圆压轴八大模型题(3)-双切线组合说课讲解

圆压轴题八大模型题（三）

泸州市七中佳德学校易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型3双切线组合

径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.

Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D.

【分析】(1)由

10

=,△POD∽△PCB得

DO PO

BC PC

=，∴

8

610

r r

-

=，∴r=3.

(2)设BC=CD=x，在Rt△PBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.

(3)在Rt△PDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.

(4)由△PDA∽△PBD得：PD2=PA?PB.

(5)由△PDA∽△PBD得

1

tan

2

PD PA AD

PB PD DB

α

====，PB=8,

∴PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x,

在Rt△ADB中，x2+(2x)2=62,∴AD=x=

.

(6)由∠DEC=∠ADB=90°得OC∥AD.

(7)由AB=2,则OB=1,又

在Rt△OBC中，BE⊥OC，得

由中

位线定理得：

,由△PDA∽△PBD

得：

PA AD

PD DB

==,设PA=x,则

在Rt△PDO中，

2+1=(x+1)2得x=2,∴

O

P

D

C

B

A

(4)PD2＝P A?PB;

(5)PB＝8，tanα＝

1

2

，

求P A和A D.

B

(6)求证:OC∥AD（变式）.

(7)若AB＝2,BC＝,

求AD、PD、PA的长.

图(1) 图(2) 图(3)

(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半径r.

(2)PD＝4,PB＝8,求BC的长.

(3)PD＝4,P A＝2,求⊙O的半径r.

D

O

E

C

B

A

P

(8)由AD ∥OC 得

2

1

PA PD AO DC ==,设AO=DO=BO=m ， 则PA=2m ，P0=3m ，

，由△PDA ∽△PBD

得

PA AD PD DB =且AD+BD=2+22， ∴

则

∴

, S △PBC=12

BC ?PB=13.5.

【典例】

（2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，PO 交AB 于点F ，延长BO 交⊙O 于点C ，交PA 的延长交于点Q ，连结A C ． （1）求证：AC ∥PO ；

（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为3，CQ ＝2，求的值．

【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。（2）在Rt △OQA 中，由勾股定理得QA ＝4，在Rt △PBQ 中，由勾股定理得PA ＝＝PB ＝6，因此FD ＝3，BF

＝AF

＝

5

又由中位线定理FD ∥AP 得， FE ：EA ＝3：4，因此设AE ＝4t ,则EF ＝3t ，BF ＝10t ，所以AE ：BE ＝2：5.

（1）证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，∴PA ＝PB ，且PO 平分∠BPA ，∴PO ⊥A B ．

∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°，∴AC ⊥AB ，∴AC ∥PO ； （2）解：连结OA 、DF ，如图，

∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点， ∴∠OAQ ＝∠PBQ ＝90°．

在Rt △OAQ 中，OA ＝OC ＝3，∴OQ ＝5． 由QA 2

＋OA 2

＝OQ 2

，得QA ＝4．

图3-1

(8) PD :DC ＝2:1,

AD ＋BD ＝2＋22,

求S △AB C.

图(4)

D

O

E

C

B A

P

A

O

C B

E

P

Q

D

F A

O

C

B

E P

Q D

F 图a

在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ＋OB＝8，由QB2＋PB2＝PQ2，

得82＋PB2＝（PB＋4）2，解得PB＝6，∴PA＝PB＝6．

∵OP⊥AB，∴BF＝AF ＝A B．

又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF ＝PA＝3，∴△DFE∽△QEA，

∴＝＝，设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE＋FE＝7t，

∴BE＝BF＋FE＝AF＋FE＝7t＋3t＝10t ，∴＝＝．

【点拨】

由切线长定理引出的双母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角形，常涉及用到等腰“三线合一”、“射影定理”、中位线定理、勾股定理，平行线分线段成比例，切割线定理等的综合运用。因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。

【变式运用】

1.（2016 ?青海西宁）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．（12分）

【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+

∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+

∠ADO=90°；

（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形

的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到

BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论．

（1）证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠BDO，

∵∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠ODB，

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADO+∠CDA=90°，

即∠CDO=90°，∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线

（2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD

∴△CDA∽△CBD∴CD AD

BC BD

=∵

2

3

AD

BD

=，BC=6，

∴CD=4，∵CE，BE是⊙O的切线

∴BE=DE，BE⊥BC

∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2

图

3-2

图b

解得：BE=

52

． 2.（2018·湖北武汉）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB 、PC ，PC 交AB 于点E ，且PA ＝PB. (1) 求证：PB 是⊙O 的切线.

(2) 若∠APC ＝3∠BPC ，求

PE

CE

的值. （1）证明： 分别连接OP ，OB.

在△OAP 和△OBP 中，,,.AP BP OA OB OP OP =??

=??=?

∴△OAP ≌△OBP.

∴∠OAP=∠OBP,∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°， ∴PB 是⊙O 的切线.

（2）连接BC ，设OP 交AB 于点F ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，

∴PO 垂直平分AB ，PO 平分∠APB ， ∴BC ∥OP ，∴∠OPC=∠PCB ，

∵∠APC=3∠BPC ，∴∠OPC=∠CPB ， ∴∠PCB=∠CPB ，∴BC=BP.

设OF=t,则BC=PB=2t ，由△PBF ∽△POB ，得PB 2

=PF ·PO ， 即（2t ）2

=PF ?(PF+t)解得

t ，（取正值） ∵△PFE ∽△CBE

，∴

PE PF CE BC ==3.（2017?泸州）如图，⊙O 与Rt △ABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C 、D ，与边BC 相交于点F ，OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G ． （1）求证：DF ∥AO ；

（2）若AC ＝6，AB ＝10，求CG 的长．

解：（1）证明：连接O D ．

∵AB 与⊙O 相切与点D ，又AC 与⊙O 相切与点， ∴AC ＝AD ，∵OC ＝OD ，∴OA ⊥CD ，∴CD ⊥OA ， ∵CF 是直径，∴∠CDF ＝90°，∴DF ⊥CD ， ∴DF ∥AO ．

（2）过点作EM ⊥OC 于M ，

图

3-4

图3-3

图c

∵AC＝6，AB＝10，∴BC

8，

∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，

∵BD2＝BF?BC，∴BF＝2，∴CF＝BC－BF＝6．OC＝1

2

CF＝3，

∴OA

，∵OC2＝OE?OA，∴OE

＝

5

，∵EM∥AC，

∴

1

5 EM OM OE

AC OC OA

===，

∴OM＝3

5

，EM＝

6

5

，FM＝OF＋OM＝

18

5

，

∴

3.63

65 EM FM

CG FC

===，

∴CG＝5

3

EM＝2．

图d