中考数学专题复习圆压轴八大模型题-弧中点的运用
中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有方法更有技巧
中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有⽅法更有技巧
其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的圆模型，把握了这些⽅法与技
巧，就能台阶性地提⾼考⽣解决圆问题的能⼒！
关键词：#中考数学# #圆# #模型#
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现在有很多资料是关于”隐圆”的⽅法归纳，其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的
圆模型（共30页），学习都是有个循序渐进的过程。
与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第⼆题的位置上，是
试卷中综合性与难度都⽐较⼤的习题。
⼀般都会在固定习题模型的基础上变化与扩展，本⽂结合近年来各省市中考题，整理了这些习
题的常见的结论，破题的要点，常⽤技巧。
把握了这些⽅法与技巧，就能台阶性地帮助考⽣解决中考压轴题中有关圆的考题。
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≡部分页⾯预览：
类型 1 弧中点的运⽤（部分页⾯）
类型 2 切割线互垂（部分页⾯）
类型 3 双切线组合（部分页⾯）
类型 4 圆内接等边三⾓形（部分页⾯）
类型 5 三切线组合（部分页⾯）
类型 6 圆外⼀点引圆的切线和直径的垂线（部分页⾯）
类型 7 直径在腰上（部分页⾯）
类型 8 阿⽒圆模型（以后专门有分类讨论，本⽂省略了）。
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(学生用)(word文档良心出品)
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。
(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。
3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
初中圆弧中点定理及应用
初中圆弧中点定理及应用的实际应用情况1. 应用背景初中数学中，圆弧中点定理是一个重要的几何定理，它揭示了圆弧上的中点与圆心、圆弧两端点之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，尤其是在测量、建模、设计等实际应用中。
2. 应用过程圆弧中点定理的表述如下：定理：圆上任意两点与圆心的连线所夹的圆弧上的中点与圆心、圆弧两端点连线的中点三点共线。
应用圆弧中点定理的具体过程如下：1.已知一个圆和圆上的两点A、B，以及这两点与圆心O的连线。
2.连接OA和OB，得到两条线段。
3.找到线段OA和OB的中点M1和M2。
4.连接AM1和BM2，得到一条直线。
5.判断AM1BM2是否共线，即判断M1、O、M2是否在一条直线上。
6.如果M1、O、M2在一条直线上，则圆上的中点与圆心、圆弧两端点连线的中点共线。
3. 应用效果圆弧中点定理在实际应用中具有广泛的应用，下面将介绍一些具体的应用情况。
3.1 测量在测量中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的圆心位置。
假设我们需要测量一个圆的圆心位置，但是只能通过圆上的几个点来进行测量。
我们可以选择圆上的任意两点A、B，并通过这两点与圆心的连线来确定圆心位置。
根据圆弧中点定理，我们可以找到线段OA和OB的中点M1和M2，然后连接AM1和BM2，如果M1、O、M2在一条直线上，那么这条直线就是圆的直径，圆心就在直线的中点上。
3.2 建模在建模中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的直径。
假设我们需要根据一些已知的点来建立一个圆的模型，但是只能通过这些点来确定圆的直径。
我们可以选择圆上的任意两点A、B，并通过这两点与圆心的连线来确定圆的直径。
根据圆弧中点定理，我们可以找到线段OA和OB的中点M1和M2，然后连接AM1和BM2，如果M1、O、M2在一条直线上，那么这条直线就是圆的直径。
3.3 设计在设计中，圆弧中点定理可以用来确定一个圆的中点。
假设我们需要在一个圆上设计一个凸起的装饰物，并使得这个装饰物与圆心和圆弧两端点连线的中点共线。
2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)
专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ， 在AF 上取一点O ， 以OA 为半径作圆， 恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2， 将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为 ；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。
2020年深圳中考压轴题圆题型汇总(托勒密定理等圆中难题秘诀)
2020年深圳中考压轴题圆题型汇总(托勒密定理等圆中难题秘诀)中考专项练——圆一、圆中等积式证明（三角形相似）在圆中，我们常常需要证明一些等积式，其中一种常见的方法是利用三角形相似。
例如，我们可以证明在同一圆周上的两个弧所对应的圆心角相等，即 $\angle AOB = \angle COD$，其中 $AB$ 和 $CD$ 分别是这两个弧所对应的弦。
我们可以通过证明 $\triangle AOB \sim \triangle COD$ 来得到这个结论。
圆中的相似模型】在圆中，我们还可以利用相似模型来解决问题。
例如，我们可以利用相似模型证明切线与半径垂直，即 $\angle AOB = 90^\circ$，其中$OA$ 是圆的半径，$AB$ 是与圆相切的切线。
切线定理】切线定理是圆中一个重要的定理，用于描述切线与圆的关系。
根据切线定理，切线与圆的切点处的切线段长度相等。
例如，如果 $AB$ 和 $CD$ 是与圆相切的两条切线，它们的切点为 $P$，那么 $AP=PD$ 和 $BP=PC$。
中点弧模型】中点弧模型是圆中一个常见的模型，用于求解圆中线段的长度。
例如，如果 $AB$ 是圆中一条弦，$M$ 是 $AB$ 的中点，$OM$ 是圆的半径，那么 $AB=2OM$。
例题】例如，如果 $AB$ 是圆中一条直径，$C$ 是圆上一点，$CD$ 是过 $C$ 的切线，交直径 $AB$ 于 $E$，那么 $CE=DE$。
二、圆中线段和差比值问题利用三角形全等进行截长补短】在圆中，我们常常需要解决线段和差比值的问题。
例如，如果 $AB$ 和 $CD$ 是圆中两条相交的弦，交点为 $E$，那么$\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{CD}{DB}$。
我们可以利用三角形全等来证明这个结论。
托密勒定理】托密勒定理是圆中一个重要的定理，用于描述线段和差的比值。
根据托密勒定理，如果 $AB$ 和 $CD$ 是圆中两条相交的弦，交点为 $E$，那么$\dfrac{AE}{EB}\cdot\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CE}{ED}$。
初三数学圆压轴题方法
初三数学圆压轴题方法初三数学作为初中阶段最后一年的学习，对于学生来说，数学圆压轴题可以说是非常重要的一道考题。
那么，如何在考试中成功解决数学圆压轴题呢？下面是我总结的一些方法和技巧，希望能够帮助到大家。
一、切割法切割法是解决数学圆压轴题的一种常用方法。
具体来说，我们可以将圆分割成一些已知图形，通过这些已知图形的性质，来计算未知部分的值。
比如说，在求一个扇形的面积时，我们可以将扇形切割成一个以扇形半径为边长的等腰三角形和一个圆心角的弧所对的扇形，然后通过求等腰三角形的面积和扇形的面积的和来得到最终答案。
二、相似三角形法相似三角形法是圆压轴题中的常用方法之一。
我们可以通过建立一些相似三角形，来计算圆内、外一些未知部分的值。
比如说，在求圆内接正三角形的边长时，我们可以通过建立相似三角形来求解。
具体来说，我们可以连接圆心与三角形的顶点，并作垂线，然后就可以得到一个小三角形和一个大三角形。
由于这两个三角形是相似的，所以我们可以利用它们的边长比例，来求解出正三角形的边长。
三、勾股定理法有些圆压轴题，可以利用勾股定理来求解。
比如说，如果我们已知一个角度以及圆弧所对的弦长，那么我们就可以通过勾股定理来求解弧长。
具体来说，我们可以将弦分成两部分，然后运用勾股定理得到弦的长度，最后再用弦长（即直径）来求解弧长。
四、向量法向量法可以帮助我们快速求解圆的一些部分，例如弧长、面积等。
我们可以通过向量的加减乘除运算，来计算圆周上的点的坐标，从而求得圆弧的长度和面积。
以上就是我总结的一些初三数学圆压轴题的方法和技巧，希望能够帮助大家在考试中取得优异的成绩。
当然，解决数学圆压轴题不仅需要掌握一些方法和技巧，更需要这些方法和技巧在实践中的灵活应用，只有这样，我们才能更加轻松地应对各类数学题目。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题38 重要的几何模型之中点模型(一)(解析版)
专题38重要的几何模型之中点模型（一）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC 中，DE ⊥BC ，且D 为BC 中点，则BE=EC 。
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形ABCD 中，连接对角线AC ，作BC 边的垂直平分线EF ，分别交BC 、AC 、AD 于点F 、Q 、E ，若21EQD ，则CAB 的度数是（）A ．21B ．37C ．42D ．69【答案】B 【分析】如图，连接QB ，证明QD QB QC ，902169ADQ ，设QDC QCD x ，证明DA DC ，由作图可得：EF 是BC 的垂直平分线，∴QD QB QC ，ADQ ∵菱形ABCD ，∴DA DC ∴180BAD ADC ，∴2A ．8【答案】A 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，MN 垂直平分A．2B．22【答案】B【分析】连接BD，由作法得MN，由三角形外角的性质得到ABD BAD15【点睛】本题考查了作图 复杂作图，线段垂直平分线的性质，含识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．例4．（2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在 ，点PQ分别是AD平分BACAD ∵是P 、P 的对称轴，即AD PQ BQ 的最小值即为P Q BQ 当BP AC 时，BP 即P Q BQ ∵在ABC 中，90C ，BAC 【答案】74【分析】设CBD ，BFE (SAS)CBD CBT ≌ ，得CT∵点E是AB的中点，EF∵，BCD BCT BC90，BDCCT CD41046AC AT CT(1)若222，求BACBD CE DE的大小；过点F作FG垂直于BA的延长线于点【答案】(1)135 (2)证明见解析∵DH EF 、为边AB AC ，的垂直平分线，∴AD BD AE CE ，，∴BAD ∵222BD CE DE ，∴22AD AE ∴ADE V 为直角三角形，且=90DAE ∵BF 是ABC 的平分线，FG BG ，∵AB BM ，ABF MBF ，BF ∵EF 是AC 的垂直平分线，∴FA FC模型2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
模型25 圆综合之中点弧模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型解读】类型一中点弧与相似点P 是优弧AB上一动点，则∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似【补充】⑥PE •PC ＝PA •PB【以下五个条件知一推四】1点C 是AB 的中点2AC ＝BC 3OC ⊥AB 4PC 平分∠APB52CE CP CB ⋅=(即~CPB CBE △△)类型二中点弧与旋转【模型解读】点P 是优弧AB 上一动点，且点C 是 AB 的中点邻边相等+对角互补旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即180PBC PAC ∠∠︒＋＝，显然'PAP 共线，且'PC P C ＝，通过导角不难得出相似.类型三中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O 是△ABC 外接圆圆心，I 是三角形ABC 模型25圆综合之中点弧模型（原卷版）-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇内心，延长AI 交圆O 于D ，证DI ＝DC ＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3类型四弧中点与垂径定理【模型解读】知1推51AD平分∠CAB 2D是 CB的中点3DO⊥CB4CE EB=5//AC OD612 OE AC=例题精讲考点一：中点弧与相似三角形的综合【例1】．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED ＝4，则AB的长为_______解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠D，∵∠BAD＝∠BAD，∴△ABD∽△AEB，∴，∴AB2＝3×7＝21，∴AB＝．变式训练【变式1-1】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，则BC•CD＝40．解：∵AB＝AD＝3，∴＝，∴∠ADP＝∠ACD，∵∠DAP＝∠CAD，∴△ADP∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AP＝，PC＝AC﹣PA＝7﹣＝，∵∠CBP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD，∴△CBP∽△CAD，∴＝，∴BC•CD＝CA•CP＝7×＝40．故答案为：40．【变式1-2】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为_______解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝FA＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．考点二中点弧与旋转的综合【例2】.在OBAD∠=︒，点C为弧BD的AB=，10AD=，60的内接四边形ABCD中，6中点，则AC的长是．解：如图，过C 作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，则90E CFD CFA ∠=∠=∠=︒， 点C 为弧BD 的中点，∴ BC CD =，BAC DAC ∴∠=∠，BC CD =，CE AB ⊥ ，CF AD ⊥，CE CF ∴=，A 、B 、C 、D 四点共圆，D CBE ∴∠=∠，在CBE ∆和CDF ∆中CBE D E CFD CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CBE CDF ∴∆≅∆，BE DF ∴=，在AEC ∆和AFC ∆中，E AFC EAC FAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEC AFC ∴∆≅∆，AE AF ∴=，设BE DF x ==，6AB = ，10AD =，3AE AF x ∴==+，106x x ∴-=+，解得：2x =，即8AE =，163cos303AE AC ∴==︒1633．变式训练【变式2-1】．如图，已知AB 是O 的弦，点C 是弧AB 的中点，D 是弦AB 上一动点，且不与A 、B 重合，CD 的延长线交于O 点E ，连接AE 、BE ，过点A 作AF BC ⊥，垂足为F ，30ABC ∠=︒．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若6BC =，3CD =，求DE 的长；（3）当点D 在弦AB 上运动时，CEAE BE+的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．（1）证明：如图，连接AC ，OA ，OC ，OC 交AB 于H ，260AOC ABC ∠=∠=︒ ，OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形，60CAO ACO ∴∠=∠=︒， 点C 是弧AB 的中点，∴ BC AC =，30ABC BAC ∴∠=∠=︒，180180603090CHA OCA CAB ∴∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AB OC ∴⊥，1302OAD OAC ∴∠=∠=︒，30ABC ∠=︒ ，ABC OAD ∴∠=∠，//OA BF ∴，AF BF ⊥ ，OA AF ∴⊥，AF ∴是O 的切线；（2）解： BCAC =，CBD BEC ∴∠=∠，BCD BCE ∠=∠ ，BCD ECB ∴∆∆∽，∴BC CD EC CB =，∴636EC =，12EC ∴=，1239DE EC CD ∴=-=-=；（3）结论：3CE AE BE =+，CEAE BE+的值不变．理由：如图，连接AC ，OC ，OC 交AB 于H ，作//AN EC 交BE 的延长线于N ， BCAC =，CB CA ∴=，由（1）得，OC AB ⊥，12BH AH AB ∴==，30ABC ∠=︒ ，30ABC BAC BEC AEC ∴∠=∠=∠=∠=︒，cos302BH BC ∴=︒=，∴122AB AC =，//CE AN ，30N CEB ∴∠=∠=︒，30EAN AEC ∠=∠=︒，EAN N ∴∠=∠，N AEC ∴∠=∠，AE EN =，ACE ABN ∠=∠ ，ACE ABN ∴∆∆∽，∴3CE AC BN AB ==，∴CE CE EN BE AE BE ==++，∴CE AE BE +的值不变．考点三：中点弧+内心可得等腰三角形【例3】．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长AI 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接BD 、DC 、BI ．求证：DB ＝DC ＝DI ．证明：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAD ＝∠DAC ，∠ABI ＝∠IBC ，∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAD ＝∠DAC ，∴＝，∴BD ＝CD ，∵＝，∴∠CAD ＝∠CBD ，∵∠DBI ＝∠IBC +∠CBD ，∠BID ＝∠ABI +∠BAI ，∴∠DBI ＝∠BID ，∴DB ＝DI ，∴DB ＝DC ＝DI ．变式训练【变式3-1】．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE ＝∠BDA ，∴△DAE ∽△DBA ，∴AD ：DB ＝DE ：DA ，即AD ：9＝4：AD ，∴AD ＝6，∴DI ＝6，∴BI ＝BD ﹣DI ＝9﹣6＝3．【变式3-2】．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作∠BCD ＝∠ACB 交⊙O 于点D ，连接AD 交BC 于点E ，延长DC 至点F ，使CF ＝AC ，连接AF ．（1）求证：ED ＝EC ；（2）求证：AF 是⊙O 的切线；（3）如图2，若点G 是△ACD 的内心，BC ·BE ＝25，求BG 的长．解：（1）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∵∠ACB ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠BCD ＝∠ADC ，∴ED ＝EC ；（2）如图，连接OA ，∵AB ＝AC ，∴ AB AC ，∴OA ⊥BC ，∵CA ＝CF ，∴∠CAF ＝∠CFA ，∴∠ACD ＝∠CAF ＋∠CFA ＝2∠CAF ，∵∠ACB ＝∠BCD ，∴∠ACD ＝2∠ACB ，∴∠CAF ＝∠ACB ，∴AF ∥BC ，∴OA ⊥AF ，∴AF 为⊙O 的切线；（3）∵∠ABE ＝∠CBA ，∠BAD ＝∠BCD ＝∠ACB ，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB BE BC AB=，∴AB 2＝BC •BE ，∵BC •BE ＝25，∴AB ＝5，如图，连接AG ，∴∠BAG ＝∠BAD ＋∠DAG ，∠BGA ＝∠GAC ＋∠ACB ，∵点G 为内心，∴∠DAG ＝∠GAC ，又∵∠BAD ＋∠DAG ＝∠GAC ＋∠ACB ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∴BG ＝AB ＝5．考点四:弧中点与垂径定理【例4】．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为圆上的两点，//OC BD ，弦AD ，BC 相交于点E ．（1）求证： AC CD=；（2）若2CE =，6EB =，求O 的半径．（1）证明：OC OB = ，OBC OCB ∴∠=∠，//OC BD ，OCB CBD ∴∠=∠，OBC CBD ∴∠=∠，∴AC CD =；（2）连接AC ，2CE = ，6EB =，8BC ∴=，AC CD =，CAD ABC ∴∠=∠，ACB ACB ∠=∠ ，ACE BCA ∴∆∆∽，∴AC CB CE AC =，即82AC AC=，解得，4AC =，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，AB ∴==，O ∴ 的半径为．变式训练【变式4-1】．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．（1）求证：△BFG ≌△CDG ；（2）若AD ＝BE ＝4，求BF 的长．（1）证明：∵C 是中点，∴＝，∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴＝，∴＝，∴CD ＝BF ，在△BFG 和△CDG 中，，∴△BFG ≌△CDG （AAS ）；（2）解：如图，连接OF ，设⊙O 的半径为r ，Rt △ADB 中，BD 2＝AB 2﹣AD 2，即BD 2＝（2r ）2﹣42，Rt △OEF 中，OF 2＝OE 2+EF 2，即EF 2＝r 2﹣（r ﹣4）2，∵＝＝，∴＝，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，解得：r＝2（舍）或6，∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，∴BF＝4．【变式4-2】．如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F．（1）求证：AD＝AF；（2）若，求tan∠ODA的值．解：（1）连接AE，OE交AC于H，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∴∠BAE+∠FAE＝90°，∴∠B＝∠FAE，∵点E为弧AC的中点，∴＝，∴∠B ＝∠CAE ，∴∠CAE ＝∠FAE ，在△ADE 和△AFE 中，，∴△ADE ≌△AFE （ASA ），∴AD ＝AF ；（2）∵，∴设AO ＝2x ，AF ＝3x ，∴AB ＝4x ，∴BF ＝＝＝5x ，∵S △ABF ＝×AB ×AF ＝×BF ×AE ，∴AE ＝x ，∴EF ＝＝x ，∵点E 为弧AC 的中点，∴OE ⊥AC ，AH ＝CH ，∵∠DAE ＝∠EAF ，∠AEF ＝∠AHE ＝90°，∴△AEH ∽△AFE ，∴，∴＝＝，∴AH ＝x ，HE ＝x ，∴OH ＝x ，HD ＝x ，∴tan ∠ODA ＝＝．考点五弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例5】.如图，AB 是O 的直径，点C 为 BD的中点，CF 为O 的弦，且CF AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．（1）求证：BFG CDG ∆≅∆；（2）若2AD BE ==，求BF的长．证明：（1）C 是 BD的中点，∴ CD BC =，AB 是O 的直径，且CF AB ⊥，∴ BCBF =，∴ CD BF =，CD BF ∴=，在BFG ∆和CDG ∆中，F CDG FGB DGC BF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFG CDG AAS ∴∆≅∆；（2）如图，连接OF ，设O 的半径为r ，Rt ADB ∆中，222BD AB AD =-，即222(2)2BD r =-，Rt OEF ∆中，222OF OE EF =+，即222(2)EF r r =--，CDBC BF ==，∴ BD CF =，BD CF ∴=，2222(2)4BD CF EF EF ∴===，即2222(2)24[(2)]r r r -=--，解得：1r =（舍)或3，2222223(32)212BF EF BE ∴=+=--+=，BF ∴=；1．如图，在⊙O 中AB 为直径，C 为弧AB 的中点，EF ∥AB ，连接AC 交EF 于点D ，若已知DF ＝2DE ，则CD ：AD 的值为（）A．1：3B．1：2C．1：2D．1：4解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，∵DF＝2DE，∴设DE＝x，DF＝2x，∴EF＝3x，∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵EF∥AB，∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，∴EH＝HF＝x，∴DH＝x＝CH，∴CD＝x，∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△FDC，∴，∴，∴AD＝2x，∴CD：AD＝1：4．故选：D．2．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）A．2B．C．D．1解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′，OB，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．故选：C．3．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．解：如图2中，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，∵点C为弧BD的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF，∴BE＝DF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC，∴AE＝AF，设BE＝DF＝x，∵AB＝6，AD＝10，∴AE＝AF＝x+3，∴10﹣x＝6+x，解得：x＝2，即AE＝8，∴AC＝＝，故答案为．4．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠EBC+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BED＝∠EBD，∴DE＝DB；（2）解：连接CD，∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝CD，∵BD＝4，∴BC＝＝4，∴△ABC外接圆的半径为2．5．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若sin∠F＝，AE＝4，求⊙O的半径和AC的长．（1）证明：连接OD，OC．∵D是的中点，∴∠BOD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠ODF＝90°，即EF是⊙O的切线；（2）解：在△AEF中，∵∠E＝90°，sin∠F＝，AE＝4，∴AF＝＝12．设⊙O的半径为R，则OD＝OA＝OB＝R，AB＝2R．在△ODF中，∵∠ODF＝90°，sin∠F＝，∴OF＝3OD＝3R．∵OF+OA＝AF，∴3R+R＝12，∴R＝3．连接BC，则∠ACB＝90°．∵∠E＝90°，∴BC∥EF，∴AC：AE＝AB：AF，∴AC：4＝2R：4R，∴AC＝2．故⊙O的半径为3，AC的长为2．6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．解法二：可以作OB中点G，连接FG，EG，证明OEFG是平行四边形即可，得对角线互相平分．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG．∵EG∥OB，AE＝EB，∴AG＝OG∵OF＝FC，∴OG＝OF，∴OD＝FG，∵AE⊥OE，AG＝OG，∴EG＝AO＝OG，∵∠DOG＝∠FGE，∴DOG≌△FGE（SAS），∴DG＝EF，∵DF＝EF，∴DG＝DF，∴DO⊥FG，∴EG⊥AO，∴EA＝EO，∴∠BAC＝45°7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．8．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B 重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC ＝30°．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，求DE的长．（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．（1）证明：如图，连接AC，OA，OC，OC交AB于H，∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠ACO＝60°，∵点C是弧AB的中点，∴，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴∠CHA＝180﹣∠OCA﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB⊥OC，∴∠OAD＝∠OAC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠OAD，∴OA∥BF，∵AF⊥BF，∴OA⊥AF，∴AF是⊙O的切线；（2）解：∵，∴∠CBD＝∠BEC，∵∠BCD＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴，∴，∴EC＝12，∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9；（3）结论：，的值不变．理由：如图，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N，∵，∴CB＝CA，由（1）得，OC⊥AB，∴BH＝AH＝，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BEC＝∠AEC＝30°，∴BH＝BC cos30°＝BC，∴，∵CE∥AN，∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝30°，∴∠EAN＝∠N，∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，∵∠ACE＝∠ABN，∴△ACE∽△ABN，∴，∴＝，∴的值不变．解法二：连接AC，可知BC＝AC，∠BCA＝120°，可得BC：AC：AB＝1：1：，再利用相似三角形的性质解决问题．9．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠COB＝∠CBO，∴BC＝OC．∴BC＝AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴＝．∴BM2＝MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，＝，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝8，∴BM＝4．∴MN•MC＝BM2＝32．11．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．（1）解：如图，连接OC，∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，∵OC＝2，∴CD＝2CM＝2＝2＝2；（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝2，∵OC＝2，PO＝2+2＝4，∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为的中点∴∠GOE＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH∴△OGE∽△FGH∴＝∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣，0），B（3，0），以AB为直径的⊙G交y轴于C、D两点．（1）填空：请直接写出⊙G的半径r、圆心G的坐标：r＝；G（，）；（2）如图2，直线y＝﹣x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2，m），求证：直线EF是⊙G的切线．（3）在（2）的条件下，如图3，点M是⊙G优弧上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN•CM ＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣，0），B（3，0），AB是直径，∵AB＝4，∴⊙G的半径为2，G（，0），故答案为r＝2，，0．（2）如图2中，连接GT，过点T作TH⊥x轴于H，∵直线y＝﹣x+5与x、y轴交于E、F两点，则E（0，5），F（5，0），∵直线y＝﹣x+5经过T（2，m），则m＝﹣×2+5＝3，∴T（2，3），故TH＝3．GH＝，HF＝3，在Rt△HGT中，GT＝r＝2，∴GH＝GT，∴∠GTH＝30°，在Rt△THF中，tan∠FTH＝＝＝，∴∠FTH＝60°，∴∠GTF＝∠GTH+∠HTF＝30°+60°＝90°，∴GT⊥EF，∴直线EF是⊙G的切线．（3）如图3中，连接CG、TG、TC．在Rt△COG中，OG＝，CG＝r＝2，∴OC＝3，∠CGO＝60°．∵C（0，3），T（2，3），∴CT∥x轴，∴CT＝2，即CT＝CG＝GT＝2，∴△CGT是等边三角形，∴∠CGT＝∠TCG＝∠CGA＝60°，∴∠CTA＝∠CGA＝30°，∠M＝∠CGT＝30°，∴∠CTA＝∠M，在△CNT和△CTM中，∵∠TCN＝∠MTC，∠CTN＝∠M，∴△CNT∽△CTM，∴＝，∴CN•CM＝CT2＝（2）2＝12．∴k＝CN•CM＝12．13．已知：如图，抛物线y＝x2﹣x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E 点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在条件（2）下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH•AP＝k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0．设A（x1，0），B（x2，0）．则有x1•x2＝3m又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB∴∴，即x1•x2＝﹣m2∴﹣m2＝3m，解得m＝0或m＝﹣3而m＜0，故只能取m＝﹣3（3分）这时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣4故抛物线的顶点坐标为（，﹣4）．（2）由已知可得：M（，0），A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（0，3）∵抛物线的对称轴是直线x＝，也是⊙M的对称轴，连接CE∵DE是⊙M的直径，∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，∴E点的坐标为（2，﹣3）∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又∵FG⊥DE，∴FG∥CB由B（3，0）、C（0，﹣3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：y＝﹣3可设直线FG的解析式为y＝+n，把（2，﹣3）代入求得n＝﹣5故直线FG的解析式为y＝﹣5．（3）存在常数k＝12，满足AH•AP＝12，假设存在常数k，满足AH•AP＝k连接CP，∵AB⊥CD，∴＝∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO），又∵∠CAH＝∠PAC，∴△ACH∽△APC，＝，∴即AC2＝AH•AP，在Rt△AOC中，AC2＝AO2+OC2＝（）2+（3）2＝12，∴AH•AP＝k＝12；（也可以证明△AOH∽△APB，可得AH•AP＝AO•AB，由此即可解决问题）。
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圆压轴题八大模型题(一)市七中佳彼学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中老题中的倒数第二题的位責上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1弧中点的运用在OO中，点O是处的中点，CE1AB于点£(1)在图】中，你会发现这些结论吗？CP= FP\② CH= AD\©AC^ = AP- AD=CF・ CB=AE・ SB.(2)在图2中，你能找出所有与相似的三角形吗?【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：ZCAD= LAC巳/_ PCF= Z 所以AP= CP= FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，DC= AC= AH, 再由弧脅加得：CH^AD^X CH= AD.⑴③由共边角相似易证：\ACEs、ABC4ACPs“ADC4ACFs、BCA送而得AC1 =AE AB^ACr^APAaACr^CF CB:(2)垂径定理的推论得：CO丄SD易证：RtA/45C<^RtA C55^>RtA BD2 RtAZCG^RtACG^此外还有RtA/4^£^RtAZOG^RtA^5D^RtAC^G.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图】或图2上观察、比较、思考和总结。
【典例】(2018 •永州)如图，线段处为OO的直径，点C F在OO上，BC=CE, CQ丄S3,垂足为点O连接BE、弦3F与线段CQ相交于点F.(1)求证：CF= BF\⑵若COSZ/I5F=A,在S3的延长线上取一点M使购=4, OO的半径为6.求证:5・・ •专业【分析】（1）延长OQ 与圆相交，由垂径定理得到缸 =BG,再由BC=CE^到五=血=无，等弧所对的 角相等，等角对等边。
（2）由垂径定理的推论得OCBE 、再由锐角三角函数得到边 釦、站的长度，由对应边成比例得BEII CM,由LMCO = ZBHO=90°证得结论。
证明：（】）延长CQ 交G ）O 于G,如图,•・・UQ 丄AB, /.BC= BG,T BC= CE, /. CE= BG,/ CBE= Z GCB, /. CF= BF\（2）连接OO 交3F 于”如图， vBC=CE, :.OCLBE.在 R\、OBH 中，cos/O3/y=型■ =OB 5■■•5Zy=f X6 = V 叫/邂）2晋 ,.0H_ 5 _3 0B_ 6 _3•而一〒一T ON "6+4 ""51 ・・・塑=坐，而厶HOB= / COM 、OC ON••・ HOHBsfOCM 、：•厶 OCM=/OHB=9Y , :.OCLCM y /.直线OW 是0O 的切线.【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。
再 结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。
可以组合出综合性比较强的有关的习题组。
抓边等角等是关键，要善于分解图形。
【变式运用】1. （2018-）如图，S3是半圆的直径，SO 是一EC8M（图 1-1）（图4）条弦，。
是so的中点，DELAB于点F且QF 交比于点一3交兀于点G,需弓2. (2010-)如图，在平行四边形ABCD中，F为30边上的一点，且力F与QF分别平分和LAD6⑴求证：/4F丄QF; (2)设以为直径的半圆交力3于尸，连接FGDF交AE干G、已知09“ 二8,求——值。
AF(1)证明：在中，-ABWCD. .\Z^/4Z?+Zz4Z9C= 180°•••HF与QF平分上K4Q和/_ADC：・厶 EAD二［厶 BAD、£EDA=1 厶 ADC,2 2:.AAED^ 180°一{AEAD+ AEDA)=180°—(—上BAD+ —厶 ADC}2 2二180°一丄1 厶 BAD+ 厶 ADC) 2= 180°-90° =90°:.AEVDE(2)解：在ABCD中，-ADWBC :•厶 EAD二厶 AEB、且厶 BAE二厶 DAE 二Z BAE二 Z AEB、:. AB- BE、同理：DC二 EC二 5又・・・AB=DC、・・・AB=BE= DC二EC=5、 .\BC=AD= 10在RtA^Z?中，由勾股定理可得：DE二 y)AD2-AE2 =V102-82 =6 *,• Z BAE= Z EAD,厶 AFD 二厶 AED=9$ :.'AFS'AED、AF8 4• —. = _ = _••而一莎一石一亍3. (2012 •)如图，'ABC接于(DO, S3是OO的直径，O是AD的中点，弦CELAB于点”连结HQ,分别交C£BC于点、P、Q,连结別入(1)求证：尸是线段SQ的中点；15(2)若OO的半径为5, SQ二寿,求弦黒的长。
(1)证明：是OO的直径，弦CE]_AB,:.AC =Zk 又•・•<?是处的中点，・•・处二Q?,:.AE= CD ・:.厶 ACP= / CAP. :.PAPC.•・・力3是直径・・・・/力6=90°・・・・ZPOQ=90° -厶 ACP 、Z CQP= 90° - L CAP. :.Z PCQ= Z CQP. /. PC= PQ.:・PA = PQ 、即尸是HQ 的中点；⑵解：・・•处二Q?,・・.上 G4Q=Z/45C.又vZy4C<9= Z5G4,:・\CAg △UFA. L5 •竺=^£ = T = 3 BC AB 10 4 又・・•力3=10, ・・・/4U=6, BC=8・根据直角三角形的面积公式，得：AC ・BC=AB ・CH, ：.6X8=WCH. :.CH=—.又CH= HE, 48 :.CE=2CH=——・ 5 4. （2014・）如图，四边形ABCD 接于OO, S3是OO 的直径，SO 和別?相交于点匕 且DC?=CE ・CA. (1) 求证：BC=CD;(2) 分别延长AB, QC 交于点P,过点力作 AFVCD 交 8的延长线于点尸，若PB= OB, CD= 2^2,求0尸的长. (1)证明： DC _ G4CE "5c,HCDEs^CAD 、 （图 1-5）•・厶CDB= ZDAC 、 •・•四边形ABCD 接于OO, ・BC= CD; ⑵解：方法一：如图，连接OU, :BC= CD,\^DAC= Z CAB,又 vZO= CO. *. Z CAB - Z_ A CO, /. Z DA C= Z A CO } \ADII OC 9PC _PO 而_莎：PB=OB 、CD=2 迈、 :・PC= 4 y/2 又 J PC ・PD=PB ・PA（图1・4）・・・4近• (4>/2 +2^2 ) = OB ・3OB.'.08=4,即血=203=8, PA = 3OB= 12, 在R^ACB 中，/4C= y]AB 2 - BC 2 = _(2外=2府，：.^ADB= ^ACB=90°:•厶 FDA 七厶 BDC=90° , / C5/4 + / G45= 90° •:厶 BDC=/CAB 、：•厶 FDA=/CBA 、 又•: LAFD= LACB=9F , :.[\AFg\ACBAF AC 2^14 k•・—=—=—/=■ = 7 / FD CB 2>/2在 R\^AFP 中，设 FD=x 、贝lj AF= yflx , ・••在 Rt △力〃中有,(^)2 + (x + 6>/2)2 = 122, 求得DF=芈.2方法二；连接OC 过点O 作OG 垂直于CD 、 PC PO 易证'PCO S 'PDA 、可得——=——,PD PA PG PO△ FGOs △羽，可得——=——,PF PA即可得出DF=芈.5.(2015・)如图，'ABC 接于(DO, AB=AC 9尸。
为OO 的弦，且ABII CD,过点力作OO 的切线与QC 的延长线交于点匕/4O 与30交于点尸(1) 求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2) 若A5=6, CD=5、求O 尸的长.【解答】⑴证明：•.*£与OO 相切于点儿/. Z EAC= Z ABC y T AB = ACZ ABC — L ACB, L EAC- Z ACB y:.AEU BC. •: AB II CD,・・・四边形ABCE 是平行四边形；⑵ 解：如图，连接SO,交乃O 于点”双向延长O 尸分别交力耳CQ与点2,必可得, PC PG,由方法一中PC=4y[2代入PCPC+2VIPC +V?PC + 2>j2 + DF⑵如答图②，连接3C与OP相交于〃点，作PHLAB于点"TP点为3U的中点，・・・OP丄FC / 0445=90° ,又VZ5为直径，・・・ZSC3=90°・：.^ACB= Z OM^>•・・・OPH AC： <CAB二"6. 又•:厶ACB= ZOHF=90°、：AACB S'OHP.AB AC13・•・AB=]3/AC=5t OP=—,5・•・，解得OHp：.AH= OA+ OH =9.•・•在RtA OPH中，有。
・•・在R也AHP中有・:・PA =7 •如图，'ABC接于OO,且S3为。
O的直径.LACB的平分线交OO于点O过点。
作OO的切线力交 6的延长线于点P、过点S作AELCD于点巳过点3作％丄CQ于点F.(1) ⑵求证：DPH AB\若/4C=6, 30=8,求线段FQ的长.62 •rrT •(1)证明：如图，连接OQ,\-AB为OO的直径，・・・/SU3=90° .•: /_ACB的平分线交OO于点D、：.上ACD=ZBCD=45° . ：.^DAB= ^ABD=45° ° ：・、DAB为等腰直角三角形；015・・.Q°丄/4B. (图1七〉・・•％为OO的切线，・・・OQ丄处.・•・ DFII AB.(2)在RIAZC5中，，'：'DAB为等腰直角三角形，■• • •-：AELCD, :.AACE为等腰直角三角形。
■• • •在R\^AED中，BD•••ABIIPD、:.厶PDA = Z,DAB=A5° •: •厶 PAD= /PCD。