圆压轴八大模型题(3)-双切线组合说课讲解
2022年高考数学必刷压轴题专题40圆的“双切线”问题含解析
专题40 圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 【典型题示例】例1 （2020·新课标Ⅰ·理科·11）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2d ==，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O : x 2+ y 2=4的切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1 x 2+ y 1y 2=－2，则实数k 的取值范围为 . 【答案】(－∞，－52]∪[52，＋∞)12121212=cos =4cos 2x x y y OA OB OA OB AOB AOB +=⋅∠∠=-，则23AOB π∠=，在△PAC ，∠APC =300，PC =4，当直线l 上的点 P 满足PC =4即满足题意.又因为点C 与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C 到直线的距离不大于4.由点到直线的距离公式得：2641k ≤+，解之得5522k k ≤-≥或 所以k 的取值范围为(－∞，－52]∪[52，＋∞). 例 3 过点)1,1(-P 作圆C :)(1)2()(22R t t y t x ∈=+-+- 的切线,切点分别为B A ,,则PA PB ⋅ 的最小值为__________.【答案】214【分析】为了求出PA PB ⋅的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段PC 长为“元”. 设∠APC =θ，则1sin PC θ=，222cos 212sin 1PC θθ=-=-， 故222222cos 2(1)(1)3PA PB PA PB PC PC PC PCθ⋅==--=+- 又点(,2)C t t -在直线20x y --=，故22PC ≥即28PC ≥所以2218384PA PB ⋅≥+-= 故PA PB ⋅ 的最小值为214.点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ． 【答案】[－65，0]【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____． 【答案】52【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题. 【解析】设点P (x ，0)，则d 1＝ x 2＋(－3)2－5，d 2＝ (x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝ x 2＋4＋(x －5)2＋9，几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和． 当M ，P ，N 三点共线时，d 1＋d 2有最小值52，此时P (2，0).【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．3.已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与圆C 2：22234b x y +=，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是_______4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2+ y 2= r 2(r ＞0) 与圆C : (x －6)2+ (y －8)2=4，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥，则实数r 的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)(4)16x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使∠PQC ＝2π，则实数m 的取值范围为 ． 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)，过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为M ，N .若PM →·PN →＝23，则正实数a 的取值范围是________．7. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△PAB 的面积为________．8. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．【答案与提示】1.【答案】 [2314,22)【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化. 2．【答案】[1，5]【提示】∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 3.【答案】3(0,)3【分析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直，可知62OP b =，由题知OP a >，解得63b a >，又21b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可得出结果. 【解析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直， 可知36=222OP b b ⨯=， 又因为在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直， 所以OP a >，即得62b a >，所以63b a >， 所以椭圆C 1的离心率22222631133c a b b e a a a ⎛⎫-⎛⎫===-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又0e >，所以303e <<. 4.【答案】(][)+∞⋃,146,0 5.【答案】3(,)4+∞6.【答案】[2，+∞]【解析】如下图，设∠MPO ＝α，由切线的性质知∠NPO ＝α，PM ＝PN ，则PM →·PN →＝|PM →|·|PN →|·cos 2α＝|PN →|2(1－2sin 2α)＝23，即(PO 2－1)⎝⎛⎭⎪⎫1－2PO 2＝23，解得PO ＝3，故点P 的轨迹为x 2＋y 2＝3. 因为点P 在直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)上，所以直线l 与圆x 2＋y 2＝3有交点，即圆心到直线l 的距离为d ＝|－3|1＋a2≤3，解得a ≥ 2.7.【答案】12 8.【答案】[2,6]。
初中数学初三数学下册《圆的切线》教案、教学设计
-结合课堂所学，运用切线知识解决问题。
2.设计一道综合性的应用题，要求学生运用圆的切线知识解决实际问题。例如：
-在一个圆形花坛的边缘，有一条小路。现要修建一条从花坛边缘到花坛中心亭子的最短路径，求这条路径的方程。
-学生需要分析问题，确定所求的路径即为圆的切线，然后运用所学知识求解切线方程。
-关注学生在课堂上的表现，如提问、讨论等，及时给予反馈和鼓励。
-定期进行测试，了解学生对圆的切线知识的掌握情况，并对学生的学习成果进行评价。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中含有圆的物体的图片，如车轮、硬币等，引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.提问：“圆的性质我们已经学习了不少，那么大家思考一下，圆与其他图形之间可能会有哪些特殊的关系呢？”引发学生思考。
初中数学初三数学下册《圆的切线》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆的切线的定义，掌握圆的切线的基本性质，能够识别并证明圆的切线。
2.学会运用圆的切线解决实际问题，如求圆的切线长度、切线与半径的夹角等。
3.能够运用圆的切线性质推导出相关定理，如切线垂直于过切点的半径、切线与圆的交点为切点等。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.圆的切线的定义及性质的理解和掌握。
2.圆的切线方程的求解方法和应用。
3.培养学生运用圆的切线知识解决实际问题的能力。
（二）教学难点
1.圆的切线性质的推导和应用，尤其是切线与半径的垂直关系。
2.圆的切线方程的求解过程中，涉及到的代数运算和逻辑推理。
3.学生在解决实际问题时，对圆的切线知识的综合运用。
中考数学专题复习圆压轴八大模型题-弧中点的运用
圆压轴题八大模型题(一)市七中佳彼学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中老题中的倒数第二题的位責上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1弧中点的运用在OO中，点O是处的中点，CE1AB于点£(1)在图】中，你会发现这些结论吗？CP= FP\② CH= AD\©AC^ = AP- AD=CF・ CB=AE・ SB.(2)在图2中，你能找出所有与相似的三角形吗?【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：ZCAD= LAC巳/_ PCF= Z 所以AP= CP= FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，DC= AC= AH, 再由弧脅加得：CH^AD^X CH= AD.⑴③由共边角相似易证：\ACEs、ABC4ACPs“ADC4ACFs、BCA送而得AC1 =AE AB^ACr^APAaACr^CF CB:(2)垂径定理的推论得：CO丄SD易证：RtA/45C<^RtA C55^>RtA BD2 RtAZCG^RtACG^此外还有RtA/4^£^RtAZOG^RtA^5D^RtAC^G.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图】或图2上观察、比较、思考和总结。
【典例】(2018 •永州)如图，线段处为OO的直径，点C F在OO上，BC=CE, CQ丄S3,垂足为点O连接BE、弦3F与线段CQ相交于点F.(1)求证：CF= BF\⑵若COSZ/I5F=A,在S3的延长线上取一点M使购=4, OO的半径为6.求证:5・・ •专业【分析】（1）延长OQ 与圆相交，由垂径定理得到缸 =BG,再由BC=CE^到五=血=无，等弧所对的 角相等，等角对等边。
高中数学期末备考：解析几何02圆的双切线模型及应用含解析
2.圆的双切线模型及应用圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用.尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.如图1，从圆外任一点),(00y x P 向圆引两条切线，圆心C ，两切点B A ,，我们把线段PB P A ，的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则四边形P ABC 具有如下的性质：1.P AC PBC ；PB P A .2.切线长的计算：22r PC PB P A,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.3.C B A P AP CA BP BC ,,,, 四点共圆180 ACB APB ，C B A P ,,,的外接圆以PC 为直径 PC AB AP BC PB AC （托勒密定理）.4.PC 平分ACB APB ，.5.222r PC r PB BC S S PBC P ABC ，当半径给定，四边形P ABC 最小等价于PC 最小.6.假设 2 APC BPC 且PCrPC BCsin .由基本的三角恒等关系可知：22(21sin 212cos PCr ，故可得：2cos ||||P A PB PB P A 224222232](21[)(r PC r PC PC r r PC .对2PC 使用均值不等式可得 PB P A 最小值.图17.假设),(00y x P ，圆C 的方程为022 F Ey Dx y x （0422 F E D ）则切点弦AB 的方程为：0220000 F yy E x x Dy y x x .可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为PC 的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.例1.若P 是直线l ：3490x y 上一动点，过P 作圆C ：2240x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）B．D．解析：考察性质5.因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ，且PAC PBC ≌所以四边形PACB 面积12222PAC S S AC PA PA ，又PA，所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y 的距离，所以min 3PC，所以min PA 所以四边形PACB面积的最小值2S PA ，故选：B例2.（2020全国1卷）已知⊙M：222220x y x y ，直线l ：220x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y B．210x y C．210x y D．210x y 解析：综合考察性质3，5,7.圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，所以14442PAM PM AB S PA AM PA，而PA，当直线MP l时，min MP ，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．所以以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程．我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.练习题.1．已知圆C ： 22111x y ，P 是直线10x y 的一点，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ，则PC AB 的最小值为（）B．C．2．设P 为圆224x y 外一点，过P 引圆的切线，两切点分别为A 和B ，若4PA PB，则cos APB （）A．21C．2D．23．过椭圆2213627x y 上一点P 分别向圆 221:34C x y 和圆 222:31C x y 作切线，切点分别为M 、N ，则222PM PN 的最小值为（）A．90B．102C．107D．1654．已知点P 是直线:260l x y 上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r (0)r 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN 的最大值为60 ，则r 的值为（）A．2B．1C．D5．已知圆C ：224210x y x y ，点P 是直线4y 上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）6．已知圆22:(2)(6)4 C x y ，点M 为直线:80l x y 上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A．22(7)(1)4 x y B．22(1)(7)4 x y C．22(7)(1)2x y D．22(1)(7)2x y7．已知 3,4P ，过点P 作圆 22:11C x a y a （a 为参数，且a R ）的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin APB 的最大值为（）A．1B．128．已知圆22:20C x y x ，直线:10l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A．0x y B．0x y C．2210x y D．2210x y5.解析：圆C ：224210x y x y 化为标准方程： 22214 x y ，其圆心 2,1C ,半径2r .过点P 引圆C 的两条切线,切点分别为点A、B ,如图：在△PAC 中,有11||||||||222PAC AB S CA AP CP，即||||||4AB AP CP ，变形可得：4||||||AP AB CP.设||CP x ，则44||AB x 所以当||CP 的值即x 最小时，24x 的值最大，此时||AB 最小.而||CP 的最小值为点C 到直线4y 的距离，即min ||3CP ，所以min ||AB .故选：B6.解析：圆22:(2)(6)4 C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r ，点C 到直线l 的距离dCA AM ，四边形CAMB 周长2||2||44CA AM 48 ，当且仅当CM l 时取“=”，此时直线:80CM x y ，由8080x y x y得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)22(1)(7)2 x y .故选：D7.解析：圆心 ,1C a a ，半径为1，圆心C 在直线1y x 上运动，设APC ，则2APB ，由圆的几何性质可知1tan AC PA PA，所以，2222sin cos 2tan 22sin sin 211sin cos tan 1tan tan APB PA PA，当直线PC 与直线1y x 垂直时，PC取最小值，则PA 且min2PC，则min PAPA ，由双勾函数的单调性可知，函数1yx x在上为增函数，且10y x x，故函数21f xx x在上为减函数，故当PAsin APB取得最大值42.故选：C.8.解析：圆C 的标准方程为 2211x y ，圆心为 1,0，半径为1r .依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA△，而PA当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB 最小.结合图象可知，此时切点为 0,0,1,1 ，所以直线AB 的方程为y x ，即0x y .故选：A。
圆的切线的判定(教案)
圆的切线的判定(教案)第一章：圆的切线定义与性质1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解圆的切线是如何与圆相切的。
通过图形和实例，让学生理解圆的切线的特点。
1.2 圆的切线性质讲解圆的切线的性质，包括切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等。
提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。
第二章：圆的切线判定定理2.1 第一判定定理讲解第一判定定理，即如果一条直线与圆相切，这条直线的斜率等于过切点的半径的斜率。
提供定理的证明和相关的例题，让学生能够理解和应用。
2.2 第二判定定理讲解第二判定定理，即如果一条直线与圆相切，这条直线与圆的切点处的切线垂直于直线。
提供定理的证明和相关的例题，让学生能够理解和应用。
第三章：圆的切线方程3.1 切线方程的定义讲解切线方程的定义，即切线的一般式和点斜式。
引导学生理解切线方程与圆的切线的关系。
3.2 切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程，包括给定圆的方程和切点的坐标等。
提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 切线与圆相离讲解切线与圆相离的情况，即切线与圆没有交点。
提供相关的例题和练习题，让学生能够理解和应用。
4.2 切线与圆相切讲解切线与圆相切的情况，即切线与圆只有一个交点。
提供相关的例题和练习题，让学生能够理解和应用。
第五章：圆的切线综合应用5.1 切线与圆的交点问题讲解如何求解切线与圆的交点，包括切线与圆的方程联立等。
提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。
5.2 切线与圆的切点问题讲解如何求解切线与圆的切点，包括切线的斜率和切线方程等。
提供相关的例题和练习题，让学生能够熟练掌握。
第六章：圆的切线与圆的性质6.1 切线与圆的切点性质讲解切线与圆的切点的性质，如切点处的切线与半径垂直。
提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。
6.2 切线与圆的切线性质讲解切线与圆的切线的性质，如切线与圆心连线垂直。
提供相关的定理和公式，让学生能够熟练掌握。
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(学生用)(word文档良心出品)
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。
(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。
3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(3)-双切线组合
圆压轴题八大模型题（三）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型3双切线组合径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.【分析】(1)由PC=226810+=,△POD∽△PCB得DO POBC PC=，∴8610r r-=，∴r=3.(2)设BC=CD=x，在Rt△PBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.(3)在Rt△PDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.(4)由△PDA∽△PBD得：PD2=PA⋅PB.(5)由△PDA∽△PBD得1tan2PD PA ADPB PD DBα====，PB=8,∴PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x,在Rt△ADB中，x2+(2x)2=62,∴AD=x=65 5.(6)由∠DEC=∠ADB=90°得OC∥AD.(7)由AB=2,则OB=1,又BC=2OC=21(2)3+=,在Rt△OBC中，BE⊥OC，得OE=33,由中位线定理得：AD=2OE=233.DB=263,由△PDA∽△PBD得：12PA ADPD DB==,设PA=x,则PD=2x,在Rt△PDO中，(2x)2+1=(x+1)2得x=2,∴PA=2,PD=22.(8)由AD∥OC得21PA PDAO DC==,设AO=DO=BO=m，OPDCBA(4)PD2＝P A⋅PB;(5)PB＝8，tanα＝12，求P A和A D.ABCDPOα(6)求证:OC∥AD（变式）.(7)若AB＝2,BC＝,求AD、PD、PA的长.图(1) 图(2) 图(3)(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半径r.(2)PD＝4,PB＝8,求BC的长.(3)PD＝4,P A＝2,求⊙O的半径r.DOECBAPDOECBAP则PA=2m ，P0=3m ，PD=22m ，由△PDA ∽△PBD 得12PA AD PD DB ==,且AD+BD=2+22， ∴AD=2,BD=22,则AB=23=2m,∴m=3,PB=33,PD=26,PC=36,BC=33, S △PBC=12BC ⋅PB=13.5.【典例】（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，PO 交AB 于点F ，延长BO 交⊙O 于点C ，交PA 的延长交于点Q ，连结A C ． （1）求证：AC ∥PO ；（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为3，CQ ＝2，求的值．【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。
中考数学圆中的重要模型圆中的全等三角形模型
圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。
模型1、切线长模型图1 图21）切线长模型（标准类）条件：如图1，P为O外一点，P A，PB是O的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切线长模型（拓展类）条件：如图2，AD，CD，BC是O的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；切O于A B､60,O的半径为C ．点A 、B 都在以P O 为直径的圆上D ．P C 为B P A △的边A B 上的中线例3．（2023·河南信阳·二模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现M A 、M B 分别切O于点A 、B ，直径C D 所在的直线经过点M ，连接A B ．(1)小倩发现O M 垂直平分A B ，请说明理由；(2)若O的半径为3c m ，①当M D=______时，四边形A C B M为菱形；②当M D =______时，四边形A O B M 为正方形．模型2. 燕尾模型条件：OA ，OB 是O的半径，OC =OD 。
结论：①△AOC ≌△BOD ；②△P AD ≌△PBC ；例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O 为圆心的两个圆中，大圆的半径,O A O B 分别交小圆于点C ，D ，连结,,,A B C D A D B C ，下列选项中不一定正确的是（ ）A ．A CB D= B ．A B C D ∥ C ．2A BC D= D ．A DB C=例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，O A为半径作大圆O，连接O A交小圆O于点B，过B作B C O A，交大圆O于点C，连接O C，交小圆O于点D，连接A D，则A D是小圆O的切线．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．证明：例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．模型3. 蝴蝶模型条件：OA，OE是O的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
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圆压轴题八大模型题（三）泸州市七中佳德学校 易建洪引言： 与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用 技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型 3 双切线组合 径在直角边——直径在直角三角形的直角边上 .Rt △PBC 中，∠ ABC ＝90°，Rt △PBC 的直角边 PB 上有一点 A ，以线段 AB 为直径的⊙ O 与斜 边相切于点 D.【分析】 (1) 由 PC= 62 82 10 ,△ POD ∽△ PCB 得 DO PO ，∴ r 8 r ，∴ r=3. BC PC 6102 2 2(2) 设 BC=CD=，x 在 Rt △ PBC 中， 82+x 2=(4+x) 2, 得 BC=x=6. (3) 在 Rt △PDO 中， 42+r 2=(2+r) 2,解得 r=3.2(4) 由△ PDA ∽△ PBD 得： PD=PAPB.PD PA AD1(5)由△ PDA ∽△ PBD 得 tan ， PB=8,PB PD DB2∴PD=4,PA=2,AB=6. 设 AD=x,DB=2x,65在 Rt △ ADB 中， x 2+(2x) 2=62, ∴AD=x= 6 5 .5(6) 由∠ DEC=∠ADB=90°得 OC ∥ AD.(7) 由 AB=2,则 OB=1,又 BC= 2OC= 1 ( 2)23, 在 Rt △OBC 中，BE ⊥OC ，得 OE= 33,由中3PA AD 1位线定理得： AD=2OE=2 3 .DB=2 6 ,由△ PDA ∽△ PBD 得： ,设PA=x 则, PD= 2x,( 2) PD ＝4, PB ＝8, 求 BC 的长 . ( 3) PD ＝4, PA ＝2, 求⊙O 的半径 r. 1( 5) PB ＝8，tan ＝ ， (7)若 AB ＝2, BC ＝ , 求 PA 和 AD. 求 AD 、 PD 、PA 的长 . CC3 3 PD DB 2在 Rt△PDO中， ( 2 x)2+1=(x+1)2得 x=2,∴PA=2,PD=2 2.PO ⊥AB ．∵BC 是直径，∴∠ CAB ＝90°，∴AC ⊥AB ，∴ AC ∥PO ； （2）解：连结 OA 、 DF ，如图，∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， A 、B 是切点， ∴∠ OAQ ＝∠ PBQ ＝ 90°．在 Rt △OAQ 中， OA ＝ OC ＝ 3，∴ OQ ＝5． 由 QA 2＋OA 2＝OQ 2，得 QA ＝ 4．(8) 由 AD ∥ OC 得 PA PD 2 , 设 AO=DO=BO=m ，AO DC 1 则 PA=2m ，P0=3m ，PD=2 2m ，由△ PDA ∽△ PBD得PA AD PD DB1,且 AD+BD=2+2 2∴m= 3 ,PB=3 3 ,PD=2 6 ,PC=3 6 ,BC=33 ,1S △PBC= BC PB=13.5.AD ＋ BD ＝2＋22 求 S △ AB C.【典例】（2018·四川乐山）如图， P 是⊙O 外的一点， PA 、PB 是⊙ O 的两条切线， A 、B 是切点， PO 交 AB 于点 F ，延长 BO 交⊙ O 于点 C ，交 PA 的延长交于点 Q ，连结 AC ．2）设 D 为 PB 的中点， QD 交 AB 于点 E ，若⊙ O 的半径为 3，CQ ＝2，求 的值．【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所 对的圆周角是直角得同位角相等。
（ 2）在 Rt △ OQA 中，由勾股定理得 QA ＝ 4，在 Rt △ PBQ 中， 由勾股定理得 PA ＝＝ PB ＝6，因此 FD ＝3，BF65图 3-1FE ： EA ＝ 3： 4，因此设 AE ＝4t, 则 EF ＝ 3t ， BF ＝ 10t ，所以 AE ： BE ＝ 2： 5.1）证明：∵ PA 、 PB 是⊙ O 的两条切线， A 、 B 是切点，∴ PA ＝ PB ，且 PO 平分∠ BPA ， P在 Rt △PBQ 中， PA ＝PB ，QB ＝OQ ＋OB ＝8，由 QB 2＋PB 2＝PQ 2， 得 82＋ PB 2＝（ PB ＋4）2，解得 PB ＝6，∴ PA ＝PB ＝6． ∵OP ⊥ AB ，∴ BF ＝AF ＝ AB ．又∵ D 为 PB 的中点，∴ DF ∥AP ，DF ＝ PA ＝3，∴△ DFE ∽△ QEA ， ∴ ＝ ＝ ，设 AE ＝4t ，FE ＝3t ，则 AF ＝AE ＋FE ＝ 7t ， ∴BE ＝BF ＋FE ＝AF ＋FE ＝7t ＋3t ＝10t ，∴ ＝ ＝ ．【点拨】由切线长定理引出的双母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及 相似三角形，常涉及用到等腰“三线合一” 、“射影定理” 、中位线定理、勾股定理，平行线 分线段成比例， 切割线定理等的综合运用。
因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基 本图形模型，当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。
变式运用】1.（2016 青海西宁）如图， D 为⊙ O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠ CDA= ∠CBD ． （ 1 ）求证： CD 是⊙ O 的切线；（2）过点 B 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E ， BC=6 ， ．求 BE 的长．（ 12 分） 【分析】（1）连 OD ，OE ，根据圆周角定理得到∠ ADO + ∠1=90°，而∠CDA=∠CBD ，∠CBD=∠1，于是∠ CDA+ ∠ ADO=90 °；（ 2 ）根据已知条件得到△ CDA ∽△ CBD 由相似三角形的性质得到 ，求得 CD=4 ，由切线的性质得到BE=DE ， BE ⊥ BC 根据勾股定理列方程即可得到结论． （1）证明：连结 OD ，∵ OB=OD ，∴∠ OBD= ∠ BDO ， ∵∠ CDA= ∠ CBD ，∴∠ CDA= ∠ODB ，又∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90 °，∴∠ ADO +∠ODB=90 °，∴∠ ADO +∠CDA=90 °， 即∠ CDO=90 °，∴ OD ⊥CD ，∵ OD 是⊙ O 半径，∴ CD 是⊙ O 的切线 （2）解：∵∠ C=∠C ，∠ CDA= ∠CBDCD AD∴△CDA ∽△ CBD ∴BC BD∴CD=4 ，∵ CE ， BE 是⊙ O 的切线 ∴BE=DE ， BE ⊥ BC2 2 2 2 2AD 2BD 3，BC=6 ，∴BE 2+BC2=EC 2，即BE2+62=（4+BE）解得：BE= 5．2.（2018·湖北武汉）如图， PA是⊙ O的切线， A是切点， PC， PC交 AB于点 E，且 PA＝ PB.（1）求证： PB是⊙ O的切线 .PE（2）若∠ APC＝ 3∠BPC，求的值 .CE（1）证明：分别连接 OP， OB.AP BP,在△ OAP和△ OBP中，OA OB,∴△ OAP≌△ OBP.OP OP.∴∠ OAP=∠OBP,∵ PA是⊙ O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴PB是⊙ O的切线 .（2）连接 BC，设 OP交 AB 于点 F，∵AC 是⊙ O的直径，∴∠ ABC=90°.∵PA， PB是⊙ O的切线，∴PO垂直平分 AB， PO平分∠ APB，∴BC∥ OP，∴∠ OPC=∠PCB，∵∠ APC=3∠ BPC，∴∠ OPC=∠CPB，∴∠ PCB=∠CPB，∴ BC=BP.设 OF=t, 则 BC=PB=2t，由△ PBF∽△ POB，得 PB2=PF· PO，2 1 17 即（ 2t ）2=PF（PF+t）解得 PF= t ，（取正值）2∵△ PFE∽△ CBE，PECEPFBC17 143. （2017 泸州）如图，⊙O 与 Rt△ABC的直角边 AC和斜边 AB 分别相切于点C、 D，与边PBC相交于点 F，OA 与 CD 相交于点 E，连接 FE并延长交AC边于点 G．（1）求证： DF∥ AO；（2）若 AC＝ 6，AB＝ 10，求 CG的长．解：（ 1）证明：连接 OD．∵AB与⊙O 相切与点 D，又 AC与⊙ O相切与点，图3-∴AC＝AD，∵OC＝OD，∴ OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直径，∴∠ CDF＝90°，∴ DF⊥ CD，∴DF∥ AO．2）过点作 EM⊥ OC于 M，∵AC ＝ 6， AB ＝10，∴ BC ＝ AB 2 AC 2 ＝8， ∴AD ＝AC ＝6，∴ BD ＝ AB －AD ＝ 4，21 ∵BD 2＝BF?BC ，∴ BF＝2，∴ CF＝BC －BF ＝ 6．OC ＝ CF＝3， 2EM OM OE 1 AC OC OA 536， 18 OM ＝， EMFM ＝OF ＋OM ＝55 5EM FM3.6 3CGFC65，5∴CG ＝ EM ＝ 2．3∴OA ＝ AC 2OC 2＝3 5 ，∵ OC 2＝ OE?OA ，OE ＝3 55图d∵ EM ∥ AC ，。