圆压轴八大模型题(2)-切割线互垂.docx

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精选圆相关压轴题及答案详解

精选圆相关压轴题参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB 点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，又因为tan∠ABC=，所以可得，进而可得到，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC 中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k 的值即可求出PC的长．【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠DAC．∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，是一道不错的中考题题目．2．已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D．（1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为90°；（2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长；（3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1，只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题；（2）如图2，连接CD，根据条件可得△ACB是等腰直角三角形，从而得到∠B=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定理就可解决问题；（3）如图3，连接CD，根据条件可得△ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC，设BD=x，然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°故答案为90°；（2）连接CD，如图2，∵AC与⊙O相切，BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∠ACB=90°．∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠DCB=∠B=45°，∴DC=DB．∵BC=5，∴BD2+DC2=2BD2=52，∴BD=；（3）连接CD，如图3，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵∠A=45°，∴∠ACD=45°=∠A，∴DA=DC．设BD=x，则CD=AD=7﹣x．在Rt△BDC中，x2+（7﹣x）2=52，解得x1=3，x2=4，∴BD的长为3或4．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用勾股定理求线段的长度是常用的一种方法，应熟练掌握．3．如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质得BH=CH，再利用余弦的定义计算出BH=4，接着利用勾股定理计算出AH=3，然后根据三角形面积公式求解；（2）如图，作PG⊥BD于G，利用垂径定理得BG=DG，再利用余弦的定义计算出BG=x，接着利用勾股定理计算出PG=x，根据三角形面积公式得到S△=x2，然后利用=可表示出y与x的关系式；PBD（3）作CE⊥AB于E，如图，利用面积法求得CE=，则可计算出cos∠EAC=，再证明∠APD=∠EAC得到cos∠APD=，讨论：当∠ADP=90°时，利用cos ∠APD=得到=；当∠PAD=90°时，利用cos∠APD=得到=，而∠APD=2∠B≠90°，然后分别解关于x的方程即可得到对应AP的长．【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，∴BH=CH，在Rt△ABH中，∵cosB==，∴BH=4，∴BC=2BH=8，AH==3，∴S=×8×3=12；△ABC（2）如图，作PG⊥BD于G，则BG=DG，在Rt△PBG中，∵cosB==，∴BG=x，∴BD=x，PG==x，=•x•x=x2，∴S△PBD∵=，即∴y=•x2=﹣x2+x（0＜x＜5）；（3）作CE⊥AB于E，如图，=CE•AB，∵S△ABC∴CE=，∴AE==，∴cos∠EAC==，∵PB=PD，AB=AC，∴∠ACB=∠PDB=∠B，∴PD∥AC，∴∠APD=∠EAC，∴cos∠APD=，当∠ADP=90°时，∵cos∠APD=，∴=，解得x=；当∠PAD=90°时，∵cos∠APD=，∴=，解得x=，而∠APD=2∠B≠90°，∴PB的长为或．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和等腰三角形的性质；会利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行几何计算；会利用分类讨论的方法解决数学问题．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）填空：①当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；②在①的条件下，BC=6cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．（3）设菱形AEFD的边长为a，易知△AEF、△AFD都是等边三角形，列出方程求出a，再在RT△ACB中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．证明：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．故答案为60．（3）解：∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF=∠CAB=60°，∴△AEF、△AFD都是等边三角形，由题意：2×a2=6，∴a2=12，∵a＞0，∴a=2，∴AC=AE=2，在RT△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC==6．故答案为6．【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式=a2（a是边长）．5．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE=GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB=∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE=，AK=，求CN的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）欲证明KE=GE，只要证明∠EGK=∠EKG即可；（2）欲证明CA∥FE，只要证明∠ACH=∠E即可；（3）作NP⊥AC于P．首先证明AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a由AK=，推出a=，可得a=1．AC=5，在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，推出CP=4b，推出AC=AP+CP=13b，由AC=5，推出13b=5，推出b=，可得CN==4b解决问题；【解答】（1）证明：连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG=∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE．（2）设∠FGB=α，∵AB是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=∠ACH，∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE．（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH==，设AH=3a，AC=5a，则CH==4a，tan∠CAH==，∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a，∵AK=，∴a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=，∴CN==4b=．【点评】本题考查圆综合题、锐角三角函数、平行线的判定和性质、勾股定理、直径的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，（1）若PD∥BC，求证：AP平分∠CAB；（2）若PB=BD，求PD的长度；（3）证明：无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接OP，根据切线的性质得到OP⊥PD，根据垂径定理得到CP=BP，证明结论；（2）证明△BOP是等边三角形，根据勾股定理计算；（3）证明△ACP∽△QCA，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】证明：（1）如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴CP=BP，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB；（2）∵PB=BD，∴∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴在Rt△OPD中，PD==6；（3）∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=∠BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴=，即CP•CQ=CA2=72，即CP•CQ为定值．【点评】本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、切线的性质定理是解题的关键．7．如图1，等腰△ABC中，AC=BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF=DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC=，CG=4，求OP的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1中，先判断出∠A+∠BOF=90°，再判断出∠COD=∠EOD=∠BOF，即可得出∠A+∠COD=90°；（2）如图2中，连接OC，首先证明FC=FH，再证明点K在以F为圆心FC为半径的圆上即可解决问题；（3）先求出CH=2CG=8，进而用tan∠CMH==tan∠HDC=，得出，求出MH=，进而CM=，即可得出OD=OF=，再求出OG=MH=，进而得出FG=OF﹣OG=3，再根据勾股定理得，CF=5，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OF⊥BC，∴∠B+∠BOF=90°，∵AC=BC，∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠BOF=90°，∵点D是的中点，∴，∴∠COD=∠EOD=∠BOF，∴∠A+∠COD=90°，∴∠ACO=9°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线，（2）证明：如图2中，连接OC，∵EF⊥HC，∴CG=GH，∴EF垂直平分HC，∴FC=FH，∵∠CFP=∠COE，∵∠COD=∠DOE，∴∠CFP=∠COD，∵∠CHP=∠COD，∴∠CHP=∠CFP，∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上，∴FC=FP=FH，∵DO=OF，∴DO+OP=OF+OP=FP=CF，即CF=OP+DO；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接MH，∴∠∠CMH=∠CDH，∠CHM=90°，∵OF⊥CH于G，∴CH=2CG=8，在Rt△CHN中，tan∠CMH==tan∠HDC=，∴，∴MH=，∴CM==，∴OD=OF=∵∠CGO=∠CHM=90°，∴OG∥MH，∵OC=OM，∴OG=MH=，∴FG=OF﹣OG=3，在Rt△CGF中，根据勾股定理得，CF==5，由（2）知，OP=CF﹣OD=5﹣=．【点评】本题考查了圆的综合知识及勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质的应用等知识，综合性强，难度较大，能够正确的作出辅助线是解答本题的关键．8．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ=PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB=30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE=3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD=6，连接QC交BC于点M，求QM的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接OP，过点O作OR⊥QB于R，证明△POE≌△OBR，根据全等三角形的性质证明；（2）连接OP，根据切线的性质得到、结合题意得到∠C=∠EPO，设EF=x，根据正切的定义求出BE，根据正弦的定义解答；（3）连接BG，过点O作OK⊥HB于K，得到四边形POKQ为矩形，得到QK=PO，根据垂直定理得到PE=PD=3，根据圆周角定理、解直角三角形的知识计算即可．【解答】（1）解：连接OP，过点O作OR⊥QB于R，则四边形PORQ是矩形，∴OR=PQ，∵∠POR=90°，∠OEP=90°，∴∠OPE=∠BOR，在△POE和△OBR中，，∴△POE≌△OBR，∴OR=PE，∴PQ=PE；（2）连接OP，∵CP切⊙O于P，∴∠OPC=∠OPQ=90°，∴∠C+∠COP=90°，∵PD⊥AB，∴∠PEO=∠AEF=∠BEF=90°，∴∠EPO+∠COP=90°，∴∠C=∠EPO，在Rt△FEA中，∠GAB=30°，∴设EF=x，则AE=EF÷tan30°=x，在Rt△FEB中，tan∠BFE=3，∴BE=EF×tan∠BFE=3x，∴AB+AE+BE=4x，∴AO=PO=2x，∴EO=AO﹣AE=x，∴在Rt△PEO中，sin∠EPO==，∴∠C=∠EPO=30°；（3）连接BG，过点O作OK⊥HB于K，又BQ⊥CP，∴∠OPQ=∠Q=∠OKQ=90°，∴四边形POKQ为矩形，∴QK=PO，OK∥CQ，∴∠C=∠KOB=30°，∵⊙O中，PD⊥AB于E，PD=6，AB为⊙O的直径，∴PE=PD=3，根据（2）得，∠EPO=30°，在Rt△EPO中，cos∠EPO=，∴PO==6，∴OB=QK=PO=6，∴在Rt△KOB中，sin∠KOB=，∴KB=OB•sin30°=3，∴QB=9，在△ABG中，AB为⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∵∠BAG=30°，∴BG=6，∠ABG=60°解△QBG得，QG=3，∵∠ABG=∠CBQ=60°，∴==，∴QM=．【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握相关的判定和性质是解题的关键．9．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．（1）求证：∠AEC=90°﹣2∠BAE；（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG=FG；（3）在（2）的条件下，若BE=4，CF=6，求⊙O的半径．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接AC、BC，先根据等弧得：∠AEC=∠BAE，则∠CAB=2∠BAE，再由直径所对的圆周角为直角得：∠ACB=90°，直角三角形的两锐角互余得：∠CAB+∠CBA=90°，等量代换可得结论；（2）如图2，连接EO设∠OEA=∠OAE=α，证明∠GFE=∠GEF=90°﹣α，则GE=GF；（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，证明∠COM=∠BOM则OM⊥BC，由（2）得∠GEM=90°，则CM∥EG，CF=CN=6，设MN=x，则CM=BM=6+x，根据三角函数得：cos∠EBM=，列式求得x的值，在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】证明：（1）连接AC、BC，∴∠CEA=∠CBA，∵E为的中点，∴=，∴∠CAE=∠BAE，∴∠CAB=2∠BAE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴2∠BAE+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°﹣2∠BAE；（2）连接EO，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，设∠OEA=∠OAE=α，∵EG为切线，∴OE⊥EG，∴∠OEG=90°，∴∠GEA=90°﹣∠AEO=90°﹣α，∵DG⊥AB，∴∠FDA=90°，∴∠FAD+∠AFD=90°，∴∠AFD=90°﹣α=∠GFE，∴∠GFE=∠GEF=90°﹣α，∴GE=GF；（3）如图3，连接CE、CB、OE、OC，CB与AE交于点N，CB与OE交于点M，∵E为的中点，∴∠COM=∠BOM，∵OC=OB，∴OM⊥BC，∴∠OMB=90°，由（2）得∠GEM=90°，∴CM∥EG，∴∠GEF=∠CNF，∵∠GFE=∠GEF，∴∠CFE=∠CNF，∴CF=CN=6，设MN=x，则CM=BM=6+x，cos∠EBM=，∴=，解得：x1=2，x2=﹣11（舍），MB=6+x=6+2=8，由勾股定理得：ME===4，在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，OM2+MB2=OB2，即m2+82=（m+4）2，∴OM=m=6，∴OE=OB=6+4=10．则⊙O的半径为10．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、三角函数、圆周角定理、垂径定理等知识，在圆中求线段的长常利用三角函数或勾股定理列等式求解，本题也是如此，第三问设未知数列方程是关键．10．如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，AF⊥BD于点F，AE=AB，连接AB、CD．（1）如图1，求证：CD+BD=2DF；（2）如图2，当BD经过圆心O时，连接AO并延长，交⊙O于点G，连BC，求证：∠D=∠DOG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EG、CG，当OF=1，EG=4时，求CG的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）只要证明DC=DE，EF=FB，再根据线段的和差定义即可解决问题；（2）只要证明∠D=∠AOB，即可解决问题；（3）如图3中，设OA=OB=r，EC=y，AE=EB=x．想办法构建方程组求出y2=1，即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵AE=AB，AF⊥EB，∴EF=FB，∠AEB=∠B，∵∠AEB=∠DEC，∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DC=DE，∴CD+BD=DE+DE+BE=2（DE+EF）=2DF．（2）证明：如图2中，∵∠C=∠DEC=∠AEB=∠B，∴∠D+2∠C=180°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠AOB+2∠ABO=180°，∵∠C=∠ABO，∴∠D=∠AOB，∵∠DOG=∠AOB，∴∠D=∠DOG．（3）解：如图3中，设OA=OB=r，EC=y，AE=EB=x．则FB=EF=r﹣1，OE=R﹣2，∴DE=DC=2，由△DCE∽△AEB，可得：=，即=①，由△DCE∽△OAB，可得=，即=②，∵AF2=OA2﹣OF2=AE2﹣EF2，可得：r2﹣12=x2﹣（r﹣1）2③由①②③解得y2=1，∵AG是直径，∴∠ECG=90°，∴CG===．【点评】本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．11．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°，∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，∵OA=OD∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴，∵Rt△ABD中，tanA==∴=∴AE=2DE，DE=2BE∴AE=4BE∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x∵OF=1，∴OE=1+2x在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA 是解本题的关键．12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）∠ACB=90°，理由是：直径所对的圆周角是直角；（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；（3）若AB=8，AD=6，求BD．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；（2）根据∠ABC的平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE 是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x后即可求得BD的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（2）△EAD是等腰三角形．证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，∴∠CBD=∠ABE∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°∴∠AEB+∠EBA=90°，∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，∴AE=AD∴△EAD是等腰三角形．（3）解：∵AE=AD，AD=6，∴AE=AD=6，∵AB=8，∴在直角三角形AEB中，EB=10∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE∴△CDB∽△AEB，∴===∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，∴CA=CD+DA=3x+6，在直角三角形ACB中，AC2+BC2=AB2即：（3x+6）2+（4x）2=82，解得：x=﹣2（舍去）或x=∴BD=5x=【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上．13．如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E 在BA边上移动，动点F在AC边上移动．（1）当点E，F分别为边BA，AC的中点时，求线段EF的长；（2）当∠EOF=45°时，①设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式；②若以O为圆心的圆与AB相切（如图），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）当E、F分别为BA、AC中点时，EF为三角形ABC中位线，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出EF的长；（2）①根据题意利用等式的性质得到一对角相等，再由一对角为45°，利用两对角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形OCF相似，由相似得比例列出y与x间的函数解析式，并求出x的范围即可；②EF与圆O相切，理由为：由①得出的三角形BOE与三角形COF相似，得比例，把CO换为BO，变形后利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEO与三角形OEF相似，利用相似三角形对应角相等得到∠BEO=∠FEO，利用角平分线定理得到O到EB、EF的距离相等，而AB与圆O相切，可得出∠OFE=90°，即OF与AC垂直，且OF为半径，即可确定出EF与圆O 相切．【解答】解：（1）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，根据勾股定理得，BC==2，∵点E，F分别为边BA，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线．∴EF=；（2）①在△OEB和△FOC中，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=45°．∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，∴∠FOC=∠OEB．又∵∠B=∠C，∴△OEB∽△FOC．∴=．∵BE=x，CF=y，OB=OC=，∴=，即y=，（1≤x≤2）；②解：直线EF与⊙O相切，理由：如图，记直线AB与⊙O相切的切点为G，过点O作OH⊥AC于H，∵△OEB∽△FOC，∴=．∴=，即=．又∵∠B=∠EOF=45°，∴△BEO∽△OEF．∴∠BEO=∠OEF．∵AB切⊙O于G，∴OG⊥AB，∵OH⊥AC∴OG=OH，∴直线EF与⊙O相切（到直线的距离等于半径）．【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，以及直线与圆相切的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．14．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD=BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△=9，求EC之长．ACH【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）先判断出∠BDC=∠DAC，进而判断出△CDE∽△CAD，即可得出结论；（2）设出CE=x，进而表示出AC，AE，借助（1）的结论得出CD，进而求出BC，再判断出△BOC是等边三角形，利用三角形的中位线表示出AD，即可得出结论；（3）先判断出∠CHB=30°，进而判断出△ACH的面积是△BOC面积的3倍，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵CD=BC，∴，∴∠BDC=∠DAC，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2=CE•AC；（2）设CE=x，∵AE=2CE，∴AE=2x，∴AC=AE+CE=3x，由（1）知，CD2=CE•AC，∴CD2=x×3x=3x2，∴CD=x，∴BC=CD=x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，根据勾股定理得，AB==2x，∴OA=OB=AB=x，∴OB=OC=BC，∴△BOC是等边三角形，∵，∴OC ⊥BE ，∴OE=OB=x ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°=∠OEB ，∴OE ∥AD ，∵OA=OB ，∴AD=2OE=x ， ∴==1；（3）由（2）知，△BOC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，∵CH 是⊙O 的切线，∴∠OCH=90°，∴∠CHO=30°，∴OH=2OC ，∵OH=OB +BH=OC +BH ，∴OB=BH ，∴OA=OB=BH ，∴S △ACH =3S △BOC =9， ∴S △BOC=3， ∵S △BOC =OB 2=×（x ）2=3， ∴x=﹣2（舍）或x=2，∴EC=2．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的面积公式，三角形的中位线定理，表示出CD是解本题的关键．15．在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，以B为圆心，BA 为半径作⊙B交BC于点D，旋转∠ABD交⊙B于点E、F，连接EF交AC、BC 边于点G、H．（1）若BE⊥AC，求tan∠CGH的值；（2）若AG=4，求△BEF与△ABC重叠部分的面积；（3）△BHE是等腰三角形时，∠ABD逆时针旋转的度数是22.5°或45°．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）先判断出AC∥BF，进而得出∠CGH=F=45°，即可得出结论；（2）易知当AG=4时，点G为AC中点，与点E重合，如图2，过点H作HN ⊥BE于N，△BEF与△ABC重叠部分的面积就是△EBH的面积，只需运用三角函数求出HN，即可解决问题；（3）只需将△BHE的三个内角分别作为等腰三角形的顶角进行分类讨论，就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵BE⊥AC，BE⊥BF，∴AC∥BF，∴∠CGH=∠F=45°，∴tan∠CGH=tan45°=1，（2）∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．∵AG=4，∴点G是AC的中点，此时E与G重合，△ABE是等边三角形，如图2．过点H作于HN⊥BE于N，∠BEF=45°，BE=BF，∴∠EHN=90°﹣45°=45°=∠BEF，∴EN=HN设HN=x，则EN=x，NB=4﹣x，在Rt△HNB中，由tan∠NBH=得，，解得．=∴S△EBH即△BEF与△ABC重叠部分的面积为，（3）（3）①若∠HEB是等腰△BHE的顶角，如图3，则有∠EBH=∠EHB==67.5°，∴∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°．②若∠EHB是等腰△BHE的顶角，如图4，则有∠EBH=∠HEB=45°，∴∠ABE=90°﹣45°=45°．③若∠EBH是等腰△BHE的顶角，则∠EBH=180°﹣45°﹣45°=90°，此时点E与点A重合，没有旋转，故舍去．综上所述：△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数为22.5°或45°，故答案为：22.5°或45°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，利用三角函数求出HN是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是第（3）小题的关键，当等腰三角形的顶角不确定时，常常需要分类讨论．16．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC 于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求直径AC的长及点B到AC的距离；（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP 判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．（3）在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴，∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．（3）在Rt△BCF中，CF==2，∴AF=AC﹣CF=5﹣2=3，∵BF∥CP，∴，，∴CP=，BP=∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．17．如图，已知⊙O是以AB为直径的圆，C为⊙O上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线交AD于E，∠DAC=∠DCE．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）求证：DC2=ED•DA；（3）若AB=2，sinD=，求AE的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠DAC=∠DCE，∠DCE=∠BCO∴∠DAC=∠BCO，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO∴∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°．∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）解：∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD，∴，∴CD2=DE•AD；（3）解：在Rt△AOD中，OA=AB=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD==2，∵CD2=DE•AD，∴DE==，∴AE=AD﹣DE=2﹣=．【点评】此题是圆的综合题，主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．18．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAC=∠ABO；（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF=∠BAD，在弧AB取点G，使AG ∥OB，若∠BAC=60°，求证：GF=GD；（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE=1：9，求sin∠ADG的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）想办法证明∠GDF=∠GFD=60°即可；（3）如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．由AF：FE=1：9，设AF=k，则FE=9k，AE=10k，在△AHE 中，∠E=60°，推出AH=5k．设NH=x，则AN=5k﹣x与，由ON⊥AD，推出AD=2AN=10k﹣2x，想办法构建方程，求出x与k的关系，再根据sin∠ADG=sin ∠R=，求出AG、AR（用k表示）即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB=90°．∵AD⊥BC，∴∠AHC=90°．∵弧AB=弧AB，∴∠AQB=∠ACB，∵∠AQB+∠ABO=90°，∠ACB+∠CAD=90°∴∠ABO=∠CAD．（2）证明：如图2，∵AG∥OB，∴∠ABO=∠BAG，∵∠ABO=∠CAD，∴∠CAD=∠BAG，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠BAG=60°，∵∠BAD=∠CAF，∴∠CAF+∠CAD=60°，∴∠GAD=∠DAF=60°，∠GAF=120°，∵四边形AGDF内接于⊙O，∴∠GDF=60°，∵弧GD=弧GD，∴∠GAD=∠GFD=60°，∴∠GDF=∠GFD=60°，∴GD=GF．（3）解：如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK ⊥AE，垂足为P、K．∵AF：FE=1：9，∴设AF=k，则FE=9k，AE=10k，在△AHE中，∠E=60°，∴AH=5k．设NH=x，则AN=5k﹣x，∵ON⊥AD，∴AD=2AN=10k﹣2x又在△AQF中，∵∠GAF=120°，∴∠QAF=60°，AF=k，∴AQ=，FQ=k，由（2）知：∠GDF=∠DAF=60°，∴△GDF是等边三角形，∴GD=GF=DF，∵∠GAD=∠DAF=60°，∴DP=DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD∴FK=GP，AP=AK，∠ADK=30°，∴AD=2AK=AP+AK=AF+AG∴AG=10k﹣2x﹣k=9k﹣2x，∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM=NH=x，∵∠BOD=∠BOC=∠BAC=60°∴BC=2BM=2x，∵∠BOC=∠GOF，∴GF=BC=2x在△GQF中，GQ=AG+AQ=k﹣2x，QF=k，GF=2x，∵GQ2+FQ2=GF2，∴（k﹣2x）2+（k）2=（2x）2，∴x1=k，x2=﹣k（舍弃），∴AG=9k﹣2x=k，AR=2OB=4OM=4x=7k，在△GAR中，∠RGA=90°，∴sin∠ADG=sin∠R==．【点评】本题考查圆综合题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x 轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（﹣2，0），求⊙F的半径；（3）在（2）的条件下求线段CE的长度．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接EF．欲证明BC是⊙F的切线，只要证明BC⊥EF即可；（2）连结FD．在Rt△DFO中，根据DF2=FO2+DO2，构建方程即可解决问题；（3）过点F作FH⊥AD于H．四边形CEFH是矩形，只要求出FH的长即可解决问题；【解答】（1）证明：连结EF∵在⊙F中，EF=FA，∴∠FEA=∠FAE，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠EAC，∴∠FEA=∠EAC，∴EF‖AC，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF⊥BC于E，∴BC是⊙F的切线．（2）连结FD．∵A（0，﹣1），D（﹣2，0），∴OA=1，OD=2，设⊙F的半径为R，则OF=R﹣1∵AG⊥OD于O，∴∠FOD=90°，∵在Rt△DFO中，DF2=FO2+DO2，∴R2=（R﹣1）2+22 解得R=2.5，∴⊙F的半径为2.5．（3）过点F作FH⊥AD于H．由（2）得AO=1，OD=2，∴在Rt△AOD中，AD===，∵在⊙F中，FH⊥AD于H∴AH=AD=，∠FHC=∠FHA=90°，∴在Rt△AHF中，FH===，由（1）得∠BEF=90°∴∠CEF=90°∵∠FHC=∠C=∠BEF=90°∴四边形CEFH是矩形∴CE=FH=．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20．定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：（1）矩形不是“等垂四边形”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC=60°，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H，利用垂径定理求出AC的长即可解决问题；（3）连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC于E，只要证明△OAM≌△BOE即可解决问题；【解答】解：（1）矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．故答案为：不是；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H．在△AOH中，∠AOH=∠ADC=60°，OA=6∴AH=3∴AC=2AH=6∵四边形ABCD是等垂四边形∴AC=BD=6=•AC•BD=××6=54．∴S四边形ABCD（3）连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC于E，显然∠BOE=∠BAC，∠AOM=∠ABD∵BD⊥AC∴∠ABD﹢∠BAC=90°．∵∠AOM﹢∠OAM=90°∴∠OAM=∠BOE在△OAM中与△BOE中，∴△OAM≌△BOE∴OM=BE∵BE=BC，∴OM═BC．【点评】本题考查圆综合题，全等三角形的判定和性质、垂径定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形以及全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．如图，⊙O的直径AB=2，AM、BN是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，与BN、AM交于点C、D，设AD=x，BC=y．（1）求证：AM∥BN．（2）求y关于x的函数关系式．（3）若x、y是关于t的方程2t2﹣5t+m=0的两根，且xy=，求x、y的值．。

专题11 圆周角压轴题七种模型全攻略(解析版)

专题11圆周角压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一圆周角的概念辨析】 (1)【考点二圆周角定理】 (2)【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】 (5)【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】 (7)【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】 (10)【考点六已知圆内接四边形求角度】 (12)【考点七求四边形外接圆的直径】 (15)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一圆周角的概念辨析】例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角的定义判断即可．【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．故选C．【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．【变式训练】∠是圆周角的是（）1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，BACA．B．C．D．【答案】B【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．∠是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．【详解】解：根据圆周角定义：可得BAC故选B．【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．2．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可．【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．【考点二圆周角定理】【答案】52︒【分析】由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：26ABC ∠=︒ ，252AOC ABC ∴∠=∠=︒，故答案为：52︒．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．【变式训练】【答案】20【分析】连接OD ，由圆周角定理可得25ODC OCD ∠=∠=︒，再由【详解】解：连接OD ，如图，，【答案】1【分析】连接OB 角三角形中30︒角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：如图，连接∵60ACB ∠=︒，∴2AOB ACB ∠=∠∵OD AB ⊥，∴ AD BD=，∠【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】【变式训练】【答案】40︒/40度【分析】连接CD，根据圆周角定理的推论得出【详解】解：连接CD的直径，∵AD为O【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．2．（2023春·江西上饶的延长线与CB的延长线交于点【答案】43︒/43度【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠=∠=︒，再根据等边对等角得出BAC BAD23.5∵47BOC ∠=︒，∴123.52BAC BOC ∠=∠=︒，∵ BCBD =，∴23.5BAC BAD ∠=∠=︒，【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】【答案】61︒/61度【分析】如图，连接BC【详解】解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴9061ABC CAB ∠=︒-∠=︒，∴61D ABC ∠=∠=︒，故答案为：61︒．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 【答案】(1)60︒(2)23(1)求证：点D为弧AC的中点；AC=，求(2)若4DF=，16【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得∴()22=64OA OD DF+-，∴()22=644OA OA +-，∴10OA =，∴O 的直径为20．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】【答案】132-/213-+【分析】由90APB ∠= ，可知勾股定理求OC 的长，根据P C '【详解】解：∵90APB ∠= ，∴P 在以AB 为直径的O 上运动，如图，∴当O P C 、、三点共线时，∵222313OC =+=，∴132P C '=-，【变式训练】【答案】733-/3-+【分析】根据BE CD ⊥交O 于点F ，连接OE F 重合时，AE 取得最小值，进行求解即可．【详解】解：∵BE CD ⊥∴当且仅当,,O A E 三点共线时，∵90ABC ∠=︒，AB ∴3OF BO ==，AO ∴AE 的最小值为：【答案】2102-/2210-+【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以取最小值，根据勾股定理进行计算即可．=-=∴CG最小值为：CG CH r故答案为：2102-．【考点六已知圆内接四边形求角度】【答案】70【分析】根据圆周角定理得到【详解】解：∵140AOC ∠=∴7201B AOC ∠∠=︒=，ABCD O 【变式训练】【答案】140︒【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出补求出，BCD ∠的度数．【详解】解∶12A ∠=∠【答案】34︒【分析】利用等腰三角形的性质可得然后根据圆内接四边形对角互补求出求出DAB ∠的度数．【详解】解：AC CD = 28CAD CDA ∴∠=∠=︒，180ACD CAD ∴∠=︒-∠-∠【考点七求四边形外接圆的直径】A．3【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠性质得出OD=OA=AD=∵四边形ABCD是⊙O∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，【变式训练】A．2πA ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D ＝∠CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE ＝60°，可得∠A ＝60°，点C 为 BD的中点，可得出∠BDC ＝∠CBD ＝30°，进而得出∠ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CBE ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠A∵:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE ＝∠ADC=60°，∠CBA ＝120°∵60E ∠=o∴△CBE 为等边三角形∴∠BCE ＝∠A=60°，∵点C 为 BD的中点，∴∠CDB ＝∠DBC=30°∴∠ABD =90°，∠ADB =30°∴AD 为直径∵AB =2∴AD =2AB =4∴O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，APB ∠是圆周角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．【详解】解：A 、B 顶点没在圆上，C 虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D 符合圆周角的概念，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念．2．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，已知AB 为O 的直径，点P 、点C 在圆上，且位于AB 异侧．若40POA ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．90︒B ．80︒C ．70︒D ．60︒【答案】C 【分析】根据邻补角得出140POB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵40POA ∠=︒，∴140POB ∠=︒，∵ PBPB =，∴2701P C OB ∠∠==︒，A．160︒【答案】A【分析】根据圆内接四边形的性质证得∠【详解】解：∵DCE∠=∠A DCEA．43【答案】B【分析】如图：连接【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．5．（2023秋·山西吕梁示的位置放置，其中锐角顶点A．2B．【答案】B【分析】连接OD，根据圆周角定理得出二、填空题【答案】90︒/90度【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵ BC∴2BOC A ∠=∠=∵30C ∠=︒，∴根据圆周角定理可知∵OB OA =，∴AOB 是等边三角形，【答案】26【分析】连接AC 理求出AD ，继而求出结果．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋·湖北十堰一点，EC 交O 于点【答案】20︒【分析】连接AD ,则ADB ∠【详解】如图所示：连接AD ,∵AB 是O 的直径,∴90ADB ∠=︒,【答案】1266+【分析】连接AD ，交OE 周角定理得出90ADB ∠=O B 、两点是线段AC 的三等分点，OB CB ∴=，点D 恰为线段CE 中点，BD ∴为OCE △的中位线，三、解答题11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在ABC 中，AB AC =．O 是ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：AE BC=；(2)若AE23=，求【答案】(1)见解析∵AB ，CD 为O 的直径，∴90AEB ABD ∠=∠=∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∴DOB EOB ∠=∠∵AE 垂直于直径CD【答案】（1）110︒，35︒；（2）43【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ADC ∠；②根据 AD DC =得到AD DC =（2）连接OA ，根据弦AB 垂直平分半径【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2023·江苏泰州知识回顾(1)如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，AOB ∠+∠①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考AC=45，8∠=︒C∴ 是等腰直角三角形，且ACM∠=∠=AOB C290∴ 是等腰直角三角形，AOB∴==AB OA252在直角三角形ABM∴=+=BC CM BM（2）证明：延长AP，∠=∠APB C2∴∠=∠，2APB N，APB N PBN∠=∠+∠∴∠=∠，N PBN∴=，PN PB，PA PB=∴==，PA PB PN∴为该圆的圆心．P（3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∠=︒，APB90∴∠=︒，45C∴△是等腰直角三角形，BCE∴=，BE BC=，，PA PFBP AF⊥∴=，BA BF是直径，AF∴∠=︒，90ABF∴∠=∠=︒，EBC ABF90∴∠=∠，EBA CBF△△，∴≌(SAS)EBA CBF【答案】（1）120，332；（2）2AM AB AC =+，理由见解析；【分析】（1）由AB 是O 的直径，得到90BAD ∠=︒，求出接四边形对角互补求出BDC ∠，根据直角三角形30度角的性质求出点（2）如图，连接DB DC 、，过点D 作DN AC ⊥，垂足为N ．由角平分线性质定理得到22故答案为：120，332；（2）如图，连接DB 、∵AD 平分BAC ∠．∴BAD CAD ∠=∠，∴DM DN AM ==，∵BAD CAD ∠=∠．由（2）可知2AM ∴2155AM x =-+∵AC 平分BAD ∠。

专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(解析版)

专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一遇弦作弦心距或半径】 (1)【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】 (5)【类型三遇切线连接圆心和切点】 (15)【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】【答案】45cm/45厘米【分析】连接BO，延长OC即可求解．【详解】解：如图，连接【变式训练】【答案】5【分析】设光盘的圆心为的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为过点O 作OA 垂直直尺于点∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是∴()11022AB =⨯-=【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点∵水的最深处到水面AB 的距离为∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD 中，AD AO =∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面拱门所在圆的半径为【答案】2.6【分析】如图所示，连接勾股定理建立方程221r =【详解】解：如图所示，连接【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AB 为O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC CD =，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．(1)求证A D ∠=∠；(2)若»AE 的度数为108︒，求E ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)27︒【分析】（1）连接BC ，首先证明AB BD =，即可求解；（2）根据»AE 的度数为108︒，可得到EBA ∠，根据EBA A D ∠=∠+∠，且A D ∠=∠，即可求解．【详解】（1）如图：连接BCAB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，即AD BC⊥【变式训练】【答案】4【分析】连接BO 并延长交根据含30︒角直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接BO 则90BCD ∠=︒，∵30BAC ∠=︒，∴30D BAC ∠=∠=︒【答案】50︒/50度【分析】连接AC ，利用三角形外角的性质即可求出【详解】解：连接AC ，如图所示，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵100AED ∠=︒，ABD ∠∴40D ∠=︒，(1)求证：OE AC ∥；(2)若1AC =，4AB =，求【答案】(1)见解(2)10∴在Rt ABC △中，BC =∵OD BC ⊥，OE 是O(1)求证：CD DE=；(2)若12AB=，4=AD，求【答案】(1)证明见解析(2)8 3∴180DEB A ∠+∠=︒，又180DEB DEC ∠+∠=︒∴DEC A ∠=∠，∵∥OD BC ，∴C ADO ∠=∠，∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠，∴C DEC ∠=∠，∴CD DE =；（2）解：如图所示，连接AE ，∵AB 为直径，∴90AEB ∠=︒，∴90CAE C ∠+∠=︒，90AED DEC ∠+∠=︒，由（1）CD DE =，C DEC ∠=∠，∴CAE AED ∠=∠，∴AD DE =，∴AD DC =，∴28AC AD ==，由（1）可得BAC ADO ∠=∠，C ADO ∠=∠，则C BAC ∠=∠，∴12AB BC ==，设CE x =，则12BE x =-，∵2222AC CE AB BE -=-，(1)求证：点C是弧AB的三等分点．(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）如图所示，连接OD（2）∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵BOC 是等边三角形，∴6BC OA ==，∴2263AC AB BC =-=，∵1452ACD AOD ∠=∠=︒，是等腰三角形．(1)求证：ABC的直径，∵BC是O中，在Rt BCE【类型三遇切线连接圆心和切点】(1)求证：=；EC BC(2)若43AC=，CE=【答案】(1)见解析(2)1235的切线，为OCD∴⊥，OC CD，⊥AD CD∴∥，AD OC∴∠=∠，DAC ACO由（1）得：DAC CAB ∠=∠33CE BC ∴==，CD AE ⊥ ，CD CF ∴=，AB 是O 的直径，【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC PC =，则P ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．30︒D ．45︒【答案】C 【分析】连结OC ，根据切线的性质得到90PCO ∠=︒，根据OC OA =，得到A OCA ∠=∠，根据AC PC =，得到P A ∠=∠，在APC △中，根据三角形内角和定理可求得30P ∠=︒．【详解】解：如图，连结OC ，PC 是O 的切线，90PCO ∴∠=︒，OC OA = ，A OCA ∴∠=∠，AC PC = ，P A ∴∠=∠，设A OCA P x ∠=∠=∠=︒，在APC △中，180A P PCA ∠+∠+∠=︒，90180x x x ∴+++=，30x ∴=，30P ∴∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在APC △中，根据三角形内角和定理求P ∠是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在O 上，过点B 作O 的切线交OA 的A．1B．【答案】D【分析】连接OB，根据菱形的性质得到即可得到结论．四边形OABC是菱形，∴=，OA ABOA OB，=∴==，OA AB OB【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，【答案】36【分析】连接OD ，根据直角三角形的性质求出【详解】解：连接OD ，弦AB CD ⊥，90CPB ∴∠=︒．63ABC ∠=︒ ，906327PCB ∴∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得，254EOD PCB ∠=∠=︒，DE 是O 的切线，90ODE ∴∠=︒，905436E ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：36．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 为O 上两点，且点D 为 BC的中点，连接AC CD BD 、、．过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点D 作O 的切线DE ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE AE ⊥；(2)若108BD DF ==，，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接OD AD 、，由点D 为 BC的中点可得BAD CAD BD CD ∠∠==，，再根据同圆的半径相等得BAD ODA ∠∠=，进而得到OD AE ，然后再根据切线的性质得到结论；∵点D 为BC 弧的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD BD ∠∠=，∵OA OD =，∴()AAS DCE DBF ≌，∴6CE BF ==【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，AB 为O 的直径，半径OD AB ⊥，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，O 的弦CD 与AB 相交于点F ．(1)求证：EF EC =；(2)若10OE =，且B 为EF 的中点，求O 的半径长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC CE ⊥，求得90OCF ECF ∠+∠=︒，根据等腰三角形的性质得到OCF ODF ∠=∠，求得90ODF OFD ∠+∠=︒，得到ECF OFD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）设O 的半径为r ，则OB OC r ==，求得10BE BF r ==-，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，OC CE ∴⊥，90∴∠=︒OCE ，即90OCF ECF ∠+∠=︒，∠(1)求证：BC平分ABD∠(2)连接OD，若ABD 【答案】(1)证明见解析(2)7∵直线l 与O 相切于点C ∴OC l ⊥于点C ．∴90OCD ∠=︒．∵BD l ⊥于点D ，∴=90BDC ∠︒．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 AB的中点．法）的切线，分别交(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作O∠=∠；①求证：F CBA（2）①证明：连接∠，CD平分ACB ∴∠=∠，ACD BCD∴=，AD BD∴⊥，OD AB。

2024年中考数学压轴题型(安徽专用)专题07解答题压轴题(圆的综合)(学生版)

专题07解答压轴题（圆的综合）通用的解题思路：一、切割线定理当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题。

二、解决三角形外接圆的问题做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题。

三、证切线的方法1、已知半径证垂直；2、已知垂直证半径。

1.（2023-安徽•中考真题）已知四边形班CD内接于。

，对角线如是。

的直径.⑴如图1,连接OA,C4,若求证；04平分乙BCD；（2）如图2,E为。

内一点，满足AE±BC,CE±AB,若BD=30AE=3,求弦BC的长.2.（2022.安徽.中考真题）已知AB^jQO的直径，。

为。

上一点，D为BA的延长线上一点，连接CQ.c c图1上AB图2⑴如图1,若COLAB,20=30。

，0A=L求AQ的长;(2)如图2,若OC与。

0相切，E为OA上一点，且ZACD=ZACE,求证：CE±AB.3.(2021.安徽.中考真题)如图，圆0中两条互相垂直的弦AB,CQ交于点E.(1)M是CD的中点，(W=3,CD=12,求圆。

的半径长；(2)点尸在CQ上，＞CE=EF,求证：AF1BD.1.(2024-安徽六安•一模)如图，4ABC内接于O。

，是。

的直径，0D1AB交O。

于点E,交AC于点KDF=DC.D\R(1)求证：CD是。

的切线；(2)若。

F=而,BC=6,求DE的长.2.(2024.安徽•一模)如图，已知点尸为。

外一点，点A为。

上一点，直线P4与。

的另一个交点为点B,AC是。

的直径，APAC的平分线刀。

交。

于点Q,连接CD并延长交直线霹于点M,连接OQ.(1)求证：OD||BM；(2)若tan ZACD-,。

的直径为4,求刀B的长度.3.(2024-安徽合肥•二模)如图，AB为。

的直径，的和吨是。

的弦，连接AD f CD.P(1)若点C为AP的中点，且PC=PD,求ZB的度数；⑵若点。

圆中常用辅助线的作法【八大题型】(解析版)

圆中常用辅助线的作法【八大题型】【题型1遇弦连半径构造三角形】 1【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 5【题型3遇直径作直径所对的圆周角】 8【题型4遇切线作过切点的半径】 11【题型5遇90°的圆周角连直径】 16【题型6转移线段】 19【题型7构造相似三角形】 23【题型8四点共圆】 30【题型1遇弦连半径构造三角形】1.(2024·陕西渭南·三模)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD、BD，BD =BC，延长DB到点E，使得BE=BD，连接CE．(1)求证：∠A+∠E=90°；(2)若⊙O的半径为256，BC=5，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．(1)利于等边对等角的性质得到∠BCE=∠E，∠BCD=∠D，利用三角形的内角和得到∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°，即可得到∠E+∠D=90°，再由圆周角的性质等量代换即可；(2)连接OC，由垂径定理推出OB⊥CD，CF=DF，利用勾股定理建立式子运算出BF的长，再利用中位线定理即可推出CE的长．【详解】(1)证明：∵BD=BC，BE=BD，∴BC=BE，∴∠BCE=∠E，∠BCD=∠D，∵∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°，∴∠E +∠D =12×180°=90°，∵∠A =∠D ，∴∠A +∠E =90°；(2)解：连接OC ，则OC =OB =256，如图所示：∵BC =BD ，∴BC =BD ，∴OB ⊥CD ，CF =DF ，在Rt △OCF 中，CF 2=OC 2-OF 2=2562-256-BF 2，在Rt △BCF 中，CF 2=BC 2-BF 2=52-BF 2，∴256 2-256-BF 2=52-BF 2，解得BF =3，∵BD =BE ，DF =CF ，∴BF 为△DCE 的中位线，∴CE =2BF =6．2.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD =8，OP =3，则⊙O 的直径为()A.10B.8C.5D.3【答案】A 【分析】连接OC ，由垂径定理可得CP =PD =4，然后再根据勾股定理可得OC ，进而问题可求解．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵CD ⊥AB ，CD =8，∴CP =PD =4，∵OP =3，∴在Rt △CPO 中，OC =CP 2+OP 2=5，∴⊙O 的直径为10；故选A ．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3.(2024·贵州黔东南·二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AC =BC ，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为点E ，延长BE 交⊙O 于点D ，连接AD ，CD ，CO ，并延长CO 交BD 于点F ．(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶；(2)求证∶CD=CF；(3)若BC=10，BE=6，求⊙O的半径．【答案】(1)∠ACD=∠ABD(答案不唯一)(2)见解析(3)⊙O的半径为5103【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；(1)根据圆周角可得∠ACD=∠ABD；(2)延长CF交AB于M，根据垂径定理的推论可得∠ACF=∠BCF，CM⊥AB，即可由BE⊥AC得到∠ACF=∠ABD，进而得到∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF，由三线合一即可得到CD=CF；(3)连OA，由勾股定理求得CE=8，进而依次得到AE=2，AB=210，AM=1AB=10，再求出CM，最2后在Rt△AOM中利用勾股定理求半径即可．【详解】(1)由圆周角可得：∠ACD=∠ABD，故答案为：∠ABD(答案不唯一)；(2)延长CF交AB于M，∵AC=BC，延长CO交BD于点FAB∴∠ACF=∠BCF，CM⊥AB，AM=12∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠AMC=90°，∴∠ACF=∠ABD=90°-∠CAB，∴∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CED=∠CEF=90°，∴△CED≌△CEF，∴CD=CF；(3)连OA，∵BC=10，BE=6，∴CE=BC2-CE2=8，AC=BC=10∴AE=AC-CE=2，∴AB=AE2+BE2=210，AB=10∴AM=12∴CM=AC2-AM2=310，∴OM=CM-OA=310-OA222∴310-OA2+102=OA2解得OA=510 3，∴⊙O的半径为5103．4.(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，⊙O与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE，与AB交于点F．(1)求证：AC=AF．(2)当F为AB的中点时，求证：FC=2EF．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)连接EO，交BD于点N，根据E为BD的中点，可得OE⊥BD，即有∠NEF+∠EFN=90°，再根据EO=OC，可得∠OEC=∠OCE，进而可得∠ACF=∠AFC，即可证明；(2)连接EB，在Rt△ABC中，有BF=AF=FC=12AB，即∠ABC=∠FCB，再由E为BD的中点，可得∠EBD=∠FCB，进而可得∠EBD=∠ABC，即可证明△EBF∽△CBA，问题随之得证．【详解】(1)连接EO，交BD于点N，如图，∵E为BD的中点，∴OE⊥BD，∴∠ENF=90°，∴∠NEF+∠EFN=90°，∴∠NEF+∠AFC=90°，∵EO=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠OCE=90°，∴∠ACF+∠OEC=90°，∵∠NEF+∠AFC=90°，∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF；(2)连接EB，如图，∵在Rt△ABC中，F为AB的中点，∴BF=AF=FC=12AB，∵E 为BD 的中点，∴DE =BE ，∴∠EBD =∠FCB ，∴∠EBD =∠ABC ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC =90°，∴∠BEC =∠ACB ，又∵∠EBD =∠ABC ，∴△EBF ∽△CBA ，∴EF AC =BF AB ，即EF AC =BF AB=12，∴2EF =AC ，∵AF =FC ，且在(1)已证明AC =AF ，即FC =2EF ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，作出合理的辅助线，掌握垂径定理是解答本题的关键．【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)如图，半径为5的⊙O 中，有两条互相垂直的弦AB 、CD ，垂足为点E ，且AB =CD =8，则OE 的长为()A.3B.3C.23D.32【答案】D 【分析】作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CB 于N ，连接OA ，OC ，根据垂径定理得出BM =AM =4，DN =CN =4，根据勾股定理求出OM 和ON 证明四边形OMEN 是正方形，即可解决问题．【详解】解：如图，作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CB 于N ，连接OA ，OC ．∴AM =BM =4，CN =DN =4，∵OA =OC =5，∴OM =OA 2-AM 2=52-42=3，ON =OC 2-CN 2=52-42=3∴OM =ON ，∵AB ⊥CD ，∴∠OME =∠ONE =∠MEN =90°，∴四边形OMEN 是矩形，∵OM =ON ，∴四边形OMEN 是正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明．6.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为()A.27B.7C.5D.52【答案】A【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含30°的直角三角形，连接OA，则OA=4，过点O作OD⊥AB交AB于点D，则可计算出OD，利用勾股定理求出AD，进一步利用垂径定理即可求出弦AB的长．【详解】解：连接OA，则OA=4，过点O作OD⊥AB交AB于点D，∵若OP=6，∠APO=30°∴OD=OP÷2=6÷2=3，则AD=OA2-OD2=42-32=7=7∴AB=2AD=27．故选：A．7.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图，⊙O1和⊙O2相交于A和B，过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D，已知O1O2=20cm，则CD=cm．【答案】40【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作O1E⊥CD于点E，O2F⊥CD于点F，利用垂径定理得到AE=CE，AF=DF，且易得四边形O1O2FE为矩形，进而得到EF=O1O2=20cm，再利用等量代换即可得到CD．E⊥CD于点E，O2F⊥CD于点F，【详解】解：作O∴O1E∥O2F，AE=CE，AF=DF，∵O1O2∥CD，易得四边形O1O2FE为矩形，∵O1O2=20cm，∴EF=O1O2=20cm，∴CD=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2EF=40cm，故答案为：40．8.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0，如果a、b、c满足a2 +b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：(1)求证：关于x的“勾系方程”2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程2ax2+ 10x+2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数，②直接写出BD的长：(用含a、b的式子表示).【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=45°；②2a+b【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式即可判断；(2)①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解．②过点D作AB的垂线，垂足为G，则四边形DGEF是矩形，根据AB∥CD，得出∠GBD=∠BDC=45°，进而勾股定理，即可求解．【详解】(1)证明：∵关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0是“勾系方程”，∴a2+b2=c2且c≠0，a≠0，Δ=2c2-4⋅2a⋅2b=4c2-8ab=4a2+b2-8ab=4a2+b2-2ab=4a-b2，∵a-b2≥0，∴Δ≥0，∴方程必有实数根；(2)解：①∠BDC=45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE=BE=a，CF=DF=b，∵BE2+OE2=OB2，∴a2+OE2=52，∵2ax2+10x+2b=0是“勾系方程”，∴a2+b2=52，∴OE=b=CF；∵OB=OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF HL；∴∠FOC=∠OBE，∵∠OBE+∠EOB=90°，∴∠FOC+∠EOB=90°，∴∠COB=90°，∠BOC=45°．∴∠BDC=12②如图所示，过点D作AB的垂线，垂足为G，则四边形DGEF是矩形，∴DG=EF=a+b，∵AB∥CD，则∠GBD=∠BDC=45°∴DB=2DG=2a+b故答案为：2a+b．【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义．【题型3遇直径作直径所对的圆周角】9.(2024·安徽合肥·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．(1)若∠ODB=54°，求∠BAC的度数；(2)AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC=CD．【答案】(1)36°(2)见详解【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD=54°，求得∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°，根据垂径定理得到BC=BD，于是得到结论；(2)连接OC，BC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠ACO=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，求得AB=BF，根据等腰三角形的性质得到AC=CF，等量代换得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】(1)解：∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=54°，∴∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，∠BOD=36°，∴∠BAC=12故∠BAC的度数为36°；(2)证明：连接OC，BC，∵CE是⊙O的切线，∵CE⊥DF，∴OC∥DF，∴∠ACO=∠F，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠A=∠F，∴AB=BF，∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AF，∴AC=CF，∵∠A=∠CDB，∴∠CDB=∠F，∴CD=CF，∴AC=CD．10.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图，AB为⊙O的直径，点C为BE的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．(1)求证：OC∥AD；(2)若DE=1,CD=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)证明OC⊥EB，AD⊥BE即可得出结论；(2)设BE交OC于点T，证明四边形DETC是矩形，设OB=OC=r，利用勾股定理即可求解．【详解】(1)证明：连接BE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，即AD⊥BE，∵点C为BE的中点，∴EC=CB，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；(2)解：设BE交OC于点T，如图，∵CD⊥AD，∴∠D=∠DET=∠CTE=90°，∴四边形DETC是矩形，∴CD=ET=2,DE=CT=1，∴BT =TE =2，设OB =OC =r ，则r 2=r -1 2+22，∴r =52，∴AB =2r =5，即⊙O 的直径为5；【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质,勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．11.(2024·浙江温州·三模)如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，AC =3，点E 是AC 边上的动点，以CE 为直径作⊙F ，连接BE 交⊙F 于点D ，则AD 的最小值为．【答案】43-72【分析】连接DC ，由以CE 为直径作⊙F ，得∠CDE =90°，∠CDB =90°，即可得动点D 在以BC 为直径的圆上运动，当A ，D ，O 在一直线上时，根据AD ≥AO -OD ，即可求解．【详解】解：△ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，AC =3，∴BC =AB 2-AC 2=42-32=7连接DC ，由以CE 为直径作⊙F ，BC =4，AC =5，∴∠CDE =90°，∠CDB =90°，∴动点D 在以BC 为直径的圆上运动，O 为圆心，当A ，D ，O 在一直线上时，AO =32+72 2=432∴AD ≥AO -OD =432-72=43-72即AD 的最小值为43-72故答案为：43-72．12.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图，AB 是半圆O 的直径，AB =10，点D 在半圆O 上，AD =6，C是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是．【答案】73-3/-3+73【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后利用勾股定理，求出BD的长，再利用勾股定理，求出BE的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，再由BH=BE-EH，即可算出BH的长．【详解】解：如图，连接BD，取AD的中点E，连接BE，∵DH⊥AC，∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，∵AB是直径，∴∠BDA=90°，在Rt△BDA中，∵AB=10，AD=6，∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=100-36=8，∵E为AD的中点，AD=3，∴DE=12在Rt△BDE中，∵BD=8，DE=3，∴由勾股定理得：BE=DE2+BD2=9+64=73，又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点，AD=3，∴EH=12∴BH=BE-EH=73-3．故答案为：73-3．【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．【题型4遇切线作过切点的半径】13.(2024·贵州·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为边BC上一点，连接AP，分别以点A，P为圆心，大于是1AP的长为半径画弧，两弧交于点E，F，EF交AB于点D，再以点D为圆心，DA长2为半径作圆，交AB于点M，BC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°，AC=3，则BM的长为()A.233B.33C.34D.3【答案】A【分析】本题考查的是切线的性质、含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接DP ，由线段垂直平分线的性质可得AD =DP ，再由直角三角形性质求得AB =23，根据切线的性质得到∠DPB =90°，再证明△BPD ∽△BCE ，再列出方程求解即可．【详解】解：连接DP ，由题意可得，EF 是AP 的垂直平分线，∴AD =DP ，设AD =DP =r ，∵∠B =30°，AC =3，∴AB =23，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠DPB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠DPB =∠ACB =90°，∴DP ∥AC ，∴△BPD ∽△BCE ，∴BD AB =DP AC ，∴23-r 23=r 3，∴r =233，∴AD =233，∴AM =433，∴BM =AB -AM =23-433=233，故选：A 14.(2024·辽宁大连·一模)如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径与BC 交于点F ，∠CAD =45°，过B 点的切线交AD 的延长线于点E ．(1)若∠C=64°，求∠E的度数；(2)⊙O的半径是3，OF=1，求BE的长．【答案】(1)38°(2)BE的长为4【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识．(1)连接OB，由切线的性质得到∠OBE=90°，由圆周角定理得到∠AOB=2∠C，又由∠C=64°得到∠AOB =128°，则∠BOE=180°-128°=52°，利用直角三角形性质即可得到答案；(2)连接OC，OB，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD=2×45°=90°，再证明EF=BE，在Rt△OBE中，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2，设BE=EF=x，得到x+12=32+x2，解方程即可得到答案．【详解】(1)解：连接OB，∵BE是⊙O的切线∴OB⊥BE∴∠OBE=90°∵AB=AB∴∠AOB=2∠C∵∠C=64°∴∠AOB=128°∴∠BOE=180°-128°=52°∴∠E=90°-52°=38°(2)解：连接OC，OB，∵CD=CD∴∠COD=2∠CAD=2×45°=90°∴∠1+∠3=90°∵OC=OB∴∠1=∠2∵∠OBE=90°∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∵∠3=∠5∴∠4=∠5∴EF=BE在Rt△OBE中，∠OBE=90°，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2设BE=EF=x，由OB=3，OF=1得，x+12=32+x2∴BE 的长为4．15.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 与⊙O 相交于C ，D 两点(AO >AC )，E 为BD 的中点，连接OE 并延长，交AB 的延长线于点F ．(1)如图①，若E 为OF 的中点，求∠A 的大小；(2)如图②，连接BD 与OF 相交于点G ，求证：∠D =∠F ．【答案】(1)30°(2)见解答【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．(1)连接OB ，如图①，先根据切线的性质得到∠OBF =90°，再利用余弦的定义求出∠BOF =60°，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOE =∠BOE =60°，所以∠AOB =60°，然后利用互余得到∠A 的度数；(2)连接OB ，如图②，根据垂径定理得到OE ⊥BD ，再利用等角的余角相等得到∠OBD =∠F ，加上∠OBD =∠D ，从而得到∠D =∠F ．【详解】(1)解：连接OB ，如图①，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AF ，∴∠OBF =90°，∵E 为OF 的中点，∴OE =EF ，∴OF =2OB ，在Rt △OBF 中，∵cos ∠BOF =OB OF =12，∴∠BOF =60°，∵点E 为BD 的中点，∴∠DOE =∠BOE =60°，∴∠AOB =60°，∴∠A =90°-60°=30°；(2)证明：连接OB ，如图②，∵点E 为BD 的中点，∴OE ⊥BD ，∴∠OGB =90°，∵∠OBD +∠BOF =90°，∠BOF +∠F =90°，∴∠OBD =∠F ，∵OB =OD ，∴∠OBD =∠D ，∴∠D =∠F ．16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半径长．(3)求线段EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)3(3)25【分析】(1)根据切线的性质及SAS证得△COD≌△COB，可证∠OCD=∠OCB，再利用角的等量代换即可求证结论；(2)设OD=x，则OB=x，OE=8-x，在Rt△BCE和Rt△OED中，分别利用勾股定理即可求解；(3)在Rt△OED和Rt△OCD中，利用勾股定理得OE=5，OC=35，再利用相似三角形的判定及性质即可求解；【详解】(1)证明：连接OD，∵CB，CD是⊙O的切线，∴CB=CD，∠ODC=∠OBC=90°，在△COD和△COB中，OD=OB∠CDO=∠CBO CD=CB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠OCD=∠OCB，∵EF⊥OG，∴∠OEF+∠EOF=90°，∵∠BOC+∠BCO=90°，∠EOF=∠BOC，∴∠FEB=∠OCB，∴∠FEB=∠ECF．(2)解：由(1)得：CD=CB=6，∵DE=4，∴CE=CD+DE=10，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：∴BE=EC2-BC2=102-62=8，在Rt△OED中，设OD=x，则OB=x，OE=8-x，由勾股定理得：DE2+OD2=OE2，即：42+x2=8-x2，解得：x=3，∴OD=3，即⊙O的半径为3．(3)解：在Rt△OED和Rt△OCD中，根据勾股定理得：OE=OD2+DE2=32+42=5，OC=OD2+CD2=32+62=35，∵∠FEO=∠DCO，∠EFO=∠CDO=90°，∴△EOF∽△COD，∴EF CD =OEOC，即：EF6=535，∴EF=25．【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质：作出合适的辅助线是解本题的关键．【题型5遇90°的圆周角连直径】17.(2024·安徽合肥·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．(1)求证：AB=AE．(2)若AD=DE=2，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】(1)如图，连接AC，根据BC=CD推出∠BAC=∠EAC，再证明BC=CE，∠B=∠E，进而证明△ABC≌△AEC AAS，即可证明AB=AE．(2)先证明BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°．由(1)可得AB=4．在Rt△ABD中求出BD=25；在Rt△BCD中，CD=BC=22BD=10．【详解】(1)证明：如图，连接AC．∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠BAC=∠EAC．∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，BC=CE．∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDE，∴∠B=∠E．在△ABC 与△AEC 中，∠BAC =∠EAC ，∠B =∠E ，BC =CE ，∴△ABC ≌△AEC AAS ，∴AB =AE ．(2)解：如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD =90°．由(1)可得AB =AE ．∵AD =DE =2，∴AB =4．在Rt △ABD 中，BD =AB 2+AD 2=25；在Rt △BCD 中，CD =BC =22BD =10．【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ,AB =2,BC =23，则AB ⏜的长为()A.13πB.23πC.33πD.233π【答案】B【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接AC ，BD ，根据内接矩形的性质可得AB ，CD 是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得OA =OB =2，可得△AOB 是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键．【详解】解：如图所示，连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =∠ABC =90°，∴AC ，BD 是直径，点O 是线段AC 的中点，∴在Rt △ABC 中，AC =AB 2+BC 2=22+23 2=4，∴OB =12AC =2=OA ，∴OA =OB =AB =2，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =60°，∴l AB ⏜=n πr 180=60π×2180=23π故选：B．19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ，若A B :AB=2:1，则四边形A B C D 的外接圆半径为．【答案】22【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形ABCD的边长为2和位似比求出A B =4，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．【详解】解：如图，连接A C ，∵正方形ABCD与四边形A B C D 是位似图形，∴四边形A B C D 是正方形，∴∠A B C =90°∴A C 是四边形A B C D 的外接圆直径，∵正方形ABCD的边长为2，A B :AB=2:1∴A B =4∴AC =42+42=42∴四边形A B C D 的外接圆半径为22，故答案为：22．20.(2024·江西景德镇·三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点A0,6，与x轴交于点B8,0，则OP的长为．【答案】5【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接AB，通过题意判断出AB为直径，圆心P在AB上，根据勾股定理计算出AB的长，从而得出结果．【详解】解：如图，连接AB，∵∠AOB为直角，且点A，B，O都在圆上，∴AB为直径，圆心P在AB上，∵A 0,6 ，B 8,0 ，∴OA =6，OB =8，∴AB =OA 2+OB 2=10，∴OP =12AB =5，故答案为：5．【题型6转移线段】21.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图，⊙O 的直径AB =8，弦CD =3，且弦CD 在圆上滑动(CD 的长度不变，点C 、D 与点A 、B 不重合)，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若M 是CD 的中点，则PM 的最大值是．【答案】4【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长CP 交⊙O 于点K ，连接DK ，根据垂径定理可得CP =PK ，再根据三角形中位线定理可得PM =12KD ，进而可得当KD 最大时，PM 的值最大，即即当KD 为直径时，KD 的值最大，即可求解．【详解】解：延长CP 交⊙O 于点K ，连接DK ，∵AB ⊥CK ，∴CP =PK ，∵M 是CD 的中点，∴PM 是△CKD 的中位线，∴PM =12KD ，∴当KD 最大时，PM 的值最大，即当KD 为直径时，KD 的值最大，∵⊙O 的直径AB =8，∴PM =12KD =12AB =4，故答案为：4．22.(2024九年级上·浙江台州·期中)如图，在△ABC 中，AB =5，AC =4，BC =3，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是．【答案】125/2.4/225【分析】设圆心为点F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则有FD ⊥AB ，由勾股定理的逆定理可得△∠ACB =90°，再由直角三角形的性质可得FC +FD =QP ，又由FC +FD ≥CD ，PQ 为圆F 的直径，可得点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，即CD 为圆F 的直径，再利用△ABC 的面积即可求解．【详解】解：如图，设圆心为点F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，∵圆F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，∵在△ABC 中，32+42=52，即BC 2+AC 2=AB 2，∴△∠ACB =90°，∴CF =12QP ，又∵CF =FD ，∴FC +FD =QP ，∵FC +FD ≥CD ，PQ 为圆F 的直径，∴当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，即CD 为圆F 的直径，∵S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ，∴12×4×3=12×5×CD ，∴CD =125，故答案为：125．【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值是解题的关键．23.(2024·江苏徐州·三模)【问题情境】如图1，P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点A 、B ．小明认为线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O 上任意取一个不同于点A 的点C ，连接OC 、CP ，则有OP <OC +PC ，即OP -OC <PC ，由OA =OC 得OP -OA <PC ，即P A <PC ，从而得出线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段．小红认为在图1中，线段PB 是点P 到⊙O 上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．【直接运用】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是；【构造运用】如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN，连接A C，请求出A C长度的最小值．【深度运用】如图5，已知点C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB=4，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大值是．【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：5-1；构造运用：7-1；深度运用：23+2【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；直接运用∶取半圆的圆心O，连接OA交半圆于点M，则当P与点M重合时，P A最小，由勾股定理得OA= 22+12=5，从而即得解；构造运用：由折叠知A M=AM，进而得点A ，A，D都在以AD为直径的圆上．如图3，以点M为圆心，MA 为半径画⊙M，连接MC．当A C长度取最小值时，点A 在MC上，过点M作MH⊥DC于点F，根据菱形的性质及勾股定理即可得解；深度运用：如图，在AB的上方作等边△ABH，连接DH，取BH的中点G连接DG，证明△ABC≌△HBD，得∠BDH=∠ACB=90°，点D在以BH为直径的半圆上，进而利用勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．【详解】解：问题情境∶小红的说法正确，在圆О上任意取一个不同于点B的点C，连接OC、OP，∵在△POC 中，OP +OC >PC ．OB =OC ，∴OP +OB >PC ，即PB >PC ．∴线段PB 是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．∴小红的说法正确；直接运用∶取半圆的圆心O ，连接OA 交半圆于点M ，则当P 与点M 重合时，P A 最小，∵∠ACB =90°，AC =BC =2，∴OC =1，OC 2+AC 2=OA 2，∴OA =22+12=5，∴P A 的最小值为OA -AM =5-1故答案为：5-1．构造运用：由折叠知A M =AM ，∵M 是AD 的中点，∴MA =MA =MD ，∴点A ，A ，D 都在以AD 为直径的圆上．如图3，以点M 为圆心，MA 为半径画⊙M ，连接MC ．当A C 长度取最小值时，点A 在MC 上，过点M 作MH ⊥DC 于点F ，∵在边长为6的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，∴2MD =AD =CD =2，∠HDM =60°，∴∠HMD =30°，∴HD =12MD =12．∴HM =DM ×cos30°=32,HC =52，∴MC =HM 2+HC 2=7，∴A C =MC -MA =7-1；深度运用：如图，在AB 的上方作等边△ABH ，连接DH ，取BH 的中点G 连接DG ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°，∵△ABH 和△BCD 都是等边三角形，∴AB =BH =AH =4，BD =BC =DC ，∠ABH =∠CBD =60°即∠ABC +∠CBH =∠CBH +∠HBD ，∴∠ABC =∠HBD ，∴△ABC ≌△HBD ，∴∠BDH =∠ACB =90°，∴点D 在以BH 为直径的半圆上，∵G 是BH 的中点，AB =AH =BH =4，∴AG ⊥BH ，BG =DG =HG =2，∴AG =AB 2-BG 2=42-22=23，∴根据三角形的两边之和大于第三边可得AD 的最大值为AG +DG =23+2，故答案为：23+2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三24.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．【答案】33-3/-3+33【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形30度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点G作GM⊥AC于点F，连接AG．得到点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值=FM-GM，即可得到答案．【详解】解：过点G作GM⊥AC于点F，连接AG，∵GO⊥AB，∴OA=OB，∵G(0,3)，∴OG=3，在Rt△AGO中，AG=6,OG=3，∴OA=AG2-GO2=33，∴∠GAO=30°,AB=2AO=63，∴∠AGO=60°，∵GC=GA=6，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠AGO=∠GAC=30°，∴AC=2OA=63,MG=1CG=3，2∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，∴MF=AC=33，2点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值=FM-GM=33-3，故答案为：33-3．【题型7构造相似三角形】25.(2024·贵州六盘水·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，DB平分∠ADC，CA=CD，DB与CA交于点E，延长AB,DC交于点F．(1)直接写出线段AB 与线段BC 的数量关系；(2)求证：△AFC ≌△DEC ；(3)设△ABD 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，求S 1S 2的值．【答案】(1)AB =BC(2)见解析(3)2【分析】(1)根据等角，等弧，等弦，即可得出结论；(2)根据同弧所对的圆周角相等，利用ASA 证明△AFC ≌△DEC 即可；(3)过点C 作CH ⊥DE ，圆周角定理得到∠ACD =∠ABD =90°，勾股定理得到AD =CA 2+CD 2=2CD ，证明△ABD ∽△CHD ，得到AB CH =AD CD=2，根据同底三角形的面积比等于高线比，即可得出结果．【详解】(1)解：连接OB ,OC ，则：∠AOB =2∠ADB ,∠BOC =2∠CDB ，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠AOB =∠BOC ，∴AB =BC ，∴AB =BC ；(2)∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∴∠ACF =90°=∠ACD ，又∵∠BAC =∠CDB ，CA =CD ，∴△AFC ≌△DEC ；(3)过点C 作CH ⊥DE ，则∠CHD =90°∵AD 为直径，∴∠ACD =∠ABD =90°，∵CA =CD ，∴AD =CA 2+CD 2=2CD ，∵∠ABD =∠CHD =90°,∠ADB =∠CDB ，∴△ABD ∽△CHD ，∴AB CH =AD CD =2，∴S 1S 2=12AB ⋅BD 12CH ⋅BD =AB CH =2．【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．线上．且AD =2．过点A 另一条直线交⊙O 于B 、C ．(1)如图1，当AC =5时，研究发现：连接CE 、BD 可以得到△ABD ∽△AEC ，继而可以求AB 长．请写出完整的解答过程．(2)如图2，当B 、C 重合于一点时，AC =．(3)如图3，当OB 平分∠AOC 时，AC =．【答案】(1)AB =165；过程见解析(2)4(3)8105【分析】(1)连接BD 、CE ，证明△ABD ∽△AEC ，得出AD AC =AB AE，求出AB =165．(2)连接OC ，根据当B 、C 重合于一点时，AC 与⊙O 相切于点C ，得出∠ACO =90°，求出AC =AO 2-OC 2=52-32=4．(3)连接BD ，根据角平分线定义得出∠AOB =∠COB =12∠AOC ，证明DB =BC ，△ABD ∽△AOB ，得出AB AO =AD AB =BD OB ，即AB 5=2AB=BD 3，求出AB =10，BD =3105，即可求出结果．【详解】(1)解：连接BD 、CE ，如图所示：∵DE =6，AD =2，∴AE =AD +DE =2+6=8，∵∠ABD +∠CBD =180°，∠CBD +∠E =180°，∴∠ABD =∠E ，∵∠BAD =∠EAC ，∴△ABD ∽△AEC ，∴AD AC =AB AE ，∴25=AB 8，解得：AB =165．(2)解：连接OC ，如图所示：∵当B 、C 重合于一点时，AC 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACO =90°，∵DE =6，∴OC =OD =OE =3，∴AO =AD +DO =2+3=5，∴AC =AO 2-OC 2=52-32=4．∵OB 平分∠AOC ，∴∠AOB =∠COB =12∠AOC ，∴DB =BC ，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∵∠AOC =∠OCE +∠OEC ，∴∠OCE =∠OEC =12∠AOC ，∴∠DOB =∠OEC ，根据解析(1)可知：∠ABD =∠AEC ，∴∠ABD =∠AOB ，∵∠DAB =∠OAB ，∴△ABD ∽△AOB ，∴AB AO =AD AB =BD OB ，即AB 5=2AB=BD 3，解得：AB =10，BD =3105，∴AC =AB +BC =AB +BD =10+3105=8105．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图，以AB 为直径的⊙O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，连接AC ，AD ，点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交⊙O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：∠CAG =∠AGC ；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若EF CE =25，求DP CP的值；(3)当点E 在射线AB 上，AB =2，四边形ACOF 中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)57(3)2-2或3-52【分析】(1)设AB 与CD 相交于点M ，由⊙O 与AH 相切于点A ，得到∠BAG =90°，由CD ⊥AB ，得到∠AMC =90°，进而得到AG ∥CD ，由平行线的性质推导得，∠CAG =∠ACD ，∠AGC =∠FCD ，最后由点A关于CD 的对称点为E 得到∠FCD =∠ACD 即可证明．(2)过F 点作FK ⊥AB 于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，证明∠FAD =∠ADC 得到DP =AP ，再证明△CP A ≌△FPD 得到PF =PC ；最后根据△KEF ∽△NEC 及△APN ∽△AFK 得到KE EN =EF CE =25和P A AF =AN AK=512，最后根据平行线分线段成比例求解．(3)分两种情形：当OC ∥AF 时，当AC ∥OF 时，分别求解即可．【详解】(1)证明：如图，设AB 与CD 相交于点M ，∵⊙O 与AH 相切于点A ，∴∠BAG =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AMC =90°，∴AG ∥CD ，∴∠CAG =∠ACD ，∠AGC =∠FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴∠FCD =∠ACD ，∴∠CAG =∠AGC ．(2)解：过F 点作FK ⊥AB 于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：∠FCD =∠FAD ，∵AB 为⊙O 的直径，且CD ⊥AB ，由垂径定理得：AC =AD ，∴∠ACD =∠ADC ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴∠FCD =∠ACD ，∴∠FAD =∠FCD =∠ACD =∠ADC ，即∠FAD =∠ADC ，∴DP =AP ，由同弧所对的圆周角相等得：∠ACP =∠DFP ，且∠CP A =∠FPD ，∴△CP A ≌△FPD ，∴PC =PF ，∵FK ⊥AB ，AB 与CD 交于点N ，∴∠FKE =∠CNE =90°．∵∠KEF =∠NEC ，∠FKE =∠CNE =90°，∴△KEF ∽△NEC ，∴KE EN =EF CE=25，设KE =2x ,EN =5x ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴AN =EN =5x ，AE =AN +NE =10x ，AK =AE +KE =12x ，又FK ∥PN ，∴△APN ∽△AFK ，∴P A AF =AN AK=5x 12x =512．∵∠FCD =∠CDA ，∴CF ∥AD ，∴DP =AP =AP =5；。

专题01 圆中垂径定理的应用4种压轴题型全攻略(解析版)

专题01圆中垂径定理的应用4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用圆周（心）角性质求角的计算】 (1)【考点二利用圆的性质求锐角三角比的计算】 (2)【考点三利用垂径定理求线段的长度的计算】 (2)【考点四利用圆的性质求图形的面积的计算】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一利用圆周（心）角性质的计算】【例题1】如图，O 是ABC 的外接圆，36ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数为（）A ．36︒B ．45︒C ．54︒D ．72︒【答案】C 【分析】连接OA ，根据圆周角定理可得72AOB ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．【详解】解：连接OA ，∵36ACB ∠=︒，A ．50︒【答案】C 【分析】连接OC ，再根据【详解】解：连接OC ∵点B 是 AC 的中点，∴ AB BC=．∵=50AOB ∠︒，∴==50BOC AOB ∠∠︒A ．40︒B ．【答案】D 【分析】连接OE ，根据圆周角定理可得1(1802DOE BOE ∠=∠=︒-∵20ACD ∠=︒，∴240AOD ACD ∠=∠=︒，∵点E 是弧BD 的中点，∴1(1802DOE BOE ∠=∠=A ．40︒B 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得【详解】∵70ABC ∠=︒∴2140AOC ABC ∠=∠=︒，A ．12【答案】C 【分析】根据切线长定理得，理可列方程，从而用含A．6 17【答案】A【分析】连接BE，过根据勾股定理求出OC AB ⊥ ，OC 过O 90OCA ∴∠=︒，AC 由勾股定理得：2OA 即222(2)4R R =-+，解得：5R =，A ．6cmB ．10cm 【答案】C 【分析】设令3OH x =，OB =【详解】解：OC AB ⊥ ，11【答案】48【分析】连接OC ，根据切线的性质得到∵PC 是O 的切线，∴OC PC ⊥，在Rt OCP 中，7tan 24P =，A ．1B ．【答案】A 【分析】连接OC ，由垂径定理求出【详解】解：如图，连接直径AB CD⊥，∴116322EC CD==⨯=，10AB=，∴5OC OA==，A．3B．【答案】A【分析】连接OC，由外接圆知相关知识得AM BC⊥，在【点睛】本题考查垂径定理，三角形外接圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形；运用垂径定理相关知识得出垂直从而运用解直角三角形知识是解题的关键．的弦【变式2】如图，OA．6B．【答案】B【分析】首先根据题意得到径定理求解即可．【详解】解：如图，连接∵半径长为5，∴5OC OB ==，∵2CD =，∴3OD OC CD =-=，∵OC AB ⊥，22【答案】42【分析】根据圆周角定理得且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以【答案】20 3π【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形【详解】解：Rt30B∴∠=︒，BC∴阴影部分的面积20【答案】4π/14π【分析】连接AF ，由平行四边形的性质推出性质求出AH BH ，的长，得到【答案】83【分析】由折叠可得四边形进而得出半径OC ，由菱形的面积公式可求答案．【详解】解：如图，连接OC 由折叠可知，OA CA =，∴OA AC BC BO ===，∴四边形ACBO 是菱形；∴AB OC ⊥，CD OD ==【过关检测】1．如图，线段AB 为O 的直径，点C ，D 都在O 上，DE 与O 相切于点D ，若BAC α∠=，BDE β∠=，则CBD ∠可表示为（）A ．2αβ+B ．90αβ︒--C ．1802αβ︒--D ．180αβ︒--【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到90C ∠=︒，根据三角形的内角和定理得到90ABC α∠=︒-，根据切线的性质得到90ODE ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到90OBD ODB β∠=∠=︒-，于是得到结论．【详解】解：∵线段AB 为O 的直径，∴90C ∠=︒，∵BAC α∠=，∴90ABC α∠=︒-，∵DE 与O 相切于点D ，∴90ODE ∠=︒，∵BDE β∠=，∴90ODB β∠=︒-，∵OB OD =，∴90OBD ODB β∠=∠=︒-，∴9090180CBD ABC OBD αβαβ∠=∠+∠=︒-+︒-=︒--．故选：D ．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．2．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，OD ，若AE OD ∥，且AE OD =，则BCD ∠的度数为（）A ．100︒【答案】D 【分析】连接OA 、DE 到OAE ∆为等边三角形，求出120BCD ︒∠=；∵AE OD ∥，且AE OD =∴四边形OAED 是平行四边形，又∵OA OD =，∴OAED 是菱形，∴OA AE OE ==，OAD ∠∴180BAD BCD ︒∠+∠=，∴120BCD ︒∠=故选：D【点睛】本题考查平行四边形、菱形、等边三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，准确作出辅助线是解决本题的关键．3．如图，已知BC 是O 的直径，点A ，D 在O 上，若32ACB ∠=︒，则ADC ∠的大小为（）A ．68︒B ．62︒C ．58︒D ．52︒【答案】C 【分析】根据圆周角的性质可得90BAC ∠=︒，求出B ∠，再根据同弧所对的圆周角相等得出结果．【详解】解：BC 是直径，90BAC ∴∠=︒，9058B ACB ∴∠=︒-∠=︒，58D B ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在ABC 中，AB AC =，以AC 为直径的O 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，若45BED ∠=︒，2AB =，则阴影部分的面积为（）∵AC 为O 的直径，∴90AEC ∠=︒，∵AB AC =，∴BE CE =，即点E 是BC 的中点，∵点O 是AC 的中点，∴OE 是ABC 的中位线，∴OE AB ∥，【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的证明OAD S S =阴影扇形是解本题的关键．5．如图，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，连接AC AD CD 、、，若20BAC =︒∠，则ADC ∠的度数是（）A ．120︒B ．110︒C ．100︒D ．70︒【答案】B 【分析】根据直径所对的的圆周角是直角得到90ACB ∠=︒，进而求得70ABC ∠=︒，再圆内接四边形的两个对角互补求解即可．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵20BAC =︒∠，∴9070ABC ABC ∠=︒-∠=︒，∴180110ADC ABC ∠=︒-∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理、直角三角形的两锐角互余、圆内接四边形，熟知直径所对的的圆周角是直角，以及圆内接四边形的两个对角互补是解答的关键．6．如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若60A ∠=︒，80APD ∠=︒，则B ∠等于（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理可求出D ∠的度数，根据B ∠与D ∠所对弧相同，即可求解．【详解】解：在ADP △中，60A ∠=︒，80APD ∠=︒，∴180180608040D A APD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵B ∠与D ∠所对弧相同，∴40B D ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，同弧或等弧所对圆周角相等的知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，EF 与O 相切于点A ，若120C ∠=︒，则DAE ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．50︒D ．60︒【答案】B 【分析】根据题意可知180BAD C ∠+∠=︒，90BAE ∠=︒，据此即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，∴180BAD C ∠+∠=︒．∴180********BAD C ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∵EF 与O 相切于点A ，∴90BAE ∠=︒．A ．41︒【答案】A 【分析】由 BDBD =二、填空题【答案】26【分析】作OH CD ⊥3OH AB ==，由勾股定理求出OH CD ⊥，∴CH DH =，直线AB 与O 相切于点【答案】8【分析】根据圆的性质可得【详解】解：∵∴2CD CE =，∵5OC AE ==，∴5OA =，【答案】3【分析】根据圆周角定理得到三角形的面积公式得到BD【答案】6【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到【详解】解：∵O 是 ∴90ABC ∠=︒，∵210cm AB OC ==，BC ∴2210AC AB BC =-=【答案】2333π-【分析】过D 点作DF AB ⊥于点面积-扇形ADE 的面积BCE - 的面积，计算即可求解．2AD = ，4AB =，60A ∠=︒，sin 603DF AD ∴=⋅︒=，EB AB =-∴阴影部分的面积：6043360π⨯⨯-则：90ACB ∠=︒，COA ∠=∵23AB =，∴3OA OB OC ===，【答案】4π/14π【分析】根据圆周角定理的推论可知图形可知1==4OBC O S S S 阴影扇形【答案】27【分析】连接OC ，由切线的性质可知周角定理即可解答．∴OC CP ⊥，∴OCP △是直角三角形，∵36CPA ∠=︒，∴54COP ∠=︒，【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，【答案】223π-/232π-+【分析】连接AB ，从图中明确【详解】解：连接AB ，∵90AOB ∠=︒，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得：OBA ∠()0,23三、解答题19．如图，P 为O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 在O 上，连接OA 、OC 、AC ．(1)求证：2AOC PAC ∠=∠；(2)连接OB ，若AC OB ∥，O 的半径为5，6AC =，AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）过O 作OH AC ⊥于H ，得到90OHA ∠=︒，根据切线的性质得到90OAP ∠=︒，根据余角的性质得到AOH PAC =∠∠，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）连接OB ，延长AC 交PB 于E ，根据切线的性质得到OB PB ⊥，PA PB =，根据矩形的性质得到OH BE =，5HE OB ==，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：过O 作OH AC ⊥于H ，如图所示：∴90OHA ∠=︒，∴90AOH OAC ︒∠+∠=，∵PA 是O 的切线，∴90OAP ∠=︒，∴90OAC PAC ︒∠+∠=，∴AOH PAC =∠∠，∵OA OC =，OH AC ⊥，∴2AOC AOH ∠=∠，∴2AOC PAC ∠=∠；∵PA ，PB 是O 的切线，∴OB PB ⊥，PA PB =，∵AC OB ∥，∴AC PB ⊥，∴四边形OBEH 是矩形，(1)求证：AD BE =；(2)若4DE =，210AB =，①求AF 的长；②求AG 的长．【答案】(1)见解析(2)①2AF =；②102AG =AB 是直径，。

专题07 圆压轴题七种模型全攻略(原卷版)

专题07圆压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一圆的基本概念辨析】 (1)【考点二求圆中弦的条数】 (1)【考点三求过圆内一点的最长弦】 (2)【考点四圆心角概念辨析】 (3)【考点五求圆弧的度数】 (3)【考点六判断点与圆的位置关系】 (4)【考点七利用点与圆的位置关系求半径】 (5)【过关检测】 (6)【典型例题】【考点一圆的基本概念辨析】例题：（2023春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称【变式训练】1．（2023秋·河北张家口·七年级河北省怀来县沙城中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（）①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．A．4B．3C．2D．12．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．直径是圆中最长的弦C．弧是半圆D．三点确定一个圆【考点二求圆中弦的条数】例题：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A ，O ，D ，点C ，D ，E 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条【变式训练】【考点三求过圆内一点的最长弦】例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若O 的直径长为4，点A ，B 在O 上，则AB 的长不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练】1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知O 的半径是3cm ，则O 中最长的弦长是（）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．3cm2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知AB 是半径为6的圆的一条弦，则AB 的长不可能是（）A ．8B ．10C ．12D ．14【考点四圆心角概念辨析】例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（）A ．B ．C ．D ．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（）A ．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B ．圆心角α的取值范围是0180α︒<<︒C ．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D ．圆心角就是在圆心的角2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（）A ．B ．C ．D ．【考点五求圆弧的度数】例题：（2023春·九年级课时练习）如图ABC 中，=90,=20C B ∠∠︒︒，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则 AD 的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）如图，AB ，CD 是O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知30P ∠=︒，80AOC ∠=︒，则 BD的度数是（）A ．30°B ．25°C ．20°D ．10°2．（2023春·九年级课时练习）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，有一圆O 通过A 、B 、C 三点，且AD 与圆O 相切于A 点．若=58B ∠︒，则 BC 的度数为何？（）A ．116B ．120C ．122D ．128【考点六判断点与圆的位置关系】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知O 的半径为5cm ，若3cm OP =，那么点P 与O 的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．都有可能【变式训练】A．点B，C均在圆C．点B在圆P内，点【考点七利用点与圆的位置关系求半径】【变式训练】1．（2023·四川成都小距离与最大距离是关于2．（2023秋·河南周口心，r为半径作【过关检测】一、选择题1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段AB 的中点为M ，动点P 满足2AB PM =，则点P 的轨迹是（）A ．以AB 为直径的圆B ．AB 的延长线C ．AB 的垂直平分线D ．平行AB 的直线2．（2023·全国·七年级假期作业）下列结论正确的是（）A ．半径相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．半径是弦D ．弧是半圆3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点P 在圆外，它到圆的最近距离是1cm ，到圆的最远距离是7cm ，则圆的半径为（）A ．3cmB ．4cmC ．3cm 或4cmD ．6cm4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在ABC 中，9054ACB AB BC ∠=︒==，，．以点A 为圆心，r 为半径作圆，当点C 在A 内且点B 在A 外时，r 的值可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 外C ．点C 在圆A 上，点D 在圆A 内D ．点C 在圆A 内，点D 在圆A 外二、填空题三、解答题11．（2023·全国·九年级专题练习）已知点P 到O 的最长距离为6cm ，最短距离为2m c ．试求O 的半径长．12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE AB ∥，弧CE 的度数为40︒，求AOC ∠的度数．13．（2023·全国·九年级专题练习）⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离OD ＝3cm ，在直线l 上有P ，Q ，R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＝5cm ，RD ＝3cm ，那么P ，Q ，R 三点与⊙O 的位置关系各是怎样的？14．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，AD =8cm ，(1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A （画图），则B 、C 、D 与圆的位置关系是什么？(2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是______．15．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知 ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．。

圆中常用辅助线的作法【八大题型】(学生版)

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圆压轴题八大模型题（二）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题

的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化

与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用

技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型 2 切割线互垂

在 Rt△ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D，与 BC相交于点 F.

C C C D F D F D F

A E O B A E O B A E O B

图(1) 图(2) 图(3) (1)AD=20,AE=10,求 r; (3)AC=32， AE=10，求 r. (5)DB2=BC BE; (2)AB=40,BC=24,求 r. (4) ∠ ABD=∠CBD. (6)AD2=AE AB.

【分析】 (1)在 Rt△ADO 中， (10+r) 2=r2+202,得 r=15.

(2)由 DO∥ BC,得 DO AO ,∴ r 40

r 得： r=15.

BC AB 24 40

(3)在 Rt△ADO 中， AD= (10 r ) 2 r 2 ， DO=r， AO=10+r，

由 DO∥ BC， AD AO 得， r=15.

AC AB (4)连结 DO,DO=BO,∠ ODB=∠ OBD;由 DO∥BC得∠ CBD=∠ ODB,∴∠ ABD=∠ CBD. (5)由 Rt△BCD∽ Rt△BDE 得 BD2=BC BE.

(6)由△ ADE∽△ ABD 得 AD2=AE AB.

C C C

D F D D F F G A B A E O B A E O B E G O

图 (4) 图(5) 图 (6) (7)△ DCF≌△ DGE; (10)DC=12,CF=6, (11)DC=12,CF=6,求 CO (8)DF2=CF BE; 求 r 和 BF. 上任意线段的长 .

(9)AG:AC=1:2,BD=10.求 r. 【分析】 (7)由∠ EBD=∠FBD 得 DE=DF,∴ DE=DF,又∠ DFC=∠ DEG,∠C=∠DGE=90°得△ DCF≌△ DGE. CF DE ,且 DE=DF,∴ DF2=CF BE. (8)由△ CDF∽△ DBE得

BE DF

(9)由△ ADG∽△ ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:2,设 DG=k,则 DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10,∴ k=2 5 ,

∴ BG=BC=2k=4 5 , 由 Rt △ DBG ∽ Rt △ EBD 得 DB2=GB EB, ∴ 102=4 5 EB, ∴

5 5 EB=5 5 ,r=.

2 (10)∠ C=∠ CFG=∠ CDG=90°得矩形 DGFC,∴ DG=CF=6,DC=GF=GE=12,

C 2 2 2 2 2 2 . ∴在 Rt△ GEO中， GO +EG =EO ,∴ (r-6) +12 =r

∴r==15-6=9，由中位线定理得 BF=2GO=18. D F

(11)如图，在 Rt△ DCO 中， CO= 12

2 152

= 3 41 ， GO=15-6=9,

P G B A

O 由 D0∥ CB 得 , CF CP 6 2 3 9 41 E ,∴ PO= CO= .

GO OP 9 3 5 5 同理可得图中 CO 上其它线段的长度 . 图 a

【典例】（2018 ·四川成都）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的⊙ O 分别交 AB， AC于点 E， F，连接 OF 交 AD 于点 G.

（1）求证： BC是⊙ O 的切线；

（2）设 AB＝ x， AF＝ y，试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长；

（ 3）若 BE＝ 8， sinB＝ 5 13 ，求 DG 的长 . A

O G 【分析】（1 ）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一

E F

对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量

B C D 代换得到内错角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，

（图 2-1）

得到 OD 与 BC 垂直，即可得证；

（ 2）连接 DF，由（ 1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到 EF 与 BC 平行，得到 sin∠ AEF＝ sinB，进而求出 DG 的长即可．

解：（ 1）证明：如图，连接 OD，

∵AD 为 ∠ BAC的角平分线， ∴ ∠BAD＝ ∠ CAD， ∵OA＝OD， ∴ ∠ ODA＝ ∠ OAD， ∴∠ ODA＝ ∠ CAD，∴ OD∥ AC， ∵∠ C＝ 90 °， ∴ ∠ ODC＝ 90 °， ∴OD⊥ BC，图 b

∴BC 为圆 O 的切线；

（ 2）连接 DF，由（ 1）知 BC为⊙ O 的切线， ∴∠ FDC＝∠ DAF，∴∠ CDA＝∠ CFD，

∴∠ AFD＝∠ ADB，∵∠ BAD＝∠ DAF， ∴△ ABD∽△ ADF，∴ AB

AD ，

AD AF

即， AD2＝ AB·AF＝ xy，则 AD＝ xy

（3）连接 EF，在 Rt△ BOD中， sinB＝ OD 5 ，

r 5 OB 13

设圆的半径为 r，可得，

r 8 13

解得： r＝ 5， ∴ AE＝ 10， AB＝ 18，

∵AE 是直径， ∴ ∠ AFE＝ ∠C＝90 °， ∴ EF∥ BC， ∴∠ AEF＝ ∠ B， ∴sin∠ AEF＝ AF

5 ，

AE 13 5 50 ， ∴AF＝AE?sin∠ AEF＝ 10 ×

13 13

AG AF 50 10 13

∵AF∥OD， ∴ OD 5 13 ，即 DG＝ 13 DG

AD， 23

∵AD＝ AB gAF 18 50 30 13

，

13 13

则 DG＝ 13 30 13 30 13 .

23 13 23

【点拨】利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线

段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似， 8 字型相似， A 字型相似等。当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。

【变式运用】 1.（2018 ⊙O 的弦泸州）如图，已知 DE 交 AB 于点 F，且 AB，CD 是⊙ O 的直径，过点 DF＝ EF． C作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于点 P，（ 1）求证： CO2＝ OF?OP；（2）连接 EB交 CD于点 G，过点 G 作 GH⊥ AB 于点 H，若 PC＝ 4 ， PB＝ 4，求 GH 的长．

解：（ 1）证明： ∵ PC是 ⊙ O 的切线， ∴OC⊥ PC， ∴∠ PCO＝90 °， ∵AB 是直径， EF＝ FD， ∴AB⊥ ED， ∴ ∠ OFD＝ ∠OCP＝90 °，（图 2-2） ∵∠ FOD＝ ∠ COP， ∴ △ OFD∽ △OCP，

∴ ＝，∵ OD＝ OC，

∴OC2＝ OF?OP．（2）解：如图作 CM⊥OP 于 M，连接 EC、 EO．设 OC＝ OB＝ r．

2 2 2 ，在 Rt△ POC中， ∵ PC＋ OC ＝ PO

∴（ 4 ） 2＋r 2＝（ r＋ 4） 2， ∴r ＝2，

∵CM＝＝，

∵DC 是直径， ∴∠ CEF＝ ∠ EFM＝ ∠ CMF＝90 °， ∴四边形 EFMC是矩形， ∴ EF＝ CM＝，在 Rt△ OEF中， OF＝＝， ∴EC＝ 2OF＝， ∵ EC∥ OB， ∴ ＝＝，∵ GH∥ CM，

∴ ＝＝， ∴ GH＝． 2.（2018 ·云南昆明）如图， AB 是⊙ O 的直径， ED 切⊙ O 于点平分∠ BAD，连接 BF．

（1）求证： AD⊥ ED；

图 c C， AD 交⊙ O 于点 F，∠ AC （2）若 CD＝4 ，AF＝2，求⊙ O 的半径．解：（ 1）证明：连接 OC，如图，∵ AC 平分∠ BAD，

∴∠ 1＝∠ 2，∵ OA＝ OC，∴∠ 1＝∠ 3， ∴∠ 2＝∠ 3，∴ OC∥ AD，（图 2-3）