐标，得：在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点到直线的距离，所以极点到直线的距离为．【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题．【答案】．3课堂总结知识梳理〔1〕一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程．〔2〕求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点．②连接,根据几何条件建立关于极径和极角之间的关系式．③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．④检验并确认所得方程即为所求．假设方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．〔3〕假设，那么，我们规定点与关于极点对称．重难点归纳〔1〕求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形正弦定理,余弦定理的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．〔2〕极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρco θ，ρin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．〔三〕课后作业根底型自主突破1．经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程是〔〕A．B．C．D．【知识点】极坐标方程．【解题过程】将直线画在极坐标系中，易得选项D正确【思路点拨】根据根据图像进行判断．【答案】D．2．直线错误!－＝0的极坐标方程限定ρ≥0是A．θ＝错误!B．θ＝错误!πC．θ＝错误!和θ＝错误!πD．θ＝错误!π【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】由错误!－＝0，得错误!ρco θ－ρin θ＝0，即tan θ＝错误!，∴θ＝错误!和θ＝错误!π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝错误!和θ＝错误!π表示【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化．【答案】C3．极坐标方程co θ＝ρ≥0表示的曲线是．A．余弦曲线B．两条相交直线C．两条射线D．一条射线【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】∵co θ＝，∴θ＝＋2π∈Z．又∵ρ≥0，∴co θ＝表示两条射线．【思路点拨】利用三角函数图像可得．【答案】C．4．圆的极坐标方程ρ＝coθ－2inθ对应的直角坐标方程为A BC D【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】，所以即，所以选B【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】B．5．极坐标系内，点到直线ρco θ＝2的距离是________．【知识点】极坐标与直角坐标的转化．【解题过程】点的直角坐标为0，1，直线ρco θ＝2的直角坐标方程为＝2，故点0，1到直线＝2的距离是d＝2【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】2．6．在极坐标系中，A，B分别是直线3ρco θ－4ρin θ＋5＝0和圆ρ＝2co θ上的动点，那么A，B两点之间距离的最小值是________．【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3－4＋5＝0，圆的普通方程为－12＋2＝1，那么圆心1，0到直线的距离d＝错误!＝错误!，所以A，B两点之间距离的最小值为d－r＝错误!－1＝错误!．【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】错误!．能力型师生共研7．在极坐标系中，圆ρ＝－2in θ的圆心的极坐标是A BC．D．【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．【解题过程】由ρ＝－2in θ得ρ2＝－2ρin θ，化成直角坐标方程为2＋2＝－2，化成标准方程为2＋＋12＝1，圆心坐标为0，－1，其对应的极坐标为【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】B．8．在直角坐标系O中，以O为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与轴，轴的交点．1写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；2设MN的中点为2,0．当θ＝错误!时，ρ＝错误!错误!，∴点N2由1知，M点的坐标2,0，点N的坐标又N的中点，∴点2,0，N；2 θ＝错误!ρ∈R探究型多维突破9．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求直线与曲线的交点的极坐标．【知识点】极坐标方程的应用．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由得：，即：〔1〕当时，即时，〔2〕当时，即时，此时，即，所以不成立交点极坐标为【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．【答案】．10．椭圆的中心在坐标原点，椭圆的方程为：，分别为椭圆上的两点，且〔1〕求证：为定值；〔2〕求面积的最大值和最小值．【知识点】极坐标方程的应用．【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得错误!＋错误!＝1，即ρ2＝错误!，由于OA⊥OB，可设Aρ1，θ1，B错误!，那么ρ错误!＝错误!，ρ错误!＝错误!于是错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!所以错误!＋错误!为定值．2解析：依题意得到S△AOB＝错误!|OA||OB|＝错误!ρ1ρ2＝错误!·错误!＝错误!·错误!，当且仅当in22θ1＝1，S△AOB有最小值为错误!；当in22θ1＝0，S△AOB有最大值为错误!【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．有最小值为错误!，S△AOB有最大值为错误!【答案】〔1〕错误!＋错误!=错误!；〔2〕S△AOB自助餐1．过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是〔〕A．B．C．D．【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】如下图，在直线上任意取点，过作轴于，，所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找的关系式．【答案】B．2．极坐标方程分别是ρ=coθ和ρ=inθ的两个圆的圆心距是A D【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．【解题过程】:将方程化为直角坐标方程因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcoθ和ρ2=ρinθ∴22=和22=它们的圆心分别是,0、0,,圆心距是【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解．【答案】A．3．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2in θ上的两点A，B对应的极角分别为错误!，错误!，那么弦长|AB|＝________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离．【解题过程】A，B两点的极坐标分别为，化为直角坐标为故【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解．【答案】．4．曲线θ＝0，θ＝错误!ρ≥0和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积．【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线，圆，他们围成的是一个圆心角为，半径为的扇形，所以．【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．【答案】．5．把以下直角坐标方程与极坐标方程进行互化：12＋－22＝4；2ρ＝9in θ＋co θ；3ρ＝4；【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】1∵2＋－22＝4，∴2＋2＝4，代入＝ρco θ，＝ρin θ得ρ2－4ρin θ＝0，即ρ＝4in θ2∵ρ＝9in θ＋co θ，∴ρ2＝9ρin θ＋co θ，∴2＋2＝9＋9，即3∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴2＋2＝16【思路点拨】用公式＝ρco θ，＝ρin θ，ρ2＝2＋2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．【答案】〔1〕ρ＝4in θ；〔2〕；〔3〕2＋2＝16．6．在直角坐标系O中，直线C1：＝－2，圆C2：－12＋－22＝1，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1求C1，C2的极坐标方程；2假设直线C3的极坐标为θ＝错误!ρ∈R，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．【解题过程】：1因为＝ρco θ，＝ρin θ，所以C1的极坐标方程为ρcoθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρco θ－4ρin θ＋4＝02将θ＝错误!代入ρ2－2ρco θ－4ρin θ＋4＝0，得ρ2－3错误!ρ＋4＝0，解得ρ1＝2错误!，ρ2＝错误!故ρ1－ρ2＝错误!，即|MN|＝错误!由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为错误!【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用的几何意义求三角形的面积．【答案】〔1〕C1 ρcoθ＝－2，C2ρ2－2ρco θ－4ρin θ＋4＝0；〔2〕错误!。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》教案
(2)直角坐标方程2x－y＋１ 0的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿
(3)直角坐标方程x2 y2 ９的极坐标方程为＿＿＿＿＿
(4)直角坐标方程x ３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿
四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤．
五、课外作业：教材 P28 1，2
1．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C(3, ) ，半径 r 3 ， 6
）
4
A ( R) B 5 ( 0) C 5 ( R) D ( 0)
4
4
4
4
3、在极坐标系中，过点 A(2, ) 且与极轴平行的直线 l 的极坐标方程是 2
4、在极坐标系中，过圆 4cos 的圆心，且垂直于极轴的直线方程是
5、在极坐标系中，过点 A(2, 3 ) 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 4
4 l
4
x O
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
探究 2、如何表示过点 A(a, 0)(a 0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程，化为
直角坐标方程是什么？过点 A(a, 0)(a 0二、知识应用： 例 1、已知点 P 的极坐标为 (2, ) ，直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为 ，求直线
1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程
极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式:
二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(,)满足的条件？ 解：设 M (,)是圆上 O、A 以外的任意一点，连接 AM，
简单曲线的极坐标方程优秀教学设计
简单曲线的极坐标方程【教学目标】知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【教学重点】圆锥曲线极坐标方程的统一形式【教学难点】方程中字母的几何意义【教学方法】启发、诱导发现教学。
【教学过程】一、复习引入：1．问题情境情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？2．学生回顾（1）求曲线方程的步骤（2）两种坐标互化前提和公式（3）圆锥曲线统一定义二、讲解新课：1．由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线。
那么当0<e<1及e>1时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论。
2．圆锥曲线的统一方程设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系②设点③列出等式④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：（1）为便于表示距离，取F 为极点，垂直于定直线l 的方向为极轴的正方向。
（2）e 表示离心率，P 表示焦点到准线距离。
学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θρ= 3．圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状。
4．思考交流：学生讨论交流课本P18页的问题：当0<e<1时，方程（1）表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？当e>1时，方程（1）表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？2．例题讲解例题：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。
简单曲线的极坐标方程 说课稿 教案 教学设计
常见曲线的极坐标方程教学目标：1．掌握各种圆的极坐标方程；2．能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形．教学重点：极坐标系中根据条件求出圆的极坐标方程．教学难点：圆的极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．阅读课本12-13页回答下面问题⑴直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？⑵曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义⑶求曲线方程的步骤2．(1)如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？(2)曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？二、新知探究：思路分析：1．先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴2．把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来ρ、θ 即明确长度ρ与角度θ是哪一边， 哪一个角3．找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形4．利用三角形的边角关系的公式与定理列等式5．列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件6．引出指明极坐标方程的条件 三、建构数学 若圆心的坐标为M (ρ0,θ0)，圆的半径为r ，求圆的方程． 022********P()MOP MP =OM +OP -2OM OP cos . -2cos()0POM r ≠∆⋅∠-+-=ρρθρρρθθρ解：当时，设圆上任意一点为，，在中，由余弦定理知 可得 022200000=0=r ()-2cos()0r r -+-=ρρρθρρρθθρ当时，圆心位于极点，圆的极坐标方程是，亦满足上面的方程.故圆心为，，半径为的圆的极坐标方程是显然点P 的坐标也是它的解．运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程．M(,0)2M(r,)==22r ρθπρθ1.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标方程是 ；.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标2rcos rsi 程是 n 方 .四、数学应用：O MPρρr θ0θx(1)A(3,0) (2)B(8)2 (3)O C(-4,0) (4))6ππ例1 按下列条件写出圆的极坐标方程：以为圆心，且过极点的圆；以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆.（详细解答过程见教材P23）例2 求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程．变式练习：1．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程．2．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程．例3 已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径．五、课堂练习：1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=．3．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=．4．求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径．六、回顾小结：如何求圆的极坐标方程。
简单曲线的极坐标方程精品教案
5 来表示。
提问：曲线上的点的坐标都满足这个方 程吗？ 小结：“极坐标方程的曲线与曲线的极 坐标方程的定义”，非一一对应关系的 理解，因为极坐标系中点的表示法不唯 一，所以不需要曲线上的任意一点的坐 标都适合方程，只要求曲线上任意一点 都至少有一个极坐标适合方程即可，从 而曲线的极坐标方程也不唯一，还可以 思考，为了达到一一对应需要添加的条 件。 三、思考归纳，生成概念 定义：一般地，在极坐标系中，如果平
教学过程
教学步骤 一、情景引入 多媒体播放百岁山矿泉水广告（素材启 发自笛卡尔的爱情故事），引出极坐标 方程表示的笛卡尔心形线 二、探究问题，引出概念 问题 1、直角坐标系建立可以描述点的 位置在极坐标系是否也有同样作用？ 问题 2、直角坐标系的建立可以求曲线 的方程，极坐标系的建立是否可以求曲 线方程？ 思考：以极点 O 为圆心 5 为半径的圆上
3.情感、态度与价值观目标： 通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多 角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿 基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受 数学与生活的联系 ，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣 教学重点：圆的极坐标方程的求法
预习作业较容 易，学生通过 阅读课本能较 好完成
结合问题尝试 归纳，生成概 念
类比平面直角 坐标系中曲线 与方程的概 念，应能较好 给出极坐标系 中相应概念， 学生可能对定 义中“任意一 点的极坐标中 至少有一个满
设计意图 激发兴趣，引出极 坐标方程
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简单曲线的极坐标方程
内容和内容解析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修4-4）中第一讲《坐标系》第三节“简单曲线的极坐标方程”的第一课时。
解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创建。
牛顿坐标系就是现在的极坐标系。
极坐标系的创立为数学研究做出了巨大的贡献。
简单曲线的极坐标方程这一节是本讲的重点内容，是选修4-4的重点，也是高考选考内容中的考察内容之一。
极坐标方程在实际生活中有着较广的应用，同时也是学生锻炼提高数学能力的良好题材，它蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、转化与化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
目标和目标解析
1.知识与技能目标：
理解曲线极坐标方程的概念；了解与曲线直角坐标方程的异同；掌握求曲线极坐标方程的步骤；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。
掌握圆的直角坐标方程和极坐标方程的互化，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形并进行有关计算
2.过程与方法目标：
通过对预习作业中问题的探究体会类比、从已知推测未知、从特殊到一般的数学思想方法；通过对简单曲线的极坐标方程的求解和其几何意义的探讨，培养观察、分析、比较和归纳的能力；通过不同坐标系的选择感受转化与化归的思想方法；通过极坐标方程与其几何图形的对应，体会数形结合的思想方法
3.情感、态度与价值观目标：
通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受数学与生活的联系，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣
教学重点：圆的极坐标方程的求法
教学问题诊断分析
高二学生，知识经验正逐步成熟，形成了适合自己的一套学习方法，有较强的演绎推理能力和数形结合的能力，具有较好自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，学生之前已经学习了极坐标系，现在基本会极坐标和直角坐标的互化，也会求曲线轨迹方程的步骤，具备了数形结合思想。
在圆的极坐标方程推导中，要用到三角函数知识，关键是利用直角三角形边角关系建立起坐标变量间的关系，如何合理作图构造恰当的三角形是关键，因此在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验作图的关键，另外，特殊点极坐标的选择和检验也是理解难点。
本节课需要学生小组合作探究学习，因此之前的学习小组分配很关键，小组间的配合也有影响课堂进度，教师分组时引起注意。
教学难点：对不同位置的圆的极坐标方程的理解
教学支持条件分析
课堂上需要学生小组讨论，合作学习。
配合班级管理把班上同学分成六个学习小组，围桌而坐，组建原则是：“组间同质、组内异质”, 根据学习能力、兴趣倾向、交往技能、守纪情况、性别比例及座位的安排等合理搭配
根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用：
利用多媒体播放短片引起兴趣，利用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持；利用实物投影仪，直接投影学生小组讨论的解题思路、解题过程，学生上台分析时也可直接投影自己的答题过程不用板书节约时间
教学过程
的点都在这个圆上。
说明：（1）由于平面上点的极坐标的表
为
方程变形对于例题2（1）
最后化简时两
边同时除以变
通过比较这些图形
在极坐标系和平面
直角坐标系中的方
附：
（一）关于心形线的爱情故事
《数学的故事》里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事。
笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，
1656年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。
几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。
跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。
从此，他当上了小公主的数学老师。
小公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己研究的新领域--直角坐标系。
每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，小公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。
笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。
笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a(1-sinθ）。
国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。
公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。
这也就是著名的“心形线”。
国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人间。
据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。