应用题间接设元五法
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「初中数学」一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系解应用题时，首要任务是选设未知数，如何准确恰当地设未知数呢？没有固定的方法，但有一点是肯定的，那就是设未知数要有助于表示相关量，有助于简化解题过程。
设什么元需要根据具体问题的条件确定，常见的设元方法有:直接设元法、间接设元法、整体设元法、辅助设元法等。
那么在做题时又如何找等量关系呢？抓住几个原则:(一).分析题中的不变量原则，利用不变量来列方程(二).用不同的方式表示同一个量原则，以此得到相等关系，从而列出方程(三)利用总量等于各个分量之和”原则列方程具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系，也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。
以上所说，并不单指一元一次方程，所说的方法不可能全面，要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦，多归纳，多总结，会用了才是你的方法。
一.直接设元法1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？【分析】这道题我们抓住小型车的车费十中型车的车费=总车费这一关系列方程，具体设谁为未知数，哪种都可以.解:设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50一x)辆.根据题意，得12x+8(50一x)=480解得，x=20则50一x=50一20=30.答:中型汽车有20辆，小型汽车有30辆.(1)和、差、倍、分问题基本数量关系:增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.抓住关键性的词语，多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.2.男、女生人数有若干人，男生与女生人数之比为4:3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来男生和女生的人数.【分析】抓住关键词男生人数恰好是女生人数的2倍”，也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半，等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时，未知数设为一份数，所以.解:设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，根据题意，得3x一12=(4x)/2解得×=12.原来男生人数为4x=48原来女生人数为3x=36答:原来男生人数为x人，原来女生人数为36人.(2)体积变化问题基本数量关系，常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有，形变体不变，即变形前的体积=变形后的体积;形变体积也变，但质量不变，即变形前的质量=变形后的质量.3.用直径为4厘米的圆柱形钢材，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圓柱形钢材？【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.解:设需截取x厘米的圆柱形钢材，根据题意得π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16解得x=12.答:需要截取12厘米的圓柱形钢材.(3)行程问题这类问题比较复杂，基本数量关系为，路程=速度×时间.①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题的等量关系为:第一，同地不同时出发，前者走的路程=追者走的路程;第二，同时不同地出发，前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间，顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度，静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2，水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时，抓住两码头之间距离不变，水流速度不变，船在静水中的速度不变的特点来考虑.注意:行程问题，关注出发的时间、地点及行走的方式，往往画路线图，帮助分析等量关系，同时注意相遇和追击的区别.4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地，返回时因事绕路而行，比去时多走了8km，虽然速度增加到每小时12km，但比去时还是多用了10min，水甲、乙两地之间的距离.【分析】注意单位统一，10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm，则去时的时间为x/10，回来的时间为(x十8)/12，根据回来时间比去时多用了1/6h，可列方程解:设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意可得x/10+1/6=(x十8)/12解得x=30答:甲、乙两地之间的距离为30km.5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时，从B 港到A港逆水航行需要6小时，已知水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度.【分析】抓住，从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.解:船在静水中的速度为x千米/时，则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时，船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时，依题意得4.5(x+2)=6(x一2)解得x=14.答:船在静水中的速度为14千米/时.(4).劳动力调配问题将一处的人员调往另一处，一处的人数减少多少，另一处的人数会增加多少，两处的人数之间往往存在着倍分关系，可从题意中的关键性词语找等量关系6.铸造车间共有工人86人，若每人每天加工A种零件15个或B种零件12个或C种零件9个，应怎样按排加工三种零件的人数，才能使加工后的零件按3个A种零件，2个B 种零件和1个C种零件配套？【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件，因为3个A零件，2个B零件和1个C零件配套，所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1，也就是15x:(12×加工B 种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B 种零件的人数为5x/6人，加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).解:设按排加工A种零件为x人，根据题意得，x十5x/6+5x/9=86解得x=36加工B种零件人数为:5x/6=30加工C种零件人数为:5x/9=20答:安排36人加工A种零件，30人加工B种零件，20人加工C种零件.(5).利润问题基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价，利润率=利润/进价×100%，销售额=成本(进价)×(1+利润率).7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)解:设每件衬衫降价x元，依题意得400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)解得x=20答:每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.(6)储蓄问题基本量的关系为:利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税)，本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】8.小明买了一年期债券150元，一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包，问小明买的债券的年利率是多少？(无利息税)【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)解:设年利率是x，依题意得150×(1十x)=162解得x=8℅答:小明买的债券的年利率是8℅.(7)工程问题基本数量关系是，工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于工作总量(单位1).9.一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？【分析】甲队做的时间，也是三队合作的时间，等量关系是，甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.解:设甲队实际做了x小时，依题意得(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1解得x=3.答:甲队实际工作了3小时.二.间接设元法(8)数字问题.关键是掌握多位数的表示法，若一个多位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c+10b+a.抓住新数与原数之间的关系列方程.10.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大5，且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数.解:设个位数字为x，则十位数字为(x+5)，这个两位数为10(x+5)十x.依题意得10(x+5)十x一8(x十5十x)=5解得x=1，x十5=6，这个两位数为61答:这个两位数是61.三.整体设元法11.一个五位数的个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，求原五位数.【分析】此题各数位上数字之间没有明确的数量关系，只是位置发生了改变，所以整体设未知数.解:设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数为10x+4，依题意得(10x+4)十6120=4×10000+x解得x=3764，10x+4=37644答:原五位数是37644.四.辅助设元法当题中直接设未知数，不好表示其他量的关系，或一个未知数也不能满足需要，这时不妨再设一个未知数来列方程.12.某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总量的10℅，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10℅，为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？【分析】此题汽车的总产量未知，知道所占的百分数也不好表示量的关系，所以多设一个辅助未知数，则关系就明朗.解:设去年的总产量为a，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x，则去年普通汽车的产量为90℅a，新能源汽车的产量为10℅a，今年普遍汽车的产量为90a(1一10℅)，新能源汽车的产量为10%a(1+x)，根据题意得90%a(1一10℅)+10℅a(1十x)=a解得x=0.9=90℅答:今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90℅.【总结】以上只是几种常见的题型，还有很多没有列举出来，同学们要活学活用，根据问题的特点，灵活地设未知数，切不可生搬硬套，多总结，多归纳，形成自己的一套设元法。
求解应用题设元五方法
１． 乙 ＝ ２ ２ 甲 一 １． 甲 ． ２
所 以乙数为 ＋８：４ ， 数 为 一生 ： ４丙
￣－ － ＇ １
一
１， Ｏ丁数为 一 一１ ＝一１０ ４ ６ ６．
故这 四个数 中最 大的数 乙比最小 的数 丁大
４ ４一（ ６ ） ０ ． 一１ｏ ＝２ ４
答： ． 略
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中学教与学
求解应用题
郭 贵 华
设元五方法
刘 道 法
（ 湖北省公安县黄山头 中学 ， ４０ ） （ ４ ３６ 湖北省公安县油江中学 ，３３ ） ３ ４４０ ６
列方 程 （ ） 应用题 既是 初 中代 数的重 组 解
点， 也是难点 ． 在解答应用 题的“ 审题 ” “ 、设 元 ”“ 、列方 程 ”“ 解 ”“ 、求 、检验 ” “ 及 作答 ” 这六 个步骤中， 设元是一个重要环节． 如果能合理 地设立未知数 ， 便能顺利地解答问题 ． 一般情 况 下 ， 立未知 数有 五种方法 ． 设 １ 直 接设元 法 ． 即直接设 欲求 量 为 未知 数 ， 通 过建 立 再 方程直接求出欲求量 ． 例 １ 一列匀速行驶 的火车 ， 从它进入 ６０ ０ ｍ的隧道到完全离开 ， 共需 ３ ， ０ｓ又知在 隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光线垂 直 照射火 车 ５ｓ求 火车的长度 ． ． 分析 ： 这是一 道行程 问题 ， 抓住 “ 应 匀速 ” 二字找等量关系． 若直接设火车长为 ｍ 则 ， 由图 １ 甲可知， 火车从进入隧道到完全离开 共行驶 了（ ６０ ｍ， ＋ ０ ） 其行驶时间为 ３ ， ０ｓ于
．
（） ０ ＜５时 ， Ａ Ｃ 与 正 方 形 ２当 ≤ △ Ｂ
ＣＥ Ｄ Ｆ重合部分是三角形 ，
专题训练 列一元一次方程解应用题的设元技巧-教育文档
专题训练列一元一次方程解应用题的设元技巧►类型一直接设元1．甲地到乙地，水路比公路近40 km.上午10时，一艘轮船从甲地驶向乙地，下午1时，汽车从甲地开往乙地，结果它们同时到达乙地．已知轮船的速度为24 km/h，汽车的速度为40 km/h，则从甲地到乙地的水路与公路各多少千米？2．张芳和李明相约到图书城去买书，请你根据他们的对话内容(如图6－ZT－1)，求出李明上次所买图书的原价．图6－ZT－13．两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两个数的中间加上一个小数点，则所成的数正好等于小数放在大数的左边，中间加上一个小数点所成数的6倍，求较大的三位数．►类型二间接设元4．(用两种方法解答)在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3 h.求：(1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速；(2)两机场之间的航程．5．某人原计划以每小时4千米的速度步行由甲地到达乙地，当他行走了全程的一半时，搭上了每小时行驶20千米的顺路汽车，所以比原计划需要的时间少用了2小时．甲、乙两地之间的路程是多少千米？►类型三辅助设元6．2019·绍兴校级期中一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少．7．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，均装有10厘米高的水，且表格记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积，现小明将甲、乙两个杯子中的一些水倒入丙杯子中，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三个杯子中水的高度比变为3∶4∶5.若不计杯子的厚度，则甲杯子中水的高度变为多少厘米？8．某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23.若提前购票，则给予不同程度的优惠．在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的35；零售票每张16元，共售出零售票的一半．如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？详解详析1．解：设从甲地到乙地的水路为x km ，则公路为(x ＋40)km.根据题意，得x ＋4040＋3＝x 24. 解得x ＝240.∴x ＋40＝280.答：从甲地到乙地的水路为240 km ，公路为280 km.2．解：设李明上次所买图书的原价为x 元，则办卡后价格变为0.8x 元，花了20元办会员卡，故实际花费(0.8x ＋20)元，依题意，得x －(0.8x ＋20)＝12.解得x ＝160. 答：李明上次所买图书的原价为160元．3．解：设较大的三位数为x ，则较小的三位数为(1000－1－x )＝999－x .根据题意，得x ＋999－x 1000＝6(999－x ＋x 1000)． 解得x ＝857.答：较大的三位数为857.4．解：解法一：(1)设无风时这架飞机在这一航线的平均航速是x km/h ，则顺风的速度是(x ＋24)km/h ，逆风的速度是(x －24)km/h ，根据题意，得2.8(x ＋24)＝3(x －24)．答：无风时这架飞机在这一航线的平均航速是696 km/h.(2)两机场之间的航程为3×(696－24)＝2019(km)．解法二：(1)设从A 机场到B 机场的航程为x km.根据“一架飞机顺风从A 机场飞到B 机场要用2.8 h ”可以得出无风时的平均航速为⎝⎛⎭⎫x 2.8－24km/h ，根据“它逆风飞行同样的航线要用3 h ”可以得出无风时的平均航速为⎝⎛⎭⎫x 3＋24km/h.由于无风时的平均航速相等，所以x 2.8－24＝x 3＋24. 解得x ＝2019.所以x 2.8－24＝696. 答：无风时这架飞机在这一航线的平均航速为696 km/h.(2)由(1)得两机场之间的航程为2019 km.5．解：设全程一半的路程为s 千米，则甲、乙两地之间的路程为2s 千米，根据题意，得2s 4－⎝⎛⎭⎫s 4＋s 20＝2. 解得s ＝10，2s ＝20.答：甲、乙两地之间的路程为20千米．6．解：设考生人数为a 人，这次考试规定的及格分数为x 分．则25%a (x ＋15)＋(1－25%)a (x －25)＝60a .解得x ＝75.答：这次考试规定的及格分数是75分．7．解：设后来甲、乙、丙三个杯子中水的高度分别为3x 厘米，4x 厘米，5x 厘米， 则60×10＋80×10＋100×10＝60×3x ＋80×4x ＋100×5x .则3x ＝3×2.4＝7.2.答：甲杯子中水的高度变为7.2厘米．8．解：设总票数为a 张，六月份零售票按每张x 元定价．根据题意，得 12⎝⎛⎭⎫23a ·35＋16⎝⎛⎭⎫13a ·12＝16·⎝⎛⎭⎫23a ·25＋13a ·12x . 化简，得245a ＋83a ＝6415a ＋16ax . 因为a >0，所以245＋83＝6415＋16x . 解得x ＝19.2.答：六月份零售票应按每张19.2元定价．。
一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系
一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系解应用题时，首要任务是选设未知数，如何准确恰当地设未知数呢？没有固定的方法，但有一点是肯定的，那就是设未知数要有助于表示相关量，有助于简化解题过程。
设什么元需要根据具体问题的条件确定，常见的设元方法有:直接设元法、间接设元法、整体设元法、辅助设元法等。
那么在做题时又如何找等量关系呢？抓住几个原则:(一).分析题中的不变量原则，利用不变量来列方程(二).用不同的方式表示同一个量原则，以此得到相等关系，从而列出方程(三)利用'总量等于各个分量之和”原则列方程具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系，也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。
以上所说，并不单指一元一次方程，所说的方法不可能全面，要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦，多归纳，多总结，会用了才是你的方法。
一.直接设元法1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？【分析】这道题我们抓住'小型车的车费十中型车的车费=总车费'这一关系列方程，具体设谁为未知数，哪种都可以.解:设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50一x)辆.根据题意，得12x+8(50一x)=480解得，x=20则50一x=50一20=30.答:中型汽车有20辆，小型汽车有30辆.(1)和、差、倍、分问题基本数量关系:增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.抓住关键性的词语，多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.2.男、女生人数有若干人，男生与女生人数之比为4:3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来男生和女生的人数.【分析】抓住关键词'男生人数恰好是女生人数的2倍”，也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半，等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时，未知数设为一份数，所以.解:设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，根据题意，得3x一12=(4x)/2解得×=12.原来男生人数为4x=48原来女生人数为3x=36答:原来男生人数为x人，原来女生人数为36人.(2)体积变化问题基本数量关系，常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有，形变体不变，即变形前的体积=变形后的体积;形变体积也变，但质量不变，即变形前的质量=变形后的质量.3.用直径为4厘米的圆柱形钢材，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圓柱形钢材？【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.解:设需截取x厘米的圆柱形钢材，根据题意得π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16解得x=12.答:需要截取12厘米的圓柱形钢材.(3)行程问题这类问题比较复杂，基本数量关系为，路程=速度×时间.①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题的等量关系为:第一，同地不同时出发，前者走的路程=追者走的路程;第二，同时不同地出发，前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间，顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度，静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2，水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时，抓住两码头之间距离不变，水流速度不变，船在静水中的速度不变的特点来考虑.注意:行程问题，关注出发的时间、地点及行走的方式，往往画路线图，帮助分析等量关系，同时注意相遇和追击的区别.4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地，返回时因事绕路而行，比去时多走了8km，虽然速度增加到每小时12km，但比去时还是多用了10min，水甲、乙两地之间的距离.【分析】注意单位统一，10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm，则去时的时间为x/10，回来的时间为(x十8)/12，根据回来时间比去时多用了1/6h，可列方程解:设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意可得x/10+1/6=(x十8)/12解得x=30答:甲、乙两地之间的距离为30km.5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时，从B港到A港逆水航行需要6小时，已知水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度.【分析】抓住，从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.解:船在静水中的速度为x千米/时，则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时，船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时，依题意得4.5(x+2)=6(x一2)解得x=14.答:船在静水中的速度为14千米/时.(4).劳动力调配问题将一处的人员调往另一处，一处的人数减少多少，另一处的人数会增加多少，两处的人数之间往往存在着倍分关系，可从题意中的关键性词语找等量关系6.铸造车间共有工人86人，若每人每天加工A种零件15个或B 种零件12个或C种零件9个，应怎样按排加工三种零件的人数，才能使加工后的零件按3个A种零件，2个B种零件和1个C种零件配套？【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件，因为3个A零件，2个B零件和1个C零件配套，所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1，也就是15x:(12×加工B种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B种零件的人数为5x/6人，加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).解:设按排加工A种零件为x人，根据题意得，x十5x/6+5x/9=86 解得x=36加工B种零件人数为:5x/6=30加工C种零件人数为:5x/9=20答:安排36人加工A种零件，30人加工B种零件，20人加工C 种零件.(5).利润问题基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价，利润率=利润/进价×100%，销售额=成本(进价)×(1+利润率).7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)解:设每件衬衫降价x元，依题意得400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)解得x=20答:每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.(6)储蓄问题基本量的关系为:利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税)，本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】8.小明买了一年期债券150元，一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包，问小明买的债券的年利率是多少？(无利息税)【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)解:设年利率是x，依题意得150×(1十x)=162解得x=8℅答:小明买的债券的年利率是8℅.(7)工程问题基本数量关系是，工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于工作总量(单位1).9.一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？【分析】甲队做的时间，也是三队合作的时间，等量关系是，甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.解:设甲队实际做了x小时，依题意得(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1解得x=3.答:甲队实际工作了3小时.二.间接设元法(8)数字问题.关键是掌握多位数的表示法，若一个多位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c+10b+a.抓住新数与原数之间的关系列方程.10.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大5，且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数.解:设个位数字为x，则十位数字为(x+5)，这个两位数为10(x+5)十x.依题意得10(x+5)十x一8(x十5十x)=5解得x=1，x十5=6，这个两位数为61答:这个两位数是61.三.整体设元法11.一个五位数的个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，求原五位数.【分析】此题各数位上数字之间没有明确的数量关系，只是位置发生了改变，所以整体设未知数.解:设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数为10x+4，依题意得(10x+4)十6120=4×10000+x解得x=3764，10x+4=37644答:原五位数是37644.四.辅助设元法当题中直接设未知数，不好表示其他量的关系，或一个未知数也不能满足需要，这时不妨再设一个未知数来列方程.12.某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总量的10℅，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10℅，为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？【分析】此题汽车的总产量未知，知道所占的百分数也不好表示量的关系，所以多设一个辅助未知数，则关系就明朗.解:设去年的总产量为a，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x，则去年普通汽车的产量为90℅a，新能源汽车的产量为10℅a，今年普遍汽车的产量为90a(1一10℅)，新能源汽车的产量为10%a(1+x)，根据题意得90%a(1一10℅)+10℅a(1十x)=a解得x=0.9=90℅答:今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90℅.【总结】以上只是几种常见的题型，还有很多没有列举出来，同学们要活学活用，根据问题的特点，灵活地设未知数，切不可生搬硬套，多总结，多归纳，形成自己的一套设元法。
方程解应用题 设元技巧
设元是解决应用题的关键步骤之一，通过合理地选择变量，可以简化问题并找到解决方案。
以下是一些常用的设元技巧：
1.直接设元：根据问题描述，直接定义变量，例如：
1.设总价为x 元
2.设速度为v 千米/小时
3.设时间为t 分钟
2.间接设元：对于某些问题，直接设元可能不直观或复杂，因此可以选择间接设元。
例如：
1.设工作效率为x，则工作时间为1/x
2.设某数为x，则它的平方为x^2
3.参数设元：在某些问题中，需要使用参数方程来表示变量之间的关系。
例如：
1.设椭圆上的点为(x, y)，其中x = acos(θ)，y = bsin(θ)
2.设抛物线上的点为(x, y)，其中x = 2t, y = 1 + t^2
4.整体设元：对于某些问题，可以将整个问题作为一个整体进行设元。
例如：
1.设一个矩形的长和宽分别为a 和b，则它的面积为a ×b
2.设一个三角形的三边分别为a, b 和c，则它的周长为a + b + c
总之，在解决应用题时，合理地选择变量并设元可以帮助我们更轻松地解决问题。
七年级数学辅导： 列方程解应用题—设元的技巧
列方程解应用题—设元的技巧姓名： 日期：【知识要点】的条件来确定（1）直接设元：对未知元的选择，将要求的量设为未知数； （2）间接设元：将要求的量以外的其它量设为未知数（即所设的不是所求的，而更易找出符合提议的数量关系）；（3为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.【典型例题】例1、张先生于2002年7月8日卖入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元.回家后他在存单的背面记下了当国库券于2007年7月8日到期后他可获得的利息数为390元，若张先生计算无误的话，求该国库券的利率是多少？例2、《1001夜》中有一个绝妙的谜语：一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一直落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们飞一只上来，你们的数目就使整个鸽群的31；倘若我们飞一只下去，我们的数目恰好和你们相同啦”猜猜有多少只鸽子在树上？有多少只鸽子在树下？例3、甲、乙、丙、丁四个数之和等于-90，甲数减-4，乙数加-4，丙数乘-4，丁数除以-4彼此相等，求四个数中最大的一个数比最小的一个数大多少？例4、某班参加一次智力竞赛，共a、b、c 三题，每题或者得满分或者得0 Array分。
其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。
竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。
答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。
问这个班平均成绩是多少分？例5、游泳者在河中逆流而上，于桥A下面将水壶遗失被水冲走，他继续向前游了20分钟后，才发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A2千米处追到了水壶.那么流的速度是每小时多少千米？例6、从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等.问切下的一块重是多少千克？【练习与拓展】1、某商店将某种超级VCD按进价提高35％，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台超级VCD仍获得208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？2、甲乙两市相距55公里.王鸣同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行的时间比骑自行车用的时间多1小时.求王鸣同学步行的速度是多少公里/小时.3、小明现在坐在公共汽车，忽然发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如果其速度比小偷快一倍，比汽车速度慢54，那么追上小偷要多少秒？4、一个长方形（如下图）恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米.求这个长方形的面积.5、某一缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比1：2：3.他用十个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣，10条裤子和2件上衣，共需多少工时？6、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是多少米.7、某市2003年人均住房面积为7.29m2,若两年后人均住房面积要增加到9m2,而人口增长率为0.1％，求这两年中该市每年住房面积应增加百分之几？8、山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘流淌.现池塘有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机则20分钟正好把池中水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？设元的技巧课后作业姓名：家长签名：1、学校到县城有28千米，除乘汽车之外，还需步行一段路，汽车的速度是36千米/小时，步行的速度是4千米/小时，行全程共需1小时，则步行所用的时间为大多少小时2、某市举行自行车环城赛，每圈长12千米，已知选手甲与选手乙的速度比为5:7，两人同时同地同向出发后，2小时30分钟第一次相遇，问乙比甲每分钟快多少千米？3、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的83，求全校女生数与全校学生数之比.4、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。
人教版初中数学七上微专题16 一元一次方程应用的设元技巧
6
1
七（3）班
6
5
七（4）班
6
5Hale Waihona Puke 平场 2 4 0 1（1）分析积分榜，平一场比负一场多得 1 分；
负场 1 1 1 0
积分 14 12 16 17
（2）若胜一场得3分，七（5）班也比赛了6场，胜场是平场的一半，且共积14分， 那么七（5）班胜几场？ 解：设负1场得x分． 根据七（3）班的得分情况，得3×5＋x＝16， 解得x＝1， 所以负1场得1分，所以平一场得2分． 设七（5）班胜y场，则平2y场，负（6－3y）场． 根据题意，得3y＋2×2y＋6－3y＝14，解得y＝2． 答：七（5）班胜2场．
微专题16 一元一次方程应用的 设元技巧
技巧一 直接设元 方法指导：当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时，不妨直接设未知数， 即求什么设什么，这是设未知数常用的方法．
1．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准 备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价 多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标？ 解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标． 根据题意，得120×400＋（120－x）×（500－400）－80×500＝80×500×40%， 解得x＝40． 答：每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标．
解：设这种药品包装盒的高为x cm，则宽为（7－x）cm，长为（11－x）cm． 由图可知2x＋（11－x）＝13， 解得x＝2， 所以（11－2）×（7－2）×2＝90（cm3）． 答：这种药品包装盒的体积为90 cm3．
列方程解应用题——设元的技巧
列方程解应用题——设元的技巧知识要点恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定.对未知数的选择，有时可将要求的量设为未知元（即问什么设什么），称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其它量设为未知元（即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系），称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.例题讲解（1）直接设元例1：两袋什锦糖，甲袋由8千克奶糖和12千克水果糖混合而成，乙袋由15千克奶糖和5千克水果糖混合而成.如果要使混合成21千克的什锦糖中，奶糖和水果糖各占一半，需从甲、乙两袋里分别取出多少千克的什锦糖.（2）间接设元例2：如果四个数中，其中每三个数的和分别是21，28，29，30，求这四个数.思路点拨这四个数中，其中每三个数的和是已知的，所以，只要能求出这四个数的和，再用这四个数的和分别减去每三个数的和就可求得这四个数.例3：如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为.例4：用一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；若每辆卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装了3吨货物就装完了这批货物.那么，这批货物共有多少吨？例5：一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）.A．0．5小时B．1小时C．1.2小时D．1.5小时例6： 甲、乙、丙、丁4个数之和等于90-，甲数减4-，乙数加4-，丙数乘4-，丁数除以4-彼此相等，问4个数中最大的一个数比最小的一个数大多少？（3）辅助设元例7： 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.例8：某裁缝做一件童装、 一条裤子、一件上衣，所用时间之比为3:2:1.他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣.则他做2件上衣、10条裤子、14件童装需几天.例9： 甲、乙两地相距24千米，某人从甲地到乙地，步行一半路程后改骑自行车，共用4小时到达，返回时，一半路程步行，一半路程骑助动车，若返回时步行，速度是去时速度的43，助动车速度是自行车速度的2倍，结果返回时比去时多用了30分钟，求去时步行的速度与自行车的速度.例10： 有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？思维拓展训练1:一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde ，则这个6位数等于 .2:国家规定个人发表文章、出版著作所获稿费应缴纳税，其计算方法是：（1）稿费不高于800元不纳税；（2）稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800元的14%的税；（3）稿费高于4000元应缴纳全部稿费的11%的税.今知黄教授出版一本著作获得一笔稿费，他缴纳了550元的税，黄教授这笔稿费是 元.3:某种产品是由A 种原料x 千克，B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨10%，B 种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则y x :的值是（ ）A ．32B ．65C ．56D ．34554:某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费（ ）A ．60元B ．65元C ．75元D ．78元能力拓展5:某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此比计划支出增加了%50，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 .6:完成某项工程，甲、乙合作要2天，乙、丙合作要4天，丙、甲合作要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）.A ．2．8B ．3C ．6 D.127:某商品连续两次提价10%，又提价5%，要恢复原价，至少应降价%x （x 为整数），则x =（ ）.A ．20B ．21C ．22D ．238:一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的m 倍，求m 的值.9:一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、2次，a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共乙两车单独运这批货物分别用a运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨，问：（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨运费20元计算）综合创新10:山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？。
应用题间接设元五法学生
应用题间接设元五法在初一学习列方程解应用题时，由于受算术解法的影响，往往习惯于“题目中求什么就设什么”，即直接设未知数。
但这种方法对有的问题就显得不够简便。
下面结合实例介绍几种间接设未知数的方法。
一. 求整体，设部分例1. 一个三位数，三个数位上的数字和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的数字是十位上数字的3倍，求此三位数。
解略。
二. 求部分，设整体例2. 某三个数中每两个数之和分别为27，28，29，求这三个数。
分析：这是求部分的问题，如直接设这个数，则要列出三元一次方程组，但若采用间接设元，即设这“三个数的和”时，则问题就变得十分简捷。
解略。
三. 已知“连比”，设“每份”例3. 一个三角形三边长的比是2：4：5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长。
分析：因为三边比为2：4：5，所以可将周长分为11份，设其中“每份”为未知数，问题可立解。
略解：设每份长为x 厘米，则三边长分别为2x 厘米、4x 厘米和5x 厘米，由题意得526x x -=（以下略）。
四. 分部设元，变换求解例4. 有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？分析：若直接设3辆大车与5辆小车一次可以运货的吨数，则列方程较繁琐。
若设一辆大车与一辆小车一次运货分别为x 吨和y 吨，则由题意，得23155156352x y x y +=+=⎧⎨⎩.()()由于本题要求出35x y +，因而我们可以不去求x 、y 的具体值，而采用整体思考，即()().172915735⨯-+=，得x y 即35245x y +=.（吨）。
五. 设而不求，巧作“过渡”例5. 某人沿河逆水游泳，途中不慎将矿泉水壶失落，水壶沿河漂流而下，10分钟后此人才发现，立即返身回游，问此人返游多少分钟后可以追上矿泉水壶？分析：本题中涉及此人的游泳速度以及此人返身回游时间、水流速度。
一元一次方程的应用(间接设元)
走进数学——
你会发觉生活中处处都有她的身影； 你会发现许多令人惊喜的东西； 你还会感到自己变得越来越聪明、越来越有本领。 许多以前不会解决的问题、不会做的事情，现在
都能干得很好了！
x
1
13.5x
若这时， 有一名同 学突然接 12x＋12 ＝ 13 . 5x 到电话说 解这个方程，得： 家里有事， 不能前去， x＝8 请问这时 检验： x＝8是原方程的 乘坐哪个 解，且符合题意。 车主的车 答：曾老师一共带了8名学生。 划算？
解：设曾老师一共带了x名 学生，依题意得：
由于这时学生人数少于8人， 所以乘坐乙车主的车更划算。
曾老师利用假期带领部分同学到农村搞社会调查，每 张车票原价是15元。甲车主说：“乘我的车可以打8折 优惠。”；乙车主说：“乘我的车学生打9折，老师不 买票。”曾老师心里计算了一下，觉得不论坐谁的车， 车费都一样，请问：曾老师一共带了多少名学生？ 相等关系 甲车费用＝乙车费用 教师车 费(元) 15×0.8 教师人 总车费 数(人) (元) 1 (12x+12) 学生车费 学生人 (元) 数(人) x 甲车主 15×0.8x 乙车主 15×0.9x
检验： x＝250是原方程 的解，且符合题意。
答：一个月通话250分钟时， 两种移动通信费用相同。
到底选择哪种通信业务更省钱呢？小明的爸爸想考考 小明，说：“你们不是刚刚学习了一元一次方程吗， 能不能帮我解决这个问题呀？”于是小明通过思考和 计算，为爸爸制定了一个正确的方案，为爸爸省了不 少电话费。同学们，你知道这个方案是怎样的吗？ 月租费 通话费 通话时间 （元） （元） （分钟） 50 x 0.4 x 全球通 x 0.6 x 神州行 话费 （元） (0.4 x+50) 0.6 x
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应用题间接设元五法
在初一学习列方程解应用题时，由于受算术解法的影响，往往习惯于“题目中求什么就设什么”，即直接设未知数。
但这种方法对有的问题就显得不够简便。
下面结合实例介绍几种间接设未知数的方法。
一. 求整体，设部分
例1. 一个三位数，三个数位上的数字和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的数字是十位上数字的3倍，求此三位数。
解略。
二. 求部分，设整体
例2. 某三个数中每两个数之和分别为27，28，29，求这三个数。
分析：这是求部分的问题，如直接设这个数，则要列出三元一次方程组，但若采用间接设元，即设这“三个数的和”时，则问题就变得十分简捷。
解略。
三. 已知“连比”，设“每份”
例3. 一个三角形三边长的比是2：4：5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长。
分析：因为三边比为2：4：5，所以可将周长分为11份，设其中“每份”为未知数，问题可立解。
略解：设每份长为x 厘米，则三边长分别为2x 厘米、4x 厘米和5x 厘米，由题意得526x x -=（以下略）。
四. 分部设元，变换求解
例4. 有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
分析：若直接设3辆大车与5辆小车一次可以运货的吨数，则列方程较繁琐。
若设一辆大车与一辆小车一次运货分别为x 吨和y 吨，则由题意，得
23155156352x y x y +=+=⎧⎨⎩
.()() 由于本题要求出35x y +，因而我们可以不去求x 、y 的具体值，而采用整体思考，即
()().172915735
⨯-+=，得x y 即35245x y +=.（吨）。
解略。
五. 设而不求，巧作“过渡”
例5. 某人沿河逆水游泳，途中不慎将矿泉水壶失落，水壶沿河漂流而下，10分钟后此人才发现，立即返身回游，问此人返游多少分钟后可以追上矿泉水壶？
分析：本题中涉及此人的游泳速度以及此人返身回游时间、水流速度。
若只设一个未知数（直接或间接），显然很难求解。
这时如果多设几个未知数，利用它们的过渡作用，可十分简便地列出方程。
略解：设此人反游x 分钟后追上水壶，此人游泳的速度为y 米/分，水流的速度为z 米/分，
则x y z y z z xz ()()+=-++1010
∴=≠∴=xy y
y x 10010
又
答略。