正比例函数图象
第16讲 正比例函数的图像及性质(解析版)
第16讲 正比例函数的图像及性质【学习目标】正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．【基础知识】一、正比例函数的图像1.一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；2.图像画法：列表、描点、连线． 二、正比例函数的性质：（1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【考点剖析】考点一：正比例函数的图像例1．已知正比例函数2y x =．列表：取自变量x 的一些值，根据正比例函数的解析式，填写下表．x…… 1.5- -1 0.5- 0 0.5 1 1.5 2 …… 2y x =……-4-3 -2-1 01 234……描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★【解析】考查正比例函数图像的画法．例2．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）4y x =；（2）14y x =；（3）32y x =-；（4）32y x =．【难度】★【解析】考查正比例函数图像的画法．例3．函数15y x =-的图像是经过点________、________的________．【难度】★【答案】，，一条直线．【解析】考查正比例函数图像的特点．例4．（1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．（2）函数y kx =的图像经过点1(5)2A -，，写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？ 【难度】★★【答案】（1）一条直线，，； （2）x y 10-=，经过二、四象限．【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质．例5．已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．【难度】★★【答案】（1）2+=x y ；（2）-5．【解析】（1）设kx y =-2，将x =2时，y =4代入其中可得：1=k ，则2+=x y ；（2）点(m ，2m +7)在这个函数的图象上，则272+=+m m ，解得：5-=m ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值．例6．已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式是________________． 【难度】★★【答案】x y 21=或x y 21-=． 【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式． 【总结】注意距离需要分正负．例7．如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像．【难度】★★【答案】x y 2-=，不在这个图像上，图像略．【解析】设正比例函数解析式为，将点(24)-，代入，可得：2k =-，所以该正 比例函数的解析式为x y 2-=．当4x =-时，，所以点不在该函数的图像上．【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法．例8．已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【难度】★★ 【答案】21=t ；x y 47-=．【解析】函数2(2)21y t x t =-+-经过原点，则012=-t ，解得：21=t ．代入表达式中可得，函数解析式为：x y 47-=．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．例9．一个正比例函数的图像经过点A ，B ，求a 的值．【难度】★★【答案】41-=a ．【解析】设正比例函数的解析式为， ∵图像经过点A ， ∴3=-k ，则3-=k ． ∵图像经过点B ，∴a a 31=--，则41-=a ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标．考点二：正比例函数的性质：例1．直线经过一、三象限，则m ________．【难度】★【答案】2<m ．【解析】考查的图像经过一、三象限．例2．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围．【难度】★ 【答案】25>k ． 【解析】由题意，可得：520k -<，解得：25>k ． 【总结】考查的图像经过二、四象限．例3．若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______．【难度】★ 【答案】3<m ．【解析】由题意，可得：30m -<，解得：3m <． 【总结】考查的图像性质y 的值随x 的增大而减小．例4．(3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______．【难度】★【答案】一、三；增大．【解析】由题意，可得：30π->，所以图像过一、三象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而增大．例5．当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限．【难度】★ 【答案】；二、四．【解析】因为正比例函数，所以，解得：3a =-，所以图像过二、四象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．例6．已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】2<k ．【解析】当12x x >时，12y y <，可以理解成y 的值随x 的增大而减小． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．例7．已知正比例函数25(3)mm y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限．【难度】★★ 【答案】一、三．【解析】∵152=-+m m ，∴3-=m 或2=m ，又∵03≠+m ，∴2=m ．∴图像过一、三 象限． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例8．正比例函数2mmy mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【难度】★★ 【答案】．【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例9．已知0mn <，那么函数my x n =经过______象限，y 的值随x 的值增大而______．【难度】★★【答案】二、四；减小．【解析】∵0mn <，∴，所以图像过二、四象限，并且y 的值随x 的值增大而减小． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．例10．函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意，可得：()122=-k ，则3=k 或1=k ．∵y 的值随着x 的减小而增大，∴02<-k ，∴1=k ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例11．如果正比例函数y kx =的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，y =_______．【难度】★★【答案】56-．【解析】∵正比例函数y kx =的自变量增加5，函数值减少2，∴52-=k∴正比例函数解析式为x y 52-=．∴当3x =时，26355y =-⨯=-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例12．（1）已知y ax =是经过第二、四象限的直线，且3a +在实数范围内有意义， 求a 的取值范围；（2）已知函数的值随自变量x 的值增大而增大，且函数的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围． 【难度】★★【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ． 【解析】（1）由题意，可得：，所以；（2）由题意，可得：，解得：，所以1123m -<<-．【总结】考查正比例函数图像的性质．例13．正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第 二、四象限．(1)求m 的取值范围；(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）41<m ；（2）1y 2y <，正比例函数y 的值随着x 的增大而减小． 【解析】考查正比例函数图像的变化情况．【过关检测】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知正比例函数的图像过点（3，2），（a ，6），则a 的值＝_________． 【答案】9【分析】先根据点（3，2）坐标求出正比例函数解析式，再把点（a ，6）代入解析式，即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx （k≠0）， ∵正比例函数的图像过点（3，2）， ∴3k=2， ∴k=23， ∴正比例函数解析式是23y x =，再把x=a ，y=6代入23y x =得， 263a =， 解得a =9． 故答案为：9【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和已知正比例函数求字母的值，根据待定系数法求出正比例函数解析式是解题关键．2．（2019·上海凉城第二中学八年级月考）若正比例函数()231my m x-=-的图像经过一、三象限，则函数解析式是_______________. 【答案】y x =.【分析】根据正比例函数的定义和图像所经过的象限即可求出m ，从而求出函数解析式. 【详解】解：∵正比例函数()231m y m x -=-的图像经过一、三象限，∴解得：2m =∴函数解析式是y x =. 故答案为：y x =.【点睛】此题考查的是求正比例函数的解析式，掌握正比例函数的定义和图像所经过的象限与比例系数的关系是解决此题的关键.3．（2020·上海市位育实验学校八年级月考）已知直线y kx =（k≠0）,当直线与x 轴正半轴夹角为30º时，直线解析式是____________ 【答案】y=x.【分析】依题意作图，根据含30°的直角三角形的特点设AO=2a ，得到故求出A 点坐标，再代入解析式即可求解.【详解】如图，AB ⊥x 轴，设OA=2a,∵∠AOB=30°，∴=∴A ，a ）代入y kx =，即∴直线解析式是y=x 故填：y=x.【点睛】此题主要考查正比例函数的解析式，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质. 4．（2019·上海市西南模范中学）正比例函数3y x =-的图像经过_____象限. 【答案】二、四．【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为负数，故函数图象过二、四象限． 【详解】由题意，y=-3x ， 可知函数过二、四象限． 故答案为：二、四．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，同学们应熟练掌握根据函数式判断出函数图象的位置，这是考查重点内容之一．5．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）如果正比例函数的图象经过点（2，12），则正比例函数解析式是_____． 【答案】y ＝14x 【分析】设正比例函数解析式为y ＝kx （k ≠0），把经过的点的坐标代入解析式求出k 值，即可得解． 【详解】设正比例函数的解析式是y ＝kx （k ≠0），把（2，12）代入就得到：2k ＝12， 解得：k ＝14，因而这个函数的解析式为：y ＝14x ．故答案为：y ＝14x.【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式.6．（2020·上海八年级期中）已知正比例函数y kx =的图像经过点()4,3A -，则函数图像经过______象限． 【答案】第二、第四【分析】将点()4,3A -代入正比例函数解析式中，即可求出k 的值，再根据k 的符号即可得出结论． 【详解】解：将点()4,3A -代入y kx =中，得解得：34k =-∴正比例函数34y x =- ∵34-＜0 ∴函数图像经过第二、第四象限 故答案为：第二、第四．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知利用待定系数法求正比例函数解析式是解答此题的关键． 7．（2020·上海八年级期中）已知正比例函数()21y a x =-，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是______． 【答案】12a <【分析】根据正比例函数的性质可知关于a 的不等式，解出即可．【详解】解：∵正比例函数()21y a x =-，y 的值随着x 的值增大而减小， ∴21a -＜0 解得：12a <故答案为：12a <． 【点睛】此题考查的是正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，是解题关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，则k ______． 【答案】12k <-【分析】根据正比例函数经过象限，得到关于k 的不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限， ∴210k +<， 解得12k <-．故答案为：12k <-【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，在正比例函数中当k>0时，图象经过第一、三象限，当k<0时，图象经过第二、四象限．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数y =的图像过点（b ，则b=________． 【答案】-1【分析】把点（b b ．【详解】解：∵函数y =的图像过点（b ∴， ∴b=-1． 故答案为：-1【点睛】本题考查了已知正比例函数解析式求点的坐标的参数，把点的坐标代入函数解析式是解题关键． 10．（2018·上海八年级期末）如果正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)，那么y 随x 的增大而______． 【答案】减小【分析】求出k 的值，根据k 的符号确定正比例函数的增减性． 【详解】解：∵正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)， ∴-2k =6， ∴k =-3，∴y 随x 的增大而减小． 故答案为：减小【点睛】本题考查了求正比例函数和正比例函数的性质，求出正比例系数k 的值是解题关键． 二、解答题11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知y 与x 成正比例，且当x=12时， 求（1）y 关于x 的函数解析式？ （2）当y=-2时，x 的值？【答案】（1）y =；（2）2x =．【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y ＝k x（k≠0），再把x=12时，y=k 的值，进（2）把y=-2代入函数解析式即可．【详解】（1）设，把x=12，12k ，∴k =故y 关于x 的函数解析式是y =．（2）把y=-2代入解析式y =中，得-2=，解得2x =-． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数解析式的形式． 12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图像经过点P （-3，2）和Q （-m ，m-1 ），求m 的值．【答案】3【分析】图象经过点，即点的坐标符合图象解析式，据此解题，先用待定系数法设正比例函数解析式，再代入点坐标求m 的值即可．【详解】设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，因为正比例函数的图像过点P （-3，2），将点P 坐标代入得，23y x =- 再代入点Q 坐标，即把x=-m ，y=m-1代入23y x =-左右两边， 解得m=3．【点睛】本题考查正比例函数图象性质、待定系数法等知识，是典型考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）已知点（2，﹣4）在正比例函数y ＝kx 的图象上． （1）求k 的值；（2）若点（﹣1，m ）也在此函数y ＝kx 的图象上，试求m 的值．【答案】（1）-2；（2）2【分析】（1）结合点（2，-4）在正比例函数y ＝kx 的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即（2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上∴-4＝2k解得：k＝-2；（2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝-2x∵点（-1，m）在函数y＝-2x的图象上∴当x＝-1时，m＝-2×（-1）＝2．【点睛】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解．14．（2018·上海）已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y的值；（3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围．【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范围是﹣12＜x＜72．【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了．【详解】（1）设y=k（x﹣1），把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，所以y=2（x﹣1），即y=2x﹣2；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，解得：x=﹣12，当y=5时，2x﹣2=5，解得：x=72，∴x的取值范围是﹣12＜x＜72．【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b ；再将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数23my mx -=的图象经过第一、三象限，求m 的值．【答案】2【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m 的方程和m 的取值范围，即可求解．【详解】解：∵函数函数23my mx -=为正比例函数， ∴231m -=，∴2m =±，又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，∴m ＞0，∴2m =【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．。
正比例函数及图像
x
，正比例系数为
y=2x，正比例系数为2
y=-1.5x，正比例系数为-1.5 y=-4x，正比例系数为-4
• 2.画函数图象需要经历哪些步骤？
列表、描点、连线 • 3.你能依据这些步骤画出以下正比例函数的图象
吗？
例1 画出下列正比例函数的图象
（1）y=2x
y= 1 x
3
（2）y=-1.5x y=-4x
k＞0 第一、三象限 上升
增大
k＜0 第二、四象限 下降
减小
两点 作图法
由于两点确定一条直线，画正比 例怎函样数画图正象比时例我函们数只的需图描点(0，0) 和象点最(简1，单k？)，为连什线么即？可.
练习
• 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
y=-3x；（2）y
3 2
x.
x
0
1
y=-3x
画图步骤：
1.列表 2.描点 3.连线
图像如图所示
(1)
y
6
4
2
-5
O
-2
y =2x
y= 1 x 3
5
x
观察图象回答：正比例函数y=2x与y=-1.5x的图象是什么图形？是
否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？
思考 对一般正比例函数y =kx，当k＞0时，它的图 象形状是什么？位置怎样？
在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？对应地，当自变量的值
增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？
y y =4x y =2x y =x
6
4 2
-5
O
-2
y= 1 x 3
y= 1 x
5
正比例函数图像及性质
y 3x
3
yx
2 1
y
1 3
x
y 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
O1 2 3 4
-1
x
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 O 1
-1
-2
-3
-4
234
xy
1 3
x
y x
y 3x
正比例函数y kx(k 0)的性质：
(1) 当k>0时，直线 y=kx的图像经过一、三象限，从 左向右呈上升趋势,自变量x逐渐增大时，y的值也随着 逐渐增大。
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
1）图象都经过原点； 2）当k>0时，它的图象从左向右上升，经过第一、二象限，y随x 的增大而增大；
当k<0时，它的图象从左向右下降，经过第二、四象限，y随x 的增大而减少。
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
x
01
x
1
2
如何画正比例函数的图像？
因为正比例函数的图像是一条直线，而 两点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两 个点，然后过这两个点画一条直线
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y y= kx (k＞0)
y
y= kx
k
(k＜0)
01
x
01
x
k
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
y 3x y x y 1 x y
y 3x
3
3
yx
当k>0
时，它的图
正比例函数
正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k 是常数，•k ≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function ），其中k 叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx+b ，且b ≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1，k ）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0） （3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限b>0，图象必经过第一、二象限；b<0，图象必经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系]（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]：待定系数法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型；（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
正、反比例函数的图像和性质
图像形状
反比例函数的图像是两条 关于原点对称的双曲线， 分别位于第一、三象限和 第二、四象限。
图像趋势
当 $x$ 趋近于正无穷或负 无穷时，$y$ 趋近于 0； 当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 趋近于无穷大。
图像与坐标轴关系
反比例函数的图像与坐标 轴没有交点，即不经过任 何象限的角平分线。
反比例函数性质分析
正比例函数性质分析
01
02
03
比例性
正比例函数中，$y$ 与 $x$ 成正比，即当 $x$ 增 大时，$y$ 也随之增大； 当 $x$ 减小时，$y$ 也随 之减小。
直线性
正比例函数的图像是一条 直线，因此具有直线性， 即函数值的变化是均匀的 。
过原点性
正比例函数的图像经过原 点，这意味着当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
函数的对称性
如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有对称性。例如，二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像关于直 线$x=-frac{b}{2a}$对称。
02
正比例函数图像与性质
正比例函数定义及表达式
定义
正比例函数是形如 $y = kx$ （ $k$ 为常数，且 $k neq 0$）的 函数。
反比例函数图像
反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像是两条分别位于第一象限 和第三象限的双曲线。这两条曲线关 于原点对称，且随着 $x$ 的增大， $y$ 逐渐减小并趋近于 0。
性质异同点分析
相同点
正比例函数和反比例函数都是关于原点对称的，即它们都是奇函数。
不同点
正比例函数的图像是直线，而反比例函数的图像是双曲线；正比例函数的值随着 $x$ 的增大而增大， 而反比例函数的值随着 $x$ 的增大而减小。
正比例函数、一次函数的图像与性质
正比例函数与一次函数的图象与性质1，正比例函数2，一次函数y=kx+b的性质（对比正比例函数的性质和图像的性质）3，函数是通过的观念研究已学过或未学过的知识。
4，变量的定义是：常量的定义是：5，函数的定义：则函数的本质是：6，在函数的定义中，自变量x在“在某一范围内”取值，这就是自变量的取值范围，它有两层含义，分别是：（1）（2）7，函数解析式是式子，写函数解析式必写8，函数的表示方法有种，它们分别是：；在运用时不是单独运用某一种，而综合运用它们。
9，由函数解析式画函数图像，一般步骤是10，一次函数的定义是正比例函数的定义是11，一次函数y=kx+b的平移：1）在y轴如何平移2）在x轴如何平移12，正比例函数是一次函数的特例，特殊在什么地方13，一次函数y=kx+b的趋势是由什么决定的如何决定的14，函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2： 1）平行的条件2）相交的条件3）重合的条件15，作图与作题正比例函数的图像是由决定的而一次函数的图像是由决定的16，一次函数是函数中最简单、最基本的一种函数。
函数与方程不同，方程是从静态的角度看待问题，是求方程所代表的未知数，如x+y=1，就方程而言一个二元一次方程没有意义，要想有意义就要是方程组，才能有一对实数解，这个解用平面直角坐标系来解释就是一个点；而函数是运用运动的观念来研究问题的，是从动态的角度看待问题的，也就是说自变量在某一变化过程中有一定的取值范围，从函数图像上看其就是点的集合，运用方程思想或方法只能求出一点，因此要想确定函数解析式或画出函数图像就要知道函数解析式中自变量的系数与常数即可，这就是待定系数法的由来。
17，待定系数法的定义是：待定系数法是解出函数解析式的方法，是运用方程思想解出函数解析式中未知的系数与常数，其步骤有：（1）根据图像或条件设定函数解析式；（2）运用方程思想方法解出未知的系数与常数。
那么一次函数系数的确定需要的条件是：正比例函数系数的确定需要的条件是：18，一次函数与二元一次方程组二元一次方程组有解是二元一次方程组无解是阅读——函数与方程的联系与区别：区别：（1）方程有若干个未知数，而函数则有若干个变量；（2）方程用等式表示若干个未知数的关系，而函数既可以用等式表示变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系。
正比例函数
江二中准备添置一批篮球， 例 1 江二中准备添置一批篮球，已知所购 篮球的总价y 篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例， 与个数x 成正比例， x=4（ y=100（ 当x=4（个）时，y=100（元）。 求正比例函数关系式及自变量的取值范围； （1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围； 求当x=10 x=10（ 函数y的值； （2）求当x=10（个）时，函数y的值； 求当y=500 y=500（ 自变量x的值。 （3）求当y=500（元）时，自变量x的值。 解（1）设所求的正比例函数的解析式为 ）设所求的正比例函数的解析式为y=kx， ， 代入， 把x =4，y =100代入，得 100=4k。解得 k= 25。 ， 代入 。 。 所以，所求的正比例函数的解析式是y=25x。 所以，所求的正比例函数的解析式是 。 自变量x的取值范围是所有自然数。 自变量x的取值范围是所有自然数。 （2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）。 ） （ × （ y 500 = =20（个）。 （3）当y=500（元）时，x= ） （ （ 25 25
例 2 下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的
千米数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8 千米数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00 整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S 千米） 整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米） 与时间t 成正比例（途中不停车）， t=4（ ），当 与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分） S=2千米 千米。 时，S=2千米。问：
贺村
下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。 下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米数。一辆满载礼贤乘 客的中巴车于上午8 00整从江山开往礼贤 已知中巴车行驶的路程S 整从江山开往礼贤， 客的中巴车于上午8：00整从江山开往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千 与时间t 成正比例（途中不停车）， t=4（ ），当 S=2千米 千米。 米）与时间t（分）成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。 问）正比例函数的解析式； ： （1）正比例函数的解析式； （2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上； ） ： 到 ： ，该中巴车行驶在哪一段公路上； 礼贤 （3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。 ）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
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画出正比例函数y=2x 的图象 （1）列表
（2）描点 （3）连线
y
y=2x
6
5 4
3 2
1
-5 -4 -3 -2 -1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3
-4 -5
-6
画出正比例函数y=-2x 的图象 （1）列表
（2）描点 （3）连线
y=-2x y
6
5 4
3 2
1
-5 -4 -3 -2 -1o -11 2 3 4 5 x
象限。
4、已知ab ＜0，则函数y= b x的图象经过 a
象限。
5、已知正比例函数y=(2a+1)x，若y的值随x的增大而减小， 求a的取值范围。
6、当m为何值时，y=mx2m-3是正比例函数， 且y随x的增大而增大。
已知正比例函数y=(m+1)x2m+1,那么它的图象经过哪些象限。
分别说明下列各正比例函数，当m为何值时，y随x的增大 而增大，或y随x的增大而减小？ A、y=(m2+1)x B、y=m2x C、y=(m+1)x
怎怎样样作做做函函函数数数yy=y=-=2--2x2x+x-3的3的的图图图象象？？ 怎样象做时函，数找y=两-2点x+的3的坐图标象？
还有更好的方法吗？
在函数y=-2x中，当x=0时，
y在在=函函0；数数当yy==x--2=2x1x+-时+333中，中中，y，，=当当-当2x。xx===0那00时时么时，，，
4.3 一次函数的图像
知识点一 正比例函数的图象
正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过__原__点____的直线．
知识点二பைடு நூலகம்正比例函数的性质
正比例函数y＝kx(k≠0)，当k＞0时，直线y＝kx经过第 ___一__、__三____象限，图象从左向右__上__升____，即y随x的增
大而___增__大___．
4 5x
y=-2x+3
1、y=2x、y=2x+3、y=2x-3的图像有什么关系？为什么？ 2、y=2x、y=2x+3、y=2x-3的图像有什么性质？ 3、y=2x+3的图像为什么会经过一、二、三象限？ 4、y=2x-3的图像为什么会经过一、三、四象限？
1、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？ 2、正比例函数的图象是什么形状？
3、正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）中，k的正负对函数 图像有什么影响？
既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象 是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？ 它们图象之间有什么关系?
在同一直角坐标系内做出y=-2x、y=-2x+3、y=-2x-3的图像，
满足函数关系式．
巩固练习
1. 下列各函数中，是正比例函数关系的是：（ ） A. 矩形面积一定时，长与宽的关系 B. 任意三角形中，当面积一定时，底边与高的关系 C. 物体匀速运动时，路程与时间的关系 D. 圆的面积和周长的关系
2、正比例函数的解析式是
，它的图像一定经过
。
x 3、y=－ 2 的图像经过第
我 yy==们3-33；过；；当（当当x0yx===1、0-时1时0时），，，和y=xy（=1=。1-11.5、。那。-那么2那) 两 我 么么点们我我做过们们一（过过条（0（直0、0 线3、、）就-33和））是（（（y=11--、12.5、x1、)的-10))
-5
图 两两象点点。做做一一条条直直线线就就是是yy==--22xx+-+333
-2 -3
-4 -5
-6
观察图像，思考问题：
y
y=2x
6
5 4
3 2
1
-5 -4 -3 -2 -1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3
-4
-5
-6
y=-2x
y
6
5 4
3 2
1
-5 -4 -3 -2 -1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3
-4 -5
-6
1、图像经过的象限与k的取值有何联系 ？ 2、对其中的某一个正比例函数图像，从左至右是怎样变化的？ 3、对其中的某一个函数图像当x增大时，函数值y怎样变化？
的图象。
的图象。
按照这个方法作出函
数y=-2x-3的图象。
y
y=-2x
6
5 4
3 2
1
-4 -3 -2 -1 o 1
-1
2
3
4
x
5
-2 -3
-4 -5
-6 y=-2x-3
y=-2x+3
比一比这三个函数的图象有什么异同并回答下面的问题：
（(12)）这这三三个条函直数线的是图什象么形关状系都？是
你能从函数关系式中找 到相应的依据吗？
4.3 一次函数的图像
知识准备
(1)函数y＝2x＋1中自变量x的取值范围是_全__体_实__数___． (2)在函数y＝35x＋20中，当x＝16时，y＝__5_8_0__. (3)函数y＝－5x的图象经过第__二__、__四____象限，经过(0，0___) 与点(1，__－__5____)，y随x的增大而__减__小____．
4.3 一次函数的图像
例2 已知正比例函数y＝(k＋3)x. (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限？ (2)k为何值时，y随x的增大而减小？ (3)k为何值时，函数图象经过点(1，1)?
[解析] (1)根据正比例函数的性质，由于函数的图象经过第
一、三象限，所以k＋3＞0；(2)若要使得y随x的增大而减小， 则k＋3＜0；(3)要使得函数图象经过点(1，1)，则x＝1，y＝1
4.3 一次函数的图像
知识准备
((12))正 一比次例 函函数数y＝y＝5－－132x3x中的，比k例＝系__－数__13k_＝_____，－__b23_＝_____．_5___．
(3)正比例函数y=2x 的比例系数 2
。
(4)正比例函数 y=-2x的比例系数 -2
。
(5) 两点 可以确定一条直线。
y=-2x
（3）由此能说出函数y=-2x+3、
y=-2x-3的图象性质吗？ （4）函数y=-2x+3的图象与
y轴交点的纵坐标是什么？ -5 -4 -3 -2
这个纵坐标与函数y=-2x+3
有关联吗？
（5）图象经过（0,3），说 明图象必过哪两个象限？
y
6 5 4 3 2 1
-1 o 1 2 3
-1 -2 -3 -4 -5 -6 y=-2x-3
当k＜0时，直线y＝kx经过第___二__、__四___象限，图象从左 向右___下__降___，即y随x的增大而__减__小____．
探究问题4一.3 一画次正函比数例的函图数像的图象
例 1 画出函数 y＝12x 的图象．
两点还有其 它找法吗？
1、从以上规律，你能发现正比例函数图象的小窍门吗？
2、怎样找到两点作直线？ 取x=0时，y=0.即直线经过点（0,0） 取x=2时，y=1.即直线经过点（2,1） 过两点作的一条直线就是该函数的图象。