圆压轴八大模型题(2)-切割线互垂

圆压轴题八大模型题（二）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型2 切割线互垂

在Rt △ABC 中，点E 是斜边AB 上一点，以EB 为直径的⊙O 与AC 相切于点D ，与BC 相交于点F .

【分析】(1)在Rt △ADO 中，(10+r)2=r 2+202,得r=15. (2)由DO ∥BC,得

DO AO BC AB =

,∴402440

r r

-=

得：r=15. (3)在Rt △ADO

中，DO=r ，AO=10+r ，

由DO ∥BC ，

AD AO

AC AB

=

得，

r=15. (4)连结DO,DO=BO,∠ODB=∠OBD;由DO ∥BC 得∠CBD=∠ODB,∴∠ABD=∠CBD. (5)由Rt △BCD ∽Rt △BDE 得BD 2=BC?BE. (6)由△ADE ∽△ABD 得AD 2=AE?AB.

(1)AD=20,AE=10,求r; (2)AB=40,BC=24,求r. O F E D C B A (3)AC=32，AE=10，求r. (4)∠ABD=∠CBD. (5)DB 2=BC?BE; (6)AD 2=AE?AB. (7)△DCF ≌△DGE; (8)DF 2=CF?BE; (9)AG:AC=1:2,BD=10.求r. (10)DC=12,CF=6, 求r 和BF. O F E D C B A (11)DC=12,CF=6,求CO

上任意线段的长. 图(1) 图(2) 图(3)

图(4) 图(5) 图(6) A B C G

E O

F D

【分析】

(7)由∠EBD=∠FBD 得DE=DF,∴DE=DF,又∠DFC=∠DEG,∠C=∠DGE=90°得△DCF ≌△DGE. (8)由△CDF ∽△DBE 得

CF DE

DF BE

=,且DE=DF,∴DF 2=CF?BE. (9)由△ADG ∽△ABC 得AG:AC=DG:BC=1:2,设DG=k,则DC=DG=k,BC=2k,DB=5k=10,∴k=25,∴BG=BC=2k=45,由Rt △DBG ∽Rt △EBD 得DB 2=GB?EB,∴102=45?EB, ∴EB=55,r=55

. (10)∠C=∠CFG=∠CDG=90°得矩形DGFC,∴DG=CF=6,DC=GF=GE=12, ∴在Rt △GEO 中，GO 2+EG 2=EO 2,∴(r-6)2+122=r 2. ∴r=15.GO=15-6=9，由中位线定理得BF=2GO=18.

(11)如图，在Rt △DCO 中，CO=2

2

1215+=341，GO=15-6=9,

由D0∥CB 得,

6293CF CP GO OP ===,∴PO=3

5

CO=941. 同理可得图中CO 上其它线段的长度.

【典例】

（2018·四川成都）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G .

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；

（2）设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ,y 的代数式表示线段AD 的长； （3）若BE ＝8，sin B ＝5

13

，求DG 的长.

【分析】（1）连接OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；

（2）连接DF ，由（1）得到BC 为圆O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD 与三角形ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；

（3）连接EF ，设圆的半径为r ，由sin B 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF ＝sin B ，进而求出DG 的长即可． 解：（1）证明：如图，连接OD ，

∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ， ∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，

∵∠C ＝90°，∴∠ODC ＝90°，∴OD ⊥BC ，

（图2-1）

A O

G

F E

D

C

B

图b

P

A

B C G E

O F

D 图a

∴BC 为圆O 的切线；

（2）连接DF ，由（1）知BC 为⊙O 的切线， ∴∠FDC ＝∠DAF ，∴∠CDA ＝∠CFD ， ∴∠AFD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝∠DAF ， ∴△ABD ∽△ADF ，∴

AB AD

AD AF

=

， 即，AD 2＝AB ·AF ＝xy ，则AD

（3）连接EF ，在Rt △BOD 中，sin B ＝5

13

OD OB =， 设圆的半径为r ，可得

5

813

r r =

+， 解得：r ＝5，∴AE ＝10，AB ＝18， ∵AE 是直径，∴∠AFE ＝∠C ＝90°， ∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，

∴sin ∠AEF ＝5

13

AF AE =， ∴AF ＝AE ?sin ∠AEF ＝10×550

1313

=，

∵AF ∥OD ，∴50

10

13513AG AF DG OD ===

，即DG ＝13

23

AD ，

∵AD

==， 则DG

＝

1323=【点拨】

利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线

段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似，8字型相似，A 字型相似等。当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。

【变式运用】

1.（2018?泸州）如图，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，⊙O 的弦DE 交AB 于点F ，且DF ＝EF ．

（1）求证：CO 2＝OF ?OP ；