2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-北京卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·文科)
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分．考试时间120分钟．考试结束,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项: 1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|23}A x x =-≤≤,{|14}B x x x =<->或,则集合A B 等于（ ）A ．{}|34x x x >或≤ B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x <≤D ．{}|21x x --<≤2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，,则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知ABC △中,a =b =60B =,那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．305．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A．1()11)fx x -=>B．1()11)fx x -=>C．1()11)f x x -=+≥D．1()11)f x x -=-≥6．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中,26a =,515a =,若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1868．如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ，．设BP x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是（ ）2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，,则tan 2α的值为 ． 10．不等式112x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120,且4==a b ,那么a b 的值为 ．12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ;各项系数之和为 ．（用数字作答）13．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = ;函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．14．已知函数2()cos f x x x =-,对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，,有如下条件:①12x x >;②2212x x >; ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．三、解答题:本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值;（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥． （Ⅰ）求证:PC AB ⊥;（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠,且()()2g x f x =-是奇函数． （Ⅰ）求a ,c 的值;（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 19．（本小题共14分）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上,C 在直线2l y x =+：上,且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及ABC △的面积; （Ⅱ）当90ABC ∠=,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程． 20．（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =,21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，）,λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时,求λ及3a 的值;（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; （Ⅲ）求λ的取值范围,使得存在正整数m ,当n m >时总有0n a <．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分） 9．4310．{}|2x x <-11．8-12．10 3213．2 2- 14．②三、解答题（本大题共6小题,共80分） 15．（共13分）解:（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以2ππ2ω=,解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤, 所以ππ7π2666x --≤≤,所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤,即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一:（Ⅰ）取AB 中点D ,连结PD CD ，．AP BP =, PD AB ∴⊥． AC BC =, CD AB ∴⊥． PD CD D =, AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD , PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且ACPC C =,BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =,BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中,90BCE ∠=,2BC =,2BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为 解法二:（Ⅰ）AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥． AC BC C =,PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC , PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==2t ∴=,(002)P ，，． 取AP 中点E ,连结BE CE ，．AC PC =,AB BP =,CE AP ∴⊥,BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，,(011)EC =--，，,(211)EB =--，，, 3cos 326EC EB BEC EC EB∴∠===．∴二面角B AP C --的大小为arccos3． 17．（共13分）解:（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数,所以,对任意的x ∈R ,()()g x g x -=-,即()2()2f x f x --=-+． 又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++． 所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时,由()0f x '=得x =x 变化时,()f x '的变化情况如下表:所以,当0b <时,函数()f x 在(-∞-，上单调递增,在(上单调递减,在)+∞上单调递增．当0b >时,()0f x '>,所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 18．（共13分）解:（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ,那么3324541()40A A P E C A ==,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么4424541()10A P E C A ==,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． 19．（共14分）解:（Ⅰ）因为AB l ∥,且AB 边通过点(00)，,所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+,由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上, 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，, 则1232mx x +=-,212344m x x -=,所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离,即BC =所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时,AC 边最长,（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 20．（共13分）解:（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=，，,且11a =． 所以当21a =-时,得12λ-=-, 故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列,证明如下:由11a =,21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-,3(6)(2)a λλ=--,4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ,使{}n a 为等差数列,则3221a a a a -=-,即(5)(2)1λλλ--=-, 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-,43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以,对任意λ,{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=，，,根据题意可知,10b <且0n b ≠,即2λ>且2*()n n n λ≠+∈N ,这时总存在*0n ∈N ,满足:当0n n ≥时,0n b >;当01n n -≤时,0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知,若0n 为偶数,则00n a <,从而当0n n >时,0n a <;若0n 为奇数,则00n a >,从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ,当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是:0n 为偶数,记02(12)n k k ==，，,则λ满足 22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。
2024年北京高考数学真题及答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18. 已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】4,0【答案】()【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】1 2【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）证明见解析【18题答案】。
2008年高考·北京卷数学(文)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类)（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 共40分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2。
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12 cos sin [sin()sin()]αβαβαβ=+--12cos cos [cos()cos()]αβαβαβ=++-12sin sin [cos()cos()]αβαβαβ=-+--12正棱台、圆台的侧面积公式 S c c l 台侧=+12(') 其中c'，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的表面积公式S R 球=42π其中R 表示球的半径一。
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则M N ⋂等于 A 。
{|}x x 12<< B. {|}x x -<<21 C 。
{|}x x 12<≤ D. {|}x x -≤<21（2）满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 A 。
一条直线 B 。
两条直线 C. 圆 D 。
椭圆（3)设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α,n //α，则m n // ④若αγ⊥,βγ⊥，则αβ//其中正确命题的序号是A. ①和②B. ②和③C. ③和④ D 。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (理科)(解析版)
绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]P M P a =⇒∈-，选C 。
（2）复数212i i-=+（ ） （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+ 【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是（ ）(A) (1,)2π(B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π) 【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）（A ）-3 （B ）-12 （C ）13（D ）2 【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 【答案】A.【解析】：①正确。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷) 文 (精校版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2 ⎨⎨普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题。
每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合 A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A ∩B=A （- ∞ ，-1）B （-1，- 2 3 2） C （- 3,3）D (3,+ ∞ )【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为A = {x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > - 2，利用二次不等式可得 B = {x | x < -1 或 x > 3}画出数轴易得：3A B = {x | x > 3} ．故选 D ．【答案】D⎧0 ≤ x ≤ 2, ．设不等式组 ⎩0 ≤ y ≤ 2距离大于 2 的概率是，表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的 π（A ）4（B ）π- 22π（C ）6（D ）4 -π 4⎧0 ≤ x ≤ 2 【解析】题目中 ⎩0 ≤ y ≤ 2表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以 存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 ⨯ 2 - 1π⋅ 22P = 4 = 4 -π，故选 D 。
2 ⨯ 2 4【答案】D3. 设 a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当 a = 0 时，如果b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数， 不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ，因此想必要条件，故选 B 。
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(文科)
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（文科） 测试题 2019.91,已知向量m=(sinA,cosA),n=，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数的值域.2,设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a+b 、a-b ， ab 、 ∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）3,若,则(用数字作答)4,若直线与圆 （为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是5,若三棱锥的三个侧圆两两垂直，则其外接球的表面积是6,设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a+b 、a-b ， ab 、 ∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填1)-()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈ab {},F a b Q=+∈Q M ⊆55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++12345a a a a a ++++=340x y m ++=1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩θab {},F a b Q=+∈Q M ⊆上）7,若集合，，则集合等于（ ）A ．B ．C ．D ．8,若，则（ ）A ．B ．C ．D ．9,“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10,已知中，，那么角等于（ ）A ．B ．C ．D ．测试题答案1, 解：（Ⅰ） 由题意得由A 为锐角得（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 所以 因为x ∈R ，所以，因此，当时，f(x)有最大值. 当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是2, 解：①对除法如不满足，所以排除，②取,, ③④的正确性容易推得。
2024年北京高考数学真题卷(含答案)
绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ） A. {}43x x -<< B. {}11x x -<≤ C. {}0,1,2 D. {}14x x -<<2. 已知i 1iz =-，则z =（ ）． A. 1i -B. i -C. 1i --D. 1 3. 求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（ ）A.B. 2C.D.4. (4x 的二项展开式中3x 的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. 4- D. 13- 5. 已知向量a r ，b r ，则“()()·0a b a b +-=r r r r ”是“a b =r r 或a b =-r r ”的（ ）条件． A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件6 已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 7. 记水质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（ ）A. 12n n < .的B. 12n n >C. 若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D. 若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（ ）A.B.C.D. 9. 已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A. 12122log 22y y x x ++> B. 12122log 22y y x x ++< C. 12212log 2y y x x +>+ D. 12212log 2y y x x +<+ 10. 若集合(){}2,|(),01,12x y y x t x x t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（ ）A. 3d =，1S <B. 3d =，1S >C. d =，1S <D. d =，1S >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12. 已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________． 13. 已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________． 14. 已知三个圆柱体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15. 已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；的④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在△ABC 中，7a =，A为钝角，sin 2cos B B =． （1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A = 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17. 已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18. 已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元 赔偿次数0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19. 已知椭圆方程C：()222210x y a b a b +=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．.是20. 已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21. 设集合(){}{}{}{}{},,,|1,2,3,4,5,6,7,8M i j s t i j s t =∈∈∈∈．对于给定有穷数列A 和序列Ω：1ω，2ω，···，s ω，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1i ，1j ，1s ，1t 列加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2i ，2j ，2s ，2t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列21s T T T L ，记为Ω（A ）．若1359a a a a +++为偶数，证明：“Ω（A ）为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.A2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.D9.A 10.C第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.()4,0 12.12-##0.5- 13.12±14.115mm,23mm 215.①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（1）2π3A =； （2）选择①无解；选择②和③△ABC.17.（1）证明见解析（218.（1）110（2）(i)0.122万元 (ii)0.1252万元19.（1）221,42x y e +== （2）2t =20.（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析 （3）221.略绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】()4,0【12题答案】 【答案】12-##0.5- 【13题答案】 【答案】12±【14题答案】 【答案】115mm,23mm 2【15题答案】【答案】①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）2π3A =；（2）选择①无解；选择②和③△ABC . 【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2【18题答案】【答案】（1）110（2）(i)0.122万元(ii)0.1252万元 【19题答案】【答案】（1）221,42x y e +== （2）2t =【20题答案】【答案】（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析（3）2 【21题答案】【答案】略。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1.已知，集合，则（）A. B. C. D.2.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 2B.C.D.4.若满足则的最大值为（）A. 1B. 3C. 5D. 95.已知函数，则（）A. 是偶函数，且在R上是增函数B. 是奇函数，且在R上是增函数C. 是偶函数，且在R上是减函数D. 是奇函数，且在R上是增函数6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 60B. 30C. 20D. 107.设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A. 1033B. 1053C. 1073D. 1093二、填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
）9.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．10.若双曲线的离心率为，则实数m=__________．11.已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．12.已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为__．13.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．14.某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
高考理科数学试题及答案(高清版)
普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于()A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋i D ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，真命题是()A ．x 0∈R ，0ex ≤B ．x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=-D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．下列不等式一定成立的是()A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．2111x >+(x ∈R )6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14B ．15C ．16D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是()A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()AB．C ．3D ．59．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为()A ．12B ．1C ．32D ．210．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是()A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12s 值等于________．13．已知△ABC 的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2012＝________．15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x (年)0＜x ≤11＜x ≤2x ＞20＜x ≤2x ＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2．B∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3．D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4．D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5．C∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6．C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7．C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数，∴D (x )不是周期函数是错误的．8．A由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =．因此该双曲线的渐近线的方程为2y x =±，即20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==．9．B由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x 的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．10．D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x 2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］，1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］．又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1，∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1．∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()(42x x x x x x x x f f ++++++=≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2解析：∵T r ＋1＝4C r a r x 4－r ，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a ＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1；(2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0；(3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3；(4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：24-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，则其余两边长为，2a ，故最大角的余弦值是22222cos 4θ==-．14．解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2009＝50311+1=503++个...；a 2＋a 6＋...＋a 2010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋...＋(－2010＋1)＝－1－5－ (2009)503(12009)2--＝－503×1005；a 3＋a 7＋…＋a 2011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2012＝503－503×1005＋503＋503×1009＝503×(1－1005＋1＋1009)＝3018．15．答案：(1316，0)解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x -=．故123(118)4m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m)＝(1－＋［m()］＝10，∴函数h (m )单调递减．故x 1x 2x 3的取值范围为(1316，0)．16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则231()5010P A +==．(2)依题意得，X 1的分布列为X 1123P125350910X 2的分布列为X 2 1.82.9P110910(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z axy +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a －az 0＝0，解得012z =．又DP平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·2cos ||||a a AD AD θ--== n n ．∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°3322a =，解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2．又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1．所以b ==故椭圆E 的方程是22143x y +=．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m--，3m )，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )，由0MP MQ ⋅= ，得211141612430kx k kx x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)km＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =，此时P (0，Q (4，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )，从而1212330k kMP MQ mm ⋅=--++= ，故恒有MP MQ ⊥ ，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x －e x ．此时f ′(x )＝e x －e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0．所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P (x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点．因为g (x 0)＝0，且g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)．(1)若a ≥0，当x ＞x 0时，g ′(x )＞0，则x ＞x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0；当x ＜x 0时，g ′(x )＜0，则x ＜x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0．故g (x )只有唯一零点x ＝x 0．由P 的任意性，a ≥0不合题意．(2)若a ＜0，令h (x )＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)，则h (x 0)＝0，h ′(x )＝e x ＋2a ．令h ′(x )＝0，得x ＝ln(－2a )，记x ′＝ln(－2a )，则当x ∈(－∞，x *)时，h ′(x )＜0，从而h (x )在(－∞，x *)内单调递减；当x ∈(x *，＋∞)时，h ′(x )＞0，从而h (x )在(x *，＋∞)内单调递增．①若x 0＝x *，由x ∈(－∞，x *)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0；x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0，知g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *．②若x 0＞x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )＜h (x 0)＝0，g (x )＞g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)＞0．又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＜e x 1＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－［e ＋f ′(x 0)］，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a ＜0，则必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0．所以g (x 2)＜0．故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点，即g (x )在R 上至少有两个零点．③若x 0＜x *，仿②并利用3e 6xx >，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点．综上所述，当a ＜0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．21．(1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由 0 1x a y b '⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x ax y bx y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x ax y bx y '=⎧⎨'=+⎩又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1．依题意得222,22,a b b ⎧+=⎨=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩因为a ＞0，所以1,1.a b =⎧⎨=⎩②由①知， 1 01 1⎛⎫=⎪⎝⎭A ，2 1 0 1 0 1 01 1 1 1 2 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝ 1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，3②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交．(3)选修4－5解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1．②由①知111123a b c ++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c ++)≥29＝．。
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数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集UR，集合|23Axx≤≤，|14Bxxx或，那么集合
UABð等于（ ）
A．|24xx≤ B．|34xxx或≤≥ C．|21xx≤ D．|13xx≤≤ 2．若0.52a，πlog3b，22πlogsin5c，则（ ） A．abc B．bac C．cab D．bca 3．“函数()()fxxR存在反函数”是“函数()fx在R上为增函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点P到直线1x的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．若实数xy，满足1000xyxyx，，，≥≥≤则23xyz的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．9 6．已知数列na对任意的*pqN，满足pqpqaaa，且26a，那么10a等于（ ） www.zgxzw.com 中国校长网 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com A．165 B．33 C．30 D．21
7．过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90 8．如图，动点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上．过点P作垂直于平面
11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN，．设BPx，MNy，则函数()yfx的
图象大致是（ ）
2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共110分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2aii，其中i是虚数单位，那么实数a ．
10．已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么(2)bab的值为 ．
11．若231nxx展开式的各项系数之和为32，则n ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 12．如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，
则((0))ff ； 0(1)(1)limxfxfx ．（用数字作答） A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O 2 B C A y
x 1 O 3 4 5 6
1 2 3 4 www.zgxzw.com 中国校长网 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com 13．已知函数2()cosfxxx，对于ππ22，上的任意12xx，，有如下条件：
①12xx； ②2212xx； ③12xx． 其中能使12()()fxfx恒成立的条件序号是 ． 14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkPxy，处，其中11x，11y，当2k≥时，
111215551255kkkkkkxxTTkkyyTT
，
． ()Ta表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T，(0.2)0T．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．
16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC． （Ⅰ）求证：PCAB； （Ⅱ）求二面角BAPC的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离． A C B
P www.zgxzw.com 中国校长网 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com 17．（本小题共13分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列．
18．（本小题共13分） 已知函数22()(1)xbfxx，求导函数()fx，并确定()fx的单调区间．
19．（本小题共14分） 已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程； （Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值． www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com 20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列12nAaaa：，，，，定义变换1T，1T将数列A变换成数列
1()TA：12111nnaaa，，，，．
对于每项均是非负整数的数列12mBbbb：，，，，定义变换2T，2T将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()TB； 又定义2221212()2(2)mmSBbbmbbbb． 设0A是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)kkATTAk，，，． （Ⅰ）如果数列0A为5，3，2，写出数列12AA，； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明1(())()STASA； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A，存在正整数K，当kK≥时，
1()()kkSASA． www.zgxzw.com 中国校长网
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1 10．0 11．5 10 12．2 2
13．② 14．(12)， (3402)， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）
解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx311sin2cos2222xx π1sin262x
．
因为函数()fx的最小正周期为π，且0， 所以2ππ2，解得1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin262fxx． 因为2π03x≤≤， 所以ππ7π2666x≤≤，
所以1πsin2126x≤≤， 因此π130sin2622x≤≤，即()fx的取值范围为302，． 16．（共14分） 解法一： （Ⅰ）取AB中点D，连结PDCD，． APBP，
PDAB．
ACBC，
CDAB．
A
C B
D
P www.zgxzw.com 中国校长网 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com PDCDD，
AB平面PCD．
PC平面PCD，
PCAB．
（Ⅱ）ACBC，APBP， APCBPC△≌△．
又PCAC， PCBC．
又90ACB，即ACBC，且ACPCC， BC平面PAC．
取AP中点E．连结BECE，． ABBP，BEAP．
EC是BE在平面PAC内的射影，
CEAP．
BEC是二面角BAPC的平面角．
在BCE△中，90BCE，2BC，362BEAB， 6sin3BCBECBE．
二面角BAPC的大小为6arcsin3．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD， 平面APB平面PCD．
过C作CHPD，垂足为H． 平面APB平面PCDPD，
CH平面APB．
CH的长即为点C到平面APB的距离．
由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABACA， PC平面ABC．
CD平面ABC，
PCCD．
在RtPCD△中，122CDAB，362PDPB， 222PCPDCD
．
233PCCDCHPD
．
A C B
E P
A C B
D
P H