树和二叉树

树和二叉树树形结构（非线性结构）：1）节点之间有分支；2）具有层次关系。

应用：自然界的树；人类社会的家谱和行政组织机构；计算机中的编译（用树表示源程序的语法结构）、数据库系统（用树组织信息）、算法分析（用树描述执行过程）。

定义：是n（n>=0）个节点的有限集。

若n=0,称为空树；若n>0，则它满足如下两个条件；1）有且仅有一个特定的称为根的节点；2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。

树的其他表示方式：还可以用广义表的形式表示（A(B(D))(C(E)(F))）。

树的基本术语：根节点：非空树中无前驱节点的节点。

节点的度：节点拥有的子树数。

树的度：树内各节点的度的最大值。

叶子（终端节点）：度为0的节点分支节点（非终端节点）：根节点以外的分支节点称为内部节点。

孩子、双亲：节点的子树的根称为该节点的孩子，该节点称为孩子的双亲。

兄弟节点：节点的祖先：从根节点所经分支上的所有节点。

节点的子孙：以某节点为根的子树中的任一节点。

树的深度（高度）：树中最大层次（根节点为第一层）。

有序树：树中节点的各子树从左至右有次序（） 无序树：树中的节点没有次序。

森林：是m （m>=0）棵互不相交的树的集合。

一棵树可以看成是一个特殊的森林。

给森林中的各子树加上一个双亲节点，森林就变成了树（树一定是森林，森林不一定是树）。

二叉树的性质和存储结构性质1、在二叉树的第i 层上至多有2^(i -1)个节点（i>=1）。

至少1个归纳基：当i=1时，只有一个根节点，2^(i -1)=2^0=1，命题成立。

归纳假设：设对所有的j （1<=j<i ），命题成立，即第j 层上至多有2^(j -1)个节点。

那么可以证明j=i 时命题也成立。

归纳证明：由归纳假设可知，第i -1层上至多有2^(i -2)个节点。

由于二叉树每个节点的度最大为2，故在第i 层上最大节点数为第i -1层上最大节点数的2倍，即：2*2^(i -2)=2^(i -1)。

证毕。

性质2、深度为K 的二叉树至多有2^k -1个节点（k>=1）。

至少有k 个节点由性质1可见，深度为k 的二叉树的最大节点数为∑=-ki i 1)1(^2=2^k -1性质3：对任何一棵二叉树T ，如果其终端节点数为n0，度为2的节点数为n2，则 n0=n2+1。

总边数为B ，B=n -1; B=n2*2+n1*1; n=n2*2+n1*1+1 总节点数为n ，n=n2*2+n1*1+1; 又 n0=n2+1满二叉树·一棵深度为k 且有2^k -1个节点的二叉树称为满二叉树。

·特点：1）每一层上的节点数都是最大节点数（即每层都满，不能空的）；2）叶子节点全部在最底层。

·对满二叉树节点位置进行编号：·编号规则：从根节点开始，自上而下，自左而右。

·每一节点位置都有元素。

·满二叉树在同样深度的二叉树中节点个数最多；满二叉树在同样深度的二叉树中叶子节点个数最多。

完全二叉树定义：深度为k的具有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的节点一一对应时（1~n之间的节点不能断），称之为完全二叉树。

注：在满二叉树中，从最后一个节点开始，连续去掉任意个节点，即是一个完全二叉树。

特点：1、叶子节点只可能分布在层次最大的两层上。

2、对任一节点，如果其右子树的最大层次为i，则其左子树的最大层次必为i或i+1.完全二叉树的性质性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度为。

公式为取3,3+1=4；所以有4层性质4表明了完全二叉树节点数n与完全二叉树深度k之间的关系。

性质5：如果对一棵有n个节点的完全二叉树（深度为[log2n]+1）,节点按层序编号（从第1层到第[log2n]+1层，每层从左到右），则对任一节点i(1<=i<-n),有：1)如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果>1,则其双亲是节点[i/2]。

2)如果2*i>n,则节点i为叶子节点，无左孩子；否则，其左孩子是节点性质5表明了完全二叉树中双亲节点编号与孩子节点编号之间的关系二叉树的顺序存储实现：按满二叉树的节点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。

//二叉树的顺序存储表示#define MAXSIZE 100typedef int SqBitree[MAXSIZE]//这里将树的存储类型定义为int型SqBitree bt;缺点：最坏情况深度为k的且有k个节点的单支树需要长度为2^k-1的一维数组。

特点：节点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树。

二叉树的链式存储结构//二叉链表存储结构typedef struct BiNode{int data;struct BiNode *Lchild ,*Rchild;}BiNode,*BiTree;在n个节点的二叉链表中，有n+1个空指针，分析：总共必有2*n个链域，其中除了根节点外每个节点都有一条链域与前驱相连，所以共消耗n-1个链域，因此，空指针为2*n-(n-1)=n+1(个）三叉链表：typedef struct TriTNode{int data;struct TriTNode *Lchild ,*Rchild,*parent;}TriTNode,*TriTree;遍历二叉树遍历定义：顺着某一条搜索路径寻访二叉树中的节点，使得每个节点均被访问一次，而且仅被访问一次（又称周游）。

-----”访问”的含义很广，可以是对节点作各种处理，如：输出节点的信息、修改节点的数据值等，但要求这种访问不破坏原来的数据结构。

遍历目的：得到树中所有节点的一个线性排列。

遍历用途：它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提，是二叉树一切运算的基础和核心。

遍历二叉树的算法描述：根据遍历序列确定二叉树·若二叉树中各节点的值均不相同，则二叉树节点的先序序列、中序序列和后序序列都是唯一的。

·有二叉树的先序序列（先序遍历，根节点不在序列头部）和中序序列，或有二叉树的后序序列和中序序列（后序遍历，根节点必在后序序列尾部）可以确定唯一一颗二叉树。

有先序和后序就不行。

【算法5.1】遍历//先序遍历递归,后序和中序改变顺序即可int preorder(Bitree t){if(t==null) return 0;//空二叉树else{visit(t);//访问根节点preorder(t.Tchild);//递归调用左子树preorder(t.Rchild);}}如果去掉输出语句，从递归的角度看，三种算法是完全相同的，或说这三种算法的访问路径是相同的，只是访问节点的时机不同。

时间复杂度：O（n）--------每个节点只访问一次空间复杂度：O（n）---------栈占用的最大辅助空间【先序非递归算法】void preorder_digui(Bitree t){initStack(s);push(s,t);while(!stackEmpty(s)){while(gettop(s,p)&&p){visit(p->data);push(s,p->lchild);}pop(s,p);if(!stackEmpty(s)){pop(s,p);push(s,p->rchild);}}}中序非递归算法二叉树中序遍历的非递归算法的关键：在中序遍历过某节点的整个左子树后，如何找到该节点的根以及右子树。

基本思想：1）建立一个栈2）根节点进栈3）根节点出栈，输出根节点，遍历右子树。

代码实现：//中序遍历非递归int InOrderTraverse(Bitree t){Bitree p;Initstack(S); p= t;while(p || !StackEmpty(S)){if(p){Push(S,p);p = p->lchild;}else{Pop(S,p);If(p)printf("c%",p->data);p=p->rchild;}return 1;}}void preorder_digui(Bitree t){initStack(s);push(s,t);while(!stackEmpty(s)){while(gettop(s,p)&&p){push(s,p->lchild);}pop(s,p);if(!stackEmpty(s)){pop(s,p);If(p)visit(p->data);push(s,p->rchild);}}}【后序非递归算法】二叉树的层次遍历思路：使用一个队列1）将根节点进队2）对不空时循环：从队列中列出一个节点*p,访问它；a.若它有左孩子节点，将左孩子节点进队；b.若它有右孩子节点，将左孩子节点进队。

//使用队列类型定义typedef struct{Btnode data[Maxsize];//存放对中元素int front,rear;//队头和队尾指针}SqQueue;【算法】层次遍历算法void levelOrder(BitNode *b){BitNode *p; SqQueue *qu;initQueue(qu); //初始化队列enQueue(qu,b); //根节点指针进入队列while(!QueueEmpty(qu)){//对不为空，则循环dequeue(qu,p);//出队节点printf("%c",p->data);//访问节点pif(p->Tchild != null){enQueue(qu,p->Tchild);//有左孩子时将其进队}if(p->Rchild != null){enQueue(qu,p->Rchild);//有右孩子时将其进队}}}【算法】层次遍历使用栈实现Void stact_sort(BiTree T){BiNode *p;Stack *S;InitStack(S);Push(S,T);While(!EmptyStack(S)){}}按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表例：已知先序序列为：ABCDEFG1）从键盘输入二叉树的节点信息，建立二叉树的存储结构2）在建立二叉树的过程中按照二叉树先序方式建立。

二叉树遍历算法的应用------复制二叉树1）如果是空树，递归结束；2）否则，申请新节点空间，复制根节点a)递归复制左子树b)递归复制右子树【算法】复制二叉树int cpoy(Bitree t,Bitree &newt){if(t == null){//如果是空树返回0newt = null;return 0;}else{newt = ((BitNode*)malloc(sizeof(BitNode));//newt = new BitNode;newt->data = t->data;copy(t->Tchild,newt->Tchild);copy(t->Rchild,newt->Rchild)}}计算二叉树的深度1）如果是空树，则深度为0；2）否则，递归计算左子树的深度记为m，递归计算右子树的深度记为n，二叉树的深度则为m与n的较大者加1。