网络流模型,广告链接

x (1 xi ) 0 s.t. i n 0且n Z
得出结果：
X xi
i 1 n
对网站的建议: 根据此模型，建议网站设置广告窗口链接数为 X ，其中 xi =1 时，将第 i 个厂 商设置为网站广告链接，其中 xi =0 时不将其设置为广告链接。 6.2 模型二：全排列——整数规划模型 设广告链接窗口中广告排名越靠前，用户点击的概率越大，且公司根据往日 经验可统计出在广告链接窗口有 X 个广告链接时， 第 i 个链接被点击的概率为 pi 并有 p1 p2 p3 … pX .本文将所有前来投放广告的厂商进行全排列，且每排 列一次，将排列第 i 位的厂商放在第 i 个广告链接窗口，对其进行整数规划得出 当前排列下最优解 f ( X ) ，其中 pi =0 时，当前排列下第 i 位厂商不被列入广告链 接窗口。最后对所有排列的最优解 f ( X ) 选最大值得出最终的最优解。 求解当前排列的最优解 f ( X ) 目标函数：
3 名词解释与符号的说明
3.1 基本概念 点击量：衡量网站流量的一个指标，英文：page view，是指来访用户点击网 页链接的次数。 恶意点击：恶意点击存在于在线搜索广告，按点击付费模式中。当一个人对 广告本身没有兴趣， 而只是为了获得点击产生的收入，采取手段或利用计算机程 序的方式模仿正常用户点击广告时，所采用的点击手段。 搜索引擎广告：是指广告主根据自己的产品或服务的内容、特点等，确定相 关的关键词， 撰写广告内容并自主定价投放的广告。当用户搜索到广告主投放的 关键词时，相应的广告就会展示（关键词有多个用户购买时，根据竞价排名原则 展示） ，并在用户点击后按照广告主对该关键词的出价收费，无点击不收费。
2014 数学建模集训论文 8 月 23 日——8 月 25 日 第二组
题目名称：基于整数规划和网络流模型的广告链接设置方案
队伍信息
姓名 队长 队员 队员 陈梁 韩金龙 万校炜 学号 14121038 14121036 02129014 联系方式(手机号) 18792830562 18066837266 18700921402
F(X )。
对网站的建议： 由模型三，当链接数为 X 时，每条路的流量即对应该厂商的广告链接被点 击量正比于该厂商的广告链接被点击概率 pi ' 。其中流量为 0 的路代表网站不将 此路对应的厂商设为广告链接。 按此， 将各条路的流量即各厂商的广告链接被点 ' ' ' 击概率 pi 进行降序排列： p1 p2 p3' … pX ' 。 pi ' 对应的厂商为建议网站应 设的广告链接， i 为将该厂商在广告链接的排位数。需要说明的是，按照此模型 广告链接窗口链接为动态链接， 即当设置的厂商的广告链接支付费用达到支付上 限时，网站须将此厂商链接删除，以保证利润最大。
基于整数规划和网络流模型的广告链接设置方案
摘要
本文所解决的是合理设置相应的广告或服务链接数量使网站平均收入达到 最大的问题。 解决此问题本文采用了整数规划、最小费用最大流思想建立了三个 模型 。 模型一：假设在各广告链接点击概率相等的情况下，建立了 0-1 整数规划模 型， 根据目标函数的求解给出了网站应设置广告窗口的链接数以及对应的广告厂 商。 模型二：对模型一中各广告链接点击概率相等进行改进。假设广告链接窗口 排名越靠前， 用户点击的概率越大，且网站根据以往经验已知处于各排名的链接 被点击的概率。 将所有广告厂商进行全排列，且针对每一种排列建立整数规划模 型， 根据对目标函数的求解求得在当前排列下的最优解，然后对所有排列的最优 解求最大值即得到该全排列的最优解， 且给出了网站应设置的广告窗口链接数及 其在广告窗口中的排列顺序。 模型三：根据图论中的网络流模型，将每个广告链接的用户点击量当作网络 流中的边流量， 把厂商所支付的其链接被点击一次的费用的相反数当作每条有向 弧的单位运费， 建立了最小费用最大流网络模型。根据对该模型的求解得出了该 网络中每条路的流量， 其中流量为 0 的路表示网站不将该路对应的厂商广告设置 为广告链接。 最后得到网站应设的广告链接数及其在广告窗口中的排列顺序。此 外此模型广告链接窗口链接为动态链接， 即当设置的厂商的广告链接支付费用达 到支付上限时，网站须将此厂商链接删除，以保证利润最大。 最后， 本文还对三种模型进行优缺点评价，同时也提出了对广告链接位置面 向厂商竞价以求得网站利润的提高。
求解算法如图所示
开始
ans=0 否
是否存在S-T的路径
是
使用dijkstra算法找到 S-T费用和最小路， 记费用和为C 找到费用和最小 路上的最小容量V
ans=ans-C*V
对找的路上的每条正 向边容量-V，每条反 向边容量+V
输出ans
结束
图 6.3.2 最小费用最大流模型的算法流程图
由算法可得出每条路的流量 Si ，以及最小费用最大流结果下网站的广告利润
6
7 模型的检验
考虑到关键词的查询以及用户是否点击查询结果网页中的广告或服务的链 接具有随机性。当在固定的时间段内链接的总点击量为 r 时网站的实际利润为
f (r ) min ri mi , Ni
i 1
X
其中 ri 为网站中每个广告链接的实际点击量，且 r ri
i 1
X
故可定义网站的实际利润与理想利润的误差： f (r ) F ( X ) f (r ) 网站根据实际数据可计算此误差的大小，当误差较小时，说明网站设置的广告链 接数量及其顺序较为合理。
8 模型的评价与改进
8.1 模型的优点 （1）生活中广告链接被点击的人数是在一定范围内波动，本文在模型假设 中固定了某时段的点击广告的人数，在一定程度上忽略了次要因素，考虑了主要 矛盾。 （2）各模型在相应模型下都可以得出最优解，使网站获得的利润最大 （3）模型一的优点思路清晰，易于理解。 （4）模型二的优点在于思路简单，推广性高，适应不同数目厂商投放广告 的情况，而且都可计算出最优解，可使网站获得最大利润。 （5）模型三由于网站实际经验统计的广告链接概率 p1 p2 p3 … pX 只 是平均统计， 会因多种因素产生波动。模型三的网络流模型可根据各路的流量得 出最小费用最大流下对应厂商广告被点击的概率排序 p1' p2' p3' … pX ' ，弱 化实际条件 p1 p2 p3 … pX 。除此之外，当网络流支路的流量满流时，即
V1
1
)
,N (0
/m
,N
V2
2
1
S
(0,S)
V
2/m 2,N (-m (-m3,N3/m3)
(-m
)
(0, N
1
/m
1
2
/m 2
)
1
)
V3
(0,N3/m3)
T
(单位运费,边容量)
ห้องสมุดไป่ตู้
Vn
图 6.3.1 最小费用最大流网络模型图
网络流总运费
M (mi Si )
i 1 n
且有
S Si
f (X ) F(X )
M
Si
4 问题分析
由于用户对于关键词的查询以及是否点击查询结果网页中的广告或服务的 链接具有随机性，本文首先在假设各广告链接点击概率相等的情况下建立了 0-1 整数规划模型即模型一。 又因为考虑到实际情况即各广告链接点击概率与该链接 在所有广告链接中排名有关， 本文对模型一做出改进。假设广告链接窗口中广告 链接排名越靠前， 用户点击的概率越大。且网站根据往日经验可统计出在广告链 接窗口中有 X 个广告连接时 ， 第 i 个广告链接平均被点击的概率为 pi ，即有
2 模型的假设
（1）假设各广告链接不存在恶意点击。 （2）假设厂商足够多，即不存在广告窗口链接数远大于厂商数量的情况。 （3）假设广告链接窗口中各广告的点击概率不因厂商的特殊商标而改变。 （4） 假设在一个固定的广告时段内广告的总点击量与关键词的查询量成正 相关。 （5）模型一中，假设广告链接窗口中各广告被点击的概率相等。 （6）模型二、三中，假设广告在链接窗口中排名越靠前，用户点击的概率 越大。且网站根据往日经验可统计出在广告链接窗口中共 X 个链接时，第 i 个广 告链接平均被点击的概率为 pi ，即有 p1 p2 p3 … pX . （7） 假设在竞价规则中各厂商公平竞价。
2
关键词：关键词源于英文“keywords” ，特指单个媒体在制作使用索引时， 所用到的词汇。 是图书馆学中的词汇。 关键词搜索是网络搜索索引主要方法之一， 就是希望访问者了解的产品、服务和公司等具体名称用语。 3.2 符号说明 本模型所用主要变量符号及意义如表 3.2 所示
表 3.2 主要变量及符号意义
i 1 n
其中把用户点击量当作网络流中的流量， 把厂商所支付的其链接被点击一次 的费用的相反数当作每条有向弧的单位运费。 根据每个厂商在一个固定的广告时 段内的总广告支出费用均有自己的上限， 设置饱和点击量 Ni / mi 即模型中的边容 量。
5
(0 ,N n/ m
(-m
n
)
n
n
m n/ ,N )
设置网站链接总数 X 时，排名为 i 的链接被点击的概率 在当前排列中该厂商的当前排名 （第 i 位） n 家厂商全排列时， 0-1 变量即第 i 个厂商被设置为网站广告链接时 xi =1，反之为 0 0-1 规划矩阵中的决策矩阵 全排列时当前排列的整数规划最优解 最终最优解下的网站所得到的利润 网络流中的总费用 网络流中第 i 条路的流量
关键词： 链接数
关键词
整数规划
1
最小费用最大流
1 问题重述
1.1 问题的背景 网络广告收入是目前各大门户网站的最重要的收入来源之一， 门户网站利用 搜索引擎提供在线广告业务是增加网站收入的重要手段之一。 当网络用户用某 网站的搜索引擎查询某一关键词时，在搜索引擎提供的搜索结果的网页中，经常 会在该网页的某个地方出现与该关键词相关的产品的广告或服务的链接。 提供这 些广告或服务的厂商一般会按其链接的被点击次数来支付相应的广告费用。 考虑 到关键词的查询以及用户是否点击查询结果网页中的广告或服务的链接具有随 机性， 不同厂商支付给网站的其链接的每次点击费用是可以不同的，并且由于不 同厂商的财力不同， 也为避免某些恶意点击，每个厂商在一个固定的广告时段内 的总广告支出费用均有自己的上限。 1.2 具体问题 问题一：请针对某个关键词的查询，合理地设置相应的广告或服务的链接数 量使得网站的平均收入达到最大。 问题二：根据模型的结果，对网站提供有益的建议。