正比例函数的图像和性质
合集下载
第1课时 正比例函数的图象及性质
x（km）之间的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.
【解析】（1）y=5×15x/100，
即 y 3 x x 0 .
4
y/元
（2）列表 x 0 4
6
描点 y 0 3
5 4
连线
3
2
（3）当 x 220 时，
1
y 3 220 165（元）. O
x/km 1 23 4 5 6 7 8
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.正比例函数的概念和一般关系式. 2.正比例函数的简单应用. 3.正比例函数的图象和简单性质.
既然我们得出正比例函数 y kx(k 0) 的图象 是一条直线．那么在画正比例函数图象时 有没有什么简单的方法呢？
3、观察函数 y x 的图象,想一想随着x的增
大,y的值如何变化?其它三个函数的图像呢?你 发现了什么规律？
（1）正比例函数 y x 和 y 3x 中，随
着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增
加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数
y
1 2
x
和 y 4x 中，
1、什么是一次函数？什么是正比例函数？ 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示
成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数（linear function）.当 b=0时，y是x的正比例函数。
函数的图像：
把一个函数的自变量x与对应的因变量 y的值分别作为点的横坐标和纵坐标， 在直角坐标系内描出它的对应点，所 有这些点组成的图形叫做该函数的图 象
【解析】（1）y=5×15x/100，
即 y 3 x x 0 .
4
y/元
（2）列表 x 0 4
6
描点 y 0 3
5 4
连线
3
2
（3）当 x 220 时，
1
y 3 220 165（元）. O
x/km 1 23 4 5 6 7 8
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.正比例函数的概念和一般关系式. 2.正比例函数的简单应用. 3.正比例函数的图象和简单性质.
既然我们得出正比例函数 y kx(k 0) 的图象 是一条直线．那么在画正比例函数图象时 有没有什么简单的方法呢？
3、观察函数 y x 的图象,想一想随着x的增
大,y的值如何变化?其它三个函数的图像呢?你 发现了什么规律？
（1）正比例函数 y x 和 y 3x 中，随
着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增
加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数
y
1 2
x
和 y 4x 中，
1、什么是一次函数？什么是正比例函数？ 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示
成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数（linear function）.当 b=0时，y是x的正比例函数。
函数的图像：
把一个函数的自变量x与对应的因变量 y的值分别作为点的横坐标和纵坐标， 在直角坐标系内描出它的对应点，所 有这些点组成的图形叫做该函数的图 象
正比例函数图像及性质
y 3x
3
yx
2 1
y
1 3
x
y 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
O1 2 3 4
-1
x
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 O 1
-1
-2
-3
-4
234
xy
1 3
x
y x
y 3x
正比例函数y kx(k 0)的性质：
(1) 当k>0时，直线 y=kx的图像经过一、三象限，从 左向右呈上升趋势,自变量x逐渐增大时，y的值也随着 逐渐增大。
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
1）图象都经过原点； 2）当k>0时，它的图象从左向右上升，经过第一、二象限，y随x 的增大而增大；
当k<0时，它的图象从左向右下降，经过第二、四象限，y随x 的增大而减少。
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
x
01
x
1
2
如何画正比例函数的图像？
因为正比例函数的图像是一条直线，而 两点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两 个点，然后过这两个点画一条直线
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y y= kx (k＞0)
y
y= kx
k
(k＜0)
01
x
01
x
k
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
y 3x y x y 1 x y
y 3x
3
3
yx
当k>0
时，它的图
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
正比例函数图像及性质
布置作业
A组：必做题：函数y=-5x的图象在第 象限
内，经过点（0， ）与点（1， ），y随
着x的增大而
。
选做题：P89页，练习（1）,（2）任选一 B组：写出正比例函数的性质
1.正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
2.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
例1 画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x；（2）y＝－2x
动动
手
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
y=2x
例1 画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x；（2）y＝－2x
y 1 x 3
o1
时，它的
x
图像经过 第二、四
像限
思考3 对一般正比例函数y =kx，当k＜0时，
它的图象形状是什么？位置怎样？
当k＜0时图像是经过原点的一条直线，且经
过二、四象限
思考4 在k＜0 的情况下，图象是左低右高
还是左高右低？
当k＜0时图像从左到右下降趋势，即y随着x
的增大而减小
口答：看谁反应快
y 3x y x y 1 x y
y 3x
3
3
yx
当k>0
时，它的图
1
y1x
像 经过第
一、三象
o1
3
3xΒιβλιοθήκη 限思考1 对一般正比例函数y =kx，当k＞0时，
它的图象形状是什么？位置怎样？
当k＞0时图像是经过原点的一条直线，且经
过一、三象限
思考2 在k＞0 的情况下，图象是左低右高
还是左高右低？
正比例函数的图像与性质课件
（2）画出这个函数的图象；
解 当 t = 0 时，h = 0； 当 t =100时，h = 300. 在平面直角坐标系中描出点O(0,0)和A(100,300). 过这两点作线段OA，线段OA即函数h = 3t (0 ≤ t ≤100) 的图象，如图4-10.
做匀速运动（即速度 保持不变）的物体，走过 的路程与时间的函数关系 的图象一般是一条线段.
D.m≥1
3.下列函数(1)y=5x,(2)y=-3x,(3)y=1/2x,(4)y=-1/3x中，
(2) (4) y随x的增大而减小的是————
4. 已知正比例函数y＝（１－２m）xm2-3的图象经过 第二、四象限，求m的值。
随堂测试试
1.函数y=－7x的图象在第 二、四 象限内,
经过点(0, 而 减少 0 )与点(1, －7 . ),y随x的增大
如图,三个正比例函数的图像分 别对应的解析式是 ①y=ax② y=bx ③ y=cx,则a、b x
A.a>b>c C.b>a>c
B.c>b>a D.b>c>a
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y
k y= kx (k＞0)
y= kx (k＜0)
y
0 1
2.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、
三象限，则m的取值范围是（ B ） A.m=1 B.m＞1 C.m＜1 D.m≥1
随堂练习
5.函数y=－7x的图象在第 二、四象限内,经过点(0, 0
与点(1,－7 ),y随x的增大而 减少 . 3 6.函数y= 2 x的图象在第 三、一 象限内,经过点 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
正比例函数的图像和性质
正比例函数的图像和性质
正比例函数是指函数的值与自变量成正比关系的函数，通常表示为y=kx，其中k为比例常数。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
这是因为当自变量为0时，函数的值也为0，所以直线经过原点。
正比例函数的性质包括：
1. 随着自变量的增大，函数的值也随之增大或减小；随着自变量的减小，函数的值也随之减小或增大。
2. 自变量为0时，函数的值为0，即函数通过原点。
3. 函数的图像是一条经过原点的直线。
4. 如果k>0，则函数是递增函数；如果k<0，则函数是递减函数。
5. 函数的图像在第一象限和第三象限的部分为正值，而在第二象限和第四象限的部分为负值。
6. 正比例函数的图像是关于原点对称的，即改变自变量的正负会导致函数的正负改变。
值得注意的是，正比例函数的定义域和值域都可以是整个实数集合。
(完整版)正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
19.2.1正比例函数图像及其性质
思考1 在k＜0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？ 思考2 对应地，当自变量的值增大时，对应的 函数值是随着增大还是减小？ 当k＜0时，图像是一条经过原点和第二、四象限的直线 从左向右下降 随着x的增大y反而减小
归函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称之为直线y=kx。 当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上 升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下 降，即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数的图像时，只需 描两个点，然后过这两个点画一条 直线
归纳函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称之为直线y=kx。 当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上 升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下 降，即随着x的增大y反而减小。
学习重点：
用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比 例函数的图象特征及性质．
问题一：什么是正比例函数？请你举出两个例子。 问题一：画函数图像的一般步骤？
分三步走：1.列表 2.描点 3.连线 问题二：画函数图像的注意事项？ 1.建立正确的平面直角坐标系，标记正确的方向，变量字 母，原点，单位长度 2.列表时选取的值最好均匀，当自变量的取值是任意实 数时，尽量正值，0，负值 要选取，一般五点定形，同 时注意省略号 3.连线时要用平滑的曲线连接个点，注意图像是一段还是 无限延伸，从而确定图像有无端点
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
归函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称之为直线y=kx。 当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上 升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下 降，即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数的图像时，只需 描两个点，然后过这两个点画一条 直线
归纳函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称之为直线y=kx。 当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上 升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下 降，即随着x的增大y反而减小。
学习重点：
用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比 例函数的图象特征及性质．
问题一：什么是正比例函数？请你举出两个例子。 问题一：画函数图像的一般步骤？
分三步走：1.列表 2.描点 3.连线 问题二：画函数图像的注意事项？ 1.建立正确的平面直角坐标系，标记正确的方向，变量字 母，原点，单位长度 2.列表时选取的值最好均匀，当自变量的取值是任意实 数时，尽量正值，0，负值 要选取，一般五点定形，同 时注意省略号 3.连线时要用平滑的曲线连接个点，注意图像是一段还是 无限延伸，从而确定图像有无端点
m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图像上吗？试 说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么； ⑸若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数关系图；
小结
这节课你学到了什么？
正比例函数图像的画法。 正比例函数的图像和性质，
及其应用。
• 老师寄语：
选择了远方，就要风雨兼程;
选择了大海，就要乘风破浪;
选择了蓝天，就要展翅翱翔。
唤醒你所有的潜能,用信心铸就目 标,用汗水浇灌希望,用拼搏实现理想,用 奋斗赢得一生！
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
5 4
3
2. 描点
2
3. 连线
1
-3 -2 -1 0 -1
-2
-3
-4
y=2x
x
1 23
y=-2x 的图象为：1. 列表：x取值范围是任意实数
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 6 4 2 0 -2 -4 -6 …
C
D
（2）函数 y=kx(k≠0)的图像过 P（-3，7），则 k=____，图像过_____象限。
பைடு நூலகம்
（3）正比例函数 y=（m－1）x 的图象经过一、三象限，则 m 的取值范围是（ ）
A. m =1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1
（4） 已知正比例函数 y=(1-2a)x 若点 A （x1, y1）和点 B x2, y2 为函数图像上的两点，
且 x1 x2, y1 y2 ，则 a 的取值范围
。
跟踪练习：
1、（1）. 当 k＞0 时，正比例函数 y=kx 的图象大致是（ ）
A
B
C
D
（2）函数y=kx(k≠0)的图像过P（-3，7），则k=____，
图像过_____象限。
（3）正比例函数y=（m－1)x的图象经过一、三象限，
则m的取值范围是（ ）
y
y=-2x
5
4
3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3 -4
-5
小组讨论：观察、比较两个函数图象的相同点与
不同点
y 2x
y 2x
k＞0
k＜0
两图象都是经过原点的 直线 ， 函数y=2x的图象经过第 一、三 象限，从左向右 上升 ，
y随x的增大而 增大 ；
1、什么叫正比例函数？ 2、回忆描点法画函数图象的一般步骤
判断下列函数解析式是否是正比例函数？ 如 果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=2x （2）y=－2x
请同学们画出上面正比例函数的图象
画图步骤： １、列表； ２、描点； ３、连线。
画正比例函数 y =2x 的图象
解：1. 列表：x取值范围是任意实数 y
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升， 即随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降， 即随着x的增大y反而减小.
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx 经过的象限 从左向右 Y随x的增大而
k＞0 第三、一象限 上升
增大
k＜0 第二、四象限 下降
A. m =1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1
（4） 已知正比例函数y=(1-2a)x若点A (x1, y1)和点B
(x2, y2) 为函数图像上的两点，且x1＜x2, y1>y2,则 a的
取值范围
。
2、已知某种小汽车的耗油量是每1km耗油0.15升．所使 用的90#汽油今日涨价到5元/升． ( 1)写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km） 之间的函数关系式；
函数y=-2x的图象经过第 二、四 象限，从左向右 下降 ， y随x的增大而 减小 。
y=-2x
y
5
k＜0
4
3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4
-5
y=2x
k＞0
12 3 4 5
x
正比例函数图象的性质：
一般地，正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条 经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.
减小
例1：用最简单的方法画出下列函数的图象
（1）y=3x （2）y = 3 x
2
例 2、已知正比例函数 y=(a+3)x （1）a 为何值时，函数的图象经过三、一象限？
（2）a 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
跟踪练习：
（1）. 当 k＞0 时，正比例函数 y=kx 的图象大致是（ ）
A
B
小结
这节课你学到了什么？
正比例函数图像的画法。 正比例函数的图像和性质，
及其应用。
• 老师寄语：
选择了远方，就要风雨兼程;
选择了大海，就要乘风破浪;
选择了蓝天，就要展翅翱翔。
唤醒你所有的潜能,用信心铸就目 标,用汗水浇灌希望,用拼搏实现理想,用 奋斗赢得一生！
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
5 4
3
2. 描点
2
3. 连线
1
-3 -2 -1 0 -1
-2
-3
-4
y=2x
x
1 23
y=-2x 的图象为：1. 列表：x取值范围是任意实数
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 6 4 2 0 -2 -4 -6 …
C
D
（2）函数 y=kx(k≠0)的图像过 P（-3，7），则 k=____，图像过_____象限。
பைடு நூலகம்
（3）正比例函数 y=（m－1）x 的图象经过一、三象限，则 m 的取值范围是（ ）
A. m =1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1
（4） 已知正比例函数 y=(1-2a)x 若点 A （x1, y1）和点 B x2, y2 为函数图像上的两点，
且 x1 x2, y1 y2 ，则 a 的取值范围
。
跟踪练习：
1、（1）. 当 k＞0 时，正比例函数 y=kx 的图象大致是（ ）
A
B
C
D
（2）函数y=kx(k≠0)的图像过P（-3，7），则k=____，
图像过_____象限。
（3）正比例函数y=（m－1)x的图象经过一、三象限，
则m的取值范围是（ ）
y
y=-2x
5
4
3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3 -4
-5
小组讨论：观察、比较两个函数图象的相同点与
不同点
y 2x
y 2x
k＞0
k＜0
两图象都是经过原点的 直线 ， 函数y=2x的图象经过第 一、三 象限，从左向右 上升 ，
y随x的增大而 增大 ；
1、什么叫正比例函数？ 2、回忆描点法画函数图象的一般步骤
判断下列函数解析式是否是正比例函数？ 如 果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=2x （2）y=－2x
请同学们画出上面正比例函数的图象
画图步骤： １、列表； ２、描点； ３、连线。
画正比例函数 y =2x 的图象
解：1. 列表：x取值范围是任意实数 y
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升， 即随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降， 即随着x的增大y反而减小.
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx 经过的象限 从左向右 Y随x的增大而
k＞0 第三、一象限 上升
增大
k＜0 第二、四象限 下降
A. m =1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1
（4） 已知正比例函数y=(1-2a)x若点A (x1, y1)和点B
(x2, y2) 为函数图像上的两点，且x1＜x2, y1>y2,则 a的
取值范围
。
2、已知某种小汽车的耗油量是每1km耗油0.15升．所使 用的90#汽油今日涨价到5元/升． ( 1)写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km） 之间的函数关系式；
函数y=-2x的图象经过第 二、四 象限，从左向右 下降 ， y随x的增大而 减小 。
y=-2x
y
5
k＜0
4
3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4
-5
y=2x
k＞0
12 3 4 5
x
正比例函数图象的性质：
一般地，正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条 经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.
减小
例1：用最简单的方法画出下列函数的图象
（1）y=3x （2）y = 3 x
2
例 2、已知正比例函数 y=(a+3)x （1）a 为何值时，函数的图象经过三、一象限？
（2）a 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
跟踪练习：
（1）. 当 k＞0 时，正比例函数 y=kx 的图象大致是（ ）
A
B