2.1.1指数与指数幂的运算(1)
2.1.1指数与指数幂的运算 指数幂及其运算性质
【例 3】
1
已知 a 2
+
1
a2
=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2;
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,
得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, 所以a2+a-2=47.
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
知识探究
n am
1
m
an 0
没有意义
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s
(4)常用的变换方法有: ①把小数化为分数,把根式化为分数指数幂; ②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式 分解进行变形. (5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧.例如,①把分子、分母分解因式,可 约分的先约分;②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母; ③把适当的几个分式先化简,各个击破;④适当利用换元法.
题型四
1
易错辨析——忽略 a n有意义出错
11
【例 4】 化简:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 .
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学必修1课件：2.1.1(1)根式的运算
2.n次方根的表示：
若方程 则x叫做a的n次方根
其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。
3.根式运算性质
问题1：若对一个数先开方，再乘方（同次）， 结果是什么？ ，即一个数先开方，再乘方 ①
引入新课
(2).
问题:平方根和立方根是如何定义的?
1.n次方根的概念与性质
n次方根的定义：一般地，如果 那么x叫做a的n次方根（ throot）,其中 ，且
。
是否正确？
问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？
1.n次方根的概念与性质
探究1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次 方根，-32的5次方根，a6的3次方根。 （要求完整地叙述求解过程） 结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列 性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是 负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时， a的n次方根可表示为
§2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时根式
学习目标
1.掌握n次方根的概念与性质. 2.掌握根式的概念与运算性质.(重点)
复习回顾
1．整数指数幂的概念。
0的0次方没有意义
0的负整数次方没有意义
复习回顾
2．整数指数幂的运算性质：
引入新课
(P48)在问题2中,我们已经知道 …是正整数指数幂,它们的值分别为 ….那么, 的意义是什么呢? 本章最终目标:
当n为偶数时，
=|a|=
（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次）， 结果又是什么？ ， ， ， 如：求
②
国家课程校本化：§2.1.1 指数与指数幂的运算(教师用书)
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数§2.1.1 指数与指数幂的运算【课标解读】 1．理解n 次方根和根式的概念；2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3．学习重点：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；4．学习难点：理解根式根式的概念，掌握根式与分数指数幂之间的转化．【自学导引】1．若n n 33-=- ，则n 的取值集合是 . 【答案】{|21,}n n k k *=+∈N 2．下列说法正确的是（ ） （A ）64的6次方根是2 （B ）664的运算结果是2±（C ）1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立（D ）1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【答案】D3．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）①n m nm a a=； ②10=a ； ③m na-=（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个【答案】A41104325(0.008)()0.253----⨯⨯【答案】π5．无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【答案】逼近【典例精析】【例1】求使等式3)3()9)(3(2+-=--a a a a 成立的实数a 的范围.【答案】{|33}a a -≤≤ 【例2】已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x-+； 【答案】5（2）22x x -+； 【答案】7（3）22x x --； 【答案】± （4）33x x -+. 【答案】5【例3】化简：223410623+--.【自主反馈】 1．（原创题）下列各式正确的是（ ）（A ）42=- （B 2=-（C ）322[(2)]8-=- （D ）x=2．计算：111232217(0.027)()(2)279---+= ．3．已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4.【课时作业】1. 根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（ ） （A ）34-a （B ）34a （C ）43-a（D ）43a2.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x3. 552)()(b a b a -+-的值是( )（A ）0 （B ）)(2b a - （C ）0或)(2b a - （D ）b a -4. 计算122121(2)()2()48n n n n ++*-∈N ⋅的结果为（ ） （A ）461 （B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n5. 与aa 1-的值相等是（ ） （A ）a（B ）a -（C ）a - （D ）a --6. 若11225x x-+=，则21x x+的值是 .7.160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭.8. 使式子34(12)x --有意义的x 的取值范围是 _.9. 若103m=，102n=，则3210m n -的值为 .10.已知22)()()(a b b a b a --=--成立，则b a ,需满足条件 .11. 计算：5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--.12.已知21na =，求33n nnna a a a--++的值.13.2()a n *=∈N 成立的条件.14.(1)x ≥。
2.1.1指数与指数幂的运算
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ; 2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
•甚是感激。”“把身子养好咯，比啥啊都强。”“知道咯，爷。耿姐姐，您走好，妹妹就不送您咯。”王爷的书院靠近园子大门，耿格格的 院子在惜月的院子与爷的书院之间。听闻惜月的道别，耿格格再是愚钝，也知道赶快接咯话茬儿：“爷，惜月妹妹身子才好，那就由妾身送您 吧。”王爷没有说啥啊，转身向书院的方向走去。韵音见状，来不及跟惜月打招呼，赶快追上爷的步伐。壹路上两各人默默地前行，只有呼啸 的寒风围绕着他们左右。终于，韵音的院子就在眼前咯。这壹路上，耿格格的脑子里只有壹各想法，那就是把爷送到书院；这壹路上，王爷的 脑子里也只有壹各想法，把韵音送到院子。眼看着韵音的院子已经到咯，他就停下咯脚步，而耿格格哪里知道爷会停下来，原本她就壹直低着 头，爷这么突然壹停，她根本来不及收住脚步，猛地壹下子撞上咯爷的后背。随即她就感到鼻梁壹阵酸痛，继而壹阵热流从鼻子里涌出。她赶 快拿手捂住咯鼻子，闷闷地说：“爷，对不起！”他回头壹看，虽然黑漆漆的夜色中看不清是怎么回事儿，但韵音手捂鼻子的样子还是让他感 觉到咯事态的严重性，于是他赶快抱起韵音，飞快地冲进咯她的院子，壹边焦急地问：“怎么回事儿！撞到哪里咯？痛不痛？”韵音哪里还说 得出来话？鼻子里的血还没有止住，而现在又由于被爷平躺着抱在怀里，鼻血直接倒灌进咯嘴里。进咯屋子他才发现，她的脸已经被鼻血弄得 像各大花猫，狼狈不堪。不待他吩咐，众人见到格格这副样子，早就开始找药的找药，打水的打水，迅速忙咯起来。好不容易壹切都料理妥当， 望着终于恢复咯壹张干净脸庞的韵音，他又好气又好笑地说：“你怎么这么不小心？到咯自己的院子都不停下来，你这是还想去哪儿？”“妾 身送爷啊？”第壹卷 第166章 情苦韵音万分不解地望着爷，闷声闷气地回着话。作为爷的诸人，她不送爷回书院，还能干啥啊去？总不能让 爷自己壹各人回去吧。虽然脸上恢复咯干净，可是鼻子里因为放咯止血药，又用纱布堵塞着，怎么看怎么都是滑稽，他忍不住笑咯：“还送爷 呢，自己先负伤咯，这是你送爷呢，还是爷送你？”闻听此言，韵音也不好意思地笑咯：“好不容易为爷办壹件事情，还办砸咯。”“唉，爷 哪里需要你们为爷办啥啊事情，你们只要安安生生，不出乱子，就是给爷办的最大、最好的事情咯。”他说的可是真心实意的大实话！今天韵 音的出现，真真地打咯他壹各措手不及。深更半夜地同时面对两各诸人，他还真是平生第壹次遇到这么尴尬的状况。刚刚情况紧急，都没有容 得他仔细思索这件事情，当时只是希望尽快抽身逃离事非之地。现在踏实下来，他才又认真地琢磨起这各问题来。韵音怎么会大晚上出现
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
2.1.1指数与指数运算(分式)
回顾：运算性质
am an amn(m,n Z) (a m )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn(n Z )
推广：正数指数幂推广到有理数指数幂。原有整 数指数幂的运算性质对有理数指数幂仍然适用。
2 1 11 1 5
2 (6) (3)(a3 a2 a6 )(b2 b3 b6 )
2
(m
1 4
3
n8
)8
(m
1 4
)8
3
(n 8
)8
211 115
2 (6) (3) a3 2 6b2 3 6
4ab0 方法：将系数和同底
4a
(23)3 2 3
22 4
1
25 2
(52
1
)2Βιβλιοθήκη 2*(1 )5 2 51
1
5
( 1 )5 (21)5 25 32
2
3
3
4
(16) (2)
4( )
4 ( 2)3 ( 3)3 27
81 3
3
2
8
P82A1
例3、用分数指数幂的形式表示下列根式：
例： 当a 0, n N*, n 1时，n an a，
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
(1)3 a12 _3_(a_4_)3 __a_4 _ _a__3_
被开方数的 指数/ 根指数
2 3
a2
3
2
(a 3 )3
高一数学指数与指数幂的运算1
2.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会 按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减 为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根 据 此规律,生物体内碳14含量 P与死亡年数t之间 t 的关系式为 ，那么当生物体死亡 了１万年后，它体内碳14的含量为多少？ 10000 思考: 个数的意义呢？
5730 1 如何理解1.07310， 2
8 64
n
a b ab
n n
理论迁移
例1 求下列各式的值
(１) (３) 例2
4
(2)
4
4
(３) (４)
8
3
(8)
3
8
(3 )
( a 1)
化简下列各式
(1)
52 6
4
9
(2) ( a 1) 2 (1 a ) 2 3 (1 a )3
思维拓展
化简：
1 5730 p 2
这两
知识探究（一）：方根的概念 1.一般地，什么叫做平方根？什么叫做立方 根？ 2.４的平方根是什么？任何一个实数都有平 方根吗？一个数的平方根有几个？ 3.-27的立方根是什么？任何一个实数都有立 方根吗？一个数的立方根有几个？
知识探究（一）：方根的概念
a
n
当n是偶数时,若a>0，则a的n次方根为
a;
若a=0，则a的n次方根为 0； 若a<0，则a的n次方根不存在 .
知识探究（二）：根式的概念
我们把式子
n
a ( n N , n 1)
叫做
根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
知识探究（三）：根式的性质
计算: ( 2) ,( 2) ,( 2)
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数与指数运算(根式)
P50探究 例如，3 33 = 3 ，5（-3）5 = -3
32 = 3 ，（-3）2 = 3
当n为奇数时, n an a;
当n为偶数时, n
an
| a |
a, a 0, a,a 0.
例1、求下列各式的值:
(1)3 (8)3 ＝－8 (2) (10)2 ＝︱－10︱＝10
P59A1
(3)4 (3 )4 ＝︱3－π ︱＝ π －3
(4) (a b)2 (a b) ＝ ︱a－b ︱=a－b
分析：
当n为奇数时，n an a
a(a 0)
当n为偶数时，n an a
-a (a<0)
补充练习：
（1） 5 －3）3 =-3
（3） （－3）4 = 92 = 9 =9
（4） （ 2－ 3）2 =︱ 2－ 3︱= 3－ 2
(5)
6 = （ 3）2 =︱x3︱
(6)
5－2 6 = （ 3）2－2 2 3 （ 2）2
= （ 3－ 2）2 =︱ 3－ 2 ︱ = 3－ 2
小结
a2
(3) a6 的三次方根是____
(4) 0 的七次方根是____0___
思考：a的n次方根有几个？
① n 为奇数时，a 的 n 次方根只有1个．记为：n a
正数的奇次方根是正数, 例如，3 8=2 负数的奇次方根是负数, 例如，3 -8=-2 零的奇次方根是零.
② n为偶数时，aa 0 的 n次方根有2个．记为： n a
例如，81的4次方根 4 81= 3.
（其中4 81=3， -4 81=-3）
n 0 0；负数没有偶次方根．
4、式子 n a 叫做根式． n 叫做根指数，a 叫