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数据结构第六章树和二叉树.ppt
线性表
A 线性结构
栈
队 1．数据的逻辑结构
数 据
树形结构 B 非线性结构
结
构
图形结构
的
三 个
2、数据的存储结构 A 顺序存储
方 面
B 链式存储
3、数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等。
第六章 树和二叉树
6.1 树的定义和基本术语 6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
TraverseTree ( T，Visit() ) ； 初始条件：树t存在， Visit是对结点操作的应用函数。 操作结果：按某种次序对T的每个结点调用函数Visit ()一次且至 多一次。一旦Visit ()失败，则操作失败。
堂兄弟——其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。K L
M
结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…。
深度(depth)——树中结点的最大层次数。
森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合。
树的抽象数据类型定义：
ADT Tree｛ 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R：若D为空集，则称为空树; 若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R＝｛H｝，H是如下二元关系： （1）在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱； （2）若D－｛root｝≠Ф，则存在D－｛root｝的一个划分D1, D2, ..., Dm （m＞0），对任意j≠k（1≤j,k≤m）有Dj∩Dk=φ ，且对任意 的i（1≤i≤m），唯一存在数据元素xi∈Di，有<root,xi> ∈ H; （3）对应于D－｛root｝的划分，H－｛<root,x1>，....，<root,xm>｝ 有唯一的一个划分H1 , H2 ,..., Hm （m＞0），对任意j≠k （1≤j,k≤m）有Hj∩Hk=Ф ，且对任意的i（1≤i≤m），Hi 是Di上 的二元关系，（Di ,{Hi}）是一棵符合本定义的树，称为根root的子 树。
A 线性结构
栈
队 1．数据的逻辑结构
数 据
树形结构 B 非线性结构
结
构
图形结构
的
三 个
2、数据的存储结构 A 顺序存储
方 面
B 链式存储
3、数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等。
第六章 树和二叉树
6.1 树的定义和基本术语 6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
TraverseTree ( T，Visit() ) ； 初始条件：树t存在， Visit是对结点操作的应用函数。 操作结果：按某种次序对T的每个结点调用函数Visit ()一次且至 多一次。一旦Visit ()失败，则操作失败。
堂兄弟——其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。K L
M
结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…。
深度(depth)——树中结点的最大层次数。
森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合。
树的抽象数据类型定义：
ADT Tree｛ 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R：若D为空集，则称为空树; 若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R＝｛H｝，H是如下二元关系： （1）在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱； （2）若D－｛root｝≠Ф，则存在D－｛root｝的一个划分D1, D2, ..., Dm （m＞0），对任意j≠k（1≤j,k≤m）有Dj∩Dk=φ ，且对任意 的i（1≤i≤m），唯一存在数据元素xi∈Di，有<root,xi> ∈ H; （3）对应于D－｛root｝的划分，H－｛<root,x1>，....，<root,xm>｝ 有唯一的一个划分H1 , H2 ,..., Hm （m＞0），对任意j≠k （1≤j,k≤m）有Hj∩Hk=Ф ，且对任意的i（1≤i≤m），Hi 是Di上 的二元关系，（Di ,{Hi}）是一棵符合本定义的树，称为根root的子 树。
树和二叉树 PPT课件
C
E
D
F
C
D
C
D
F
E F 二叉链表
E
二叉树
三叉链表
三叉链表的静态结构
root data parent lchild rchild 0 1 2 3 4 5 A B C D E F -1 0 1 1 3 3 1 2 -1 4 -1 -1 -1 3 -1 5 -1 -1
A
B C E D F
0
1 3 7 8 9 4 5
2 6
4. 二叉树的存储结构
顺序表示
1
2 4 5 6 3 7 7 4 8 2 5 9 1 3 6 10 9
8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 910
完全二叉树 的顺序表示
1 2 3 4 0 5 6 7 8 0 0 0 0 910
一般二叉树 的顺序表示
链表表示
第六章 树和二叉树
1. 2. 3. 4. 5. 6.
树的定义和基本术语 二叉树 遍历二叉树与线索二叉树 树与森林 赫夫曼树 及其应用 二叉树的计数
6.1 树的定义和基本术语
树的定义
树是由 n (n 0) 个结点组成的有限集合。如果 n = 0， 称为空树；如果 n > 0，则 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直 接后继，但没有直接前驱； 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不 相交的有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合Ti本身又是一 棵树，并且称为根的子树(SubTree)。
特点
每个结点至多只有两棵非空子树（二叉树中 不存在度大于2的结点）
2.五种形态
数据结构第6章树和二叉树基本概念和二叉树ppt课件
§6.2 二叉树
❖二叉树的定义
问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？ 普通树呢？ 5种/2种
§6.2 二叉树
❖二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{
数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ；
若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系：
第6章 树和二叉树
§6.1 树的基本概念
❖树的逻辑定义
树是由n (n≥0)个结点组成的有限集合T。 在任意一个非空树中：
有且仅有一个特定的结点称为根(root)； n > 1时，其余结点可以分为m (m>0) 个互不相交 的有限集T1, T2, T3, …,Tm，其中每一个集合本身又是 一棵树，且称为根的子树。 注意：1.树的定义具有递归性，即树中有树。
§6.2 二叉树
❖二叉树的性质
讨论3：二叉树的叶子数和度为2的结点数之间有关系吗？ 性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子数 （n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
证明： ∵ 二叉树中全部结点数n＝n0+n1+n2(叶子数＋1度结点数＋2度结点数)
又∵ 二叉树中全部结点数n＝B+1 (总分支数＋根结点 ) （除根结点外，每个结点必有一个直接前趋，即一个分支）
=
方 良
蒋丘
纬 国
=
如 雪
蒋徐
孝 文
=
乃 锦
蒋汪
孝 武
=
长 诗
蒋俞
孝 章
=
扬 和
蒋方
孝 勇
=
智 怡
蒋王
孝 刚
=
倚 惠
树和二叉树专题知识课件
这里，若T为根指针，则遍历左右子树时，是分别遍历以 T->lchild 和T->rchild 为根指针旳子树。
因为各子树旳遍历和整个二叉树旳遍历方式相同，所以， 各子树旳遍历可递归调用二叉树旳遍历算法。
先序遍历递归算法如下：
void PreOrder ( BiTree *T) { if ( T )
设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2旳结点射出， B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
两种特殊形式旳二叉树
满二叉树 —— 一棵深度为k且有2 k-个1结点旳二叉树
特点：每一层上旳结点数都是最大结点数
完全二叉树 —— 深度为k，有n个结点旳二叉树当且仅当其每一种结点 都与深度为k旳满二叉树中编号从1至n旳结点一一相应 特点： 叶子结点只可能在层次最大旳两层上出现 对任一结点，若其右分支下子孙旳最大层次为l，则其 左分支下子孙旳最大层次必为l 或l+1
D HJ M
I
C G
A
B E K
L F C G D H
M I J
(A (B(E(K , L) , F) , C(G) , D(H(M) , I , J)))
树和二叉树
6.1 树旳定义和基本术语 ☞ 6.2 二叉树
6.3 遍历二叉树 6.4 线索二叉树 6.5 树和森林 6.6 哈夫曼树
6.2 二叉树
b cd
a f
g
eh i
j
6.3 遍历二叉树
6.3.1 遍历二叉树
☞ 6.3.2 遍历二叉树旳递归算法
6.3.3 遍历二叉树旳非递归算法 6.3.4 递归算法旳应用（3个算法）
因为各子树旳遍历和整个二叉树旳遍历方式相同，所以， 各子树旳遍历可递归调用二叉树旳遍历算法。
先序遍历递归算法如下：
void PreOrder ( BiTree *T) { if ( T )
设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2旳结点射出， B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
两种特殊形式旳二叉树
满二叉树 —— 一棵深度为k且有2 k-个1结点旳二叉树
特点：每一层上旳结点数都是最大结点数
完全二叉树 —— 深度为k，有n个结点旳二叉树当且仅当其每一种结点 都与深度为k旳满二叉树中编号从1至n旳结点一一相应 特点： 叶子结点只可能在层次最大旳两层上出现 对任一结点，若其右分支下子孙旳最大层次为l，则其 左分支下子孙旳最大层次必为l 或l+1
D HJ M
I
C G
A
B E K
L F C G D H
M I J
(A (B(E(K , L) , F) , C(G) , D(H(M) , I , J)))
树和二叉树
6.1 树旳定义和基本术语 ☞ 6.2 二叉树
6.3 遍历二叉树 6.4 线索二叉树 6.5 树和森林 6.6 哈夫曼树
6.2 二叉树
b cd
a f
g
eh i
j
6.3 遍历二叉树
6.3.1 遍历二叉树
☞ 6.3.2 遍历二叉树旳递归算法
6.3.3 遍历二叉树旳非递归算法 6.3.4 递归算法旳应用（3个算法）
第6章树和二叉树好精品PPT课件
或深度为k的满二叉树中编号从1到n的前n个结点构成了一棵深度 为k的完全二叉树。
其中 2k-1 ≦ n≦2k-1 。
完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特 例。
•完全二叉树的特点：
若完全二叉树的深度为k ，则所有的叶子结点都出现在第k层
或k-1层。对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左 子树的最大层次为l或l+1。
结点的层次：从根开始定义为第1层，根的孩子
v
为第二层……。
树的深度（高度）：树中结点的最大层数。
森林（forest）：是m（m ≥ 0）棵互不相交的树
的集合。
6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义 1 二叉树的定义
二叉树(Binary tree)是n(n≥0)个结点的有限集 合。若n=0时称为空树，否则： ⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点； ⑵ 若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相
(a) 二叉链表结点
(b) 三叉链表结点
图6-7 链表结点结构形式
(2) 二叉树的链式存储形式
例有一棵一般的二叉树，如图6-8(a)所示。以二叉链表和三叉链表 方式存储的结构图分别如图6-8(b) 、 6-8(c)所示。
a b cd
T a⋀
b ⋀c ⋀ d
T a ⋀⋀
b ⋀c ⋀ d
交的子集T1,T2，分别称之为左、右子树，并 且左、右子树又都是二叉树。 由此可知，二叉树的定义是递归的。
2 二叉树的基本形态 二叉树有5种基本形态，如图6-3所示。
AA
A
A
(a) (b)
(c) (d)
(e)
(a) 空二叉树 (b) 单结点二叉树 (c) 右子树为空
其中 2k-1 ≦ n≦2k-1 。
完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特 例。
•完全二叉树的特点：
若完全二叉树的深度为k ，则所有的叶子结点都出现在第k层
或k-1层。对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左 子树的最大层次为l或l+1。
结点的层次：从根开始定义为第1层，根的孩子
v
为第二层……。
树的深度（高度）：树中结点的最大层数。
森林（forest）：是m（m ≥ 0）棵互不相交的树
的集合。
6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义 1 二叉树的定义
二叉树(Binary tree)是n(n≥0)个结点的有限集 合。若n=0时称为空树，否则： ⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点； ⑵ 若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相
(a) 二叉链表结点
(b) 三叉链表结点
图6-7 链表结点结构形式
(2) 二叉树的链式存储形式
例有一棵一般的二叉树，如图6-8(a)所示。以二叉链表和三叉链表 方式存储的结构图分别如图6-8(b) 、 6-8(c)所示。
a b cd
T a⋀
b ⋀c ⋀ d
T a ⋀⋀
b ⋀c ⋀ d
交的子集T1,T2，分别称之为左、右子树，并 且左、右子树又都是二叉树。 由此可知，二叉树的定义是递归的。
2 二叉树的基本形态 二叉树有5种基本形态，如图6-3所示。
AA
A
A
(a) (b)
(c) (d)
(e)
(a) 空二叉树 (b) 单结点二叉树 (c) 右子树为空
数据结构6章 树、二叉树PPT资料34页
root
A
B
C
B
∧C
D
E
G
(a) 二叉树
∧D ∧
∧E ∧ (b) 链式存储结构
∧G ∧
2020/5/29
6.2.4 声明二叉树类
1．二叉树的结点类
package ds_java; public class TreeNode1 {
public String data; public TreeNode1 left,right; public TreeNode1() {
}
}
2020/5/29
3．按后根次序遍历二叉树的递归 算法
public void postorder(TreeNode1 p)
{
//后根次序遍历二叉树
if(p!=null)
{
postorder(p.left);
postorder(p.right);
depth=3
E
F
G
H
I
J level=3
(a) n=0 空树
(b) n=1 树中只有一个根结点
(c) n=10,度为3的树
2020/5/29
6.1.2 树的术语
1．结点 2．孩子结点与双亲结点 3．兄弟结点 4．结点的度 5．叶子结点与分支结点 6．树的度
7．结点的层次 8．树的深度或高度 9．森林
– 当n>1时，除根结点之外的其他结点分为m（m≥0）个互不相交的集合 T1, T2, …, Tm，其中每个集合Tm（1≤i≤m）本身又是一棵结构与树类 同的子树（subtree）。每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱结点 ，但可以有零或多个直接后继结点。
root
root
chapter 6 树和二叉树.ppt
6-Jan-20
12
二叉树的操作
二叉树的操作同普通树的操作类似 二叉树的遍历操作是最重要的操作 二叉树的遍历包括
先序遍历 中序遍历 后序遍历
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13
2 二叉树的重要特性
性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i-1 (i≥1) 个 节点
证明：第1层只有1个节点1=21-1=20 假定第i层的节点个数为2i-1 那么由于二叉树每个节点最多有两个分支，因此第i+1层
孩子，该节点称为孩子的双亲
A
B CD
E
F
G
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4
树的基本术语（续）
兄弟 ( sibling)：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。 祖先(ancestor) ：从根节点到某个节点所经分支上的所有节点。 子孙（descendant) ：以某个节点为根节点的子树中的所有节点均是该节
点的子孙。 堂兄弟：双亲在同一个层次上的节点互为堂兄弟。 节点所处层次(level) ：根为第一层，根的孩子为第二层，依此类推。 树的深度(depth)（高度） ：树中所有节点层次的最大值。
A
B CD
E
F
G
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5
树的基本术语（续）
有序树与无序树：树的各个子树从左至右的顺序不 可以调换则称为有序树，否则为无序树。
森林（Forest）：m(m≥0)棵互不相交的树的集合称 为森林。
对树中每个节点而言，其子树的集合就构成森林。
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6
树的基本术语举例
1
节点A的度：3 节点B的度：2 节点M的度：0
如果D≠Ø ，则 R={H}，H是满足以下条件的二元关系：
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InitBiTree (&T); 操作结果：构造空二叉树T。
DestroyBiTree (&T); 初始条件：二叉树T存在。 操作结果：销毁二叉树T。
CreateBiTree (&T, definition); 初始条件：definition给出二叉树T的定义。 操作结果：按definition构造二叉树T。
ClearBiTree (&T); 初始条件：二叉树T存在。 操作结果：将二叉树T清为空树。
BiTreeEmpty(T); 初始条件：二叉树T存在。 操作结果：若T为空二叉树，则返回TRUE，否则返回FALSE。
InsertChild(&T, &P, i, c); 初始条件：树T存在，p指向T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度＋1，非空 树c与T不相交。 操作结果：插入c为T中p指结点的第i棵子树。
DeleteChild(&T, &P, i); 初始条件：树T存在，p指向T中某个结点，1≤i≤p指结点的度。 操作结果：删除T中p所指结点的第i棵子树。
TraverseTree(T, visit()); 初始条件：树T存在，visit是对结点操作的应用函数。 操作结果：按某种次序对T的每个结点调用函数visit()一次且至多一次。 一旦visit()失败，则操作失败。
}ADT Tree
￡6.1.2 基本术语 结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。在树的
￡6.2 二叉树
￡6.2.1 二叉树的定义
（1）定义 二叉树（Binary Tree）：是另一种树型结构。 特点：①每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2 的结点）。 ②子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
（2）图形表示
(a) (b)
(a) 空二叉树
(b) 仅有根结点的二叉树
(c) 右子树为空的二叉树
(d) 左、右子树均非空的二叉树
(c)
(d)
(e)
(e) 左子树为空的二叉树
图6.3 二叉树的5种基本形态
（3）二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R： 若D = Ф，则R =Ф，称BinaryTree为空二叉树； 若D≠Ф，则R={H},H是如下二元关系： （1）在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱； （2）若D－{root}≠Ф，则存在D－{root} = {Dl, Dr}，Dl且∩Dm =Ф； （3）若Dl≠Ф，则Dl中存在唯一的元素x1，有<root, xl>∈H，且存在Dl 上的关系Hl H;若 Dr≠Ф,则Dr中存在唯一的元素xr,有<root, xr> ∈H，且存在Dl上的关系Hr H；H = {<root, xl>, <root, xr>, Hl, Hr}； （4）(Dl, {Hl})是一棵符合本定义的二叉树，称为根的左子树，(Dr, {Hr}) 是一棵符合本定义的二叉树，称为根的右子树。 基本操作：
LeftChild(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：若cur_e是T的非叶ightSibling(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则函数值为“空”。
兄弟（Sibling）：同一个双亲的孩子之间互称为兄弟。
祖先：从根到某结点所经分支上的所有结点，称为该结点的祖先。
子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。 层次（Level）：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二 层。若某结点在第k层，则其子树的根就在第k＋1层。 堂兄弟：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
chapter06树和二叉树
￡6.1 树
￡6.1.1 树的定义
（1）定义 树（Tree）：是n（n≥0）个结点的有限集。
定义一：（递归定义）： ①在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根（root） 的结点； ②当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集 T1, T2, … , Tm，其中每一个集合本身又是一棵树。并且 T1, T2, … , Tm，称为根的子树（SubTree）。
图形表示中为一个圆圈。
结点的度（Degree）：结点拥有的子树树。 叶子（或终端结点）（Leaf）：度为0的结点。即没有子树 的结点。 孩子（Child）：结点的子树的根，称为该结点的孩子。 内部结点：除根结点之外的分支结点。 树的度：树内各结点的度的最大值。 分支结点（或非终端结点）：度不为0的结点。 双亲（Parent）：结点的子树的根，称为该结点的孩子，该 结点称为孩子的双亲。
定义二：（形式定义） 任何一棵树是一个二元组Tree = (root, F)。
其中：root是数据元素，称做树的根结点；F是m（m≥0）棵树的森林， F＝（T1, T2, … , Tm），其中Ti = (ri, Fi)称做根root的第i棵子树；当m≠0 时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：
RF = {<root, ri> | i = 1, 2, … ,m; m > 0}
深度（高度）（Depth）：树中结点的最大层次。
有序树：若将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能 互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子 树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
森林（Forest）：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中 每个结点而言，其子树的集合即为森林。
（2）表示形式
层次
A
1
BCD
2
E F GH I J 3
KL
M
4
图6.1 一般的树
该树有13个结点。其中，A是树根，其余结点分成3个互不相交的子集： T1={B, E, F, K, L}，T2={C, G}，T3={D, H, I, J, M}; T1、T2和T3都是A的子树， 其本身也是一棵树。
Parent(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为“空”。
DestroyBiTree (&T); 初始条件：二叉树T存在。 操作结果：销毁二叉树T。
CreateBiTree (&T, definition); 初始条件：definition给出二叉树T的定义。 操作结果：按definition构造二叉树T。
ClearBiTree (&T); 初始条件：二叉树T存在。 操作结果：将二叉树T清为空树。
BiTreeEmpty(T); 初始条件：二叉树T存在。 操作结果：若T为空二叉树，则返回TRUE，否则返回FALSE。
InsertChild(&T, &P, i, c); 初始条件：树T存在，p指向T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度＋1，非空 树c与T不相交。 操作结果：插入c为T中p指结点的第i棵子树。
DeleteChild(&T, &P, i); 初始条件：树T存在，p指向T中某个结点，1≤i≤p指结点的度。 操作结果：删除T中p所指结点的第i棵子树。
TraverseTree(T, visit()); 初始条件：树T存在，visit是对结点操作的应用函数。 操作结果：按某种次序对T的每个结点调用函数visit()一次且至多一次。 一旦visit()失败，则操作失败。
}ADT Tree
￡6.1.2 基本术语 结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。在树的
￡6.2 二叉树
￡6.2.1 二叉树的定义
（1）定义 二叉树（Binary Tree）：是另一种树型结构。 特点：①每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2 的结点）。 ②子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
（2）图形表示
(a) (b)
(a) 空二叉树
(b) 仅有根结点的二叉树
(c) 右子树为空的二叉树
(d) 左、右子树均非空的二叉树
(c)
(d)
(e)
(e) 左子树为空的二叉树
图6.3 二叉树的5种基本形态
（3）二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R： 若D = Ф，则R =Ф，称BinaryTree为空二叉树； 若D≠Ф，则R={H},H是如下二元关系： （1）在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱； （2）若D－{root}≠Ф，则存在D－{root} = {Dl, Dr}，Dl且∩Dm =Ф； （3）若Dl≠Ф，则Dl中存在唯一的元素x1，有<root, xl>∈H，且存在Dl 上的关系Hl H;若 Dr≠Ф,则Dr中存在唯一的元素xr,有<root, xr> ∈H，且存在Dl上的关系Hr H；H = {<root, xl>, <root, xr>, Hl, Hr}； （4）(Dl, {Hl})是一棵符合本定义的二叉树，称为根的左子树，(Dr, {Hr}) 是一棵符合本定义的二叉树，称为根的右子树。 基本操作：
LeftChild(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：若cur_e是T的非叶ightSibling(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则函数值为“空”。
兄弟（Sibling）：同一个双亲的孩子之间互称为兄弟。
祖先：从根到某结点所经分支上的所有结点，称为该结点的祖先。
子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。 层次（Level）：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二 层。若某结点在第k层，则其子树的根就在第k＋1层。 堂兄弟：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
chapter06树和二叉树
￡6.1 树
￡6.1.1 树的定义
（1）定义 树（Tree）：是n（n≥0）个结点的有限集。
定义一：（递归定义）： ①在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根（root） 的结点； ②当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集 T1, T2, … , Tm，其中每一个集合本身又是一棵树。并且 T1, T2, … , Tm，称为根的子树（SubTree）。
图形表示中为一个圆圈。
结点的度（Degree）：结点拥有的子树树。 叶子（或终端结点）（Leaf）：度为0的结点。即没有子树 的结点。 孩子（Child）：结点的子树的根，称为该结点的孩子。 内部结点：除根结点之外的分支结点。 树的度：树内各结点的度的最大值。 分支结点（或非终端结点）：度不为0的结点。 双亲（Parent）：结点的子树的根，称为该结点的孩子，该 结点称为孩子的双亲。
定义二：（形式定义） 任何一棵树是一个二元组Tree = (root, F)。
其中：root是数据元素，称做树的根结点；F是m（m≥0）棵树的森林， F＝（T1, T2, … , Tm），其中Ti = (ri, Fi)称做根root的第i棵子树；当m≠0 时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：
RF = {<root, ri> | i = 1, 2, … ,m; m > 0}
深度（高度）（Depth）：树中结点的最大层次。
有序树：若将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能 互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子 树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
森林（Forest）：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中 每个结点而言，其子树的集合即为森林。
（2）表示形式
层次
A
1
BCD
2
E F GH I J 3
KL
M
4
图6.1 一般的树
该树有13个结点。其中，A是树根，其余结点分成3个互不相交的子集： T1={B, E, F, K, L}，T2={C, G}，T3={D, H, I, J, M}; T1、T2和T3都是A的子树， 其本身也是一棵树。
Parent(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为“空”。