中考数学总复习：特殊的四边形--巩固练习(基础)【含解析】.doc
苏科版数学中考复习专题练习— 特殊四边形(含答案)
特殊四边形一、学习目标1．理解多边形的内角和、外角和公式，了解正多边形，四边形的不稳定性；2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，判定和性质，会利用这些性质和判定进行计算与推理；3．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．二、典型例题题型一、多边形及其内角和、外角和1．多边形的对角线例题1．（1）五边形共有对角线的条数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8（2）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是 ．【题小结】找到对角线与边数的关系借题发挥：一个n 边形共有n 条对角线，将这个n 边形截去一个角后它的边数为 ．2. 多边形内角和、外角和例题2．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．【题小结】运用多边形的内角和、外角和公式借题发挥：如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ ∥BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为 ．题型二、平行四边形及其判定和性质 １．平行四边形判定例题3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ． AB ∥DC ，AD ∥BC B ．AB = DC ，AD = BC C ． AB ∥DC ，AD =BC D ．OA = OC ，OB =OD【题小结】灵活运用平行四边形判定借题发挥：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 使边BC 上一点，且DE ＝DC ． 求证：AD ＝BE ．2．平行四边形性质例题4．（1）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD ＝AE ＝BE ，∠D ＝102°，则∠BAC 的大小是____________．（2）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于．【题小结】灵活运用平行四边形性质A DB EC Q PD A B C OO E D C B A E D A B C F D A E C B D O A C B 借题发挥：如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34（例题4（1）） （例题4（2））（借题发挥）题型三、矩形及其判定和性质1．矩形判定例题5．已知平行四边形ABCD 中，下列条件：①AB ＝BC ；②AC ＝BD ；③AC ⊥BD ；④AC 平分∠BAD ，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【题小结】灵活运用矩形判定借题发挥：如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，A C ．若AD ＝AF ，求证：四边形ABFC 是矩形．2．矩形性质例题6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知∠BOC ＝120°，DC ＝3cm ，则AC 的长为______cm ．【题小结】灵活运用矩形性质借题发挥：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（ ）．A ．485B ．325C ．245D ．125（例题6）（借题发挥）3．折叠问题 E D B C F G A F D E A B C O。
初中数学中考二轮复习重难突破专题08 特殊四边形(含答案)
专题08 特殊四边形重点分析在中考中，平行四边形主要在选择题，填空题和简单的解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查；多变形主要在选择题和填空题考查为主。
难点解读难点一：平行四边形一、平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO一、平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形难点二：矩形一、矩形的概念与性质1.概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.性质：（1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。
二、矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个直角的四边形是矩形。
难点三：菱形性质及判定一、菱形的概念和性质1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．二、菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3. 四条边相等的四边形是菱形（边）难点四：正方形性质及判定一、正方形的概念和性质1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
人教版 初中数学中考一轮复习---特殊的平行四边形(含解析)
特殊的平行四边形例1. 如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4例2. 正方形的对称轴的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3. 边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm例4.下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形A组1、四个内角都相等的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形2、符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（）A、四边都相等B、两组邻边分别相等C、对角线互相垂直平分D、两条对角线分别平分一组对角3、下列说法不正确．．．的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形B组4、矩形的两边长分别是 3cm 和 4cm，则对角线长＿＿＿＿cm。
5、如果矩形一条较短的边是 5，两条对角线的夹角是 60°，则对角线长是＿＿＿＿。
6、菱形两条对角线的长分别是 12 和 16，则它的边长为＿＿＿＿。
7、两条对角线＿＿＿＿＿的四边形是正方形。
8、如图，一张矩形的纸片，要折出一个正方形，只要把一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的根据是。
9、如图２，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．18 C．16 D．1510、如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm 则∠1＝度.11、如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC的度数是（）A、112.5°B、120°C、122.5°D、135°12、如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．125B．65C．245D．不确定13、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得 △ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．14、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.15、如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．16、如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F.（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？EDCBAFFDC BAOE图2C 组17、 (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF .(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).18、已知：菱形ABCD ，AC=8，BD=6，若将此菱形沿一条对角线剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个不重叠的凸四边形，画出所有拼成的四边形的示意图，并写出所拼四边形（不包括菱形）的对角线的长（不要求写计算过程）.19、如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）.（1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN （点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.图1B 图2特殊的平行四边形例1. 如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：正方形的性质．分析：连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．解答：解：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O 的距离小于是本题的关键．例2. 正方形的对称轴的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：轴对称的性质分析：根据正方形的对称性解答．解答：解：正方形有4条对称轴．故选D．点评：本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．例3. 边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm考点：菱形的性质．分析：利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．解答：解：∵菱形的各边长相等，∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12（cm）．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．例4.下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形考点：命题与定理．分析：根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．解答：解：A、四个角相等的四边形是矩形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为真命题；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以D选项为真命题．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．1、答、A【思路分析】正方形具有矩形、菱形的一切性质。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形全章复习与巩固习题巩固练习(含解析)北师大版
《特殊平行四边形》全章复习与巩固【巩固练习】一.选择题1. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的( ).A ．B ．C ．D ．2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）.A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形3. 如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）.A ．10cm 2B ．20cm 2C ．40cm 2D ．80cm 24. 如图，在矩形ABCD 中，点P 是BC 边上的动点,点R 是CD 边上的定点。
点E 、F 分别是AP,PR 的中点。
当点P 在BC 上从B 向C 移动时，下列结论成立的是（ ）.A ．线段EF 的长逐渐变大；B ．线段EF 的长逐渐减小；C ．线段EF 的长不改变；D ．线段EF 的长不能确定.5. 如图是一块矩形ABCD 的场地，长AB ＝102m ，宽AD ＝51m ，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( ).A ．5 0502mB ．4 9002mC ．5 0002mD ．4 9982m6. 如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和682cm ,那么矩形ABCD 的面积是（ ）.A ．212cmB ．162cmC ．242cmD ．92cm7. 正方形内有一点A ，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ） .A ．10B ．20C ．24D ．258. 如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A ．23 B ．12 C D 二.填空题9. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点，PE⊥AB 于E ，PF⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是 ．10. 在正方形ABCD 中，E 在AB 上，BE ＝2，AE ＝1，P 是BD 上的动点，则PE 和PA 的长度之和最小值为___________．11. 如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2……依此类推，则平行边形n n ABC O 的面积为___________．12. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD 的面积为 ．13. 已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____cm 2.14. 如图所示，是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形的面积为________．15. 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为________．16. 如图，P 是矩形ABCD 内的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是1234S S S S 、、、，给出如下结论：①1234S S S S +=+ ②1324S S S S +=+③若31S S =2，则42S S =2④若12S S =，则P 点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是___________(把所有正确结论的序号都填在横线上)．三.解答题17. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°．CD⊥AD，2222AD CD AB +=．(1)求证：AB ＝BC ．(2)当BE⊥AD 于E 时，试证明BE ＝AE ＋CD ．18. 如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F （保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．19. 探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF ，求证DE ＋BF ＝EF ．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG ＝AE ，AF ＝AF∴ △GAF≌△________．∴ _________＝EF ，故DE ＋BF ＝EF ．(2)方法迁移：如图，将Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．20. 在口ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)在图①中证明CE ＝CF ；(2)若∠ABC＝90°，G 是EF 的中点(如图②)，直接写出∠BDG 的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG ＝CE ，分别连接DB 、DG(如图③)，求∠BDG 的度数．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ；【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S 阴影=S△COD=S 矩形ABCD. 2．【答案】A ；3.【答案】A ；【解析】由题意知AC⊥BD,且AC= 4 cm ，BD= 5 cm ， 所以2114510cm )22S AC BD =⋅=⨯⨯=菱形（. 4.【答案】C ；【解析】由三角形中位线定理，EF 长度为AR 的一半.5.【答案】C ；【解析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1m ，向下平移1m ，三块草坪拼成了一个长为100m ，宽为50m 的矩形，因此草坪的面积为100×50＝5 0002m .6.【答案】B ；【解析】设两个正方形的边长分别为x y ，,根据题意得：⎩⎨⎧=+=+106822y x y x ， 则222100,x y xy ++=，解得16xy =.7.【答案】B ；【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.8.【答案】D ；二.填空题9.【答案】30613AM ≤＜；10．【解析】连接CE ，因为A ，C 关于BD 对称，所以CE 11．【答案】⋅n 25； 【解析】 每一次变化，面积都变为原来的12. 12.【答案】30.13.【答案】20；24；14.【答案】143；【解析】设正方形①的边长为x ，则正方形②③④⑤的边长分别为x ，x ＋1，x ＋2，x ＋3，则AD ＝x ＋2＋x ＋3＝2x ＋5，BC ＝x ＋x ＋x ＋1＝3x ＋1， 所以 2x ＋5＝3x ＋1，所以x ＝4，所以BC ＝13，AB ＝2x ＋3＝11．所以矩形面积＝13×11＝143．15.【答案】7；【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC ，AB ＝CD ． 又∵ 以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折到△FBE 的位置，∴ AE＝EF ，AB ＝BF ．已知DE ＋DF ＋EF ＝8，即AD ＋DF ＝8，AD ＋DC －FC ＝8．∴ BC＋AB －FC ＝8．① 又∵ BF＋BC ＋FC ＝22，即AB ＋BC ＋FC ＝22．②，两式联立可得FC ＝7．16.【答案】②④；【解析】13S S +与24S S +的面积均为矩形面积的一半，故②正确；12S S =，说明这两个三角形的高相等，（底边均为AP ），则P 点满足在矩形的对角线上.三.解答题17.【解析】(1)证明：连接AC∵ ∠ABC＝90°，∴ 222AB BC AC +=．∴ CD⊥AD，∴ 222AD CD AC +=．∵ 2222AD CD AB +=，∴ 2222AB BC AB +=．∴ AB＝BC ．(2)证明：过C 作CF⊥BE 于F ．∵ BE⊥AD，∴ 四边形CDEF 是矩形．∴ CD＝EF ．∵ ∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴ ∠BAE＝∠CBF，∴ △BAE≌△CBF．∴ AE＝BF ．∴ BE＝BF ＋EF ＝AE ＋CD ．18.【解析】解：（1）略；（2）四边形BEDF 为菱形，理由为：证明：∵EF 垂直平分BD ，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF 为菱形．19. 解：(1)EAF 、△EAF、GF ．(2)DE ＋BF ＝EF ，理由如下：假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵ 12EAF m ∠=°， ∴ 112322BAD EAF m m m ∠+∠=∠-∠=-=°°°．∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝12m °．即∠GAF＝∠EAF．又AG ＝AE ，AF ＝AF ．∴ △GAF≌△EAF．∴ GF＝EF ．又∵ GF＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ，∴ DE＋BF ＝EF ．20. 【解析】(1)证明：如图①∵ AF 平分∠BAD，∴ ∠BAF＝∠DAF∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC，AB∥CD．∴ ∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F．∴ ∠CEF＝∠F．∴ CE＝CF(2)∠BDG＝45°(3)解：分别连接GB 、GE 、GC(如图③)∵ AB∥DC，∠ABC＝120°∴ ∠ECF＝∠ABC＝120°∵ FG∥CE 且FG ＝CE ．∴ 四边形CEGF 是平行四边形．由(1)得CE ＝CF ，平行四边形CEGF 是菱形．∴ EG＝EC ，∠GCF＝∠GCE＝12∠ECF＝60°∴ △ECG 是等边三角形∴ E G ＝CG ， ①∠GEC＝∠EGC＝60°∴ ∠GEC＝∠GCF．∴ ∠BEG＝∠DCG． ②由AD∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE＝∠AEB． ∴ AB＝BE ．在平行四边形ABCD 中，AB ＝DC ．∴ BE＝DC ． ③由①②③得△BEG≌△DCG．∴ BG＝DG ．∠1＝∠3．∴ BGD＝∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60° ∴ 180602BGDBDG ∠∠==°-°。
2024年江西中考数学一轮复习考点探究 构建2 特殊的四边形 学案(含答案)
构建2特殊的四边形命题分析特殊的四边形是初中阶段重要的几何内容,包括平行四边形、矩形、菱形、正方形,它们既有性质又有判定,既可以和三角形全等、三角形相似结合,又可以与圆的有关知识相结合,内容多,考查面,难度中等或偏难,是江西中考必考内容.【知识清单】知识点1 特殊四边形的定义及性质特殊四边形平行四边形矩形菱形正方形图形性质边对边①对边相等且平行四条边②,对边③四条边相等,对边平行角两组对角分别相等四个角④(都是直角)两组对角分别相等四个角相等(都是直角)对角线互相平分互相平分且相等互相⑤平分⑥互相平分且垂直,相等,平分一组对角对称性中心对称图形既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴既是中心对称图形,也是轴对称图形,有4条对称轴对称中心对角线的交点周长C=2(a+b)C=2(a+b)C=4a C=4a面积S=ah S=ab S=ah=12mn S=a2=12m2知识点2 特殊四边形之间的关系知识点3 中点四边形温馨提示:(1)判断一个四边形的中点四边形形状的关键是判断其;(2)中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和;(3)中点四边形的面积是原四边形面积的一半.【参考答案】①相等且平行②相等③平行④相等⑤平分且垂直⑥一组对角⑦平行四边形⑧菱形⑨矩形⑩正方形菱形矩形正方形两条对角线的位置和数量关系【自我诊断】1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )A.AO=COB.AB=DCC.∠DAB=∠BCDD.AC=BD2.如图,在▱ABCD中,AB=BC=5,对角线BD=8,则▱ABCD的面积为( )A.20B.24C.40D.483.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,∠AOB=60°,则AC的长度为( )A.2B.3C.4D.64.下列说法:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形;(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;(4)两组对角相等的四边形是平行四边形;其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加相应的条件,则下列条件添加错误的是( )A.(1)处可填∠A=90°B.(2)处可填AD=ABC.(3)处可填DC=CBD.(4)处可填∠B=∠D【参考答案】1.D2.B3.C4.B5.D【真题精粹】考向1 平行四边形的性质与判定(6年2考)1.(2021·江西)如图,将▱ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则▱ABCD的周长为.考向2 矩形的性质与判定(6年3考)2.(2018·江西)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E 落在CD上,且DE=EF,则AB的长为.3.(分类讨论)(2020·江西)如图,矩形纸片ABCD的长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE 的长为cm.4.(2019·江西)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.考向3 菱形的性质与判定(必考,常在圆的综合题中或几何探究题中出现)5.(2022·江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.(1)求证:△ABC ∽△AEB. (2)当AB=6,AC=4时,求AE 的长.6.(2023·江西)课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程. 已知:在▱ABCD 中,对角线BD ⊥AC ,垂足为O. 求证:▱ABCD 是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD 是菱形.②延长BC 至点E ,连接OE 交CD 于点F ,若∠E=12∠ACD ,求OFEF 的值.考向4 正方形的性质与判定(6年3考)7.(数学文化)(2019·江西)我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求斜,七之,五而一.”译文:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将边长乘以七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长为√2,依据《孙子算经》的方法,则它的对角线的长是.8.(分类讨论)(2018·江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.考向5 中点四边形9.(拓展)如图,在任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是( )A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形【参考答案】1.4a+2b2.3√23.4√33或4√3或(8-4√3)4.略5.(1)略(2)AE=96.(1)略(2)①略②OFEF =5 87.1.48.2或2√3或√14-√29.D【核心突破】考点1 平行四边形的性质与判定例题1 如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB,AO=4,S四边形ABOE=4√3,则BD的长为.变式特训1.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,DE=BF=3,EF⊥AD,若EF=8,AE=9,则AB的长为( )A.6B.√73C.9D.102.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,且∠ABE=∠CDF.(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由.(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O.若AGOG =23,AE=4,求BC的长.考点2 矩形的性质与判定例题2 如图,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BC,AD平分∠FAC,CD⊥AD于点D.求证:四边形AECD是矩形.变式特训3.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,AD=8 cm,AB=6 cm,将△ABO向右平移得到△DCE,则△ABO 向右平移的过程中扫过的面积是( )A.12 cm2B.24 cm2C.48 cm2D.60 cm24.如图1,已知AD∥BC,AB∥DC,∠B=∠C.(1)求证:四边形ABCD为矩形.(2)如图2,M为AD的中点,N为AB的中点,连接CN,CM,MN,BN=2.若∠BNC=2∠DCM,求BC的长.考点3 菱形的性质与判定例题3 如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE∥BD,BE∥AC.(1)求证:四边形AEBO是菱形.(2)若AB=OB=2,求四边形AEBO的面积.变式特训5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为.6.如图,在菱形ABCD中,EF是AB的垂直平分线,∠FBA=50°,则∠ACB的度数为.7.如图,在等腰三角形ABC中,AD平分顶角∠BAC,交底边BC于点H,点E在AD上,BE=BD.求证:四边形BDCE 是菱形.考点4 正方形的性质与判定例题4如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且满足△AEF是等边三角形,连接AC交EF 于点G.(1)求证:CE=CF.(2)若等边△AEF的边长为2,求AC的长.变式特训8.如图,在正方形ABCD中,AB=4 cm,延长AB至点E,使BE=8 cm,F是DE的中点,求线段BF的长度.9.(过程性学习)问题解决:一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数.思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.类比探究:如图2,若P是正方形ABCD外一点,PA=5,PB=2,∠APB=45°,求PC的长.考点5 中点四边形例题5如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).(1)四边形EFGH的形状是.(2)当四边形ABCD的对角线满足的条件时,四边形EFGH是矩形.(3)当四边形ABCD的对角线满足的条件时,四边形EFGH是菱形.(4)当四边形ABCD的对角线满足的条件时,四边形EFGH是正方形,证明你的结论.变式特训10.(2023·山西)阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.瓦里尼翁平行四边形我们知道,如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形.我查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon,Pierre 1654-1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:证明:如图2,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点M,交HG于点N.∵H,G分别为AD,CD的中点,∴HG∥AC,HG=12AC, (依据1)∴DNNM =DGGC.∵DG=GC,∴DN=NM=12DM.∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,∴HE∥GF,即HP∥GQ.∵HG∥AC,即HG∥PQ,∴四边形HPQG是平行四边形, (依据2)∴S ▱HPQG =HG ·MN=12HG ·DM.∵S △ADC =12AC ·DM=HG ·DM ,∴S ▱HPQG =12S △ADC ,同理,…任务:(1)材料中的依据1是指: . 依据2是指: .(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ,并使得四边形EFGH 为矩形.(要求同时画出四边形ABCD 的对角线)(3)在图1中,分别连接AC ,BD 得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC ,BD 的长度的关系,并证明你的结论.【参考答案】例题1 2√7变式特训1.D2.(1)四边形BEDF 为平行四边形.理由略(2)BC=16例题2 略变式特训3.D4.(1)略 (2)BC=4√2例题3 (1)略 (2)四边形AEBO 的面积=2√3变式特训5.126.25°7.略5例题4(1)略(2)AC=√3+1变式特训8.线段BF的长度为2√2cm9.问题解决:略类比探究:PC=√33例题5(1)平行四边形(2)互相垂直(3)相等(4)垂直且相等变式特训10.(1)三角形中位线定理;两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)略(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD.理由略。
特殊平行四边形 解答题(八大模块)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上学期期中挑战满分冲刺
特殊平行四边形 解答题（八大模块）目录：模块一、基础—单特殊平行四边形模块二、与其他几何性质结合模块三、作图有关的解答证明题模块四、模块二强化模块五、动态几何基础模块六、综合探究特殊平行四边形的判定模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用模块八、压轴过渡练模块一、基础—单特殊平行四边形1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ．若12Ð=Ð，请判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．【答案】四边形ABCD 是矩形，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，矩形的判定．先根据平行四边形的性质得出2,2AC OC BD OB ==，再根据12Ð=Ð，推出AC BD =，即可得出结论．【解析】解：四边形ABCD 是矩形，理由如下：∵AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∴2,2AC OC BD OB ==，∵12Ð=Ð，∴OC OB =，则AC BD =，∴平行四边形ABCD 是矩形．2．如图，在矩形ABCD 中，点E F 、在BC 上，连接AE DF 、，且AE DF =，求证：ABE DCF △≌△．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，由四边形ABCD 是矩形，得90B C Ð=Ð=︒，AB DC =，然后根据“HL ”的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【解析】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C Ð=Ð=︒，AB DC =，在Rt ABE △与Rt DCF V 中，AB DC AE DF=ìí=î，∴()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△．3．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．4．如图，ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点，DE AG ^于E ，BF AG ^于F ．求证:AE BF =．【答案】证明见解析．【分析】由正方形的性质结合DE AG ^，BF AG ^，证明,ABF DAE V V ≌即可得到答案．【解析】解：ABCD Q 是正方形，,90,AB AD BAD \=Ð=︒90,BAF DAE \Ð+Ð=︒DE AG ^Q ，BFAG ^，90,DEA AFB \Ð=Ð=︒90,DAE ADE \Ð+Ð=︒,BAF ADE \Ð=Ð在ABF △与DAE V 中，,BAF ADE AFB DEA AB DA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,ABF DAE \V V ≌.BF AE \=【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，AC 与BD 交于点O ．求BOC V 与DOC △的周长差．【答案】2【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得6CD AB ==，OB OD =，再根据三角形的周长公式计算即可．【解析】解：Q 四边形ABCD 为矩形，6AB =，8BC =，6CD AB \==，OB OD =，()862BOC DOC C C OB OC BC OD OC CD BC CD \-=++-++=-=-=V V ，BOC V \与DOC △的周长之差为2．6．如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且ADM CDN Ð=Ð，求证：BM BN =．7．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD ＝60°，菱形ABCD 的周长为24．(1)求对角线BD 的长；(2)求菱形ABCD 的面积．【答案】(1)68．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，BE AC ^，CF BD ^，垂足分别为E 、F ．求证：OE OF =．【答案】证明见解析．9．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE CF =．连接AF 、CE 交于点G ．求证：DGE DGF Ð=Ð．【答案】证明见解析．【分析】先证△DAF ≌△DCE ，再证△AEG ≌△CFG ，最后证△DGE ≌△DGF ，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE ＝∠DGF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴DA ＝DC ＝AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝DF在△DAF 和△DCE 中，DF DE ADF CDE AD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DAF ≌△DCE （SAS ），∴∠EAG ＝∠FCG ，在△AEG 和△CFG 中，EAG FCG AGE CGF AE CF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEG ≌△CFG （AAS ），∴EG ＝FG ，在△DGE 和△DGF 中，DE DF EG FG DG DG =ìï=íï=î，∴△DGE ≌△DGF （SSS ），∴∠DGE ＝∠DGF ．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边的延长线上，点F 在CD 边的延长线上，且CE DF =，连接AE 和BF 相交于点M ．求证：AE BF = ．【答案】证明见解析．【分析】利用正方形的性质证明：AB =BC =CD ，∠ABE =∠BCF =90°，再证明BE =CF ，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．【解析】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =CD ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵CE =DF ，∴CE +BC =DF +CD 即BE =CF ，在△BCF 和△ABE 中，BE CF ABE BCF AB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴AE =BF ．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．模块二、与其他几何性质结合11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB 于点F ，求EF 的长．12．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 边上的点，且AE CF =．(1)求证：ABE CDF △≌△；(2)当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形，理由见解析【分析】（1）由矩形的性质得出90B D Ð=Ð=︒，AB CD =，AD BC =，AD BC ∥，由HL 证明Rt Rt ABE CDF ≌△△即可；（2）由全等三角形的性质得出BE DF =，得出CE AF =，由CE AF ∥，证出四边形AECF 是平行四边形，再由AC EF ^，即可得出四边形AECF 是菱形．【解析】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，90B D \Ð=Ð=︒，AB CD =，AD BC =，AD BC ∥，在Rt ABE △和Rt CDF △中，AE CF AB CD =ìí=î，()Rt Rt HL ABE CDF \V V ≌；（2）解：当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形，理由如下：ABE CDF QV V ≌，BE DF \=，BC AD =Q ，CE AF \=，Q CE AF ∥，\四边形AECF 是平行四边形，又AC EF ^Q ，\四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 是BD 上两点，且BE DF =，2AC OE =，(1)求证: 四边形AECF 是矩形；(2)若90304BAC ACE AE Ð=︒Ð=︒=，，，求BC 的长．∴903060AEG Ð=︒-︒=︒,∴1206060,BEG Ð=︒-︒=︒∴906030,GBE Ð=︒-︒=︒14．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，对角线AC BD 、交于点O ，BD 平分ABC Ð，延长AD 至点E ，使DE BO =，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若460AD DAB =Ð=︒，，求OE 的长．【答案】(1)见解析15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与边AB ，CD 的延长线交于点M ，N ，与边AD 交于点E ，垂足为O ．(1)求证：AOM CON △△≌；(2)若8AD =，4CD =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)5AE =【分析】（1）根据矩形的性质得出AB CD ∥，求出M N Ð=Ð，AO CO =，再根据全等三角形的判定定理AAS 推出即可；（2）根据矩形的性质得出4AB CD ==，根据线段垂直平分线的性质得出AE CE =，再根据勾股定理求出即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴M N Ð=Ð，∵AC 的垂直平分线是MN ，∴AO CO =，在AOM V 和CON V 中，AOM CON M NAO CO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∵AC 的垂直平分线是∴AE CE x ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC Ð=︒，DC =在Rt CDE △中，由勾股定理，得即()22284x x -+=，解得16．如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，AB AD =，AC 平分DAB Ð．对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE AB ^于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)若AD =4AC =，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)1，，，，17．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD 于点G ，连接AG ．求证：GF GD =．【答案】证明见解析．【分析】连接AF ，根据对称得：△ABE ≌△AFE ，再由HL 证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，可得结论．【解析】证明：连接AF ，Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90B D Ð=Ð=︒，Q 点B 关于直线AE 的对称点为F ，∴△ABE ≌△AFE ，AB AF AD \==，90AFE B Ð=Ð=︒，90AFG \Ð=︒，在Rt AFG V 和Rt ADG V 中，AG AG =Q ，AF AD =，∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL )，GF GD \=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，E 为AD 上一点，且BE AD =．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出CBE Ð的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）中所作的角平分线与AD 的延长线交于点F ，连接CF ．猜想四边形BEFC 是什么四边形？并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)四边形BEFC 是菱形．证明见解析【分析】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定是解答本题的关键．（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）结合矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定可得结论．【解析】（1）解：如图，BP 即为所求．（2）解：四边形BEFC 是菱形．证明：BF Q 平分CBE Ð，CBF EBF \Ð=Ð．Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC \=，AF BC ∥，CBF EFB \Ð=Ð，EBF EFB \Ð=Ð，BE EF \=，BE AD =Q ，AD BC =，BC EF \=，\四边形BEFC 是平行四边形．BE EF =Q ，\四边形BEFC 是菱形．模块三、作图有关的解答证明题19．如图，四边形ABCD 是正方形，射线DP 交AB 于点,90,P PDQ DQ Ð=︒交BC 的延长线于点Q ．(1)尺规作图：作PDQ Ð的平分线交BC 于E ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的基础上，连接PE ，求证：PE PA CE=+【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识．（1）按照角平分线的作图方法作图即可；（2）证明()ASA PDA QDC V V ≌，则AP CQ =，PD QD =，再证明()SAS PDE QDE V V ≌，则PE QE =，由QE CQ CE PA CE =+=+即可得到PE PA CE =+．【解析】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90PAD ADC BCD Ð=Ð=Ð=︒，AD CD =，∴90PDA CDP Ð+Ð=︒，90QCD Ð=︒∵90PDQ Ð=︒，∴90CDQ CDP Ð+Ð=︒∴PDA CDQ Ð=Ð，∵90QCD PAD Ð=Ð=︒，AD CD =，∴()ASA PDA QDC V V ≌∴AP CQ =，PD QD =，∵作PDQ Ð的平分线交BC 于E∴PDE QDE Ð=Ð，又∵,DE DE =∴()SAS PDE QDE V V ≌∴PE QE =，∵QE CQ CE PA CE=+=+∴PE PA CE=+20．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．(1)在图中画出以AB 为对角线的矩形APBQ ．(2)在图中画出一个邻边比为1）中的矩形不全等．（2）解：如图，矩形CDEF 即为所求作的矩形．设每个小正方形的边长为1，∵1AC CG DG AD ====，∴四边形ACGD 为菱形，∴1122AO GO AG ===，CD ^模块四、模块二强化21．如图，在正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A ，D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．(1)求证：PDE QCE V V ≌；(2)过点E 作EF BC ∥交PB 于点F ，连接AF ，当PB PQ =时．求证：四边形AFEP 是平行四边形．由三角形内角和定理可得AFP FPEÐ=ÐPE AF \∥，EF AP Q ∥，\四边形AFEP 是平行四边形．【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关几何性质与判定是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中，6AD =，8CD =，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，2AH =，连接CF ．(1)当2DG =时，求证：四边形EFGH 是正方形；(2)当△FCG 的面积为2时，求CG 的值．则90FMG Ð=︒，90A FMG \Ð=Ð=︒，由矩形和菱形的性质，可得AEG MGE \Ð=Ð，HEG Ð23．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC Ð，CE AD ∥且CE AD =．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)若ABC V 是边长为4的等边三角形，，AC DE 相交于点O ，在CE 上截取CF CO =，连接OF ，求线段FC 的长及四边形AOFE 的面积．则90OHC Ð=︒，∵30OCH Ð=︒，112OH OC \==，AEC COF AOFE S S S \=-=V V 四边形模块五、动态几何基础24．如图，在矩形纸片AEE D ¢中，5AD =，15AEE D S ¢=矩形，在EE ¢上取一点F ，使4EF =，剪下AEF △，将它平移至DE F ¢¢V 的位置，拼成四边形AFF D ¢．(1)求证∶四边形AFF D ¢是菱形；(2)求四边形AFF D ¢的两条对角线的长．∵4EF =，5FF AD ¢==，∴9EF EF FF ¢¢=+=，在Rt AEF ¢△中，22239AF AE EF ¢¢=+=+在Rt DFE ¢V 中，541FE FF E F ¢¢¢¢=-=-=，25．如图，把矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转得到矩形AEFG ，使点E 落在对角线BD 上，连接DG ，DF ．(1)若50BAE Ð=︒，则DAG Ð= °；(2)求证：DF AB =．【答案】(1)50(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质，得到90BAD EAG Ð=Ð=︒，进而得到BAE DAG Ð=Ð，即可求出DAG Ð的度数；（2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形ABDF 是平行四边形，即可证明结论．【解析】（1）解：Q 矩形ABCD 和矩形AEFG ，90BAD EAG \Ð=Ð=︒，BAD EAD EAG EAD -=-∴∠∠∠∠，BAE DAG \Ð=Ð，50BAE Ð=︒Q ，50DAG \Ð=︒，故答案为：50；（2）证明：连接AF ，由旋转的性质可知，AF BD =，FAE ABD Ð=Ð，AB AE =，ABE AEB \Ð=Ð，FAE AEB \Ð=Ð，AF BD \∥，\四边形ABDF 是平行四边形，DF AB \=；【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键．26．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD >，点E F ，分别在边AB CD ，上．将ADF △沿AF 折叠，点D 的对应点G 恰好落在对角线AC 上；将CBE △沿CE 折叠，点B 的对应点H 恰好也落在对角线AC 上．连接GE FH ，．求证：(1)AEH CFG △≌△；(2)四边形EGFH 为平行四边形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由矩形的性质可得AD BC =，90B D Ð=Ð=︒，AB CD ∥，即得EAH FCG Ð=Ð，由折叠的性质可得AG AD =，CH CB =，90CHE B Ð=Ð=︒，90AGF D Ð=Ð=︒，即得CH AG =，90AHE CGF Ð=Ð=︒，进而得AH CG =，即可由ASA 证明AEH CFG △≌△；（2）由（1）得90AHE CGF Ð=Ð=︒，AEH CFG △≌△，即可得到EH FG ∥，EH FG =，进而即可求证；本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90B D Ð=Ð=︒，AB CD ∥，∴EAH FCG Ð=Ð，由折叠可得，AG AD =，CH CB =，90CHE B Ð=Ð=︒，90AGF D Ð=Ð=︒，∴CH AG =，90AHE CGF Ð=Ð=︒，∴AH CG =，在AEH △和CFG △中，90EAH FCG AH CGAHE CGF Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=︒î，∴()ASA AEH CFG V V ≌；（2）证明：由（1）知90AHE CGF Ð=Ð=︒，AEH CFG △≌△，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EGFH 为平行四边形．27．如图，正方形ABCD 和正方形GECF ，点E 、F 分别在边BC 、上，将正方形GECF 绕点C 顺时针方向旋转，旋转角为0180a a ︒<<︒（）．(1)如图2，连接BE 、DF ，求证：BE DF =；(2)如图3，若1BC =+，1EC =，当点E 旋转到边上时，连接BE 、连接DF ，并将延长BE 交DF 于点H ，求证：BH 垂直平分DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 和GECF为正方形可得BC DC =，EC FC =，BCE DCF Ð=Ð，再证明()SAS BCE DCF V V ≌即可得到结论；（2）证明BD BF =，=DE EF 即可得出结论．本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判断，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 和GECF 为正方形，BC DC \=，EC FC =，90BCD ECF Ð=Ð=︒，BCE DCE DCF DCE \Ð+Ð=Ð+Ð，）解：连接， Q ()2221BD BC \==+22EF CE ==，CD BC =211BF BC CF \=+=++22,BF BD DE EF \==+=模块六、综合探究特殊平行四边形的判定28．如图，点O 是ABC V 内一点，连接OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接，得到四边形DEFG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形；(2)连接AO①直接写出当AO 和BC 有怎样的位置关系时，四边形DEFG 是矩形；②直接写出当AO和BC有怎样的关系时，四边形DEFG是正方形．Q\∥DE AO，Q点E、F分别是OB、\BC EF∥，Q，AO BC^由①得当AO BC ^时，四边形Q 点D 、E 分别是AB 、\12DE AO =，Q 点E 、F 分别是OB 、(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)如图二，连接FH ，P 为边FH 上一动点，PN EF ^于点N ，PM EH ^于点M ，3EF =，4EH =，求MN 的最小值．30．如图（1），在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至点G ，使EG AE =，连接CG ，延长CF 至点H ，使FH CF =，连接AH ．(1)求证：四边形AGCH 是平行四边形；(2)如图（2），若2AC AB =，求证：四边形AGCH 是矩形；(3)如图（3），若AC AB ^，求证：四边形AGCH 是菱形．()SAS AEO CFO \△≌△，\Ð=Ð=，AEO CFO AE CF ，AE CF \∥，，==EG AE FH CF Q ，AG CH \=，\四边形AGCH 是平行四边形；（2）==Q ，EA EG OA OC ，EO \是AGC V 的中位线，∥\EO GC ，AE CF \∥，\四边形EGCF 是平行四边形，22==Q ，AC AB AC AO ，AB AO \=，E Q 是OB 的中点，AE OB \^，90OEG \Ð=︒，\四边形EGCF 是矩形；90AGC \Ð=︒，由（1）知，四边形AGCH 是平行四边形，\四边形AGCH 是矩形；（3）连接H G ，由（1）知，OA OC =，HG \过点O ，连接BG ，Q 点E 为OB 的中点，BE OE \=，AE EG =Q ，\四边形ABGO 是平行四边形，∥\AB OG ，AB AC ^Q ，\^HG AC ，\四边形AGCH 是菱形．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．31．如图所示，在Rt ABC △中，90B =°，100cm AC =，60A Ð=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒()025t <£．过点D 作DF BC ^于点F ，连接DE ，EF ．(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，DEF V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)证明见解析Q 90CFD \Ð=︒，90B Ð=︒Q ，60A Ð=︒，30C \Ð=︒，114222DF CD t t \==´=，AE DF \=，若四边形AEFD 为菱形，则AE =100AC =Q ，4CD t =，1004AD AC CD t \=-=-，又2AE t =Q ，21004t t \=-，Q 90DFC DFB \Ð=Ð=︒，又90B Ð=︒Q ，\四边形DFBE 为矩形，DF BE \=，90B Ð=︒Q ，60A Ð=︒，由（1）可知：四边形AEFD 是平行四边形，\∥EF AD ，90ADE DEF \Ð=Ð=︒，在Rt ADE V 中，60A Ð=︒，2AE t =30AED \Ð=︒，11模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用32．如图，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点(10,0)A ，点(0,6)C ，在边AB 上任取一点D ，将AOD △沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E ．(1)EC 的长度为 ；(2)求D 点坐标；(3)若在x 轴正半轴上存在点P ，使得OEP V 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．则6EM AB ==，在Rt OEM △中，OM OE =设OP a =，则PE a =，PM 在Rt PEM △中，2PE PM =222(8)6a a \=-+，\同②得8OM =，8MP \=，\点P 的坐标为(16,0)；综上，点P 的坐标为(10,0)或25,04æöç÷èø【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．33．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数48y x =+的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，将AOB V 绕点O 顺时针旋转90︒得COD △（点A 与点C 对应，点B 与点D 对应）．(1)直接写出直线CD 的解析式；(2)点E 为线段CD 上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线AB 于点F ，作EG x ∥轴交直线AB 于点G ，当EF EG AD +=时，求点E 的坐标；(3)如图2，若点M 为线段AB 的中点，点N 为直线CD 上一点，点P 为坐标系内一点．且以O ，M ，N ，P 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出其中一种求解点N 坐标的过程．∵，∵，()0,8B ，点M 为线段∴()1,4M -，12OM AM BM AB ===∵将AOB V 绕点O 顺时针旋转90∴AOB COD ≌△△，∴2OA OC ==，OAB OCD Ð=Ð∵ON OM ^，由（1）得，直线CD 的解析式为设1,24N n n æö-+ç÷èø，∵()1,4M -，∴2221417OM =+=，22ON n =+模块八、压轴过渡练34．如图，在ABC V 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN BC ∥．设MN 交ACB Ð的平分线于点E ，交ABC V 的外角ACD Ð的平分线于点F ．(1)求证：OE OF =；(2)若12CE =，5CF =，求OC 的长；(3)连接AE ，AF ，当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2) 6.5OC =(3)点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由见解析【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得ACE OEC Ð=Ð，则OE OC =，同理OC OF =，即可得出结论；（2）利用勾股定理可求得EF 的长，再结合（1）的结论可求得OC 的长；（3）只要保证四边形AECF 是平行四边形即可，则可知O 为AC 的中点时，满足条件．本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．【解析】（1）证明：CE Q 平分ACB Ð，ACE ECB \Ð=Ð，MN BC Q P ，ECB OEC \Ð=Ð，ACE OEC \Ð=Ð，OE OC \=，同理可得OC OF =，OE OF \=；35．如图，四边形ABCD 和BGEF 均为正方形，点E 恰好在线段AD 上，连接AF 、BE 、CG ．(1)当点E 与A 、D 两点都不重合时，求证：ABF CBG V V ≌；(2)当点E 与A 点重合时，等式AB AE CG -=成立；当点E 与A 、D 两点都不重合时，等式AB AE CG -=是否仍然成立？请证明你的结论．Q 90EFB \Ð=︒，45FEB FBE Ð=Ð=︒，90AFE EFH BFH EFH \Ð+Ð=Ð+Ð=︒，AFE HFB \Ð=Ð．36．问题解决：如图①，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，边上，DE AF DE AF =^，于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，连接AH ，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图②，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，边上，DE 与AF 相交于点G ，6072DE AF AED AE BF =Ð=︒==，，，，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9【分析】本题主要考查了正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等知识点，理解题意并灵活运用相关知识、正确做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．（1）先说明90DE AF AGD ^Ð=︒，可得ADE BAF Ð=Ð，再证明()AAS ADE BAF V V ≌得到AD AB =，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；（2）由ADE BAF ≌△△可得AE BF =，再证明BH BF =可得AH AF =，从而得到等腰三角形；类比迁移：如图，延长CB 到点H ，使BH AE =，连接AH ，由菱形的性质可证明DAE ABH ≌V V ，再结合已知60AED Ð=︒可得AHF △是等边三角形，最后利用线段的和差即可解答．【解析】（1）解：证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ABC Ð=Ð=︒，∴90DE AF AGD ^Ð=︒，，∵9090BAF DAF ADE DAF Ð+Ð=︒Ð+Ð=︒，，∴ADE BAFÐ=Ð在ADE V 和BAF △中，90DAE ABF ADE BAFDE AF Ð=Ð=︒ìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ADE BAF V V ≌，∴AD AB =，∴四边形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形，理由：由（1）得ADE BAF ≌△△，∴AE BF =，∵BH AE =，∴BH BF =，∵90ABH Ð=︒，∴AH AF =，。
中考数学 真题精选 专题试卷 特殊的平行四边形(含答案解析) (含答案解析)
特殊的平行四边形一．选择题（共19小题）1．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．2．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．3．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．5．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．7．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．9．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．10．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．11．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．12．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．14．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．15．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．16．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．17．（•台湾）坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B 点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（）A．（6，0）B．（9，0）C．（﹣6，0）D．（﹣9，0）考点：平行四边形的判定；二次函数的性质．分析：首先将二次函数配方求得顶点A的坐标，然后求得抛物线与y轴的交点坐标，根据电C和点B的纵坐标相同求得点C的坐标，从而求得线段BC的长，根据平行四边形的性质求得AD的长即可求得点D的坐标．解答：解：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，∴顶点A的坐标为（3，0），令x=0得到y=﹣9，∴点B的坐标为（0，﹣9），令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，∴点C的坐标为（6，﹣9），∴BC=AD=6，∴OD=OA+AD=3+6=9，∴点D的坐标为（9，0），故选B．点评：本题考查了平行四边形的判定、二次函数的性质等知识，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大．18．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．19．（•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD 可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解答：解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．二．填空题（共11小题）20．（•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20．考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是年中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．21．（•巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为1．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解答：解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．∴DH=1，故答案为：1．点评：本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键．22．（•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为5．考点：三角形中位线定理．分析：由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．解答：解：如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．点评：本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．23．（•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：计算题．分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS 证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG==6，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD中，，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．24．（•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为5．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm．故答案为：5．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．25．（•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．26．（•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n 为正整数）．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：根据中位线的定理得出规律解答即可．解答：解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：点评：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．27．（•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．28．（•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 1.2米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．解答：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC，∵E是AB的中点，∴F为AC的中点，∴BC=2EF，∵EF=0.6米，∴BC=1.2米，故答案为：1.2．点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．29．（•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=4．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=×8=4．故答案为4．点评：本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．30．（•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．1．（•苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F 作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．分析：先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．解答：解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．2．（•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为8．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF=10，∴DE=BF=5．∵CE=CD，∴CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．故答案为：8．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．3．（•淮安）如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是720米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：首先根据D、E分别是CA，CB的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且DE=，再根据DE的长度为360米，求出A、B两地之间的距离是多少米即可．解答：解：∵D、E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE=，∵DE=360（米），∴AB=360×2=720（米）．即A、B两地之间的距离是720米．故答案为：720．点评：此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20．考点：平行四边形的性质．分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．5．（•大连）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=cm．考点：平行四边形的性质；勾股定理．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AC===6，。
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识精讲2020-2021学年九年级全册数学同步精练AB卷
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】中考总复习：特殊的四边形--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2014•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（2014春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （2015•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，EF=3234=5.6．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°,∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。