高考数学一轮复习专题讲座3数列在高考中的常见题型与求解201711254156

专题讲座3 数列在高考中的常见题型与求解策略1．(2016·辽宁省五校联考)抛物线x 2＝12y 在第一象限内图像上一点(a i ，2a 2i )处的切线与x轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A ．64 B ．42 C ．32 D ．21解析：选B.令y ＝f (x )＝2x 2，则切线斜率k ＝f ′(a i )＝4a i ，切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，令y ＝0得x ＝a i ＋1＝12a i ，由a 2＝32得：a 4＝8，a 6＝2，所以a 2＋a 4＋a 6＝42.2．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n＋1.因为y ＝2x是单调增函数，所以a 1a n >a 1a n ＋1，所以a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，所以a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，所以a 1d <0.3．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，所以a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.所以a 4＋a 5的最小值为2 2. 答案：2 24．(2016·南昌调研测试卷)一牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过1个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第1个关口前有________只羊．解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、…、通过第6个关口前，剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1，2，3，4，5，6)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，…，a 6＝12a 5＋1，而12a 6＋1＝2，解得a 6＝2，因此代入得a 5＝2，a 4＝2，…，a 1＝2.答案：25．(2016·南昌调研测试卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0. (1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3，4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 因为当n ≥5时，a n >0， 所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3， 得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)， q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（－1）n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－（－1）n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.6．(2015·高考山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.①令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.②由①②解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1. 经检验，符合题意．(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4（1－4n）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43，所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.1．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆． (1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a的等差数列．所以{a n }的前n 项和S n ＝128×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 1－32＝256⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n （n －1）2a .所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋400n ＋n （n －1）2a .(2)若计划7年内完成全部更换，则S (7)≥10 000，所以256⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.2．(2015·高考广东卷)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)．证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解：(1)令n ＝1⇒a 1＝1；令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝12；令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝14.(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋22n －1.②②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n2n －1，所以a n ＝12n －1.又因为当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝12，所以a n ＝12n －1(n ∈N *)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12.所以数列{a n }的前n 项和T n ＝a 1（1－q n）1－q ＝2－12n －1.(3)证明：因为 b 1＝a 1＝1，所以S 1<2＋2ln 1成立．又因为 b 2＝a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12a 2，b 3＝a 1＋a 23＋(1＋12＋13)a 3，…，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a 2＋…＋(1＋12＋…＋1n )a n＝(1＋12＋…＋1n)(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(1＋12＋…＋1n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1<2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ，构造函数h (x )＝ln 1x －1x＋1，x >0，h ′(x )＝1－xx2，令h ′(x )>0，解得0<x <1； 令h ′(x )<0，解得x >1，所以h (x )＝ln 1x －1x＋1，x >0在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以h (x )≤h (1)＝0，所以ln 1x －1x＋1≤0，x >0(仅当x ＝1时取等号)，即ln x ≥1－1x.又因为ln n ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －2n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ＝12＋13＋…＋1n， 所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，所以S n <2＋2ln n .。