圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形
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圆压轴题八大模型题(四)
泸州市七中佳德学校 易建洪
引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题
的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性帮助考生解决问题。
类型4 圆内接等边三角形
如图,点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点. (1) 求证:PA =PB +PC ; (2) 设PA 、BC 交于点M ,
① 若BP =4,PC =2,求CM 的长度. ② 若AB =4,PC =2,求CM 的长度. 【分析】
(1) 证明:连结CD .在PA 上截取PD=PC , 证得△ACD ≌△BCP ,∴AD=PB ,又DP=PC , 因此PA=PB +PC.
(2)①⊙O 中△ABM ∽△CPM,
12PC MC AB MA == ∴1
2
PC MC AB MA == 设MC=x ,则AM=2x,MN=2-x ,又
在Rt △AMN 中,由勾股定理得
.
(2)②过点C 作CE ⊥AP 于E ,过点A 作AN ⊥BC 于点N.由(1)可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt △PCE 中
,则
因此
由(2)②可得
. 【典例】
(2018·湖南常德)如图,已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 在圆上,在CD 的延
图1
图(1)
图(2) 图(3)
长线上有一点F ,使DF =DA ,AE ∥BC 交CF 于E . (1)求证:EA 是⊙O 的切线; (2)求证:BD =CF .
【分析】(1)连结OA 后,由∠OAC =30°,BC ∥AE 得∠CAE =∠BCA =60°,因此∠OAE =90°证得AE 是⊙O 的切线.(2)∠ADF =∠ABC =60°,且DF =DA 得等边△ADF ,且△ABC 也是等边三角形,可得△ADB ≌△AFC ,因此BD =CF .
【解答】证明:(1)连接OD , ∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆, ∴∠OAC =30°,∠BCA =60°, ∵AE ∥BC ,∴∠EAC =∠BCA =60°,
∴∠OAE =∠OAC +∠EAC =30°+60°=90°, ∴AE 是⊙O 的切线;
(2)∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°, ∵A 、B 、C 、D 四点共圆,∴∠ADF =∠ABC =60°,
∵AD =DF ,∴△ADF 是等边三角形,∴AD =AF ,∠DAF =60°, ∴∠BAC +∠CAD =∠DAF +∠CAD ,即∠BAF =∠CAF , 在△BAD 和△CAF 中, ∵
,∴△BAD ≌△CAF ,
∴BD =CF . 【点拨】
等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似,圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究,可以运用延长法与截短法;含60°角三角形,知两边求第三边;借相交弦或平行线得三角形相似,作等边三角形的高,借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。
【变式运用】
1.(2011·泸州)如图,点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点.
图
4-1
图a
(1)求∠BPC 的度数; (2)求证:PA =PB +PC ;
(3)设PA ,BC 交于点M ,若AB =4,PC =2,求CM 的长度.
(1)解:∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC =60°, ∵点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点, ∴四边形ABPC 是圆的内接四边形
∴∠BPC +∠BAC =180°,∴∠BPC =120°, (2)证明:连结C D .在PA 上截取PD =PC , ∵AB =AC =BC ,∴∠APB =∠APC =60°, ∴△PCD 为等边三角形,
∴∠PCD =∠ACB =60°,CP =CD ,
∴∠PCD ﹣∠DCM =∠ACB ﹣∠DCM ,即∠ACD =∠BCP , 在△ACD 和△BCP 中,
AC BC ACD BCP CP CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
,∴△ACD ≌△BCP , ∴AD =PB ,∵PA =AD +DP ,DP =PC , ∴PA =PB +PC ;
(3)解:∵△PCD 和△ABC 都为等边三角形, ∴∠MDC =∠ACM =60°,CD =PC , 又∵∠DMC =∠CMA ,
∴△CDM ∽△ACM ,AB =4,PC =2,
∴CM :AM =DM :MC =DC :AC =PC :AC =2:4=1:2, 设DM =x ,则CM =2x ,BM =4﹣2x ,PM =2﹣x , AM =4x ,AD =AM ﹣DM =4x ﹣x =3x ∵∠BMP =∠CMA ,∠PBM =∠CAM , ∴△BPM ∽△ACM ,
∴BP :AC =PM :CM ,即3x :4=(2﹣x ):2x , 解得x =
113
3
-±(舍去负号), 则x =
1133-+,∴CM =2213
3
-+. 2.如图,已知AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线,交BC 的延长线于点D ,延长DA 交△ABC
的外接圆于点F ,连结FB 、F C . (1)求证:FB =FC ; (2)FB 2=FA ·FD ;
(3)若AB 是△ABC 的外接圆的直径,∠EAC =120°,BC =6cm ,求AD 的长.
证明:(1)∵AD 平分∠EAC ,
图b
图4-2