14.2.2 正比例函数的图象
1421正比例函数的图象
B. m> 1 2
C. m<2
D. m 0
巩固训练4 探究
• （和１ｙ）＝在 同1一ｘ直的角图坐像标，系请中你，用画量出角正器比度例量函一数下ｙ这＝两２条ｘ直 线的交角，2你会发现什么现象？
• （２）在另一个坐标系中，画出正比例函数ｙ＝３ｘ和 ｙ＝ 1 ｘ的图像，你发现同样存在（１）中的现象 吗？ 3
y=2x
3
2
1
-4 -3 -2 -10 -1 -2
1234
-3
第三步：把这些点依次连接起-4来，得到y=2x的图象.
函数的图象的概念：
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系 内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫 做该函数的图象.
分组活动：
作函数y=-2x，y=
14.2正比例函数的图像及 性质
上网的费用为2元/小时， 则上网x小时，费用y是多少元？
y=2x
它是什么函数？
例：画出正比例函数y=2x 的图像
解：第一步：列表
x … -2 -1 0 1 y … -4 -2 0 2
2… 4…
第二步：描点（以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标中
描出相应的点）
4
限，从左向右上升，即ｙ随ｘ的增大而___减；小
巩固训练１
• １正比例函数ｙ＝－４ｘ必定经过第＿二 和
•
第＿四 象限，且ｙ随ｘ的增大而＿减＿小＿．
• ２当ｍ＿＜＿2 ＿ 时，正比例函数 • ｙ＝（2ｍ－４）ｘ中ｙ随ｘ的增大而增大．
• ３图像经过点（１，２）的正比例函数的 • 表达式为＿ｙ＿＝＿2ｘ
Hale Waihona Puke 巩固训练２（2）y= 3x
正比例函数的图像和性质演示文稿
（1）y =2x 是
（2）y = x+2 不是
（3）y x 是 3
（4）
y
3 x
不是
（5）y=x2+1 不是 （6） y 1 1 不是 2x
第四页，共23页。
（1）若 y =5x 3m-2 是正比例函数， 则m= 1。
（2）若 y (m 2)x m2 3 是正比例函数，
则 m = -2 。
从左向 y随x的
k 0 点的
一、三 右上升 增大而
直线
0x
增大
k 0
过原 y
点的
直线 0
从左向 y随x的
二、四 右下降 增大而
x
减小
第十二页，共23页。
通过以上的学习，画正比 例函数有无简便的方法呢
？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时 我们只需要描点（0，0）和点（1，k），然后 连线即可。
和性质。
第二十三页，共23页。
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 12-
345-
12345
(k＜0)
x
当k＜0时, y=kx也是一条经过原点的直线， 且直线从左向右下降，经过二、四象限，
即y随x的增大而减小。
第十一页，共23页。
函数
图
y kx(k 0) 象
示意图 直线经 直线的 性质
（草图）
过的象 限
变化趋 势
过原 y
第五页，共23页。
现在我们已经知道了正比例函 数y=kx(k ≠0)的定义和画图象 的步骤，那么正比例函数的图 象有什么特征呢？
第六页，共23页。
画正比例函数 y =kx (k≠0)的图象
k ≠0可分为k＞0和k＜0
正比例函数课件
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
THANKS
感谢观看
日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
正比例函数图象与性质精选.ppt
.精品课件.
20
1.如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：
⑴谁走得快？
⑵求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围 ⑶当t= 4时，甲、乙两人行程相差多少？
s（千米）
15
10
5
甲
乙
0
j1 2 3
.精品课件.
t（小时）
21
已知直线y=(a-2)x+a2-9经过原 点，且y随x的增大而增大，求y 与x的关系式.
.精品课件.
4
思考
通过以上学习，画正比例函数图象有无简便 的办法？
y
y= 1 x 2
y= 1 x y
1
2
2
01
x
.精品课
如何画正比例函数的图像？
因为正比例函数的图像是一条直线，而两 点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两个点， 然后过这两个点画一条直线
.精品课件.
6
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
(
①
C
)
x
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.精.品b课>件.c>a
15
做 一
已知正比例函数当自变量x等于-4时，函数y 的值等于2。
（1）求正比例函数的解析式和自变量的
做 取值范围；
（2）求当x=6时函数y的值。
解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx, 设
把 x =-4, y =2 代入上式，得 2 = -4k 代
(3) y 2 x
y二随、x的四增象大而限减小
3
.精品课件.
正比例函数的图像及性质
2、当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降 ，即y随着x的增大而减小.
3、当︱k︱值越大时，图象的倾斜度越大.
Teaching Process
教学过程
课前准备
课堂实施
课后提升
学以 致用 ， 能力 提升
1、正比例函数的图象经过第 象限，y值随x 的增大而 ． 2、已知正比例函数y=(2a+1)x，若y的值随x的 增大而减小，求a的取值范围。 3、已知点A（-5，a）,(-2,b)都在直线y=－5x上 ，则a与b的大小关系是 4、滑车以每分15米的速度匀速从轨道的一端滑 向另一端已知轨道的长为7米。 （1）求滑车滑行的路程 S（米）和滑行时间 t （分）之间的关系式和自变量t的取值范围； （2）画出图象； （3）根据图象说明当 t 增大时，S随着增大还 是减少？ 设计意图：通过练习反馈教学，内化知识
Teaching Process
教学过程
课前准备
课堂实施
课后提升
活动-1 巩固提升
让学生完成下 题: 1、在以下函数中 y=x/3, y=-3/x,y=2x, y=-1/2x+1,y=x+1,y=(a+1)x-2哪些是正比 例函数？ 2、2m-3是正比例函 数，求m的值。 2、已知y=-3x
目 录 CONTENTS
教学分析
Teaching Analysis
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学策略
Teaching Design
教学过程
Teaching Process
4
作业，板书
Teaching Refletion
1
3
主板
正比例函数的概念 正比例函数的性质 画图像 练习
正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
正比例函数(共8张PPT)
在同一直角坐标平面内，分别画出下列函数的图像：
从上面的操作，画函数图像的步骤可以归纳为几个方面呢？
这条直线是函数y=2x的图像，也把它表示为“直线y=2x”.
2
根据正比例函数的图像特点，完成填空.
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.
这条直线是函数y=2x的图像，也把它表示为“直线y=2x”.
函数y=-2x的图像与y=-2x的图像有哪些相同的特点？
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y-4=kx.
-2
O
2
4x
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.
-2
-4
第5页，共8页。
函数y=-2x的图像与y=-2x的图像有哪些相同的特点？
y
y=2x
4
y=-2x
y 4
对于一个函数y=f(x)，如果一个图形（包括直线、曲线或其他图形）上任意一点的坐标都满足函数关系式y=f(x)，同时以这个函数解析式所确
这条直线是函数y=2x的图像，也把它表示为“直线y=2x”.
这条直线是函数y=2x的图像，也把它表示为“直线y=2x”.
按照画函数y=2x的图像操作的步骤，画函数y=-2x的图像.
第7页，共8页。
你有什么收获？
第8页，共8页。
-4
-2
O
2
4x
按照画函数y=2x的图像操作的步骤，画函数y=-2x的图像.
函数y=-2x的图像与y=-2x的图像有哪些相同的特点？
从上面的操作，画函数图像的步骤-2可以归纳为几个方面呢？
-2
在同一直角坐标平面内，分别画出下列函数的图像：
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.
正比例函数的图像和性质
正比例函数的图像和性质
正比例函数是指函数的值与自变量成正比关系的函数，通常表示为y=kx，其中k为比例常数。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
这是因为当自变量为0时，函数的值也为0，所以直线经过原点。
正比例函数的性质包括：
1. 随着自变量的增大，函数的值也随之增大或减小；随着自变量的减小，函数的值也随之减小或增大。
2. 自变量为0时，函数的值为0，即函数通过原点。
3. 函数的图像是一条经过原点的直线。
4. 如果k>0，则函数是递增函数；如果k<0，则函数是递减函数。
5. 函数的图像在第一象限和第三象限的部分为正值，而在第二象限和第四象限的部分为负值。
6. 正比例函数的图像是关于原点对称的，即改变自变量的正负会导致函数的正负改变。
值得注意的是，正比例函数的定义域和值域都可以是整个实数集合。
(完整版)正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
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D、圆的面积和它的半径。
S = ∏r2
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
复 习
3、下例函数中，一定 是正比例函数的是（ B ）
A、y = 3x2
自变量的指数是2 C、3x+y = 1 是一次函数
B、y = 4x
课堂练习
3．如果函数y=(3m-1)x是正比例函数，
且y随x的增大而增大，那么m的取值范围
是（ A ） 1 （A） m
3
（B） m
1 3
（C）m>1 选择键
（D）m<1
请再想想
A
B
C
D
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
课堂小结
1、正比例函数的图象是经过原点的一条直线。 2、当K＞0时，图象经过第一、三象限。 当K＜0时，图象经过第二、四象限。 3、正比例函数的性质： 当K＞0时，y 随 x 的增大也而增大。 当K＜0时，y 随 x 的增大反而减小。
新人教版数学八年级上学期多媒体课件
14.2.2：正比例函数图象
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
复 习
1、什么样的函数叫正比例函数？ 一般地，形如 y = kx (k是常数，k≠0)的函数， 叫做正比例函数，其中叫做比例系数。
2、下面给出的几个函数关系式中，成正比例 函数关系的是：（ A ） A、正方形的周长与边长。
1 D、y = x
自变量在分母
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
正比例函数的图象
例1、画出下例正比例函数的图象： （1） y =2x
x y … … -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4
(2) y = -2x
… …
y = 2x
解（1）列表 （2）描点： （3）连线：
八年级 数学
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
正比例函数的图象
二、练习（P112页） 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0）的图象， 是一条经过原点的直线，我们称它为直线y= kx。 当k>0时，直线y= kx经过第三、一象限，从左向右 上升，即y随着x的增大也增大， 当k<0时，直线y= kx经过第二、四象限，从左向右 下降，即y随着x的增大反而减小。 应用实例：对于点P1（X1，y1）、P2（X2，y2） 若X1<X2,则y1<y2（增大） 若X1<X2，则,则y1>y2（减小）
1 1 A．3 B．-3 C． D．3 3
请再想想
选择键
A
B
C
D
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
课堂练习
（2）、下列函数中，图象经过原点
的为( C)
A．y=5x+1
x C．y=- 5
B．y=-5x-1
x1 D．y= 5
请再想想
选择键
A
B
C
D
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
经过原点与点（1，K)的直线是哪个函数的图象？ 画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
动手
利用简单画法，画出函数y = 3x的图象
解：过点（0，0）、（1，3）做直线y = 3x（如图） y = 3x
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
课堂练习
1、小明在进行长跑训练时，以每小时10千米的速度进 行能力训练，小明最多能跑4小时，你能写出小明的路程 s （km）与时间 t（h）的函数关系式，并画出图象吗？ 解：路程S与时间的函数关系式为：s = 10t （ 0 ≤ t ≤4 ） 连结点（0，0）（4，40） 即得函数s = 10t 的图象。
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
课堂练习
2、选择题 （1）．函数y=kx的图象经过点P(3，-1)， 则k的值为( D ) 1 1 A．3 B．-3 C． D．-
3
3
请再想想
选择键
A
B
C
D
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
课堂练习
2、选择题 （1）．函数y=kx的图象经过点P(3，-1)， 则k的值为(D )
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数 y = 2x
正比例函数的图象
解:两个函数的相同点与不同点，考虑两个函 数的变化规律。 两个函数的图象都是经过原点的 一条直线 ,函数y = 2x的图 象从左向右 呈上升趋势 ，经过第 一、三 象限；函数y=-2x的 图象从左向右 呈下降趋势 ，经过第 二、四 象限。
八年级 数学
第十四章 函数
14.2.2 正比例函数
课外作业
P120页第1题、第2题
再见!