数值流形元法研究进展与展望
《2024年流形学习算法数据适用性问题的研究》范文
《流形学习算法数据适用性问题的研究》篇一一、引言随着大数据时代的来临，数据分析和处理已成为各领域研究的重要一环。
流形学习作为一种新型的非线性降维方法，在处理复杂数据时展现出强大的能力。
然而，流形学习算法在数据适用性方面仍存在诸多问题。
本文旨在研究流形学习算法在数据适用性方面的问题，分析其存在的挑战和解决方法，以期为相关研究提供有益的参考。
二、流形学习算法概述流形学习是一种基于流形结构的降维方法，通过寻找高维数据在低维流形上的投影，实现数据的降维和可视化。
流形学习算法包括局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射、等距映射等方法，具有优秀的非线性降维能力，能够有效地揭示数据的内在结构。
三、流形学习算法数据适用性问题尽管流形学习算法在非线性降维方面表现出色，但在实际应用中仍存在数据适用性问题。
这些问题主要表现在以下几个方面：1. 数据分布问题：流形学习算法假设数据分布在低维流形上，当数据分布不满足这一假设时，算法的性能会受到影响。
例如，当数据具有复杂的分布或噪声干扰时，算法的准确性会降低。
2. 参数设置问题：流形学习算法中涉及许多参数设置，如近邻数、核函数等。
这些参数的设置对算法的性能具有重要影响。
然而，目前尚无有效的参数设置方法，往往需要依靠经验或试错法，导致算法的稳定性和可解释性较差。
3. 数据量问题：流形学习算法在处理大规模数据时，计算复杂度较高，容易陷入过拟合。
此外，当数据量不足时，算法的降维效果可能不理想。
4. 实际应用问题：不同领域的数据具有不同的特性和需求，如何将流形学习算法应用于具体领域，解决实际问题，仍需进一步研究。
四、解决方法与策略针对流形学习算法在数据适用性方面的问题，本文提出以下解决方法与策略：1. 改进算法适应性：针对不同类型的数据分布，可以尝试改进流形学习算法的适应性。
例如，采用更灵活的核函数或引入其他降维技术来提高算法的鲁棒性。
2. 优化参数设置：针对参数设置问题，可以尝试采用自动调参技术或贝叶斯优化等方法来优化参数设置，提高算法的稳定性和可解释性。
数值流形方法
Ti x, y Di
i 1
n
定义在物理覆盖Ui上的覆盖位移函数ui(x,y),vi(x,y)可以是常量、线性的、 高阶多项式或局域级数，用权函数wi(x,y)连接在一起。
wi x, y 0
wi x, y 0
xU j
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( x, y ) U i ( x, y ) U i
0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) d i.2 j
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数值流形方法
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数值流形方法
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单元e的整体位移函数
ue ( r ) x, y ux, y q we ( r ) x, y v x, y r 1 ve ( r ) x, y
一般级数函数
设物理覆盖数为n，每个物理覆盖有2m个未知数。 Di为覆盖i待求位移变量{di1 di2 … dim }。 Fi为i覆盖分布到2m个位移变量上的荷载{Fi1 Fi2 … Fim } 。 Kij是刚度矩阵子矩阵，为2m× 2m阶矩阵。
19 2012/9/27 数值流形方法 20
ui ( x, y ) m f ij ( x, y ) vi ( x, y ) j 1 0
总体位移函数
ui x, y n m ux, y n wi x, y Tij x, y Dij v x, y i 1 vi x, y i 1 j 1
ui x, y vi x, y
( x, y ) U i ( x, y ) U i
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Te ( r ) j x, y De ( r ) j
q m r 1 j 1
流形学习研究现状分析
流形学习研究现状分析作者：张韬来源：《中国科技纵横》2019年第14期摘要：流形学习的目的就是对高维样本点集进行非线性降维，从中挖掘出样本点集的有效特征。
本文主要对流形学习算法的研究现状进行分析，从中指出其存在的潜在问题，以及对未来的研究方向进行分析探讨。
关键词：流形学习;样本点集;降维;算法中图分类号：TP181 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）14-0203-030 引言随着社会的发展，目前已经进入到数据时代，大数据这个概念被很多的人所认识。
数据时代我们面临的数据量越来越大，且数据的复杂度越来越高。
这样存在一个很突出的问题，当我们对大数据进行处理时，会造成处理的时间及成本代价很高。
另外，通常在对数据进行学习之前，需要对数据进行预处理，即对数据进行清洗。
所谓清洗，就是将无用的信息剔除掉，将有用的信息保留。
常用的方法就是对数据集进行特征提取，根据学习的需求，从中提取有用信息。
通常情况下，数据点集的维度很高，每个维度都表示数据的一个特征，从多个特征中提取少量特征，其实质就是对样本点集进行降维。
常见的降维方法有线性降维算法，其主要目的是通过学习一个线性降维映射，将高维样本点集投影到低维空间。
常见的线性降维算法有P C A [ 9 ] 、MDS[8]、LDA[10]。
主成分分析法（PCA）是最著名的线性降维算法，其采用统计学的思想，通过构造样本点集之间的协方差矩阵来分析样本点的分布特点。
通过对协方差矩阵进行特征值分解，按照特征值的大小对特征向量进行排列。
最大的特征值所对应的特征向量表示第一主成分，它表明，样本点集沿着此方向分布最多。
依次可以构造第二主成分，第三主成分等。
通过这样的方式，可以达到对样本点集进行降维的目的。
多维尺度分析（ M D S ）是另一类比较经典的线性降维算法，其采用几何学的知识，希望在降维过程中保持高维样本点之间的欧氏距离，也就是说降维后，低维样本点之间的欧氏距离与对应的高维样本点之间的距离保持一致。
流形概念的演变与理论发展
流形概念的演变与理论发展一、引言流形是20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。
在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。
〔1〕53 物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。
从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是&dquo;软”的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形（该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入）的原因。
流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。
目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。
二、流形概念的演变流形概念的起源可追溯到高斯( C.F.Gauss,177-71855 ) 的内蕴几何思想, 黎曼(C.F.B.Riemann,18261866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。
随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔(H.Weyl,18851955)给出了流形的严格数学定义。
1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。
1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。
中国流变学研究的现状及对策
中国流变学研究的现状及对策1.引言中国流变学研究的现状及对策1.1 概述流变学是研究物质变形和流动行为的学科，广泛应用于化工、材料科学、地质等领域。
随着科学技术的进步和工业化的发展，中国流变学研究也逐渐取得了显著的进展。
本文将探讨中国流变学研究的现状，并提出相应的对策。
首先，需要了解流变学的定义和发展。
流变学研究的对象是物质的变形和流动行为，通过研究物质的力学行为，揭示物质内部结构和相互作用关系。
流变学的发展经历了多个阶段，从最初的粗略描述到如今的精确计算，涵盖了实验研究、数值模拟和理论研究等多个方面。
其次，回顾中国流变学研究的历史。
中国在流变学研究方面具有悠久的历史，早在古代的冶金、陶瓷工艺中就积累了丰富的经验。
但是，在现代科学技术的发展和国际交流的背景下，中国的流变学研究相对滞后。
直到20世纪80年代，中国开始引进流变学的先进理论和技术，逐渐在这一领域取得了突破。
鉴于中国流变学研究的现状，我们需要采取一系列对策来推动其发展。
首先，加强基础研究是关键。
基础研究是科学发展的基石，只有深入探究物质的流变行为机制，才能为应用研究提供坚实的基础。
其次，提高科研机构和人才培养水平也是必要的。
科研机构应积极投入流变学研究，提供必要的设备和资源支持。
同时，培养和吸引人才也是关键，通过建立流变学专业的学术机构，开展流变学相关课程和培训，培养更多的专业人才。
综上所述，中国流变学研究在过去几十年里取得了显著的进展，但与国际先进水平还存在一定差距。
只有加强基础研究和提高科研机构和人才培养水平，才能不断推动中国流变学在科学研究和应用领域的发展，并为国家的科技创新做出更大的贡献。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面:1.2 文章结构本文将分为引言、正文和结论三个部分进行讨论。
在引言部分中，将首先概述流变学的概念和研究领域的发展。
然后介绍本文的目的，即探讨中国流变学研究的现状及对策。
正文部分将分为两个主要部分：现状和对策。
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究数值流形方法是一种通过构建流形来描述复杂系统动力学行为的数值模拟方法。
在岩土工程中，由于岩土材料的非线性、非均质性和随机性，传统的有限元方法在求解复杂问题时存在一些局限性，例如需要大量的计算资源和时间。
而数值流形方法通过对系统的几何结构和动力学特性进行建模和分析，能够更加准确地刻画岩土系统的复杂行为，极大地提高了数值模拟的效率和精度。
数值流形方法在岩土工程中的应用主要包括岩土材料的力学行为分析和岩土体的动力响应预测。
在岩土材料的力学行为分析方面，数值流形方法能够更加准确地模拟岩土的变形、破坏和强度特性，为岩土工程设计和施工提供更为可靠的理论依据。
而在岩土体的动力响应预测方面，数值流形方法能够模拟地震、波浪等外界荷载下岩土体的动力响应，为岩土工程中的地震设计、海岸防护等提供重要的参考依据。
数值流形方法在岩土工程中的研究进展主要集中在两个方面。
一是数值流形方法的理论基础研究，包括流形构建算法、流形表征理论、流形降维方法等方面的深入研究；二是数值流形方法在岩土工程中的应用案例研究，包括针对不同岩土体的数值模拟分析、数值流形方法与其他数值模拟方法的比较研究等方面的实践案例。
数值流形方法在岩土工程中的应用和研究面临一些挑战和问题，需要进一步深入探讨。
一是数值流形方法的建模精度和计算效率问题，尽管数值流形方法在理论上具有很高的建模精度，但是在实际应用中常常需要消耗大量的计算资源和时间，需要进一步改进和优化算法；二是数值流形方法与传统数值模拟方法的融合问题，尽管数值流形方法在岩土工程中的应用已经取得了一定的成果，但是与传统数值模拟方法相比还存在一定的局限性，需要进一步研究如何将两者结合起来，充分发挥各自的优势。
岩体工程数值模拟新方法——数值流形法(NMM)
２ 数值流形法 的基本原理
数值 流 形法 是一种 基 于有 限覆盖技 术 的数值 方法 。有 限 覆 盖 包括 数学 覆盖 和物 理覆 盖两 层含义 ，数 学覆 盖是 数值 流 裘
收稿 日期 ：２ ０ － ６ ０ ０７０—５ 作者简介 ：李学辉 （ ９ ９ ） １６ 一 ，男，汉 ，内蒙古卓资人 ，学士 ，丁 程师 ，研究方 向地质矿产 勘察 。 ＝
简 要评价 关键 词 ： 岩体 工程
中 图分 类号 ： ４ ６ １ Ｕ １．
数值 模 拟 数 值分 析 法 数值流形 法
文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ： ６ ３ １ １ （０ ７ ０ － ０ ２ ０ １７—８ ６２ ０） ３ ０２ －５
１ 引 言
传统的岩体工程稳定性分析方法可以分为两大类：一类把岩体视为连续体 ，片弹性力学及塑性 Ｊ
Ｖ （， ） ３ＸＹ
对流 形 单元 法 ，覆盖 函数 为常 量 即为常 规有 限元 ，覆 盖 函数 一般 可选 为完 备 坐标 一 次式 、二 阶
式或 一般 级数 形 式 。完 备 一 次式形 式 为 ：
ｄ， ｄ，
ｆ ，） 『 ０ ０ ０ ］ － Ｘ Ｙ ］ｄ， １
维普资讯
第６ 第３ 卷 期 ２０ 年 ９ ０７ 月
石家庄铁路职 业技 术学院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ Ｊ ＡＺＨＵＡＮＧ Ｓ Ｉ ＨＩＩ Ｉ Ｔ ＴＵＴＥ ＯＦ ＲＡＩ Ｗ ＡＹ ＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｎ Ｌ Ｔ
ｖ（Ｌ． ． ） ６ＮＯ ３
料 区域 的交 接面 等 ）两 者组 成 ，它 是不连 续缝 对数 学覆 盖 的再 剖分 ，Ｊ 数学 语言 米 讲就 是数 学 ｝ ＿ ｆ ｊ
与物 理 材料 场 的交 集 。流形 单元 是指 物理 覆 盖 的公共 区域 ，材 料边 界 内的每 一 点都 在某 …流形 。 ． 内。以下 为一 个数 学覆 盖 、物 理覆 盖 、流形 单元 的划 分实 例 ，可 以看 出 ，模 型 中含 ６个数 学 覆 羔
数值流形方法
数学覆盖和物理网格
数学覆盖 由用户选择，由占整个材料体的许多有限重叠覆 盖组成，如常规的网格、规则的格子、有限元的 网格等。数学覆盖只定义解的精度。 物理网格 作为实际的材料边界，定义其积分区域。包括材 料体的边界、裂缝、块体和不同材料区域的交界 面，不变化的水面也是物理网格的一部分。 物理网格代表材料条件，不能人为地选择。
wi x 0
wi x 0
xU j
x Ui x Ui
w j x 1
权函数的含义是加权平均，它对所有含x的物理覆盖Ui取每个覆盖函 数ui(x)的百分数。
9 2012/9/27 数值流形方法 10
2012/9/27
数值流形方法
总体函数
流形方法中，覆盖函数独立地建立在单个物理覆盖上， 然后将局部位移函数用权函数加权连接在一起，形成总体 位移函数。 覆盖函数可以是常数、线性函数、非线性函数等； 权函数可以是线性函数，也可为非线性函数。由它们的 不同组合可得到不同的总体位移函数。
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0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) di ,2 j
数值流形方法
荷载矩阵的组成
荷载矩阵F由初应力矩阵、点荷载矩阵、体荷载矩阵、速 度矩阵及接触矩阵等组成。 初应力矩阵： {Fe ( r ) }
一般覆盖的惯性矩阵和速度矩阵
令 (u(x,y,t) v(x,y,t))T表示为单元e的任一点(x,y)与时间相关的位移，M为单 位面积的质量
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Te ( r ) j x, y De ( r ) j
q m r 1 j 1
q
一阶函数
Te ( r ) x, y De ( r )
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NMM > PUM + XFEM + …
• NMM无网格依赖性，但是XFEM有；
• NMM能够以统一且更加优雅的方式来求解连续和非连续，小变形和大 位移，但是XFEM仅能适用于小变形裂纹扩展的模拟。
NMM的唯一问题是难以融合进现有的商用软件，因此有一 个开放度很高的公共平台，就显得非常重要。
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法
A2 A1
K cc K ec
K ce c=通常自由度；e=增强自由度 K ee
Kcc 正比于 A ；Kce 和Kee 中的部分元素正比于 A1 ；另一部分正比于 A2。 A1 >> A2 导致单刚病态和网格依赖性
被裂纹所切割的单元
K1
NMM的单刚
= 大单元
K 2 = 小单元
p
连续到非连续、从小变形到大变形的统一求解。任 何时候都可以生成物理网格
什么是数值流形元法
有限元覆盖：数学网格和物理网格
原则上，可以采用任何方式来生成数学覆盖，但迄今为止，几乎所有的关 于NMM的研究和应用都是基于有限元网格来生成数学覆盖的。在布置数 学网格无需使其与区域相匹配。物理网格是数学网格与区域求交和得到的
kp ，可将解指定为多项式
Vkp V kp
而在奇异片上 kp，用能反映解的奇异特性的函数来构造近似解
m 1 2 uk P a ck cos / 2 ck sin / 2 m 1 2 v P b d cos / 2 d k k sin / 2 k
节点影响域
含多个自由面的无压渗流问题
节点
NMM在渗流力学中应用一个简单例子
分界线 节点太少引起差 值精度损失设置 失败
k=10
分界线 这个区域采用域内 和域外的节点进行 插值，保证了插值 精度，简化了程序 d
FS
10
k=1
节点
d
FS
2 2.5 2.5
w
(a) Node configuration in EFG
现有方法是通过变换，将扭 结后面的裂纹变换成与前沿 裂纹同在一条线上—没有必 要，而且实际上错了
扭结裂纹四个基函数的图像
r sin
2
r cos
2
3 r sin 2
3 r cos 2
NMM在模拟强奇异性问题时的网格无关性
NMM总是利用最高质量的网格来进行计算，但是裂纹扩展过 程中，裂纹相对于网格会出现各种非常奇异的情况。为了再 现这些奇异情况，我们令裂纹体不动，而仅对数学网格做刚 体旋转和平移
多裂纹扩展问题的模拟，三维破裂分析
什么是流形
流形（manifold）是Rn中的一个子集，是 R3中曲线和曲面在高维空间中的 推广。这个子集通常难以用单一参数方程组来表达，而必须借助于对子集 进行分段采用分段参数方程组来表示。
流形例子 t s
• 欧式空间或其子集（满足一定条件） • 地球 • 非线性方程组 f x; y 0 所决定的点集（属于RnRm）；其中, f : RnRm Rn 为向量值函数（秩n）
NMM的目标
NMM的目标是以统一的方式求解连续和非连续问题。物体 （求解对象）可以在布满整个空间的格子中飞行，可以发生 大变形甚至破裂
有限元覆盖
什么是数值流形元法
NMM 由三部分组成:
• • • 覆盖系统：数学覆盖和物理覆盖 单位分解 NMM 空间 数学片
1. 覆盖系统之数学覆盖
为了统一求解连续喝非连续问题，NMM引入了两套覆盖 ：数学覆盖和物理 覆盖。 数学覆盖由若干个简单形状的区域（片）组成的, im , i = 1, …, n m 。所有这些 片 im 合在一起覆盖整个区域 。数学覆盖定义了插值精度，在布置数学覆 盖时，无需关系区域 的具体细节。
什么是数值流形元法
1. 覆盖系统之物理覆盖
物理覆盖是由一系列物理片组成的，而物理片是通过将各数学片与区域的 组件进行求交运算后得到的。区域组件包括：边界、材料分界线、不连续面， 等等。 表示从数学片 p j i 生产的第 j个物理片。 im
奇异片
什么是数值流形元法
流形单元
几个物理片的公共部分被称为一个流 形单元，它是能量积分的基本单元
什么是数值流形元法
NMM 空间
一旦得到了各个物理片上解的表现形式，我们就利用权函数 将这些局部形式连接起来构成整个区域上的解的表现形式
n p p V wkVk v v vk wk , vk Vk k 1 正是由于数学网格和物理网格的分离，才实现了从
挠度对比
Zienkiewicz薄板单元—第一个板单元
NMM在渗流力学中应用
由MLS节点影响域所构成的数学覆盖
移动最小二乘法（MLS）是用来处理空间散乱数据点的一种插值技术，具有 再现基函数的良好特性，近年来被用于无网格伽辽金法（EFG）。在NMM中 采用MLS的节点影响域来构成数学覆盖，可以克服有限元覆盖所导致的线性 相关，且精度更高，更适用于求解自由边值问题。
0 -0.5
Deflection (0.001)
Hale Waihona Puke -1Analytical NMM (0.1) Shell63 (0.1) NMM (0.069) Shell63 (0.069)
-1.5
-2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
收敛
不收敛
椭圆形板
Horizontal ordinate
—线性相关问题 • 对于任何基于单位分解的数值方法，当采用高阶多项式作 为局部逼近时，所得到的总纲方程组是线性相关的—一个 “钉子”问题
Kd = p
• 通过压制与梯度有关的自由度，可以得到一个变分提法
1 1 1 1 T 2 2 v ε σd n ku vn dS t ku vt dS 2 2 Su 2 Su 2
Duffy Transformation
y v t
Iso-parametric Transformation
r x 雅克比带因子 r u s
实现更简单，精度更高；还可推广至3D边界元法
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法 —扭结型裂纹问题
+
kink tip
(r, )
+ –
–
幅角取值约定 将整个片视为上下两岸，位于下 岸的点的幅角取负值(2, 0)位于 上岸的点的幅角取正值(0, 2) 经过上述处理，计算精度高多了
结构化网格的局部加密
高度奇异
多尺度裂纹
当同一物理片包含一个短 裂纹时无解析解可供利用， 需加密网格，使得任何一 个片都只包含裂纹的一部 分
Local incompatible mesh refinement with structurized meshes – basic idea
In a coarse element, the displacement vector u at any point of the element can be expressed as u = Nd Denote by {E} the collection of elements to be refined; by {dE} the collection of the finer elements, and by d1 the set of inner nodes of {dE}. We can enrich the displacement mode of the coarse element by u = Nd + N1d1 Then, N1d1 is a piecewise polynomial having homogeneous boundary condition, with no variational crime.
2
t S
2 k nt dS v T pdS S
基于上述变分提法的所导致的K的亏秩数将大幅降低，然后 基于秩-1修正算法，即可高效稳定求解线性相关方程组， 从而将“钉子”拔出了一半：迭代法求解器商有待开发。
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法
—1/r奇异积分问题
在计算应力强度因子时，会遇到带有1/r的奇异性的 数值积分，需要通过适当的变换消除奇异性之后， 在应用Gauss积分
什么是数值流形元法
2. 单位分解
假定我们已有了物理覆盖 kp , 对于每个物理片都有一个权 函数 wk r ，它们满足
wk r 0 , if r
p k
w1 2
w11
0 wk r 1 , if r kp
w22
wk r 1 , if r
两个单元自由度不耦合无网格依赖性
NMM在结构力学中的应用
NMM空间的Hermit形式
在有限元发展史上，为了克服协调元精度低、收敛慢，曾有众多学者开展过 非协调元的研究。这些非协调元的共同特点是当采用规则网格时能通过分片 检验，具有良好的数值特性，但对于任意形状的网格则精度很差。为了通过 分片检验，曾采用过各种技术，较典型的有缩减积分等等。 NMM正是主张用规则格子进行分析，因此采用NMM时无需对非协调元的插 值方式做任何修改，即可获取很高的精度。
k 1
np
w21
wk r 被称为从属于 kp 的单位分解 。
微分几何中的单位分解定理，确保了wk r 的存在。
w13
w23
什么是数值流形元法
3. NMM 空间
与有限元相比，NMM更加关注解在片上的行为 在一个不含奇异性的普通片上