圆压轴八大模型题(3)-双切线组合说课讲解

圆压轴题八大模型题（三）

泸州市七中佳德学校

易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化

与括展，本文结合近年来各省市中考题，

整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，

常用

技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型3双切线组合

径在直角边——直径在直角三角形的直角边上

Rt A PBC 中，/ ABC = 90°, Rt A PBC 的直角边PB 上有一点 A ,以线段 AB 为直径的O O 与斜 边相切于点D.

【分析】 ⑴由 PC= 62 82 =10 ,△ POI ^A PCB 得 D2 二丄r ,??? r=3.

BC PC 6

10

2

2

2

(2)设 BC=CD=x 在 Rt △ PBC 中，8 +x =(4+x),得 BC=x=6.

⑶在 Rt △ PDO 中, 42+r 2=(2+r) 2,解得 r=3.

2

(4) 由厶 PDA^A PBD 得：PD=PAPB.

,

f PD

PA AD

1

(5) 由厶 PDA^A PBD 得

tan , PB=8,

PB PD DB

2

? PD=4,PA=2,AB=6.设 AD=x,DB=2x, 6J 5

在 Rt △ ADB 中, x 2+(2x) 2=62, ? AD=x= 叱

5

(6) 由/ DEC / ADB=90得 OC// AD.

⑺由 AB=2,则 OB=1 又 BC^2OC^1 +h/2)^V3 , 在 Rt A OBC 中，BE X OC,得 OE^3 ,由中

3

PA AD 1

—

位线定理得：AD=2OE=——.DB=^ ,由厶 PDA^A PBD 得:- ，设 PA=x M PD= 2

x,

3 3 PD DB

在 Rt A PDO 中，(-2x)2+1=(x+1)2 得 x=2,「. PA=2,PD=2 2 .

(2) PD = 4, PB = 8,求 BC 的长.

(3) PD = 4, PA = 2,求O O 的半径 r.

1

(5) PB = 8, tan:= — ,

(7)若 AB = 2, BC =, 2

求PA 和AD.

求AD 、PD 、PA 的长. C

C

PO 丄 AB .

?/ BC 是直径，?/ CAB = 90° ? AC 丄 AB ,「. AC / PO; (2)解：连结OA 、DF ,如图，

??? PA PB 是O O 的两条切线，A 、B 是切点，

???/ OAQ =Z PBQ = 90°

在 Rt A OAQ 中，OA = OC = 3,「. OQ = 5. 由 QA 2 + OA 2= OCf ,得 QA = 4.

(8)由 AD// OC 得-P A 巴-2

,设 AO=DO=BO=m,

AO DC 1

则 PA=2m P0=3m PD=2/2 口，由厶 PBD

得 PA _AD PD " DB

1 —

，且 AD+BD=2+2

2

2

???m= 3,PB=3.3,PD=2.6,PC=3.6,BC=3 3 , 1

S A PBA BCPB=13.5.

2 AD^ BD= 2+ 2 2

求 S A ABD .

【典例】

（2018 ?四川乐山）如图， P 是O O 外的一点，PA PB 是O O 的两条切线，A 、B 是切点, PO 交AB 于点F ,延长BO 交O O 于点C,交PA 的延长交于点 Q ,连结AC . （1）求证：AC / PO;

（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E , 若0 O 的半径为3, CQ = 2,求*的值.

【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所 对的圆周角是直角得同位角相等。

（2）在Rt A

OQA 中，由勾股定理得 QA = 4,在Rt A PBQ 中, 由勾股定理得 PA == PB = 6,因此FD = 3, BF

6 5

=AF =空卫 又由中位线定理 FD// AP 得，

5

图3-1

FE EA = 3: 4,因此设 AE = 4t,贝U EF = 3t , BF = 10t ，所以 AE : BE = 2: 5.

（1）证明：T PA PB 是O O 的两条切线, A 、B 是切点，? PA = PB,且PO 平分/ BPA,

D

P

在Rt A PBQ 中，PA= PB, QB= 0Q+ OB= 8,由QB2+ PB2= PQ2,

得82+ PB?=( PB+ 4) 2,解得PB= 6,「. PA= PB= 6.

T OP丄AB,「. BF= AF=：AB.

2

又??? D 为PB 的中点，??? DF// AP, DF=—PA= 3,「.A DF0A QEA,

2

?二=兰=二，设AE= 4t, FE= 3t，贝U AF= AE+ FE= 7t,

FE DF 3

? BE= BF+ FE= AF+ FE= 7t + 3t = 10t，?二='~;='.

BE lOt 5

【点拨】

由切线长定理引出的双母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角形，常涉及用到等腰“三线合一”、“射影定理”、中位线定理、勾股定理，平行线

分线段成比例，切割线定理等的综合运用。因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。

【变式运用】

1. ( 2016青海西宁)如图，D为O O上一点，点C在直径BA的延长线上，且/ CDA= / CBD .

(1)求证：CD是O O的切线；

(2)过点B作O O的切线交CD的延长线于点E, BC=6，—??求BE的长.(12分)

BD 3

【分析】(1)连OD , OE ,根据圆周角定理得到/ ADO + / 1=90 ° 而/ CDA= / CBD , / CBD= / 1 ,于是/ CDA + / ADO=90 °

(2)根据已知条件得到△ CDA CBD由相似三角形的性质得到匚，求得CD=4，由切线的性质得到

BC BD

BE=DE , BE丄BC根据勾股定理列方程即可得到结论.

(1)证明：连结OD，丁OB=OD，?/ OBD= / BDO ,

???/ CDA= / CBD，?/ CDA= / ODB ,

又??? AB 是O O 的直径，?/ ADB=90 ° ,

???/ ADO+Z ODB=90 ° , ???/ ADO+ / CDA=90 ° , 即/ CDO=90 ° , ? OD 丄CD, ?/ OD是O O半径，二CD是O O的切线

(2 )解：???/ C= Z C , Z CDA= Z CBD

CD AD

?△ CDA CBD ?

BC BD

?CD=4 , ?/ CE , BE 是O O 的切线?BE=DE , BE丄BC

2 2 2 2 2

? BE +BC =EC ,即BE +6 = (4+BE)

AD 2

BD 3，BC=6，

解

得：

BE= 5.

2. (2018 ?湖北武汉)如图，PA是O O的切线，A是切点, PC, PC交AB于点E,且PA= PB.

(1) 求证：PB是O O的切线.

PE

(2) 若/ APC= 3 / BPC 求一的值?

CE

(1)证明：分别连接OP, OB.

AP =BP,

I

在厶OAP^n^ OBP中，丿OA=OB, ???△OAP^A OBP.

OP =OP.

???/ OAP=/ OBP,V PA 是O O 的切线，?/ OBP=/ OAP=90,?PB是O O的切线.

(2)连接BC,设OP交AB于点F,

?/ AC 是O O 的直径，?/ ABC=90.

??? PA, PB是O O的切线，

?PO垂直平分AB, PO平分/ APB

?BC// OF, OPC=/ PCB

???/ APC=Z BPC OPC=/ CPB

?/ PCB玄CPB ? BC=BP.

设OF=t,贝U BC=PB=2t, 由^ PBF^A POB 得PB2=PF ? PQ

2+^7

即(2t ) =PF(PF+t)解得PF= t ,(取正值)

2

?/△PFE^A CBE PE

CE PF

BC

.17-1

4

3. ( 2017泸州)如图，O O与Rt A ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点 C D,与边

P

BC相交于点F , OA与CD相交于点E ,连接FE并延长交AC边于点

G.

(1)求证：DF/ AO;

(2 )若AC= 6 , AB= 10 ,求CG 的长.

解：(1)证明：连接OD.

??? AB与O O相切与点D,又AC与O O相切与点,

图3-4 ? AC= AD , ?/ OC= OD , ? OA丄CD, ? CD丄OA ,

?/ CF 是直径，CDF= 90°, ? DF 丄CD,

? DF / AO.

(2)过点作EM丄OC于M ,

?/AC = 6, AB = 10,「. BC = ...AB 2 _ AC 2 = 8, AD = AC = 6,.?.BD = AB -AD = 4,

2 1

?/ BD 2= BF?BC,. BF = 2,. CF = BC- BF = 6. 0C = _ CF = 3

2 ，

EM OM OE 1 AC ' ■ OC ■

「OA 一 5

3

6

18

OM = — ,EM =

FM = OF + OM =—

5

5

5

EM

FM 3.6 3 CG

FC _ 6 一 5 ,

5

--CG = — EM = 2.

3

.??0A = . AC 2

OC = 3、、5 ,T OC 2

= OE?OA ,

0E =兰

5

图d

?/ EM // AC,