高三数学一轮专题突破训练《数列》(理)及答案分析

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上海市2022届高三数学理一轮复习专题突破训练数列

上海市2022届高三数学理一轮复习专题突破训练数列数列一、填空、选择题2221、（2022年上海高考）记方程①：某+a1某+1=0，方程②：某+a2某+2=0，方程③：某+a3某+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根2、（2022年上海高考）设无穷等比数列an的公比为q，若a1lima3a4an，则nq3、（2022年上海高考）设非零常数d是等差数列某1,某2,某3,,某19的公差，随机变量等可能地取值某1,某2,某3,,某19，则方差D_______4、（静安、青浦、宝山区2022届高三二模）设等差数列an的前n项和为An，等比数列bn的前n项和为Bn，若a3b3，a4b4，且A5A3aa7，则53B4B2b5b35、（闵行区2022届高三二模）已知数列{an}满足an11(nN)，则使不等式a20222022成立的所有正整数a1的集合为6、（浦东新区2022届高三二模）已知数列an的前n项和Snn2n，则该数列的通项公式an2n.7、（徐汇、松江、金山区2022届高三二模）已知函数f(某)某in 某，各项均不相等的数列某n2满足某i2F(n)(某1某2某n)f(某1)f(某2)f(某n)(nN某)．给出下列三个命题：n(i1,2,3,,n)．令(1)存在不少于3项的数列某n，使得F(n)0；1某(2)若数列某n的通项公式为某nnN某，则F(2k)0对kN恒成立；2某(3)若数列某n是等差数列，则F(n)0对nN恒成立．其中真命题的序号是（）（A）(1)(2)（B）(1)(3)（C）(2)(3)（D）(1)(2)(3)8、（长宁、嘉定区2022届高三二模）设等差数列an满足a511，a123，an的前n项和Sn的最大值为M，则lgM=__________9、（虹口区2022届高三上期末）设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q10、（金山区2022届高三上期末）等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an(nN某)．11、（静安区2022届高三上期末）已知数列an的通项公式an22n2n1（其中nN某），则该数列的前n项和Sn12、（青浦区2022届高三上期末）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S742，则a413、（徐汇区2022届高三上期末）设数列an的前n项和为Sn，若a11，Sn则an的通项公式为14、（黄浦区2022届高三4月模拟考试（二模））在等差数列an中，若a83,a101，am9，则正整数m15、（）把正整数排列成如图a的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图b的三角形数阵，现将图b中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列an10(nN某)，2an，若ak2022，则k__________.11234245678957910111213141516101214161718192021222324251719212 3252627282930313233343536262830323436ab二、解答题某1、（2022年上海高考）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即an某≥an（n∈N），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；某（3）设a1=λ＜0，bn=λ（n∈N），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．2、（2022年上海高考）已知数列an满足anan13an，nN，a11.某13(1)若a22,a3某,a49，求某的取值范围；(2)设an是公比为q的等比数列，Sna1a2an.若取值范围；(3)若a1,a2,,ak成等差数列，且a1a2ak1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1,a2,,ak的公差.3、（2022年上海高考）给定常数c0，定义函数f(某)2|某c4||某c|，数列a1,a2,a3,满足an1f(an),nN某.（1）若a1c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN某,an1anc，；（3）是否存在a1，使得a1,a2,an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.4、（静安、青浦、宝山区2022届高三二模）设an是公比为q(q意两项之积仍是该数列中的项，那么称an是封闭数列.（1）若a1SnSn13Sn，nN某，求q的31)的等比数列，若an中任2，q3，判断an是否为封闭数列，并说明理由；1，使a1qm（2）证明an为封闭数列的充要条件是：存在整数m（3）记n是数列an的前n项之积，bn；log2n，若首项为正整数，公比q2，试问：11111，若存在，求an的通项公式；是否存在这样的封闭数列an，使limnbbn91b2若不存在，说明理由．5、（闵行区2022届高三二模）各项均为正数的数列bn的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有2Snbn(bn1)．（1）求数列bn的通项公式；（2）如果等比数列an共有m(m2,mN)项，其首项与公比均为2，在数列an的每相邻两项ai与ai1之间插入i个(1)ibi(iN某)后，得到一个新的数列cn．求数列cn中所有项的和；（3）如果存在nN，使不等式bn 11成立，求实数的范围．(n1)bn1bnbn16、（浦东新区2022届高三二模）记无穷数列an的前n项a1,a2,,an的最大项为An，第n项之后的各项an1,an2,的最小项为Bn，令bnAnBn．（1）若数列an的通项公式为an2n27n6，写出b1、b2，并求数列bn 的通项公式；（2）若数列bn的通项公式为bn12n，判断an1an是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若bn为公差大于零的等差数列，求证：an1an是等差数列.7、（普陀区2022届高三二模）已知数列an的前n项和为Sn，且an0，anSnnN某4n（1）若bn1log2Snan，求数列bn的前n项和Tn；（2）若0n2，2nantann，求证：数列n为等比数列，并求出其通项公式；（3）记cna1取值范围.1111a2a3an，若对任意的nN某，cnm恒成立，求实数m的22228、（长宁、嘉定区2022届高三二模）已知数列{an}中，a13，a25，{an}的前n项和为Sn，且满足SnSn22Sn12n1（n3）．（1）试求数列{an}的通项公式；12n1（2）令bn，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn；6anan1（3）证明：对任意给定的m0,，均存在n0N，使得当nn0时，（2）中的Tnm6恒成立．9、（宝山区2022高三上期末）设数列an的首项a1为常数，且an13n2an(nN某)．3n（1）证明：an是等比数列；5（2）若a13，an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．2（3）若an是递增数列，求a1的取值范围．10、（崇明县2022高三上期末）已知等差数列an满足a37,a5a726.（1）求an的通项公式；n1,1,2an（2）若mn2，数列bn满足关系式bn，求数列bn的通项公式；bm,n2,2n1（3）设（2）中的数列bn的前n项和Sn，对任意的正整数n，1nSnn2np2n12恒成立，求实数p的取值范围.11、（奉贤区2022高三上期末）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

高三数学一轮复习专题突破训练数列 Word版含答案

江苏省年高考一轮复习专题突破训练数列一、填空题、（年江苏高考）已知{}是等差数列，是其前项和.若，，则的值是▲ .、（年江苏高考）数列满足，且，则数列的前项和为。

、（年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲、（南京市届高三三模）设数列{}的前项和为，满足＝－，则＝▲．、（南通、扬州、泰州三市届高三二模）在等比数列中，，公比．若成等差数列，则的值是▲．、（南通市届高三一模）设等比数列的前项的和为，若，则的值为、（苏锡常镇四市届高三一模）设数列{}是首项为，公差不为零的等差数列，为其前项和，若，，成等比数列，则数列{}的公差为。

、（苏锡常镇四市市届高三二模）设公差为（为奇数，且）的等差数列的前项和为，若，，其中，且，则▲．、（镇江市届高三一模）是等差数列{}的前项和，若＝，则＝．、（常州市届高三上期末）已知等比数列的各项均为正数，且，＝，则的值为、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市届高三上期末）若公比不为的等比数列满足，等差数列满足，则的值为、（南京、盐城市届高三上期末）设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为▲、（无锡市届高三上期末）对于数列，定义数列满足：，且则、（扬州市届高三上期末）已知等比数列满足，，则该数列的前项的和为▲、（扬州中届高三月质检）已知等差数列的公差，且．若＝，则＝.二、解答题、（年江苏省高考）记.对数列和的子集，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.（）求数列的通项公式；（）对任意正整数，若，求证：；（）设,求证：.、（年江苏高考）设是各项为正数且公差为的等差数列，（）证明：依次构成等比数列；（）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；（）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。

、（年江苏高考）设数列{}的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得，则称{}是“数列。

”（）若数列{}的前项和（），证明：{}是“数列”；（）设数列{}是等差数列，其首项.公差.若{}是“数列”，求的值；。

高考数学一轮复习数列多选题测试及解析

高考数学一轮复习数列多选题测试及解析一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.3．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2nn n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++，所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.4．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（） A ．(1)2n n n a +=B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．【详解】因为11n n a a a n +=++，11a =，所以11n n a a n +-=+，所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1n a n n n n ==-++，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-=⎪⎝⎭，B 错，C 正确．故选：AC ．【点睛】本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．6．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.7．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式n nn a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+，所以2021201920182a a a =+，所以B 正确；因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误；因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、平面向量多选题9．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其n 前项和，若4511a a +=，则8S =（） A ．36B ．40C ．44D ．472．8，2的等差中项是（） A ．±5B ．±4C ．5D ．43．已知等比数列{}n a 中，3464,32a a a ==，则101268a a a a --的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．164．若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（） A ．2t <-B ．2t >-C ．6t <-D ．6t >-5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若(8)(1,2,)n a n n n =-=，则（） A ．{}n a 有最大项，{}n S 有最大项 B ．{}n a 有最大项，{}n S 有最小项 C ．{}n a 有最小项，{}n S 有最大项D ．{}n a 有最小项，{}n S 有最小项6．数列{}n a 满足：12a =，()111n n a a +-=，n S 是{}n a 的前n 项和，则2021S =（） A ．4042 B ．2021 C ．20232D ．202127．在等差数列{}n a 中，若6a ，7a 是方程2320x x ++=的两根，则{}n a 的前12项的和为（） A ．6B ．18C ．-18D ．-68．早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为{}n a ，则20212020a a -=（）A ．2018B ．2020C ．2022D ．20249．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-，若35<<k a ，则k =（） A ．8B ．7C ．6D ．510．等比数列{}n b 的前n 项之积为n T ，若456b b b =，则5T =（） A ．1B ．2C ．3D ．411．数列{}n a 满足1a m =，2212114,4(2)2,4n n n n n a n a n a a n ---⎧<=≥⎨≥⎩，若{}n a 为等比数列，则m 的取值范围是（） A ．(1,9]B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[2,9]D ．[18,)+∞12．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >，是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a ++++=，设()12n n n n b a a a n *++=∈N ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值组成的集合为______．14．已知数列{}n a 中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，n S 为其前n 项和，定义()21n n b a =+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若30301,51S T =-=，则数列{}n a 的前30项中0的个数为_______个．15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1212222016,log log log n n n a a a a a +⋅=+++=______．16．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若131n n S a -=⋅+（*n N ∈），则a =______．17．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________.三、解答题18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. （1）求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；（2）分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；（3）{S n }有多少项大于零？19．已知等差数列{}n a 满足37a =，616a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若当2n ≥时，113n n b b a -=，且13b =，求使0n b >的最大正整数n 的值．20．设{}n a 是各项都为正数的单调递增数列，已知19a =，且n a 满足关系式：19n n a a ++=+*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若99n n b a n=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知1055S =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若nn S b n=，求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值.22．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，n *∈N ，且2a ，5a ，14a 构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知d q =，111a b +=，221a b +=，431a b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（3）求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，22=,n n n S a a n N *+∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记22n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*21()n n S a n =-∈N ，数列{}n b 满足*1(1)(1)()n n nb n b n n n N +-+=+∈，且11b =．（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若12214(1)(1)(32log )(32log )n n n n n c a a -++=-++，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）若n n d a ={}n d的前n 项和为n D ，对任意的*n N ∈，都有n n D nS a ≤-，求实数a 的取值范围。

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

山东省高三数学理一轮复习专题突破训练：数列(含答案解析)

山东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，22a ，155S ，若}1{1nn a a 的的前n 项和为109，则n 的值为（）A ．8B ．9C ．10D ．112、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，则数列}{n a 的通项公式为3、（济南市2016届高三上学期期末）设等差数列n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S，对任意正整数n ，都有n k a a ，则k 的值为A.1006B.1007C.1008D.10094、（胶州市2016届高三上学期期末）若等差数列n a 的前7项和721S ，且21a ，则6a A.5B.6C.7D.85、（泰安市2016届高三上学期期末）设n a 是公差为正数的等差数列，若1310a a ，且1316a a ，则111213a a a 等于A.75B.90C.105D.1206、（淄博市2016高三3月模拟）在正项等比数列n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201720142015a a a a A. 3或-1 B. 9或1C. 3D. 97、（临沂市2016届高三11月期中质量检测）已知等差数列na 满足24354,10a a a a ，则它的前10项和10S _________.8、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a ，350a a ，则6=S _______..9、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃?a n 的最大值为.10、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n+1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=.二、解答题1、（2016年山东高考）已知数列na的前n 项和S n =3n 2+8n ，nb 是等差数列，且1.n n n a b b （Ⅰ）求数列nb 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n nnna cb 求数列nc 的前n 项和T n .2、（2015年山东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233.nnS （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .3、（2014年山东高考）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．数列{}n a 满足：13a =，12n n a a +=-，则100a 等于（） A ．98B ．195-C ．201-D ．2012．在等比数列中，1912,,833n a a q ===，则项数n 为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，如果1a ，2a ，5a 成等比数列，那么d 等于（） A ．2或2-B ．2-C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 的前n 和为n S ，22S =，412S =，则56a a +=（） A ．48B ．50C ．60D ．625．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若36S =，618S =，则9S =（）． A ．30B ．36C ．40D ．486．自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（）A ．201320143⨯+B ．201320142⨯+C ．201320141⨯+D ．20132014⨯7．已知{}n a 为等差数列，且1713πa a a ++=，则()212tan a a +的值为（） A 3B ．3-C ．3±D ．38．已知数列{}n a 中，112n a n =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大值时n 的值为（） A ．4B ．5C ．6D ．79．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()()121n n n n S S S n n --=+-()*,2n N n ∈≥，则22n nS n -的最小值为（）A ．23B ．3C ．2-D ．1-10．已知无穷递减实数列{}n a 满足11a =，则下列可作为{}n a 递推公式*()n N ∈的是（） A ．1sin n n a a += B ．1cos n n a a += C ．12na n a +=D ．12log n n a a +=11．数列}{n a 的首项12a =，且)(146n n a a n N *+=+∈，令)(2log 2n n b a =+，则1220212021b b b ++⋅⋅⋅+=（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．202312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*111n n na S n +++=∈N ，则24816S S S S +++=（） A ．398B ．7916C ．418D ．5二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________14．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为10尺，则秋分的日影子长为_______________________尺．15．记n T 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21a =，54a =，则10T =________． 16．等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为__________. 17．已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S =___________.三、解答题18．已知等差数列{}n a 中，61013,25a a == （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的第8项，第16项．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，2716a a +=，10100S =．求数列{}n a 的通项公式.20．已知数列{}n c 的前n 项之积为n T ，即12n n T c c c =，且()110n n n T +=，lg 1n n a c =-.（1）求数列{}n c 、{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n b =n *∈N ，均有121113nb b b +++<.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）当数列{}n a 为等差数列时，记数列{}3nn a 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .23．已知等差数列{}n a 中，42a =，()5433a a a =-，数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，试比较1n n a a +⋅与12n S +的大小；（3）任意*N n ∈，()()2322,?n n nn n n a a n b c a n b +⎧+--⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为偶数，为奇数，求数列{}n c 的前2n 项和．24．设函数()11lnxf x x-=+，设11a =，()1231,2n n a f f f f n n n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若112b =，()()()11,211nn n b n n a a *+=∈≥++N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()11n n a S λ+<+对一切n *∈N 成立，求λ的取值范围．25．设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足()11na nn nb a +=+-，求数列{}n b的前2n 项的和2n T参考答案1．B2．B3．C 4．B5．B6．B7．B8．B9．D10．A11．C12．B13．12n a n =- 14．8.4 15．45 16．4 17．18．（1）()*35n a n n N =-∈；（2）81619,43a a ==．19．21n a n =-.20．（1）对任意的n *∈N ，12n n T c c c =.当2n ≥时，()()1211101010n n n n n n n n T c T +--===，当1n =时，21110c T ==满足210n n c =，故()210n n c n N *=∈，所以，lg 121n n a c n =-=-；（2）证明：()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，故数列{}n a 为等差数列，所以，()122n n n a a S n +==，n b ∴=(2124nn n ++=+，故当2n ≥时，n b=<2===当1n =时，1113b =<，当2n ≥时，12111111111132411n b b b nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭223=<<，故对任意的n *∈N ，121113nb b b +++<. 21．证明：（1）由11n n n a a S λ+=-，得1211n n n a a S λ+++=-，两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，由121111a a S a λλ=-=-；11a =，得21a λ=-，又31a a λ-=，得31a λ=+，所以1(1)11λλλ+--=--，解得4λ=；所以3124d a a =-=，解得2d =，所以12(1)21n a n n =+-=-，令3n n na b =，则1(21)()3n n b n =-⋅；所以121111()3()(21)()333nnT n =⨯+⨯+⋯+-⨯，则23111111()3()(21)()3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得，21231121()[1()]2111111121332[()()()](21)()2(21)()()(121)1333333333313n n n n n n T n n n -++-=+++⋯++--⋅=+⨯--=-+--，所以113()13n n T n =-⋅<．22．（1）a n ＝2n －1(n ∈N *)；（2）T n ＝(2n －3)×2n ＋3. 23．（1）由题意可得:113243a d a d d +=⎧⎨+=⎩，解得:111a d =-⎧⎨=⎩，故()1112n a n n =-+-⨯=-因为数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⋅=，（2）由（1）知：()()212132n n a a n n n n +⋅=--=-+，()()12322n n n n n S -+--==，所以()()1122n n n S ++-=所以()()212122n S n n n n +=+-=--，所以11224n n n a a S n ++⋅-=-+，所以当2n <时，112n n n a a S ++⋅>，当2n =时，112n n n a a S ++⋅=，当3n ≥时，112n n n a a S ++⋅<；（3）当n 为奇数时，2n nn c =，当n 为偶数时，()()2223443161641616222nnnnn n n n n n n c ---+--+-=-==222222224161644(2)222222n n n n n n n n n n n n n n ---+-+-=-=-=- 对于任意正整数n ，有211321132111321222nk k n k n c c c c ---=-=+++=+++∑①， 213212111123214222n k n n k n n c --+=--=+++∑②，①-②得21321212111131222112141422222214nn k n n n k n n c --++=---=+++-=---∑ 441215863334224664n n nn n -+-=---=-⋅⋅⋅，所以211110659184n k n k n c --=+=-⨯∑，以及22421ni n i c c c c ==+++∑22222226222204224862220426486(2)(22)2222222222n n n n --=-+-+-+-++-2220104244n n n n -=-+=，因此2221211111106591844nnnk k k n n k k k n n c c c ---===+=+=-+⨯∑∑∑，所以，数列{}n c 的前2n 项和为211106591844n n n n--+-+⨯. 24．（1）1,11,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）14λ>．25．选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =.∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()112121na n nn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-，∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na n nn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135...454321n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由535S =得151035a d +=，解得13a =，∴()*21N n a n n =+∈.（2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+， ∴()()()2222213579 (414121)n n T n n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.。

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案)及参考答案

高考一轮复习备考试题(附参考答案)数列一、填空题1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲2、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。

3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若，，且，则数列{b n }的公比为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = 1，S 3 = 6，则S 6 =▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为▲11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a1d 的值为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H 数列。

”（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列”{}和{}，使得=（n）成立。

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2016届高三数学理一轮复习专题突破训练——数列一、选择、填空题1、设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A.若021>+a a ，则032>+a aB.若031>+a a ，则021<+a aC.若210a a <<，则312a a a >D.若01<a ，则()0)(3212>--a a a a2、若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}n a 的前n 项和最大.3、若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.4、设S n 为等差数列的前n 项和。

若，则通项公式＝＿＿＿＿。

5、已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64 6、在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或27、若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．8、等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 9、若数列a n 满足a 1－2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m na a a +=, 则3a = ；数列a n 前10 项的和S 10= .10、已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____． 11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果12a =，3522a a +=，那么3S 等于_____ 12、在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S ＝ . 13、数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若02,2111=+=+n n S a a ，...,2,1=n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a _______________14、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ．15、（）已知,4,m n 是等差数列，那么(2)(2)m n⋅=______；mn 的最大值为______二、解答题1、已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ， 361≤a ，且⎩⎨⎧>-≤=+18,36218,2.1n nn n n a a a a a () 2,1=n ．记集合{}*∈=N n a M n ．（Ⅰ）若61=a ，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．2、对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+， 112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值. （2）记m 为,,,a b c d四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.3、已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.4、（朝阳区2015届高三一模）若数列中不超过 f (m )的项数恰为b m(m ∈N * )，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数 f (m )是生成的控制函数。

设 f (m ) = m 2。

（1）若数列单调递增，且所有项都是自然数， b 1 =1，求a 1；（2）若数列单调递增，且所有项都是自然数， a 1= b 1 ，求a 1 ；（3）若a n = 2 n (n =1 ，2 ，3 ) ，是否存在生成的控制函数 g (n ) = pn 2 + qn +r （其中常数p ，q ，r ∈Z ），使得数列也是数列{ } m b 的生成数列？若存在，求出 g (n )；若不存在，说明理5、（东城区2015届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(3)a a a =≠，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，n *∈N ． (Ⅰ)求证：数列{}n b 是等比数列；(Ⅱ)若1n n a a +≥，n *∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,, 2.n n n e b n =⎧=⎨≥⎩设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (,t p *∈N 且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．6 4 7 （）（）（） ... j a 1 (7)12（）（）（）… j a 2 … （）（）（）（）（） … j a 3 … （）（）（）（）（） … j a 4… ……………… …… 1i a2i a3i a4i a5i a… ij a… ……………………其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数. （I ）写出45a 的值；（II ）写出ij a 的计算公式；（III ）证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是21N +可以分解成两个不是1的正整数之积..7、（丰台区2015届高三一模）如果数列A ：1a ，2a ，…，m a (Z m ∈，且3)m ≥，满足：①Z i a ∈，22i m ma -≤≤(1,2,,)i m =； ②121m a a a +++=，那么称数列A 为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．8、对于数列12:,,,n A a a a ，经过变换:T 交换A 中某相邻两段的位置（数列A 中的一项或连续的几项称为一段），得到数列()T A .例如，数列:A1111,,,,,,,,,,,i i i p i p i p q i p q n MNa a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1p ≥，1q ≥）经交换,M N 两段位置，变换为数列():T A1111,,,,,,,,,,,i i p i p q i i p i p q n NMa a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.设0A 是有穷数列，令1()(0,1,2,)k k A T A k +==.（Ⅰ）如果数列0A 为3,2,1，且2A 为1,2,3. 写出数列1A ；（写出一个即可）（Ⅱ）如果数列0A 为9,8,7,6,5,4,3,2,1，1A 为5,4,9,8,7,6,3,2,1，2A 为5,6,3,4,9,8,7,2,1，5A 为1,2,3,4,5,6,7,8,9.写出数列34,A A ；（写出一组即可）（Ⅲ）如果数列0A 为等差数列：2015,2014,,1，n A 为等差数列：1,2,,2015，求n 的最小值.9、设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．10、已知点列(k ∈N *，k ≥2)满足P 1（1，1），中有且只有一个成立．⑴写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；⑵证明：对于任意给定的k (k ∈N *，k ≥2)，不存在点列T ，使得；⑶当k = 2n −1且时，求的最大值．11、若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .12、已知数列{}n a 是等差数列，满足23a =，56a =，数列{2}n n b a -是公比为3等比数列，且2229b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．13、已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T .14、给定正奇数()5≥n n ，数列{}n a ：n a a a ,...,,21是1，2，…，n 的一个排列，定义E （21,a a ，…，n a ）||...|2||1|21n a a a n -++-+-=为数列{}n a ：1a ，2a ，…，n a 的位差和。