2019年春八年级数学下册第4章一次函数专题训练四确定一次函数表达式的六种方法练习新版湘教版

专题训练(四) 确定一次函数表达式的六种方法
►方法一根据一次函数的定义确定
1．已知关于x的函数y＝(2m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？
(2)当m为何值时，这个函数为一次函数？
2．已知y＝(m－1)xm2－3＋2是关于x的一次函数，并且y的值随x值的增大而减小，求此一次函数的表达式．
►方法二根据一次函数的性质确定
3．某一次函数的图象过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x值的增大而减小，请写出符合上述条件的一个函数表达式：____________．
4．已知一次函数y＝(1－2m)x＋m－2，若函数值y随x值的增大而减小，并且函数的图象经过第二、三、四象限，m是整数，求此一次函数的表达式．
►方法三根据两点坐标(两对对应值)确定
5．已知一次函数y＝kx＋b在x＝3时，y的值为5，在x＝－4时，y的值为－9，求这个一次函数的表达式．
6．直线l 与直线y ＝2x ＋1的交点的横坐标为2，与直线y ＝－x ＋2的交点的纵坐标为1，求直线l 对应的函数表达式．
► 方法四 利用表格信息确定
7
► 方法五 根据物理知识及生活经验确定
8．一根弹簧原长12厘米，它所挂物体的质量不能超过15千克，并且每挂1千克重物，伸长1
2厘米，写出挂重物后的弹簧的长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)之间的函数表达
式．
9．为更新果树品种，某果园计划购进A ，B 两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种树苗的单价为7元/棵，购买B 种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图4－ZT －1所示的函数关系．
(1)求y 关于x 的函数表达式；
(2)若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
图4－ZT －1
► 方法六 根据图形与坐标轴围成的三角形的面积确定
10．如图4－ZT －2，一次函数的图象经过点(5
2，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积
为25
4
，求出这个一次函数的表达式．
图4－ZT －2
11．已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y＝kx＋b(k≠0)经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分．
(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
(2)若△AOB被分成的两部分的面积之比为1∶5，求k和b的值．
详解详析
1.解：（1）由正比例函数的定义，有1－3m ＝0且2m －1≠0，得m ＝13，m ≠1
2，∴当m ＝
1
3
时，y ＝（2m －1）x ＋1－3m 为正比例函数. （2）由一次函数的定义知，当m ≠1
2时，y ＝（2m －1）x ＋1－3m 为一次函数.
2.解：∵y ＝（m －1）xm 2
－3＋2是关于x 的一次函数，∴m 2
－3＝1，且m －1≠0，解得m ＝±2.
又∵y 的值随x 值的增大而减小，∴m －1＜0，∴m ＝－2，∴此一次函数的表达式是y ＝－3x ＋2.
3.[答案] y ＝－x ＋1（答案不唯一）
[解析] 因为y 随x 的增大而减小，所以k ＜0，不妨设y ＝－x ＋b.把x ＝－1，y ＝2代入，得b ＝1，所以函数表达式为y ＝－x ＋1.
4.解：根据一次函数的性质，函数值y 随x 值的增大而减小，得1－2m ＜0，解得m ＞1
2.
函数的图象经过第二、三、四象限，说明图象与y 轴的交点在x 轴下方，即m －2＜0，解得m ＜2，
所以m 的取值范围为1
2＜m ＜2.又因为m 是整数，所以m ＝1，故此一次函数的表达式为y
＝－x －1.
5.解：由已知条件当x ＝3时，y ＝5，得5＝3k ＋b.
由已知条件当x ＝－4时，y ＝－9，得－9＝－4k ＋b ，联立解得k ＝2，b ＝－1， 故这个一次函数的表达式为y ＝2x －1.
6.解：设直线l 与直线y ＝2x ＋1的交点为A ，与直线y ＝－x ＋2的交点为B. 把x ＝2代入y ＝2x ＋1，得y ＝5，即点A 的坐标为（2，5）；把y ＝1代入y ＝－x ＋2，得x ＝1，即点B 的坐标为（1，1）.
设直线l 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.把A ，B 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨
⎪⎧2k ＋b ＝5，
k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，
b ＝－3，
∴直线l 对应的函数表达式为y ＝4x －3.
7.解：由表内数据可知，变量y 是随变量x 均匀变化的，所以y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b （k ≠0），把x ＝1，y ＝5，x ＝2，y ＝8分别代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝5，2k ＋b ＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝3，
b ＝2， 所以y ＝3x ＋2.
当x ＝3时，y ＝11；
当x ＝4时，y ＝14，与表格信息相符， 所以y 与x 之间的函数表达式为y ＝3x ＋2.
8.解：y ＝1
2x ＋12（0≤x ≤15）.
9.解：（1）当0≤x ＜20时，
∵图象经过点（0，0）和（20，160）， ∴设y ＝k 1x （k 1≠0），把（20，160）代入，得160＝20k 1，解得k 1＝8； 当x ≥20时，设y ＝k 2x ＋b （k 2≠0），
把（20，160）和（40，288）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b ＝160，40k 2＋b ＝288，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＝6.4，
b ＝32，
∴y 关于x 的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x （0≤x<20），6.4x ＋32（x ≥20），其中x 为整数.
（2）依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤35，
x ≥45－x ，
解得22.5≤x ≤35，
此时y ＝6.4x ＋32.设总费用为z 元.
依题意得z ＝y ＋7（45－x ）＝－0.6x ＋347. ∵－0.6＜0，
∴z 随x 的增大而减小.
∵22.5≤x ≤35，且x 为整数，
∴当x ＝35时，z 最小，此时z ＝－0.6×35＋347＝326，45－x ＝10，
∴当购买A 种树苗10棵，B 种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元. 10.解：设一次函数的图象与y 轴的交点为（0，m ）. 由已知得12·52·m＝25
4，
解得m ＝5，
即一次函数的图象过点（5
2
，0），（0，5）.
设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b （k ≠0），则⎩⎪⎨⎪⎧52k ＋b ＝0，
b ＝5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，
b ＝5，
∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋5. 11.解：（1）根据题意，得A （2，0），B （0，2），如图①. 由题意易知直线y ＝kx ＋b 经过点C （1，0），B （0，2），
代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2.
（2）如图②，设直线y ＝kx ＋b 与OB 交于点M （0，h ），
由题意，得S △AOB ＝2，S △OMC ＝1
6S △AOB ，
∴S △OMC ＝13，∴h ＝2
3
.
经过点M 作直线MN ∥OA ，交AB 于点N ，
则S △OMC ＝S △CAN . 设N （a ，2
3
），
∵N （a ，2
3）在直线y ＝－x ＋2上，
∴a ＝43，∴N （43，23
）.
∵直线y ＝kx ＋b 经过M （0，23），C （1，0）或经过N （43，23），C （1，0），
∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝23，k ＋b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧43
k ＋b ＝23，k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2
3，b ＝23
或⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.
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